有理數的簡便計算-七大題型

【知識點1歸類法】

運用加法交換律、結合律歸類加減，將同類數（如正數或負數）歸類計算，如整數與整數結合、

如分數與分數結合、同分母與同分母結合等.

【題型1歸類法】

【例1】（普陀區校級期中）計算：8+（-1夕-5-（―；）.

【變式1-1】（徐匯區校級期中）計算：-2"2g613g

【變式1-2］（青浦區期中）計算：2.03-1、焉

【變式1-3］（和平區校級月考）計算：

⑴一（-3（）+（一4）+（-29+（+/.25）-43

（2）-5計（—9令+0+（—3》

【知識點2湊整法】

將相加可得整數的數湊整，將相加得零的數（如互為相反數）相消.

【題型2湊整法】

【例2】(普陀區期末)計算：3.43-21+6.57-5(.

【變式2-1】(濟南期末)計算：(-3.2)+12.5+(-16.8)-(-2.5).

【變式2-2](上蔡縣月考)計算：

(1)2^+2什(-59-(-5|).

(2)3.75+(-5.18)-(-2.25)+5.18.

【變式2-3】(石景山區校級期中)計算：(-12.7)-(-5f)-87.3+31.

【知識點3逆向法】

主要是將式子中的一些小數、帶分數、分數互相轉化，然后將乘法分配率逆向使用，從而使

得計算變得更加簡單.

【題型3逆向法】

【例3】(紅谷灘區校級期中)用簡便方法計算

一3x(-92)+(-px34；+.x23^.

【變式3-1】(蘭山區月考)25x"5x.25X-)

【變式3-2](紅谷灘區校級期中)用簡便方法計算：

(1)(-9)X3嗯-(-8)X(-3*)-(-16)X3*;

(2)99gx(-36).

【變式3-3](紅谷灘區校級期中)簡便計算

「48)X0』25+48xg(-48)x$

【知識點4拆項法】

將一個數拆分成兩個或兩個以上數和的形式，再利用加法交換律、結合率或者利用乘法分配

率從而使得計算變得簡潔.

【題型4拆項法】

【例4】(安陸市期中)閱讀下面的計算過程，體會“拆項法”

計算：-51(-9令+”：+(—3"

解:原式=[(-5)+(-9)+17+(-3)]+[(-|)+(-$+：+(一；)]=。+(-4)=(-1今

啟發應用

用上面的方法完成下列計算：（-3《）+（-1g）+2：—（2：）

【變式4-1］（鐵西區期末）計算：1.5-（-49+3.75-（+8”

【變式4一2】（浦東新區期中）計算:5.2泊.

【變式4-3】（涼山州期末）：（—202/}+（—20229+4044+（—今.

【知識點5組合法】

找出規律，重新組合，然后通過約分或抵消簡化題目.

【題型5組合法】

【例5】（南開區期中）計算：-1+2-3+4-5+6+--97+98-99=.

【變式5-1］（襄汾縣期中）計算：1+2-3-4+5+6-7-8+.....+2013+2014-2015-2016

【變式5-2］（工業園區月考）計算1+（-2）+3+（-4）+......+97+（-98）+99+（-100）

的值為（）

A.50B.-50C.101D.-101

【變式5-3］（工業園區月考）計算：

（1）1-3+5-7+9-11+―+97-99；

(2)I—.......-1+1—.......—\-I-.......Li

'102101''103102''103101'

【知識點6裂項相消法】

將一個數拆分成兩個或兩個以上數和的形式，再利用加法交換律、結合率或者利用乘法分配

率從而使得計算變得簡潔.

