專題26最值模型之費馬點模型

費馬點問題是由全等三角形中的手拉手模型衍生而來，主要考查轉化與化歸等的數學思想，在各類考

試中都以中高檔題為主。本專題就最值模型中的費馬點問題進行梳理及對應試題分析，方便掌握。

【模型背景】皮耶?德?費馬，17世紀法國數學家，有“業余數學家之王”的美譽，之所以叫業余并非段位

不夠，而是因為其主職是律師，兼職搞搞數學.費馬在解析幾何、微積分等領域都有卓越的貢獻，除此之

外，費馬廣為人知的是以其名字命名的“費馬小定理”、“費馬大定理”等.費馬點：三角形內的點到三個

頂點距離之和最小的點。

【模型解讀】

結論1：如圖，點M為A43C內任意一點，連接//、BM、CM,當M與三個頂點連線的夾角為120。時，

MA+MB+MC的值最小。

注意：上述結論成立的條件是△NBC的最大的角要小于120°,若最大的角大于或等于120°,此時費馬點就

是最大角的頂點(這種情況一般不考，通常三角形的最大頂角都小于120。)

【模型證明】以48為一邊向外作等邊三角形A48E,將3M繞點8逆時針旋轉60。得到8N,連接EN.

???△ABE為等邊三角形，.?.4B=2E,MBE=60°.而乙MBN=60°,；./-ABM=cEBN.

AB=BE

在A4MB與△￡N8中，“ZABM=ZEBN，:-AAMBmAENB(SAS).

BM=BN

連接MV.由三八項汨知，AM=EN.?；/LMBN=60°,BM=BN,；ABMN為等邊三角形.

:.BM=MN.：.AM+BM+CM=EN+MN+CM.：.當E、N、M、C四點共線時，/M+3M+CM的值最小.

止匕時，Z5MC=18O°-zA^ffi=120°；UMB=4ENB=180°-乙BNM=120°；

zJA/C=360°-/.BMC-乙4MB=120。.

費馬點的作法：如圖3,分別以A48C的/8、/C為一邊向外作等邊A48E和等邊A4CR連接C￡、BF,

設交點為則點”即為aZBC的費馬點。

【最值原理】兩點之間，線段最短。

結論2：點尸為銳角A48C內任意一點，連接/P、BP、CP,求x/P+yBP+zCP最小值。（加權費馬點）

【模型證明】第一步，選定固定不變線段；第二步，對剩余線段進行縮小或者放大。

如：保持AP不變，xAP+yBP+zCP=y（-AP+BP+^-CP）,如圖，B、P、P2,也四點共線時，取得最小值。

模型特征：PA+PB+PC（尸為動點）

①一動點，三定點；②以三角形的三邊向外作等邊三角形的，再分別將所作等邊三角形最外的頂點與己知

三角形且與所作等邊三角形相對的頂點相連，連線的交點即為費馬點；③同時線段前可以有不為1的系數出

現，即：加權費馬點。

例L（2023?湖北隨州?統考中考真題）1643年，法國數學家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同

一條直線上的三個點B,C,求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數學家和物理學

家托里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點"或"托里拆利點"，該問題也被稱為"將軍巡營"問

題.

⑴下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：（其中①處從"直角"和"等邊"中選擇填空,

②處從“兩點之間線段最短"和"三角形兩邊之和大于第三邊"中選擇填空，③處填寫角度數，④處填寫該三

角形的某個頂點）

當“BC的三個內角均小于120。時，

如圖1,將繞，點C順時針旋轉60。得到“'PC,連接PP,

故尸P=PC,又P'A'=PA,故

PA+PB+PC=PA'+PB+PP'>A'B,

由②可知,當B,P,P',4在同一條直線上時，P4+P8+PC取最小值，如圖2,最小值為H8,此時

的P點為該三角形的“費馬點"，且有ZAPC=ZBPC=ZAPB=⑶：

已知當。3C有一個內角大于或等于120。時，"費馬點"為該三角形的某個頂點.如圖3,若/A4C2120。，

則該三角形的"費馬點”為⑷點.

(2)如圖4,在“BC中，三個內角均小于120。，且/C=3,BC=4,ZACB=30°,已知點P為“BC的"費

馬點"，求尸/+P2+PC的值；

A

⑶如圖5,設村莊/,B,C的連線構成一個三角形，且已知/C=4km,8C=26km,ZACB=60°.現欲

建一中轉站尸沿直線向4B,C三個村莊鋪設電纜，已知由中轉站P到村莊4,B,C的鋪設成本分別為“

元/km,。元/km,也°元/km,選取合適的P的位置，可以使總的鋪設成本最低為元.(結果

用含a的式子表示)

【答案】⑴①等邊；②兩點之間線段最短；③120。；④4(2)5(3)2折。

【分析】(1)根據旋轉的性質和兩點之間線段最短進行推理分析即可得出結論；

(2)根據(1)的方法將繞，點C順時針旋轉60。得到A/'PC,即可得出可知當2,P,P,/在

同一條直線上時，P/+P2+PC取最小值，最小值為在根據乙4。8=30。可證明

NAC4=NA'CP+NBCP+NPCP=90°,由勾股定理求即可，

(3)由總的鋪設成本=a(P/+P8+亞PC),通過將△/PC繞，點C順時針旋轉90。得到"PC,得到等

腰直角APPC,得到回C=PP,即可得出當8,尸，P,/在同一條直線上時，PH+P2+PP取最小值,

即PA+PB+?PC取最小值為A'B,然后根據已知和旋轉性質求出A'B即可.

