目錄

目錄..............................................................-1-

（一〕找規律....................................................-1-

①數列中的規律......................................-2-

②圖形中的規律.......................................-3-

（二〕數字謎....................................................-4-

①橫式字謎......................................-4-

②豎式字謎......................................-6-

（三〕定義新運算................................................-8-

（四〕雞兔同籠..................................................-9-

（五〕行程問題...............................................-11-

①追擊及遇問題....................................-11-

②火車過橋........................................-13-

（六〕植樹問題...............................................-15-

（七〕有趣的數陣圖...........................................-18-

（八〕有趣的數陣圖練習.......................................-19-

（九〕枚舉法.................................................-20-

（十〕邏輯推理...............................................-23-

■一〕抽屜原理.............................................-25-

（十二〕倒推法的妙用.........................................-27-

（十三〕火柴棍游戲...........................................-30-

①擺圖形游戲....................................-30-

②移動火柴，變換圖形游戲..................................-31-

③去掉火柴，變換圖形游戲...................................-31-

（十四〕巧求面積習題.........................................-31-

（十五）方程式解應用題.......................................-33-

（十六〕移多補少平均數.......................................-34-

（十七〕一筆畫...............................................-35-

（-）找規律

觀察是解決問題的根據。通過觀察，得以揭示出事物的開展和變化規律，在一般情況

下，我們可以從以下幾個方面來找規律：

1.根據每組相鄰兩個數之間的關系，找出規律，推斷出所要填的數；

2.根據相隔的每兩個數的關系，找出規律，推斷出所要填的數；

3.要善于從整體上把握數據之間的聯系，從-而很快找出規律；

4.數之間的聯系往往可以從不同的角度來理解，只要言之有理，所得出的規律都可以

認為是正確的。

①數列中的規律

一、例題與方法指導

例1：先找出以下數排列的規律，并根據規律在括號里填上適當的數。

1,4,7,10,(),16,19

花這列數中，相鄰的兩個數的差都是3,即每一個數加上3都等于后面的數。根據這一

規律，括號里應填的數為：

10+3=13或16—3=13

像上面按照一定的順序排列的一串數叫做數列。

例2：先找出以下數排列的規律，然后在括號里填上適當的數。

1,2,4,7,(),16,22

思路導航:

倉列數中，前4個數每相鄰的兩個數的差依次是1,2,3o由此可以推算7比括號里

的數少4,括號里應填：7+4=llo

經驗證，所填的數是正確的。

應填的數為：7+4=11或16-5=11

例3：先找出規律，然后在括號里填上適當的數。

23,4,20,6,17,8,(),(),11,12

思路導航:

在這列數中，第一個數減去3的差是第三個數，第二個數加上2的和是第四個數，第

三個數減去3的差是第五個數，第四個數加上2的和是第六個數……依此規律，8后面的

一個數為：17-3:14,11前面的數為：8+2=10

二、穩固訓練

1.先找出以下各列數的排列規律，然后在括號里填上適當的數。

(1)2,6,10,14,(),22,26

(2)3,6,9,12,(),18,21

⑶33,28,23,(),13,(),3

(4)55,49,43,(),31,(),19

(5)3,6,12,1),48,(),192

⑹2,6,18,(),162,()

(7)128,64,32,(),8,(),2

(8)19,3,17,3,15,3,(),(),11,3

2.先找出以下數排列的規律，然后在括號里填上適當的數。

(1)10,11,13,16,20,(),31

(2)1,4,9,16,25,(),49,64

⑶3,2,5,2,7,2,(),(),11,2

(4)53,44,36,29,(),18,(),11,9,8

(5)81,64,49,36,(),16,1),4,1,0

(6)28,1,26,1,24,1,(),(),2d,1

(7)30,2,26,2,22,2,(),(),14,2

(8)1,6,4,8,7,10,(),(),13,14

三、拓展提升

先找出規律，然后在括號里填上適當的數。

⑴1,6,5,10,9,14,13,(),()

⑵13,2,15,4,17,6,(),()

⑶3,29,4,28,6,26,9,23,(),(),18,14

⑷21,2,19,5,17,8,(),()

⑸32,20,29,18,26,16,(),(),20,12

(6)2,9,6,10,18,11,54,(),(),13,486

⑺1,5,2,8,4,11,8,14,(),()

(8)320,1,160,3,80,9,40,27,(),()

②圖形中的規律

我們通常會碰到一些圖形，它們在某一方面，比方顏色，形狀，大小，結構，位置或

繁難等有些共同的特征或變化規律，你能通過觀察找規律，并根據規律推斷出結果嗎？

一、例題與方法指導

例1.下面哪個圖形和其他兒個不一樣，你能找出來嗎？

思路導航:

題市幾個圖形的共同特征是：先連接各邊中點，組成一個復合圖形。所不同的是，B圖

形是一個三角形，而其他幾個圖形都是四邊形，這樣，只有B與其他幾個不一樣。

例2.找出下組圖形中不同的項。

思、路導航:

麗市只有D圖形不是由A翻轉過來的，其他圖形都是在同一個平面內通過把A圖形旋

轉而得到的。故不同的選項應該為D

例3.在下面圖形中找出一個與眾不同的.

(1)⑵(3)(4)(5)

思路導航:

不容易看出題目圖中⑴逆時針旋轉90。就是(4),但是這樣一來，(2)、(3)、(5)都與它

們不同了.題目上要求找出一個.所以放棄這種想法.