【題型6裂項相消法】

【例6】（嘉定區期末）【閱讀材料】問題：如何計算與+白+與+…+焉呢？小紅帶領

的數學興趣小組通過探索完成了這題的計算.他們的解法如下：

解：

原式=（I-9+?一令+

_19

一20

根據閱讀材料，請你完成下列問題：

（1）計算：+--卜5；］?；

1XuJXDJX/

（2）直接寫出結果：/4+&+￡+/=/；（不需要計算過程）

j15jjOJ99--11--

（3）計算?—__卜—__I-------1---1-----------

口異?/X5十5x9十9x73十十2017x202,

【變式6-1］（遂寧期末）請先閱讀下列一組內容，然后解答問題:

1,1111_

先觀察下列等式:____7_

1x2292x323x44^,9x10~9~7d

將以上等式兩邊分別相加得:白+/+￡+…+嬴=+（19+（卜令+…+,一分=

l~l+l-4+'"+9~W=1-W=W

然后用你發現的規律解答下列問題：

（1）猜想并寫出:1_11_

□(□-7)——n—；

（2）直接寫出下列各式的計算結果:

7_L7_L7_LI12010

=/x22x33x42010x2011—2011一'

/)----------+…H-------=---?

—X22x33x4□(□+；)—□+/—'

（3）探究并計算:---1----1----F???H--------

2x44x66x82012x2014

【變式6-2】（虹口區期末）先閱讀，再答題

2_3-112_5-3_112_7-5_112_9-7_11

5-7x5—75-3x5~3~5935~~5x7~~5~7963~7x9~7~9.........

根據你發現的規律，試寫出

⑴而0-0；

(2)2_1_____1_

□(□+2)——H一口+2—；

2.2.2.2.2.2.2

計算:II

315356399143195,

【變式6-3］（高安市期中）閱讀下面的文字，完成解答過程.

⑴￡=1—55=￡V則2。。7；2。。8=—卷一募一’并且用含有〃的式子

表示發現的規律.

（2）根據上述方法計算：-7^3+-^-7+-7^-z+--F

1XjJXJJX/ZUU3XZUU/

（3）根據（1）,（2）的計算，我們可以猜測下列結論：『貴）（其

中〃，%均為正整數），并計算￡+￡+￡+.??+號麗?

【題型7倒數求值法】

【例7】（城廂區校級月考）先閱讀理解，再回答問題

>?/1、,2112、

計算：（一面）+（］―記+彳_?.

解：（方法一）原式=

（一/）+?+:）+（—？一令］=（_［）+?_1

一3

=-方

（方法二）原式的倒數為（—5+：—［）+（―$=6—《+'一$x（—30）

=-20+3-5+12

=-10.

故原式=_'

請閱讀上述材料，選擇合適的方法計算：-,掾+^-3）.

【變式7/】（南開區期中）（-f+TF-9.

【變式7-2］（寬城縣期末）閱讀下列材料:

計算：力GT+分

1,1111.,17。11

解法一：原式+-+—+—=—xo3----x4+—X12=—

4241224242424

解法二:原式=（+（>x）=x=—1x/61=-?

244

解法二：原式的倒數=（：-；+￡）+，=（.—；+/）x24=gx2424+\x24=4.

、3412,24、3412,3412

所以原式=；.

4

（1）上述得到的結果不同，你認為解法—是錯誤的；

（2）計算：*36=；

（3）請你選擇合適的解法計算：（—高）+C+（—5—捺），

【變式7-3］（懷安縣期末）先計算，再閱讀材料，解決問題：

（1）計算：6+JY）X12

462

（2）選擇合適的方法計算：（一《）++

4201437

有理數的簡便計算-七大題型（解析版）

【題型1歸類法】

【例1】（普陀區校級期中）計算：8+（-1夕-5-.

【分析】根據加法交換律、加法結合律，求出算式的值即可.

【解答】解：8+（-1^）-5-（―；）

44

—（8-5）+［（-1^）-（一夕］

=3+（—^）

=2r

【變式1-1】（徐匯區校級期中）計算：-2：+2二+69-3：

31243

【分析】利用有理數的加減混合運算，進行計算即可.