【詳解】(1)W：;PC=P'C,ZPCP'=60°,

.?.△PCP'為等邊三角形；.-.PP'=PC,NP'PC=NPPC=60。,

又PA'=PA,故PA+PB+PC=PA'+PB+PP'WA'B,

由兩點之間線段最短可知，當B,P,P,N在同一條直線上時，P/+PB+PC取最小值，

最小值為H8,此時的P點為該三角形的"費馬點”，

ZBPC+ZP'PC=180°,NA'PC+NPP'C=180°,.-.ZBPC=120°,ZA'P'C=120°,

又："PC=^A'P'C,NAPC=ZAP'C=120°,

；.NAPB=360°-ZAPC-ZBPC=120°,ZAPC=ZBPC=ZAPB=120°；

■■ZBAC>120°,：.BC>AC,BC>AB,：.BC+AB>AC+AB,BC+AC>AB+AC,

三個頂點中，頂點/到另外兩個頂點的距離和最小.

又???已知當AABC有一個內角大于或等于120。時，"費馬點”為該三角形的某個頂點.

二該三角形的“費馬點”為點/,故答案為：①等邊；②兩點之間線段最短；③120。；④A.

(2)將△4PC繞，點C順時針旋轉60°得到AAP'C,連接尸P,

由(1)可知當3,P,P',/在同一條直線上時，P/+PB+PC取最小值，最小值為48,

?；NACP=ZA'CP',1?.ZACP+ZBCP=NA'CP'+NBCP=NACB=30°,

又???NPCP=60°ZBCA'=ZA'CP'+ZBCP+ZPCP'=90°,

由旋轉性質可知：AC=A'C=3,AB7BC?+4c2=J42+32=5,二尸/+依+尸C最小值為5,

(3)?:總的鋪設成本=PA-a+PB-a+PC/a=a(PA+PB+叵PC)

當尸/+P3+41PC最小時，總的鋪設成本最低，

將△川(2繞，點C順時針旋轉90。得到A/'PC,連接尸P,A'B

由旋轉性質可知：P'C=PC,ZPCP'=ZACA'=90°,P'A'=PA,A'C=AC=4km,

???PP'=6PC，PA+PB+亞PC=P'A'+PB+PF，

當2,P,P',/在同一條直線上時，尸訝+?8+尸口取最小值，即P/+P8+回C取最小值為H8,

過點H作4H13C,垂足為?.?44c3=60。，ZACA'=90°,ZA/CH=30°,

...A'H=^A'C=2km,HC=ylAC2-AH2=A/42-22=273（km），

BH=BC+CH=273+2指=46（km），：.A'B=^AH2+BH2=J（4后+2?=2^/13（km）

PA+PB+6PC的最小值為2Vi?km

總的鋪設成本=取?。+必?。+尸0缶=。（尸工+尸8+行尸0=2舊。（元）故答案為：25a

【點睛】本題考查了費馬點求最值問題，涉及到的知識點有旋轉的性質，等邊三角形的判定與性質，勾股

定理，以及兩點之間線段最短等知識點，讀懂題意，利用旋轉作出正確的輔助線是解本題的關鍵.

例2.（2023,廣東深圳,二模）如圖，是等邊三角形，M是正方形48co對角線2。（不含3點）上任

意一點，BM=BN,NABN=15。（點N在4?的左側），當NA/+8M+CN的最小值為6+1時，正方形的邊

【答案】41

（分析］首先通過SAS判定△，必必會△EWB，得出㈤0=EN,因為ZABD+ZABN=60。，2"=8N,得出RMNB

是等邊三角形，AM+BM+CM^EN+MN+CM,而且為最小值，我們可以得出EC=G+1,作輔助線，過點E

作所12C交C8的延長線于尸，由題意求出/EAF=30。，設正方形的邊長為x,在RtAEFC中,根據勾

股定理求得正方形的邊長為亞.

【詳解】?；"BE為正三角形，；.NABE=60°,AB=BEZNBE=ZABE-ZABN=45°

-：BD是正方形ABCD的對角線，:2ABD=45°ZABD=ZNBE.

BM=BN

在4AMB和4ENB中<ZMBA=NNBE,△AMB^AENB(&4S)AM=EN

AB=EB

在△AffiN中，/ABD+ZABN=60。又?；BM=BN,；.AMBN為等邊三角形，；.MN=BM.