圖⑵順時針旋轉90。，且大、小兩個矩形顏色互換一下就得到(5).而圖(1)與⑶的變化

規律也是這樣:順時針旋轉90。，大小兩局部顏色互換.因此⑴與⑶配對，(2)與⑸配對.

解:與眾不同的是題目圖中的(4).

例4.依照下面圖中所給圖形的變化規律,在空格中填圖.

思路曼航:

”我桁刀花盆、花莖、花葉、花朵四個局部逐步觀察.

⑴花盆:花盆的形狀每一行都是由同樣的三種形狀組成，所以第三行所缺的形狀便是應填

的圖案中的花盆形狀;花盆的顏色在同一行中都是由黑、白、灰(畫有斜線)三色組成，圖中

第三行已有白、灰二色，所以應填的花盆為黑色(如以下圖(D);

⑵花莖:如同上面一樣的分析.花莖的形狀為魚鉤狀，方向向右(如以下圖⑵)；

⑶花葉:花葉數量為兩朵,方向是向左、右平展(如以下圖(3));

⑷花朵：形狀為圓形(如以下圖(4)).

(1)(2)(3)(4)

解:依照所給圖形的變化規律，空格中應填的圖形如圖(4).

二、穩固訓練

1.按順序觀察圖5—2中圖形的變化，想一想，按圖形的變化規律，在帶“？〃的空格

處應畫什么樣的圖形？

分析觀察中，注意到圖5—1中每行三角形的個數依次減少，而正方形的個數依次增多，

且三角形的個數按4、3、X、1的順序變化.顯然X應等于2;圖5—2中黑點的個數從左到

右逐次增多，且每一格（第一格除外）比前面的一格多兩個點.事實上，此題中幾何圖形的變

化僅表現在數量關系上，是一種較為根本的、簡單的變化模式。

解：在圖5-2的“？〃處應是

2.請觀察右圖中已有的幾個圖形，并按規律填出空白處的圖形。

分析首先可以看出圖形的第一行、第二列都是由一個圓、一個三角形和一個正方形所

組成的；其次，在所給出的圖形中，我們發現各行、各列均沒有重復的圖形，而且所給出的

圖形中，只有圓、三角形和正方形三種圖形.由此，我們知道這個圖的特點是：

①僅由圓、三角形、正方形組成；

②各行各列中，都只有一個圓、一個三角形和一個正方形。

因此，根據不重不漏的原那么，在第二行的空格中應填一個三角形，而第三行的空格

中應填一個正方形。

解略。

3.按順序觀察以下圖中圖形的變化規律，并在“？〃處填上適宜的圖形.

分析顯然，圖（a）、圖（b）中都是圓，而圖（c）中卻不是圓；同時，圖（a）、（c）中都有3

個圖形，而⑹中只有兩個.由此可知：圖（a）到（b）的變化規律對應于圖（c）到（d）的變化規

律.再注意到圖（a）到圖（b）中圖形在繁簡、多少、位置幾方面的變化，就容易得到圖（d）中

的圖形了。

解：在上圖的“？〃處應填如以下圖形.

4.以下圖中的圖形是按一定規律排列的，請仔細觀察，并在“？〃處填上適當的圖形.

分析此題中，首先可以注意到每個圖形都由大、小兩局部組成，而且，大、小圖形都

是由正方形、三角形和圓形組成，圖中的任意兩個圖形均不相同.因此，我們不妨試著把

大、小圖形分開來考慮，再一次觀察后我們可以發現：對于大圖形來說，每行每列的圖形

決不重復。因此，每行每列都只有一個大正方形，一個大三角形和一個大圓，對于小圖形

也是如此，這樣，處的圖形就不難得出。

解：圖中，（b）、（f）、（h）處的圖形分別應填下面的圖甲、圖乙、圖丙.