【解答】解：原式=（―2：—3：）+2二+6；

'33，124

=-6+6，+2=

412

【變式1-2］（青浦區期中）計算：2；+0.3-4+%

【分析】運用加法交換律和結合律計算.

【解答】解：原式=2什5—

【變式1-3］（和平區校級月考）計算：

⑴一（-3，）+（-79+（-2*）+（+/.25）-4%

（2）-5|+（-9|）+/7|+（-3^）.

【分析】（1）根據有理數加減混合運算和加法結合律計算即可;

（2）根據有理數加減混合運算和加法結合律計算即可.

【解答】解：(1)一(―3')+(―/：)+(―2()+(+/,25)—4：

=3￡―1，2￡+卜4(

=(3短25)+(-[+*

=1-4(

=--2-5-

8，

(2)-5.(-9令+〃；+(-33)

=(-號-￥)+(出一3夕

=-15什14：

=-I%-

【題型2湊整法】

【例2】(普陀區期末)計算：3.43-2]+6.57-55.

【分析】先運用加法的交換結合律進行簡便計算，再進行最后的減法運算.

【解答】解：3.43-2|+6.57-51

=(3.43+6.57)-(2|+5|)

=10-8

=2.

【變式2-1】(濟南期末)計算：(-3.2)+12.5+(-16.8)-(-2.5).

【分析】根據有理數加減法放入法則進行計算即可.

【解答】解：原式=(-3.2)+12.5+(-16.8)+2.5

=[(-3.2)+(-16.8)]+(12.5+2.5)

=-20+15

=-5.

【變式2-2](上蔡縣月考)計算：

(1)2|+2^+(-59-(-5|).

(2)3.75+(-5.18)-(-2.25)+5.18.

【分析】(1)先將加減統一為加法，再利用加法的交換律與結合律進行計算即可;

(2)先將加減統一為加法，再利用加法的交換律與結合律進行計算即可.

【解答】解：⑴2/2升(-5?-(-51)

=2|+2Z_5Z+5|

=(2|+5|)+(2；-5少

=8-3

=5；

(2)3.75+(-5.18)-(-2.25)+5.18

=3.75-5.18+2.25+5.18

=(3.75+2.25)+(5.18-5.18)

=6.

【變式2-3】(石景山區校級期中)計算：(-12.7)-(-51)-87.3+3(

【分析】根據有理數的加減法法則進行計算即可得出結果.

【解答】解：(-12.7)—(―'5：)—87.3+3：

23

=-12.7+5j-87.3+3^

=(-12.7-87.3)+(51+31)

=-100+9

=-91.

【題型3逆向法】

【例3】(紅谷灘區校級期中)用簡便方法計算

22323

x(-92)+(-|)x+|X23|.

【分析】先根據同號得正異號得負進行符號運算，然后逆運用乘法分配律，提取余并利用

加法結合律計算，最后進行有理數的乘法運算即可得解.

2323

X3

-9X2

【解答】解：--x(-92)+95-

5-9-

=￡X92-^x34|+fx23|,

=3x(92-34^+23|),

=-x(92-11),

9

=沁1，

=18.

【變式3-1】(蘭山區月考)25x；—25x1+25X(-今

424

【分析】逆運用乘法分配律進行計算即可得解.

【解答】解：25x；—25x：+25X(―；)

424

=25Xd-L-L)

424

=25X0

=0.

【變式3-2](紅谷灘區校級期中)用簡便方法計算：

(1)(-9)X3*一(-8)X(-3既)-(-16)X3%；

(2)99Mx(-36).

【分析】(1)原式逆用乘法分配律計算即可得到結果；

(2)原式變形后，利用乘法分配律計算即可得到結果.