■-AM+BM+CM最小值為V3+1..--EN+MN+CM的最小值為有+1即CE=百+1.

過點,E作EFJ.BC交CB的延長線于尸，可得ZEBF=90°-60°=30°.

設正方形的邊長為X,則EF=；.

22

在RtAEFC,vEF2+FC2=EC2,■■(j)2+(^x+x)2=(V3+1)2

解得x=0(負值舍去)????正方形的邊長為正.故答案為：V2.

【點睛】本題考查了等邊三角形和正方形邊相等的性質，全等三角形的判定，靈活使用輔助線，掌握直角

三角的性質，熟練運用勾股定理是解題的關鍵.

例3.(2023春?江蘇?八年級專題練習)如圖，四邊形ABCD是菱形，A8=6,且乙48c=60°,M是菱形內

任一點，連接/跖BM,CM,則/M+2M+CN的最小值為.

【答案】673

【分析】以AW為邊作等邊AS兒W,以3c為邊作等邊△8CE,如圖，則4BCMSBEN,由全等三角形的對

應邊相等得到Q3NE,進而得到腦V+7VE.當/、M、N、￡四點共線時取最小值/￡.根

據等腰三角形"三線合一”的性質得到AH=EH,根據30。直角三角形三邊的關系即可得出結論.

【詳解】以BM為邊作等邊4BMN,以8c為邊作等邊△8CE,貝！IW=5N=MMBC=BE=CE,

S1BN=LCBE=6O°,:.NBC=KBE,.-.ABCM=ABEN,:.CM=NE,：.AM+MB+CM^AM+MN+NE.當/、M、

N、E四點共線時取最小值NE.?.?/5=8C=8￡=6,UBH=AEBH=6。。,：.BHLAE,AH=EH,乙B4H=30°,：.BH=

^AB=3,AH=^BH=3C，--AE=2AH=6^■故答案為6

【點睛】本題考查了菱形的性質，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質.難度比較大.作出恰當

的輔助線是解答本題的關鍵.

例4.（2023春?湖北武漢?九年級?？茧A段練習）如圖，點M是矩形N3CZ）內一點，且48=5,AD=8,N為

邊3c上一點，連接M4、MD、MN,則K4+MD+MV的最小值為.

【答案】5+473

【分析】將■繞點N逆時針旋轉60。得到V/D'”,連接。MM',然后即可得為等邊三角

形，同理VRW為等邊三角形，接著證明當M。、MM'、三條線段在同一直線上，MM'+M'D'+MN

的值最小，即M4+MD+MN的值最小，過點。必乍Z）'E_LBC于點E,即M4+MD+MN最小值為：D'E,

問題隨之得解.

【詳解】如圖所示，將繞點/逆時針旋轉60。得到V4D'”,連接MM',

根據旋轉的性質有：ND4D'=60°,AD=AD',MD=M'D',

"DD'為等邊三角形，同理V/M，為等邊三角形,

AM=AM'=MM',AD=AD'=DD'=8,：.MA+MD+MN=MM'+M'D'+MN,

，當線段MD'、MM'、MV三條線段在同一直線上，且該直線與8C垂直時，++九W的值最小,

即M4+MD+MV的值最小，如下圖，過點OC作DEL3c于點E,交4D于點尸,

M4+MD+MN最小值為：D'E,在矩形/BCD中，DELBC于點、E,

即可知四邊形物跖是矩形，D'ELAD,BPAB=EF=5,

■■■^ADD'為等邊三角形，D'FlAD,：.AF=FD=14D=4,

D'F=yJD'A2-AF2=4y/3，D'E=EF+D'F=5+473,

++的最小值為5+46，故答案為：5+473.

【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，矩形的性質，等邊三角形的判定定理與性質，勾股定理，垂線段最

短等知識，作出合理的輔助線是解答本題的關鍵.

例5.（2023,廣東廣州??？级＃┢叫兴倪呅?3C。中，點E在邊2C上，連/E,點尸在線段/E上，連

BF,連/C.

D

，/VK//\X、IflyG/

/i\/i/?1ri.#Xj////工

/\\//z\\////

/x./?/^/~\4~\C//B^/F/.i

圖I圖2

⑴如圖1,已知48//C,點E為8C中點，BFLAE.若2E=5,BF=2屈,求"的長度；

(2)如圖2,己知N8=NE,ZBFE=ABAC,將射線/E沿/C翻折交C。于〃，過點C作CG，NC交/〃于

點G.若//CB=45。，求證：AF+AE=AG；

⑶如圖3,已知工NC,若N4CB=3。。,48=2,直接寫出4F+/+C尸的最小值.