小結：對于較復雜的圖形來說，有時候需要把圖形分開兒局部來單獨考慮其變化規律,

從而把復雜問題簡單化。

（二）數字謎

小朋友們都玩過字謎吧，就是一種文字游戲，例如“空中碼頭〃（打一城市名）。謎底

你還記得嗎？記不得也沒關系，想想“空中〃指什么？“天〃。這個地名第1個字可能是

天。“碼頭〃指什么呢？碼頭又稱渡口，聯系這個地名開頭是“天〃字，容易想到“天津〃

這個地名，而“津〃正好又是“渡口〃的意思。這樣謎底就出來了：天津。

算式謎又被稱為“蟲食算〃，意思是說一道算式中的某些數字被蟲子吃掉了無法識別,

需要運用四那么運算各局部之間的關系，通過推理判定被吃掉的數字，把算式復原。“蟲

食算〃主要指橫式算式謎和豎式算式謎，其中未知的數字常常用口、△、☆等圖形符號或

字母表示。文字算式謎是前兩種算式謎的延伸，用文字或字母來代替未知的數字，在同一

道算式中不同的文字或字母表示不同的數字，相同的數字或字母表示同一個數字。文字算

式謎也是最難的一種算式謎。

在數學里面，文字也可以組成許許多多的數學游戲，就讓我們一起來看看吧。

①橫式字謎

一、例題與方法指導

例1口，口8,口97在上面的3個方框內分別填入恰當的數字，可以使得這3個數的

平均數是150o那么所填的3個數字之和是多少？

思路導航:150*3-8-97-5=340

所以3個數之和為3+4+5=12。

例2在以下算式的口中填上適當的數字，使得等式成立：

(1)6口口4?56二口0口，

(2)7口口8?37二口口，

(3)3口口3?2口二口17,

(4)8口口口+58=口口6。

分析：(1)6104/56=109

(2)7548/37=204

(3)3393/29=117

(4)8468/58=146

例3在算式407964-□□□=□99……98的各個方框內填入適當的數字后，就可以使

其成為正確的等式。求其中的除數。

分析：40796/102=399...98o

例4我學數學樂X我學數學樂二數數數學數數學學數學

在上面的乘法算式中，“我、學、數、樂〃分別代表的4個不同的數字。如果“樂〃

代表9,那么“我數學〃代表的三位數是多少？

分析：學二1,我=8,數二6,81619*81619=6661661161

例5□+(口+口+□)=24在式中的4個方框內填入4個不同的一位數，使左邊的

數比右邊的數小，并且等式成立。

思路導航:

這樣,我們可以先用字母代替數字，原等式寫成：a/(b/c/d)=a/(b/c*d)=a*c*d/b,

(a<b<c<d)

當a=l時，有6*8/2=24,8*9/3=24；

當a=2時,有4*9/3=12,6*8/4=12,8*9/6=12；

所以，滿足要求的等式有：1+(24-64-8]=24>14-(34-84-9)=24,24-(34-44-9)

=24,24-(44-64-8)=24,24-(64-84-9]=240

例6①DX口二5口；②12+□一口二口，把1至9這9個數字分別填入上面兩個算式的

各個方框中，使等式成立，這里有3個數字己經填好。

分析:根據第一個等式,只有兩種可能：7*8=56,6*9=54；如果為7*8=56,那么余下

的數字有：3、4、9,顯然不行；而當6*9=54時,余下的數字有:3、7、8,那么，12+3-7=8

或12+3-8=7都能滿足。

二、訓練穩固

1.迎迎義春春二杯迎迎杯，數數X學學二數賽賽數，春春X春春二迎迎賽賽

在上面的3個算式中，相同的漢字代表相同的數字，不同的漢字代表不同的數字。如

果這3個等式都成立，那么，“迎+春+杯+數+學+賽”等于多少？

分析：考察上面三個等式，可以從最后一個等式入手：能夠滿足：春春X春春=迎迎賽

賽的只有88*88=7744,于是，春二8,迎二7,賽=4；這樣，不難得到第一個為：77*88=677

6,第二個為：55*99=5445；

所以，迎十春十杯十數+學十賽=7十8十6+5+9+4=39。

2.迎+春米春=迎春，（迎士杯）X（迎冬杯）=迎杯

在上面的兩個橫式中，相同的漢字代表相同的數字，不同的漢字代表不同的數字。那么“迎

+春+杯〃等于多少？

分析：同樣可以從第二個算式入手，發現滿足要求的只有（8+1）*（8+1）=81,于是,

迎二8；

這樣，第一個算式顯然只有：8+9*9=89；所以，迎+春+杯=8+9+1=18。

三、拓展提升

1.在以下各式的口中分別填入相同的兩位數：

⑴5XH2口；（2）6乂口=3口。

2.將3?9中的數填入以下各式，使算式成立，要求各式中無重復的數字：

（1）□4■□=□4■口；（2）口□。

3.在以下各式的口中填入適宜的數字：

（1）448+□□二口；（2）28224-

(3)13xan=4D6o

4.在以下各式的口中填入適宜的數：

(1)04-32=8……31；(2)5734-32=□……29；

(3)4837+口=74……27。

答案與提示練習22

4.(1)287；(2)17；()65O

②豎式字謎

一、例題與方法指導

例1在圖4T所示的算式中，每一個漢字代表一個數字，不同的漢字代表不同的數字.那

么“喜歡〃這兩個漢字所代表的兩位數是多少？

分析：首先看個位，可以得到“歡〃是0或5,但是“歡〃是第二個數的十位，

所以“歡〃不能是0,只能是5。再看十位，"歡”是5,加上個位有進位1,那么，加起

來后得到的“人〃就應該是偶數，因為結果的百位也是“人〃，所以“人〃只能是2；由

此可知，“喜”等于8。所以，“喜歡〃這兩個漢字所代表的兩位數就是85。

例2在圖4-2所示的豎式中，相同的漢字表示相同的數字，不同的漢字表示不同的數

字.如果：巧+解+數+字+謎二30,那么“數字謎〃所代表的三位數是多少？

分析：還是先看個位，5個“謎〃相加的結果個位還是等于“謎〃，“謎〃必定是

5（0顯然可以排出）；接著看十位，四個“字〃相加再加上進位2,結果尾數還是“字〃，

那說明"字”只能是6；再看百位，三個“數”相加再加上進位2,結果尾數還是“數”，

“數〃可能是4或9：再看千位，（1）如果“數〃為4,兩個“解〃相加再加上進位1,

結果尾數還是“解〃，那說明“解〃只能是9；5+6+4+9=24,30-24=6,“巧〃等于6與“字〃

等于6重復，不能；（2）如果“數〃為9,兩個“解”相加再加上進位2,結果尾數還是

“解〃，那說明“解〃只能是8；5+6+9+8=28,30-28=2,可以。所以“數字謎”代表的

三位數是965o

例3在圖4-3所示的加法算式中，相同的漢字表示相同的數字，不同的漢字表示不同

的數字.請把這個豎式翻譯成數字算式.