【解答】解：(1)原式=3*x(-9-8+16)

=3*x(-1)

=-3聯

(2)原式=(100-^)X(-36)

=100X(-36)--X(-36)

72

=-3600+2-

=-35994

【變式3-3](紅谷灘區校級期中)簡便計算

(-48)X0.125+48x?+(—48)X1

8vy4

【分析】利用乘法的分配律先提取48,再進行計算即可得出答案;

【解答】解：(-48)X0.125+48x〃+(-48)X」

84

=0.

【題型4拆項法】

【例4】(安陸市期中)閱讀下面的計算過程，體會“拆項法”

計算：-5(+(-9今+〃；+(—3今.

解：原式=[(-5)+(-9)+17+(-3)]+[(-?+(-$+：+(-1)]=0+(-7=(一I：)

啟發應用

用上面的方法完成下列計算：(一3力+(—7g)+2：-(2§

【分析】將原式利用“拆項法”得出原式=(-3-1+2-2)+(—《-，：—夕，再根據

有理數的加減運算法則計算可得.

【解答】解：原式=(-3-1+2-2)+(―W+；?

=-4+(-?)

【變式4-1](鐵西區期末)計算：1.5-(-4夕+3.75-(+8”

【分析】根據有理數的加減運算法則即可求出答案.

【解答】解：原式=1+：+4+，+3+；-8-：

2442

=-7+8

=1.

【變式4-2】(浦東新區期中)計算：5^-2；+；.

364

【分析】可按法則從左往右算求出結果；亦可把帶分數寫成整數與分數和的形式，再利用

加法的交換律和結合律，把整數與分數分別相加.

【解答】解：原式=5+:—2—：+；

364

(5-2)+364

=3+(、豈+力

=3+(

=3%

【變式4-3】(涼山州期末)：(一202-)+(—20229+4044+(—§.

【分析】寫成幾個整數的和以及幾個分數的和即可.

【解答】解：原式=[(-2021)+(―1)]+[(-2022)+(―^)]+4044+(一夕

=(-2021-2022+4044)+

777

=1+(-1)

=0.

【題型5組合法】

【例5】(南開區期中)計算：-1+2-3+4-5+6+…-97+98-99=-50.

【分析】根據結合律，可得答案.

【解答】解：原式=[(-1+2)+(-3+4)+(-5+6)+…(-97+98)]-99

49

=7+7+7+???+/-99

=49-99

=-50,

故答案為：-50.

【變式5-1](襄汾縣期中)計算：1+2-3-4+5+6-7-8+...+2013+2014-2015-2016

【分析】根據每四項運算結果可知，每四項結果為-4,2016+4=504,正好為4的倍數,

從而得出結論.

【解答】解：..T+2-3-4=-4,5+6-7-8=-4,即每四項結果為-4,2016+4=504,

1+2-3-4+5+6-7-8+…+2013+2014-2015-2016=-4X504=-2016.

【變式5-21(工業園區月考)計算1+(-2)+3+(-4)+...+97+(-98)+99+(-100)

的值為()

A.50B.-50C.101D.-101

【分析】原式兩項兩項合并正好得50個(-1),最后計算結果即可.

【解答】解：原式=(1-2)+(3-4)+(4-5)+-+(99-100)

50

=—1—1—1???—1

=-50,

故選：B.

【變式5-3](工業園區月考)計算：

(1)1-3+5-7+9-11+―+97-99；

（2）I----—l+l-----I-|-....—|

'102101''103102''103101''

【分析】（1）兩個一組計算，再相加即可求解；

（2）先計算絕對值，再抵消計算即可求解.

【解答】解：（1）1-3+5-7+9-11+…+97-99

=（-2）+（-2）+…+（-2）

=-2X25

=-50；

=而一而+而_而+而一而

=0.