【答案】(1)/尸=4(2)見解析(3)2萬

【分析】(1)根據"直角三角形的中線等于斜邊長一半”，可以得到4E=BE=CE=5,再在直角所中,

利用勾股定理求出E尸，則/尸=/石-斯，即可求解；

(2)由題意可得，/C是/GCE的角平分線，且CGL/C,故延長GC交于點“，可證NG=/M,

要證NG=/E+N尸，\^AM=AE+EM,即證明/尸即可，延長3F交/C于N,過E作EP_L4。于

P,先證明A/8NGAE4尸，可以得到NN=EP,再證明四邊形EQCP是正方形，得到EQ=EP="N,接著

證明A/NF會AEQM即可解決；

(3)如圖3,分別以在'和/C為邊構造等邊三角形，構造"手拉手"模型，即可得到A/FC咨所以

CF=MN,FM=AF,則4尸+8尸+C尸=3F+FJW+MN,當B,F,M,N四點共線時，所求線段和的值

最小，利用NB/N=150。，AB=2,AC=AN=2。解A/8N即可解決.

【詳解】(1)-：AB1AC,如圖1,

_______________.D

/.ABAC=90°,E為BC的中點，AE=5,；.AE=BE=EC=5,

■■BFA.AE,.-.ZBFE=9Q°,在RtZiBE尸中，EF=NBE2-BF2=1，■-AF=AE-EF=4■.

(2)證明：如圖2,設射線4E與射線GC交于點由題可設NC4M=/C4G=a,

VACVCG,ZACM=ZACG=90°,ZAMG=ZAGM=90°-a,AM=AG,

???/BFE=ABAC,??./ABF+/BAE=/CAM+/BAE,??./ABF=/CAM=a,

???AB=AE,???/ABE=ZAEB,???/ABF+/FBE=NACB+/CAM,

???/ABF=/CAM=a,//CB=45。，ZFBE=ZACB=45°,延長3/交ZC于N,

:.BN=CN,/BNC=/ANF=90。,過E作于尸，貝lj尸￡=/BAC4=90。，

ZBNA=NAPE

在AABN與AEAP中，｛/ABN=NEAP,"BNAEAP(AAS),AN=EP,

AB=EA

過E作E0LCW于0,.?./EQC=N4CM=NEPC=90。，???四邊形E。。尸為矩形，

?/ZBCM=900-ZACB=45°,ZBCM=ZACB,：.EP=EQ=AN,

??.矩形￡0C尸為正方形，.?./〃E0=/E4N,

'/ME。=/FAN

在△ME。與中，\EQ=AN,AEQM^A^2VF(ASA),AF=EM,

\ZEQM=ZANF=90°

-AM=AE+EM,.'.AG=AE+AF；

(3)解：如圖3,把4c繞點4逆時針旋轉60。得到/N,得到等邊△ZCN,同理以"'為邊構造等邊

/\AFM,

EB匕——■

圖3'

/.AF=AM=FM,AC=AN=CN,ZFAM=ZCAN=60°,

???ZFAM-/MAC=/CAN-ZMAC,??.ZCAF=/NAM,

AF=AM

在與A4W中，IzCAF^ZNAM,AAFC^AAMN（SAS）,

AC=AN

■■,CF=MN,.-.AF+BF+CF=BF+FM+MN,

當B,F,M,N四點共線時，4F+8尸+C尸最小，即為線段BN的長度，如圖4,

過N作NT_LR4交其延長線于T,：.NBTN=90°,

■：AB1AC,.-.ZBAC=90°,-AB=2,ZACB=30°,.-.BC=2AB=4,

■■AC=^BC2-AB2=2A/3.AN=AC^2^3,■■^BAN=ZBAC+ZCAN=150°,

ZTAN=180°-ZBAN=30°,在RMaN中，TN=、AN=C,

2

■■AT=>jAN2-TN2=3>■-TB=TA+AB=3+2=5,BN=yiTN2+TB2=2/7>

AF+BF+CF的最小值為2J7.

【點睛】本題是一道四邊形綜合題，考查了線段的“截長補短"在證明三角形全等中的應用，同時要注意基本

輔助線構造方法，比如第（2）問中的線段/C既是角平分線，又是垂線段，延長相交構等腰就是本題的突

破口，再結合線段的截長補短來構造全等，還考查了多條線段和的最值問題，利用旋轉變換來轉化線段是

解決此間的關鍵.