分析?：首先萬位上“華”=1；再看千位，“香〃只能是8或9,那么“人〃就相應的

只能是0或1。但是“華〃=1,所以，“人〃就是0；再看百位，“人〃=0,那么，十位

上必須有進位，否那么“港”+“人〃還是“港〃。由此可知“回〃比“港〃大1,這樣就

說明“港〃不是9,百位向千位也沒有進位。于是可以確定“香〃等于9的；再看十位，

“回〃+"愛〃二”港〃要有進位的，而“回〃比”港〃大1,那么“愛〃就等于8；同時:

個位必須有進位；再看個位，兩數相加至少12,至多13,即只能是5+7或6+7,顯然“港〃

二5,“回〃二6,“歸〃二7。這樣，整個算式就是：9567+1085=10652。

例4圖4-4是一個加法豎式，其中E,F,I,N,0,RS,T,X,Y分別表示從0到9

的不同數字，且F,S不等于零.那么這個算式的結果是多少？

分析：先看個位和十位，N應為0,E應為5；再看最高位上，S比F大1；千位上0最

少是8；但因為N等于0,所以，I只能是1,0只能是9；由于百位向千位進位是2,且X

不能是0,因此決定了T、R只能是7、8這兩個；如果T=7,X=3,這是只剩下了2、4、6

三個數，無法滿足S、F是兩個連續數的要求。所以，T=8、R=7；由此得到X=4；那么，F=2,

S=3,Y=6o所以，得到的算式結果是31486。

二、訓練穩固

1.在圖4-5所示的減法算式中，每一個字母代表一個數字，不同的字母代表不同的數

字.那么D+G等于多少？

分析：先從最高位看，顯然A=l,B=0,E=9；接著看十位，因為E等于9,說明個

位有借位，所以F只能是8；由F=8可知，0=7；這樣，D、G有2、4,3、5和4、6三種可

能。所以，D+G就可以等于6,8或10。

2.王老師家的號碼是一個七位數，把它前四位組成的數與后三位組成的數相加得

9063,把它前三位數組成的數與后四位數組成的數相加得2529.求王老師家的號碼.

分析：我們可以用abcdefg來表示這個七位數號碼。由題意知，abcd+efg=9063,

abc+defg=2529；

首先從第一個算式可以看出，"8,從第二個算式可以看出，d二1；再回到第一個算式，g=2,

掉到第二個算式，c=7；又回到第一個算式，f=9,掉到第二個算式，b=3；那么，e=6o所

以，王老師家的號碼是8371692。

3.將一個四位數的各位順序顛倒過來，得到一個新的四位數.如果新數比原數大7902,

那么在所有符合這樣條件的四位數中，原數最大是多少？

分析：用abed來表示愿四位數，那么新四位數為deba,dcba-abcd=7902；由最高

為看起，a最大為2,那么d=9；但個位上10+a-d=2,所以，a只能是1；接下來看白位，b

最大是9,那么，『8正好能滿足要求。所以，原四位數最大是1989。

三、拓展提升

1.圖4-6所示的乘法豎式成立.那么ABCDE是多少？

分析:由1/7的特點易知，ABCDE=42857。142857*3=428571。

2.某個自然數的個位數字是4,將這個4移到左邊首位數字的前面，所構成的新數恰

好是原數的4倍.問原數最小是多少？

分析：由個位起逐個遞推：4*4=16,原十位為￡；4*6+1=25,原百位為5；4*5+2=22,

原千位為2；

4*2+2=10,原萬位為0；1*4=4,正好。所以，原數最小是102564。

3.在圖4-7所示的豎式中，相同的漢字表示相同的數字，不同的漢字表示不同的數

字.那么符合題意的數“迎春杯競賽贊〃是多少？

分析?：同第10題-?樣，也是利用1/7的特點。因為每個字母代表不同的數字，因

此“好〃只有3和6可選；

好=3,那么：142857*3=428571；好=6,那么：142857*6=857142；兩個都能滿足,所以,

符合題意的數“迎春杯競賽贊〃可能是428571或857142。

(三)定義新運算

定義新運算通常是用特殊的符號表示特定的運算意義。它的符號不同于課本上明確定

義或已經約定的符號，例如“+、-、X、+、、＞、＜〃等。表示運算意義的表達式，通常是

便用四那么運算符號，例如a+b=3a-3b,新運算使用的符號是☆,而等號右邊表示新運算

意義的那么是四那么運算符號。

正確解答定義新運算這類問題的關鍵是要確切理解新運算的意義，嚴格按照規定的法

那么進行運算。如果沒有給出用字母表示的規那么，那么應通過給出的具體的數字表達式,

先求出表示定義規那么的一般表達式，方可進行運算。

值得注意的是：定義新運算一般是不滿足四那么運算中的運算律和運算性質，所以，

不能盲目地運用定律和運算性質解題。

一、例題與方法指導

例1.設ab都表示數，規定aZ^b表示a的4倍減去b的3倍，即aZ\b=4)＜a-3Xb,

試計算5A6,6A5o

解5A6-5X4-6X3=20-18=2

6Z\5=6X4-5X3=24-15=9

說明例1定義的△沒有交換律，計算中不得將△前后的數交換。

例2.對于兩個數a、b,規定a+b表示3Xa+2Xb,試計算(5A6)☆7,S'A(6☆7)o

思路導航:

先做括號內的運算。

解(5☆6)☆7=(5X3+6X2)☆7=27☆7=27X3+7X2=95

5*(6*7)(6X3+7X2)=5☆32=5X3+32X2=79

說明此題定義的運算不滿足結合律。這是與常規的運算有區別的。

例3.2Z\3=2X3X4,4a2=4X5,一般地，對自然數a、b,aAb表示aX(a+l)X…

(a+b-1).