例6.（2023.河南四模）閱讀材料：平面幾何中的費馬問題是十七世紀法國數學家、被譽為業余數學家之王

的皮埃爾?德?費馬提出的一個著名的幾何問題.1643年，在一封寫給意大利數學家和物理學家托里拆利的私

人信件中，費馬提出了下面這個極富挑戰性和趣味性的幾何難題，請求托里拆利幫忙解答：給定不在一條

直線上的三個點4B,C,求平面上到這三個點的距離之和最短的點尸的位置.托里拆利成功地解決了費

馬的問題.后來人們就把平面上到一個三角形的三個頂點4B,C距離之和最小的點稱為A/5C的費馬-托

里拆利點，也簡稱為費馬點或托里拆利點.問題解決：

（1）費馬問題有多種不同的解法，最簡單快捷的還是幾何解法.如圖1,我們可以將△8PC繞點8順時針

旋轉60。得到A3DE,連接PD,可得△APD為等邊三角形，故PD=PB,由旋轉可得。E=PC,因

PA+PB+PC=PA+PD+DE,由_可知，P/+P8+PC的最小值與線段_的長度相等；

（2）如圖2,在直角三角形4BC內部有一動點尸，NA4c=90。，乙4c2=30。，連接PN,PB,PC,若/3=2,

求P/+P2+PC的最小值；（3）如圖3,菱形/BCD的邊長為4,UBC=60。,平面內有一動點E,在點￡運

動過程中，始終有N8EC=90。，連接4E、DE,在AADE內部是否存在一點P,使得PN+PA+PE最小，若存

在，請直接寫出P/+PD+PE的最小值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)兩點之間，線段最短；AE；(2)2療；(3)存在，2岳-2

【分析】(1)連接NE,由兩點之間線段最短即可求解；

(2)在放AIBC中先求出4C,將ABPC繞點C順時針旋轉60。得到△(?￡)￡,連接尸￡＞、AE,由兩點之間線

段最短可知，P/+P2+PC的最小值與線段/￡的長度相等，根據勾股定理即可求解；

(3)在/XADE內部取一點尸，連接尸4、PD、PE,把△取￡＞饒點。順時針旋轉60。得到△/GD,根據旋轉

的性質和兩點之間線段最短可知，P/+PD+PE的最小值與線段GE的長度相等，再根據圓的特點、菱形與勾

股定理即可求出GE,故可求解.

【詳解】(1)連接4E,如圖，由兩點之間線段最短可知，P4+P5+PC的最小值為線段/￡的長

故答案為：兩點之間線段最短；AE；

圖1

(2)?.?在/ZL48C中，N3NC=90°,々C3=30°,AB=2

；.BC=2AB=4由勾股定理可得心JBC?-//=26

如圖2,將aBPC繞點C順時針旋轉60。得到△CDE,連接PD、AE,可得△CP。為等邊三角形，乙BCE=60°

A

Pl

B

：.PD=PC由旋轉可得?！?P8,C￡=5C=4.-.PA+PB+PC=PA+DE+PD

由兩點之間線段最短可知，PA+PB+PC的最小值與線段/￡的長度相等

?.?ZJCE="C3+Z5c￡=30°+60°=90°.?.在RtAACE中，AE=^AC2+CE2=2幣

即PA+PB+PC的最小值為2將；

(3)存在在A/DK內部是否存在一點尸，使得P/+PD+PE最小，

如圖3,在ZUOE內部取一點P,連接上4、PD、PE,把饒點。順時針旋轉60。得到△尸G。，連接

PF、GE、AG,可得△2￡＞「、ZUDG均為等邊三角形

：.PD=PF由旋轉可得PA=GF

.■.PA+PD+PE=GF+PF+PE,兩點之間線段最短可知，PA+PD+PE的最小值與線段GE的長度相等

???A8EC=90。.■.點E在以8C為直徑的。。上，如圖3貝！|O8=OC=13C=2

2

如圖3,連接OG交OO于點〃，連接CG交/。于點K,連接/C,則當點E與點〃重合時，G￡取最小值,

即PA+PD+PE的最小值為線段GH的長

?菱形ABCD的邊長為4,/,ABC=60a：.AB=BC=CD=AD=4

；.AABC、AACD均為等邊三角形；.AC=CD=AD=DG=AG=4,乙4c慶乙4CD=60。

???四邊形/CZ）G是菱形，乙4CG=g乙4。。=30。.-.CG,互相垂直平分

：QK=yAD=2.,.根據勾股定理得CK=JCD2-DK2=2G--CG=2CK=46

?.?z<9CG=A4C5+Z^CG=60°+30o=90°.-.^Rt/^OCG中,OG=VoC2+CG2=2而

■：OH=OC=1：.GH=OG-OH=2V13-2即PA+PD+PE的最小值為2岳-2.

【點睛】此題主要考查四邊形與圓綜合的最短距離，解題的關鍵是熟知旋轉的性質、圓周角定理及兩點之

間的距離特點.

例7.（2023?江蘇??？既＃┤鐖D，四個村莊坐落在矩形N8C。的四個頂點上，/8=10公里，BC=15公

里，現在要設立兩個車站E,F,則區4+座+￡〃+尸。+即的最小值為公里.

【答案】15+106

【分析】將A4E8繞A順時針旋轉60°得AAGH,連接BH、EG,將△DFC繞點D逆時針旋轉60。得到

4DFM,連接CM、FM、FF,如圖2,此;時￡77、EF、尸N共線，K4+EB+EF+FC+FD是最小值,利用旋轉

的性質和等邊三角形的性質，相加即可得出結論.

【詳解】解：如圖1,將繞4順時針旋轉60。得△/G”,連接8"、EG,將△0PC繞點。逆時針旋轉

60。得到△。尸跖連接CM、FF,

圖1

由旋轉得：AB=AH,AE=AG,乙EAG=^BAH=60°,BE=GH,

；&EG和ZU3”是等邊三角形，.?./E=EG,

同理得：△￡>"'和△￡>CM是等邊三角形，DF=FF,FC=FM,

:?當H、G、E、F、F、M在同一條直線上時，E4+EB+EF+FC+FD有最小值,如圖2,

圖2

■：AH=BH,DM=CM,是48和CD的垂直平分線，：.HMLAB,HMLCD,

"AB=10,.-.AABH的高為5石，

.■.EA+EB+EF+FC+FD=EG+GH+EF+FF'+F'M=HM=15+50+56=15+106，

則E4+￡2+EF+PC+ED的最小值是（15+10行）公里.故答案為：（15+106）.

【點睛】本題考查了矩形的性質和最短路徑問題，旋轉的性質和等邊三角形的性質，確定最小值時點E和尸

的位置是本題的關鍵，利用全等、勾股定理求其邊長，從而得出結論.

例8.（2023下?陜西西安?九年級?？茧A段練習）問題探究

將幾何圖形按照某種法則或規則變換成另一種幾何圖形的過程叫做幾何變換.旋轉變換是幾何變換的一種

基本模型.經過旋轉，往往能使圖形的幾何性質明白顯現.題設和結論中的元素由分散變為集中，相互之

間的關系清楚明了，從而將求解問題靈活轉化.

融+28+尸。的最小值.

方法分析：通過轉化，把由三角形內一點發出的三條線段（星型線）轉化為兩定點之間的折線（化星為

折），再利用"兩點之間線段最短"求最小值（化折為直）.

問題解決：如圖2,將△8PN繞點8逆時針旋轉60。至連接PP、AC,記A'C與交于點、D,易

知BA'=BA=BC=1,ZA'BC=NA'BA+NABC=120°.由BP'=BP,ZP'BP=60°,可知中BP為正三角形，

有PB=P'P.

^LPA+PB+PC=P'A+P'P+PC>A'C=y/3.因止匕，當/'、p、尸、c共線時，PN+尸8+尸C有最小值是火.

學以致用：（1）如圖3,在“8C中，NA4c=30。,/2=4,。=3,「為448。內部一點，連接P4PB、PC,

則尸/+P5+PC的最小值是.（2）如圖4,在。中，/BAC=45。,AB=26,CA=3,P為—BC內

部一點，連接尸4PB、PC,求行P/+P8+PC的最小值.

【答案】（1）5（2）亞

【分析】⑴將△4PC繞點A逆時針旋轉60。得到△回￡,易知“FP是等邊三角形，ZEAB=90°,轉化為

兩定點之間的折線（化星為折），再利用"兩點之間線段最短"求最小值（化折為直）.（2）將A4尸8繞點A逆

時針旋轉90。得到易知是等腰直角三角形，NE48=135。，作交2/的延長線于

H.轉化為兩定點之間的折線（化星為折），再利用"兩點之間線段最短"求最小值（化折為直）.

【詳解】（1）解：如圖3中，

小'、

將LAPC繞點A逆時針旋轉60°得到A4FE，,AP=AF,NBAF=NCAE=60°,

是等邊三角形，AEAB=90°,在中，BE=J/爐+AB?=5，

■;PA+PB+PC=EF+FP+PB>BE,PA+PB+PC>5,P/+P8+PC的最〃、值為5.故答案為5.

(2)如圖4中，

將尸8繞點A逆時針旋轉90。得到△/尸E,.?.4F=/P,NFAP=NBAE=90。,

.?.△/燈是等腰直角三角形，；./區48=135。，作EHL2/交24的延長線于7/.

在RtZXEN”中，ZH=90°,AEAH=45°,AE=AB=272/.EH=AH=2,

在RtZXEHC中，EC=yll2+52=V2942PA+PB+PC=FP+EF+PC>CE，

■-41PA+PB+PC2區,■-6PA+PB+PC的最小值為V29.

【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定，兩點之間線段最短時

的位置的確定，解本題的關鍵是確定取最小值時的位置.