計算(6A3)-(5A2)O

思路導航:

原式=6X7—5義6

=336-30

規定：aA=a+(a+1)+(a+2)+?-?+(a+bT),其中a,b表示自然數。

例4.求1Z\1OO的值。xA10=75,求x.

思路導航:

(1)原式=1+2+3+…+100=(1+100)X100+2=5050

(2)原式即x+(x+l)+(x+2)+…+(X+9)=75,

所以

10X+(l+2+3+???+9)=75

10x+45=75

10x=30

x=3

二、穩固訓練

1.假設對所有b,=aXx,x是一個與b無關的常數；"☆b=(a+b)+2,且(1A3)

☆3=1A(3*3)o

求(1△求的值。

分析注意此題有兩種運算，由(1A3)☆3=1A可求出x.

解因為UA3)☆B=IA(3^3),所以UXx)

即

(x+3)+2=x

x+3=2x

x=3

因為(1A4)*2

=(1X4)*2

=(4+2)4-2

=3

2.如果規定：③=2X3X4,④=3X4X5,⑤=4X5X6,.....,⑨=8X9X10,求⑨+

⑧-⑦+⑥-⑤+④-③的值。

解題思路

依題意可以看出：定義的新運算為連續三個數的乘積，而且，⑤里的數就是三個連續

數中的中間的哪個數，即③是2,3,4三個連續的乘積，④是3,4,5三個連續睡的乘積,

從而不難求出⑨+⑧-⑦+⑥-⑤+④-③的值。

解：原式=8X9X10+7X8X9-6X7X8+5X6X7-4X5X6+3X4X5-2X3X4

二720+504+-339+210-120+60-24

=1014

三、能力提升

答案

(四)雞兔同籠

雞兔同籠問題是指雞與兔同在一個籠中，雞與兔的總頭數以及雞與兔的總足數，求雞

和兔各是多少只的應用題。這種類型題是古代趣題，在現實生活和生產中應用廣泛，有著

十分重要的使用價值。

雞兔問題，也叫簡換問題。解答時，一般采用假設法，即假定全部的只數都是雞或者

是兔，算出假定情況下的足數和實際上的足數和、足數差，然后推算出雞和兔的只數。

訐算時的主要數量關系是：

L如果假定全部是兔，那么

雞的只數二(每只兔的足數X總頭數一總足數)彳(每一只雞與兔足數的差)

簡單理解就是：

雞的只數二(4X總頭數一總足數)?2

兔的只數二總頭數一雞的只數

2.如果假定全部是雞，那么

兔的只數二(總足數一每只雞的足數X總頭數)小(每一只雞與兔足數的差)

簡單寫就是

兔的只數二（總足數一2X總頭數）:2

雞的只數二總頭數一兔的只數

一、例題與方法指導

例1.雞兔同籠，共有100個頭，320只腳，問雞和兔各是多少只？

思路導航:

同看2只腳，兔有4只腳，如果把兔子的兩只前腳用繩子捆起來，當成一只腳，兩只

后腳也用繩子捆起來，當成一只腳，那么兔子和雞一樣，都是2只腳。雞和兔的總腳數就

是100X2=200（只），但比實際320只腳要少320—20腳120（只），為什么會少了120只腳

呢？是因為每只兔子只算一只前腳，一只后腳，而少算了一只前腳和一只后腳。也就是說

每只兔子都少算了兩只腳，一共少算了120只腳，所以兔子應該有120：2=60（只）。

解法一：解法二：

2X100=200（只）4X100=400（只）

320-200=120（只）400-320=80（只）

1204-2=60（只）804-2=40（只）

100-60=40（只）100-40=60（只）

答：雞有40只，兔有60只。

例2.5元紙幣和2元紙幣總張數是200張，它們的總面值是940元，這兩種紙幣各多

少張？

思、路導航:

，仃植設200張紙幣完全是2元，共值：

2X200=400（元）

（2）比實際少：

940—400=540（元）

（3）2元換成5元，每張增加：

5—2二3（元）

（4）5元紙幣有：

5404-3=180（張）

（5）2元紙幣有：

200-180=20（張）

答：有180張5元、20張2元紙幣。

例3.雞兔同籠，雞比兔多25只，腳數共176只，雞、兔各多少只？

思路導航:

假債去掉多的25只雞，那么一共去掉2X25:50（只）腳，那么176—50=126（只）腳

是雞和兔一樣多的腳的總數量，而一對雞兔共有2+4=6（只）腳，可以求出去掉25只雞

以后一共多少對雞和兔，然后再加上去掉的25只雞。

2X25=50（只）

176-50=126（只）

2+4=6（只）

1264-6=21（對）.....雞、兔各21只

21+25=46（只）.....雞的只數

答：雞有46只，兔有21只。

二、穩固訓練

1.雞兔同籠，共有頭90只，腳252只。雞兔各多少只？

2.雞兔同籠，共有頭80只，雞的腳數比兔的腳數多40只，雞兔各多少只？

3.30枚硬幣由2分和5分組成，共值9角9分，兩種硬幣各多少枚？

三、拓展提升

L雞兔共100只，雞的腳數比兔少40只，雞兔各多少只？

2.46人去劃船，一共乘坐10條船，其中大船坐7人，小船坐4人，大、小船各多少條？

3.某車棚共停放三輪車和自行車共39輛，兩種車輪總和96個，三輪車和自行車各多少輛？

（五）行程問題

行程問題是小學奧數中變化最多的一個專題，不管在奧數競賽中還是在“小升初”的

升學考試中，都擁有非常重要的地位。行程問題中包括：火車過橋、流水行船、沿途數車、

獵狗追兔、環形行程、多人行程，等等。每一類問題都有自己的特點，解決方法也有所不

同，但是，行程問題無論怎么變化，都離不開“三個量，三個關系〃：

這三個量是：路程（s）、速度（v）、時間（t）

三個關系：1.簡單行程：路程二速度X時間

2.相遇問題：路程和=速度和X時間

3.追擊問題：路程差=速度差X時間

牢牢把握住這三個量以及它們之間的三種關系，就會發現解決行程問題還是有很多方

法可循的。

①追擊及遇問題

一、例題與方法指導

例L有甲、乙、丙三人同時同地出發，繞一個花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲與

乙、丙相背而行。甲每分鐘走40米，乙每分鐘走38米，丙每分鐘走36米。在途中，甲和

乙相遇后3分鐘和丙相遇。問：這個花圃的周長是多少米？題健是成：

這個三人行程的問題由兩個相遇、一個追擊組成，題目市所給而條件只有三個人的速

度，以及一個“3分鐘〃的時間。

第一個相遇：在3分鐘的時間里，甲、丙的路程和為（40+36]X3=2281米〕第一個追擊:

這228米是由于在開始到甲、乙相遇的時間里，乙、丙兩人的速度差造成的，是逆向的追

擊過程，可求出甲、乙相遇的時間為228+（38-36）=114（分鐘）

第二個相遇：在114分鐘里，甲、乙二人一起走完了全程

所以花圃周長為（40+38）XI14=8892（米）

我們把這樣一個抽象的三人行程問題分解為三個簡單的問題，使解題思路更加清晰。

例2.東西兩地間有一條公路長217.5千米，甲車以每小時25千米的速度從東到西地,

1.5小時后，乙車從西地出發，再經過3小時兩車還相距15千米。乙車每小時行多少千米？

思路導航:

從圖中可以看出，要求乙車每小時行多少千米，關鍵要知道乙車已經行了多少路

程和行這段路程所用的時間。

解：（1）甲車一共行多少小時？1.5+3=4.5（小時）

（2）甲車一共行多少千米路程?25x4.5=112.5（千米）

⑶乙車一共行多少千米路程？217.5-112.5=105（千米）

（4）乙車每小時行多少千米？（105-15）;3=3（）（千米）

答：乙車每小時行30千米。

例3.兄妹二人同時從家里出發到學校去，家與學校相距140（）米。哥哥騎自行車每

分鐘行200米，妹妹每分鐘走80米。哥哥剛到學校就立即返回來在途中與妹妹相遇。從出

發到相遇，妹妹走了幾分鐘？相遇處離學校有多少米？

思路導航:

反畫隔以看出，哥與妹妹相遇時他們所走的路程的和相當于從家到學校距離的2倍。因

此此題可以轉化為“哥哥妹妹相距2800米，兩人同時出發，相向而行，哥哥每分鐘行200

米，妹妹每分鐘行80米，經過幾分鐘相遇？〃的問題，解答就容易了。

解：⑴從家到學校的電離的2倍：距00x2=2800［米）

（2）從出發到相遇所需的時間:2800-（200+80）=10（分）

（3）相遇處到學校的距離：1400-80x10=600（米）

答：從出發到相遇，妹妹走了10分鐘，相遇處離學校有600米。

二、穩固訓練

1.兩城市相距328千米，甲、乙兩人騎自行車同時從兩城出發，相向而行。甲每小時

行28千米，乙每小時行22千米，乙在中途修車耽誤1小時，然后繼續行駛，與甲相遇，

求出發到相遇經過多少時間？

分析:如果乙在中途不停車，那么甲、乙兩人從出發到相遇共行路程的和：328+22x1=350

（千米）,兩車的速度和:28+22=50（千米〃J、時）,然后根據相遇問題“路程和?速度和二相

追時間〃得350-50=7（小時）

解：（328+22x1）.（28+22）

=350-50

=7（小時）

解法2：

（328-22x1）:：28+22）

=300-5-50

=6（小時）

6+1=7（小時）

答：從出發到相遇經過了7小時。

2.快車和慢車同時從甲乙兩地相對開出，快車每小時行40千米，經過3小時快車已

過中點12千米與慢車相遇，慢車每小時行多少千米？

分析：

從圖中可知：快車3小時行的路程40x3=12（）千米，比全程的一半多12千米，全程的一半

是120-12=108千米。而慢車3小時行的路程比全程的一半還少12千米，所以慢車3小時

行的路程是108-12=96千米，由此可以求出慢車的速度。

解：①甲乙兩地路程的一半：40x3-12=108（千米）

②慢車3小時行的路程：108-12=96（千米）

③慢車的速度：964-3=32（千米）

答：慢車每小時行32千米。

3.小華和小明同時從甲、乙兩城相向而行，在離甲城85千米處相遇，到達對方城市

后立即以原速沿原路返回，又在離甲城35千米處相遇，兩城相距多少千米？

分析：

從圖上可以看出，小華和小明兩人第一次相遇時，行了一個全程，小華行了85千米。當小

華和小明第二次相遇時，共行了3個全程，這時小華共行了3個85千米，如果再加上35

千米，相當于小華行了2個全程，甲乙兩地全長也就可以求出來了。

解：（1）甲乙出發到第二次相遇時，小華共行了多少千米？85x3=255（千米）

（2）甲乙兩城相距多少千米？（255+35）;2=29（）:2=145（千米）

答：兩城相距145千米。

三、拓展提升

1.客車和貨車同時從甲、乙兩地相對開出，客車每小時行54千米，貨車每小時行48

千米，兩車相遇后又以原來的速度繼續前進，客車到達乙站后立即返回，貨車到達甲站后

也立即返回，兩車再次相遇時，客車比貨車多行216千米。求甲乙兩站相距多少千米？

分析

如圖，從出發到第二次相遇時，客車和貨車共行3個全程，在這段時間里客車一共比貨車

多行216千米，客車每小時比貨車快54-48=6千米，這樣可以求出行3個全程的時間為

216:6=36小時，由此可求出行一個全程時間：36:3=12小時，因而可以求出甲乙兩站的距

禺。

解：①從出發到第二次是兩車行駛的時間：216-（54-48）=36（小時）

②從出發到第一次相遇所用的時間：36^3=12（小時）

③甲乙兩站的距離：（54+48）xl2=1224（千米）

答：求甲乙兩站相距1224千米。

2.甲、乙、丙三輛車同時從A地出發到B地去，甲、乙兩車速度分別為每小時60千

米和48千米，有一輛迎面開來的卡車分別在他們出發后6小時、7小時、8小時先后與甲、

乙、丙三車相遇。求丙車的速度。

分析：

解答的關鍵是求出卡車的速度，從圖上明顯看出，甲車6小時的行程與乙車7小時的行程

差正好是卡車的速度。再根據速度和、相遇時間和路程三者之間的關系，求出丙車速度。

解：（1）卡車的速度：（60x6-48x7）（7-6）=24-1=24（千米）

（2）AB兩地之間的距離：（60+24）-6=504（千米）

（3）丙車與卡車的速度和：5044-8=64（千米）

（4）丙車的速度：64-24=40（千米/小時）

答：丙車的速度每小時40千米。

3.兩列火車從某站相背而行，甲車每小時行58千米，先開出2小時后，車以每小時62

千米才開出，乙車開出5小時后，兩列火車相距多少千米？

②火車過橋

過橋問題也是行程問題的一種。首先要弄清列車通過一座橋是指從車頭上橋到車尾離橋。

列車過橋的

總路程是橋長加車長，這是解決過橋問題的關鍵。過橋問題也要用到一般行程問題的根本

數量關系：

過橋問題的一般數量關系是：

因為：過橋的路程=橋長+車長

所以有：通過橋的時間=〔橋長+車長）?車速

車速=（橋長+車長）+過橋時間

公式的變形：

橋長=車速X過橋時間一車長

車長=車速X過橋時間一橋長

后三個都是根據第二個關系式逆推出的。

火車通過隧道的問題和過橋問題的道理是一樣的，也要通過上面的數量關系來解決。

一、例題與方法指導

例L一列客車經過南京長江大橋，大橋長6700米，這列客車長1（）0米，火車每分

鐘行400米，這列客車經過長江大橋需要多少分鐘？

思路導航:

從火至實上橋，到火車尾離橋，這之間是火車通過這座大橋的過程，也就是過橋的路程是

橋長+車長。通過“過橋的路程〃和“車速〃就可以求出火車過橋的時間。

(1)過橋路程：6700+100=6800(米)

(2)過橋時間:68004-400=17(分)

答：這列客車通過南京長江大橋需要17分鐘。

例2.一列火車長160米，全車通過440米的橋需要30秒鐘，這列火車每秒行多少

米？

思路導領^

妻想泵次車過橋的速度，就要知道“過橋的路程〃和過橋的時間。

(1)過橋的路程：160+440=600(米)

(2)火車的速度：6004-30=201米)

答：這列火車每秒行20米。

例3.某列火車通過360米的第一個隧道用了24秒鐘，接著通過第二個長216米的

隧道用了16秒鐘，求這列火車的長度？

火車通過第一個隧道比通過第二個隧道多用了8秒，為什么多用8秒呢？原因是第一個隧

道比第二個隧道長360—216=144(米)，這144米正好和8秒相對應，這樣可以求出車速。

火車24秒行進的路程包括隧道長和火車長，減去的隧道長，就是火車長。

(1)第一個隧道比第二個長多少米？

360—216=144(米)

(2)火車通過第一個隧道比笫二個多用幾秒？

24—16=81秒)

(3)火車每秒行多少米？

1444-8=18(米)

(4)火車24秒行多少米?

18X24=432(米)

(5)火車長多少米?