課后專項訓練

1.（2022?宜賓?中考真題）如圖，A/BC和A4DE都是等腰直角三角形，NBAC=NDAE=90。，點、D是BC

邊上的動點（不與點3、C重合），DE與AC交于點F,連結CE.下列結論：①BD=CE；

4

②ZDAC=NCED；③若BD=2CD,則——=—；④在AZBC內存在唯一一點尸，使得尸/+PB+PC的值

AF5

最小,若點。在/尸的延長線上，且NP的長為2,則CE=2+VL其中含所有正確結論的選項是（）

C.①③④D.①②③④

【答案】B

【分析】證明之即可判斷①，根據①可得4〃）8=//EC,由//OC+N/EC=180。可得

4，C,E四點共圓，進而可得乙EUC=NOEC,即可判斷②，過點A作/GL8C于G,交助的延長線于點

CF4

H,證明AE4"SAFCE,根據相似三角形的性質可得F=即可判斷③，將△/PC繞A點逆時針旋轉

60度，得到△/QP,則“尸尸是等邊三角形，根據當9,P,P,C共線時，尸/+尸5+尸。取得最小值，可得

四邊形/OCE是正方形，勾股定理求得。尸，根據。￡=/。=/尸+尸。即可判斷①.

【詳解】解：：A/3C和A/DE都是等腰直角三角形，ABAC=ZDAE=90°,

AB=AC,AD=AE,ZBAD=ZCAE.?.△BAD咨4CAE2。=CE故①正確；

AB4D知C4EZADB=ZAECNNOC+NNEC=180°，42C,E四點共圓，

?.?CO=CD4c=/D￡C故②正確；如圖，過點A作NG,2c于G,交E。的延長線于點X,

B

ABAD知CAE,；.NACE=ZABD=45°,ZACB=45°ADCE=90°FC//AH

r)c1CD1

vBD=2CD,BD=CEtmZDEC=——=-,—=-

CE2BC3

設5C=6Q,則。。=2Q,AG=-BC=3a,EC=2DC=4。貝ljGO=GC—DC=3。-2。二。

2

GDI

FC//AH：.tan”=——=一:.GH=2GD=2aAH=AG+GH=3a+2a=5a

GH2

,cCFCECF4a4n,CF4生廠、-

.〔AE4HsAFCE.?.二；=『==則下?=［；故③正確

AFAHAF5a5AF5

如圖，將A4BP繞A點逆時針旋轉60度，得到△4BF,貝葭4PP'是等邊三角形，

PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC>B'C,當B',P,P,C共線時，P/+PB+PC取得最小值，

止匕時ZCPA=180°-NNPP=180°—60°=120°,乙4PB=ZAP'B'=1SQ°-ZAP'P=180°-60°=120°,

ZBPC=360°-ZBPA-NAPC=360°-120°-120°=120°,此時NAPB=NBPC=NAPC=120°,

AC=AB=AB',AP=AP',NAPC=NAP'B',:.AAP'B&APC,PC=P'B'=PB,

■：ZAPP'=ZDPC=60°,:.DP平分NBPC,PD±BC,

?.?4D,C,E四點共圓，ZAEC=ZADC=90°,

又4D=DC=BD,ABAD知CAE,AE=EC=AD=DC,則四邊形4）CE是菱形，

又/4DC=90。，.,.四邊形ADCE是正方形，

ZB'AC=ZB'AP'+APAC+AP'AP=90°+60°=l50°,

則8'/=8/=/C,AB'=AACB'=1（180°-AB'AC}=15°,

ZPCD=30°,DC=43PD,■-DC=AD,AP=2,

2

則/尸=/￡）-￡）尸=（若一1）Z）P=2,:必=忑~^=拒+\,

AP=2,CE=AD=AP+PD=y/3+3,故④不正確，故選B.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，費馬點，圓內接四邊形的性質，相似三角形的性質與判定，全等三角形

的性質與判定，勾股定理，解直角三角形，正方形的性質與判定，掌握以上知識是解題的關

2.（2023?成都實外九年級階段練習）如圖，在。3c中，NCAB=90°,AB=AC=1,P是“8C內一點，

求尸/+尸8+PC的最小值為.

【分析】將41PC繞點C順時針旋轉60。得△。尸C,可得PC=PF,DF=AP,將P/+P8+PC轉化為

FD+BP+PF,此時當8、P、F、。四點共線時，P4+P8+PC的值最小，最小值為8D的長；根據勾股

定理求解即可.

【詳解】解：將A4PC繞點C順時針旋轉60。得△。/C,連接PRAD.DB,過點。作?！?民4,交助的

延長線于點E；；.4P=DF,4PCF=UCD=60°,PC=FC,AC=CD,

???△PCRZUCZ）是等邊三角形，.?.尸C=PRAD=AC^1,。4c=60。

:.PA+PB+PC=FD+BP+PF,

.??當2、P、F、。四點共線時，尸/+P8+PC的值最小，最小值為AD的長；

?；NCAB=90°,ACAD=6Q°,:"AD=30。,

DE=--AD=—,AE=VAD2—ED2=,

222

■-BE=\+—,:.BDZBE2+DE?="+后,

22

PA+PB+PC的值最小值為a*五.故答案為：&也

22

4：，—"序

v*

/I

/

BT-.......-.........—,C

【點睛】本題考查費馬點問題，解題的關鍵在于將A4PC繞點C順時針旋轉60。得△。尸C,將三條線段的長

轉化到一條直線上.

3.（2023?廣東廣州?一模）如圖,在出入48。中，4BAC=90°,AB=AC,點P是邊上一動點，作PD1BC

于點。，線段4D上存在一點0,當Q/+Q2+QC的值取得最小值，且/。=2時，則如=________.

A

C

【答案】3+V3

【分析】如圖1,將△BQC繞點3順時針旋轉60。得到△2NA1,連接0N,當點/，點0,點N,點〃■共線

時，Q/+02+0C值最小，此時，如圖2,連接MC,證明/〃垂直平分BC,證明40=8。，此時尸與。重

合，設PD=x,則。0=x-2,構建方程求出x可得結論.

【詳解】解：如圖1,將繞點2順時針旋轉60。得到△BMW,連接。N,

2（尸）

：.BQ=BN,QC=NM,乙QBN=60°,.?.△5QN是等邊三角形，

■■.BQ=QN,.-.QA+QB+QC=AQ+QN+MN,

二當點/，點0,點N,點/共線時，0N+Q8+QC值最小，此時，如圖2,連接

?.?將△?℃繞點8順時針旋轉60。得到."。"可，BC=BM,4QBN=60°=4CBM,

???△8QN是等邊三角形，&CBM是等邊三角形，；/BQN〃BNQ=60°,BM=CM,

■：BM=CM,AB=AC,,???垂直平分8C,"AD1BC,乙BQD=60。,：.BD=^QD,

"B=AC,4B4C=90°,ADLBC,：.AD=BD,此時P與。重合，設尸D=x,則。Q=x-2,

.1.x=tan60°x（x—2）=^3（x—2）,.\r=3+百，.■.尸￡>=3+百.故答案為：3+*）.

【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質，旋轉的性質，等邊三角形的判定和性質，解題的關鍵是

正確運用等邊三角形的性質解決問題，學會構建方程解決問題.

4.（2019?湖北武漢?中考真題）問題背景：如圖，將A4BC繞點A逆時針旋轉60。得到AIDE,DE與BC交

于點P,可推出結論：PA+PC=PE

問題解決如圖，在AMNG中，MN=6,ZM=15°,MG=4^/L點。是AMNG內一點，則點。到AMNG

三個頂點的距離和的最小值是

rE

A

——\fp、C/*0\

DN乙----------

【答案】2屈

【分析】如圖，將△MOG繞點M逆時針旋轉60。，得到△MPQ,易知△MOP為等邊三角形，繼而得到點。

到三頂點的距離為：ON+OM+OG=ON+OP+PQ,由此可以發現當點N、。、P、Q在同一條直線上時，

有ON+OM+OG最小，此時，ZNMQ=75o+60o=135°,過Q作QA_LNM交NM的延長線于A,利用勾股定

理進行求解即可得.

【詳解】如圖，將△MOG繞點M逆時針旋轉60。，得到△MPQ,

顯然△MOP為等邊三角形，.?.OM+OG=OP+PQ,

.,.點。到三頂點的距離為：ON+OM+OG=ON+OP+PQ,

二當點N、0、P、Q在同一條直線上時，有ON+OM+OG最小，此時，ZNMQ=75o+60°=135°,

過Q作QA1NM交NM的延長線于A,則NMAQ=90。，.-.zAMQ=180°-ZNMQ=45,,,

???MQ=MG=4收，.-^（1=AM=MQ?cos450=4,

■1.NQ=^AN2+AQ2=7（4+6）2+42=2729,故答案為2月.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，最短路徑問題，勾股定理，解直角三角形等知識，綜合性較強，有一定

的難度，正確添加輔助線是解題的關鍵.

5.（2023?重慶?九年級專題練習）如圖，MBC中，NBAC=30。且AB=AC,P是底邊上的高A”上一點.若

AP+BP+CP的最小值為2a,貝!]BC=.

【答案】V6-V2

【分析】如圖將4ABP繞點A順時針旋轉60。得到AAMG.連接PG,CM.首先證明當M,G,P,C共線時,

PA+PB+PC的值最小，最小值為線段CM的長，想辦法求出AC的長即可解決問題.

【詳解】如圖將4ABP繞點A順時針旋轉60。得到aAMG.連接PG,CM.

?；PA=PA,???△BAP^ACAP(SAS),.?.PC=PB,

?.-MG=PB,AG=AP,NGAP=60。，???△GAP是等邊三角形，

.■.PA=PG,：.PA+PB+PC=CP+PG+GM,

.?.當M,G,P,C共線時，PA+PB+PC的值最小，最小值為線段CM的長，

???AP+BP+CP的最小值為2亞，；.CM=20,

??1ZBAM=60°,ZBAC=30°,.?ZMAC=90°,；.AM=AC=2,

作BN1AC于N.貝l|BN=，AB=：L,AN=5CN=2-6,

???BC=^BN2+CN2=Jl2+(2-73)2=V6-亞?故答案為76-72.

【點睛】本題考查軸對稱-最短問