432—360=72(米)

答：這列火車長72米。

二、穩固訓練

1.某列火車通過342米的隧道用了23秒，接著通過234米的隧道用了17秒，這列火

車與另一列長88米，速度為每秒22米的列車錯車而過，問需要幾秒鐘？

思路導航:

通過前兩個條件，我們可以求出火車的車速和火車的車身長。

(342—234)+(23—17)=18］米)……車速

18X23—342=72(米)................車身長

兩車錯車是從車頭相遇開始，直到兩車尾離開才是錯車結束，兩車錯車的總路程是兩個車

身之和，兩車是做相向運動，所以，根據“路程+速度和二相遇時間〃，可以求出兩車錯

車需要的時間。

(72+88)+(18+22)=4(秒)

答：兩車錯車而過，需要4秒鐘。

2.一列火車全長265米，每秒行駛25米，全車要通過一座985米長的大橋，問需要

多少秒鐘？

(265+985)+25=5()(秒)

答：需要50秒鐘。

3.一列長50米的火車，穿過20()米長的山洞用了25秒鐘，這列火車每秒行多少米？

(200+50)4-25=10(米)

答：這列火車每秒行10米。

三、拓展提升

1.一列長240米的火車以每秒3（）米的速度過一座橋，從車頭上橋到車尾離橋用了1

分鐘，求這座橋長多

少米？

1分二60秒

30X60—240=1560（米）

答：這座橋長1560米。

2.一列貨車全長240米，每秒行駛15米，全車連續通過一條隧道和一座橋，共用40

秒鐘，橋長15（）米，

問這條隧道長多少米？

15X40—240—150=210（米）

答：這條隧道長210米。

3.一列火車開過一座長1200米的大橋，需要75秒鐘，火車以同樣的速度開過路旁的

電線桿只需15秒鐘，求火車長多少米？

12004-（75—15）=20（米）

20X15=30（）（米）

答：火車長300米。

4.在上下行軌道上，兩列火車相對開來，一列火車長182米，每秒行18米，另一列

火車每秒行17米，兩列火車錯車而過用了10秒鐘，求另一列火車長多少米？

（18+17）X10—182=168（米）

答：另一列火車長168米。

（六）植樹問題

只要我們稍加留意，都會看到在馬路兩旁一般都種有樹木。細心觀察，這些樹木的問

距一般都是等距離種植的。路長、間距、棵數之間存在著確定的關系，我們把這種關系叫

做“植樹問題〃。而植樹問題，一般又可分為封閉型的和不封閉型的（開放型的）。

不封閉后封閉

封閉型的和不封閉型而植樹問題，區別在于間隔數（段數）與棵數的關系：

1、不封閉型的（多為直線上），一般情況為兩端植樹，如以下圖所示，其路長、間距、

棵數的關系是：

棵數=段數+1=路長+間距+1

但如果只在一端植樹，如右圖所示，這時路長、間距、棵數的關系就是:

棵數二段數:路長0間距

如果兩端都不植樹，那么棵數比一端植樹還要再少一-棵，其路長、間距、棵數的關系

就是：

楔數=段數一I二路長+間距-I____II_U_11____

2、封閉型的情況（多為圓周形），如以下圖所示，那么：

植樹問題的三要素：

總路線長、間距（棵距）長、棵數.

只要知道這三個要素中任意兩個要素，就可以求出第三個.

植樹問題的分類：

⑴直線型的植樹問題⑵封閉型植樹問題⑶特殊類型的植樹問題

一、例題與方法指導

例1有一條公路長1000米，在公路的一側每隔5米栽一棵垂柳，可種植垂柳多少棵？

思路導航:

每扁5米栽一棵垂柳，即以兩棵垂柳之間的距離5米為一段。公路的全長1000米，分

成5米一段，那么里包含有100095=200段。由于公路的兩端都要求種樹，所以要種植的

棵數比分成的段數多1,所以,可種植垂柳200+1=201棵。

例2某一淡水湖的周長1350米，在湖邊每隔9米種柳樹一株，在兩株柳樹中間種植2

株夾枝桃，可栽柳樹多少株?可栽夾枝桃多少株?兩株夾枝桃之間相距多少米？

思墨導版:

,茬面周上植樹時，由于可栽的株數等于分成的段數，所以，可栽柳樹二1350?9=150株;

由于兩株柳樹之間等距離地栽株夾枝桃，而間隔數（段數）為150,所以栽夾枝桃的株數

=2X150=300株；每隔9米種柳樹一株，在兩株夾枝桃之間等距地栽2株夾枝桃，這就變

成兩端都不植樹的情形，即2株等距離栽在9米的直線上，不含兩端，所以，每兩株之間

的距離=96（2+1）=3（米）。

例3一條街上，一旁每隔8米有一個廣告牌，從頭到尾有16個廣告牌，現在要進行調

整，變成每12米有一個廣告牌。那么除了兩端的廣告牌外，中間還有幾個牌不需要移動？

思路導航:

16個廣告牌，每相鄰的兩個廣告牌的間隔為8米，那么共有16-1=15個間隔，這條街

的總K度為8X15=120（米）；現在耍調整為每12米?個廣告牌，那么不移動的牌離端點

的距離一定既是8的倍數，同時也是12的倍數；8X3=12X2=24,也就是說，每24米及其

倍數處的廣告牌可以不需要移動；120+24=5,即段數為5個，但要扣除兩端的2個，所

以，中間不需要移動的有5~1=4個。

事實上，所謂植樹問題只是我們對這一種類型問題的總稱，并不單指植樹問題。例如,

與之類似的還有爬樓（梯