【題型6裂項相消法】

【例6】（嘉定區期末）【閱讀材料】問題：如何計算與+與+與+…+元與呢？小紅帶領

1Xz5X41yXz（/

的數學興趣小組通過探索完成了這題的計算.他們的解法如下：

解：

原式=（1_今+?一令+（卜令+--+或一'）

=1--20

_19

一20

根據閱讀材料，請你完成下列問題：

（1）計算：7x5+3x5+5X7H^71x23'

（2）直接寫出結果：/{+4+￡+/=；（不需要計算過程）

315356399--11--

（3）計算?—__I---__I-----1--1--------

“異?1x5十5x9十9X/3十十2077x202〃

【分析】（1）將原式裂項，再兩兩抵消計算可得；

（2）原式利用---------=-（―------，一）裂項求和即可得；

“37^（2口一/）（2口+/）22U-12Q+7住入。、山1「寸，

（3）利用相同的方法裂項計算可得.

【解答］解：（1）原式=（7一9+（卜9+（卜9T—+弓_'=7_"=條

（2）原式=；x［（1一夕+—j）+（（一9+弓_（）+（］一方）1

=-x（1—-）

211

5

故答案為：擠；

(3)原式=~~x[(7--)+--)+(-——)+…+(------)1=-x(7-----)=——

41A5,、59)、9131、20172021"4,202P2021

【變式6-1](遂寧期末)請先閱讀下列一組內容，然后解答問題：

先觀察下列等式：/￡7_7_7_77

2~3f3x4~3~49x109~7d

將以上等式兩邊分別相加得：/+￡+￡+???+/*=+7-令+…+《一曲

1xzzXj5X4yx1u

9

To

然后用你發現的規律解答下列問題:

111

(1)猜想并寫出:

□(□-7)—□-；□——

(2)直接寫出下列各式的計算結果:

①，+，+，+...+_!_=磔

J1x22x33x42010x2011-2011一

(2)—+—+—H---F□

7x22x33x4□(□+/)——□+7—,

(3)探究并計算：￡+￡+念+…+20/2；2014

【分析】(1)觀察上述式子，發現拆項規律，寫出即可;

(2)利用得出的規律化簡所求式子，計算即可得到結果;

(3)根據得出的規律將原式變形，計算即可得到結果.

【解答】解：(1)根據題意得：=9—(

(2)①原式=1-g+(—g+…+就一看=12010

2011—201r

②原式=1-g+g-(+-I--=1一號7

+r

(3)原式='x('一,+'-」+.??+-^____―)=-x(-___—)503

2,原工I2”’24十46十十20122014)2”’22014)~2014

11

故答案為：(1)

□(□-7)□-；余⑵①翳

【變式6-2】(虹口區期末)先閱讀，再答題

2=3=1一25-327-529-711

31x33153x5-5—5355x757637x979

根據你發現的規律，試寫出

(1)A

99=()()，

2

(2)_11

□(□+2)——己一口+2—；

計算.2+2+2++_￡_+工

13153563991431959

【分析】（1）根據題目中的式子，可以寫出相應的結果;

（2）根據題目中式子的特點，可以計算出相應的結果;

（3）根據題目中式子的特點，可以計算出相應的結果.

【解答】解：⑴總=:一夕

（2）2=，_，.

□（□+2）□□+2'

2.2.2.2.2.2.2

—3十—15十—35十6—3十—99十-1-4-3十--1-9-5

1

—1111?11?11?11?11?11

335577991111131315

=1--15

_14_

15

故答案為：—yy；（一^p

【變式6-3］（高安市期中）閱讀下面的文字，完成解答過程.

5￡=9—5￡則2。。7；2。。8二一擊—募一'并且用含有"的式子

表示發現的規律.

（2）根據上述方法計算：-7^3++7^-z+--F??

1XJJXJJX/ZUUJXzt/t//

⑶根據（1）,（2）的計算，我們可以猜測下列結論：-^―=（3-?。ㄆ?/p>

中小％均為正整數），并計算￡+/+冊+…+2005（2008?

【分析】（1）根據題中給出的列子可直接得出結論；

（2）分別計算出白,白的值，再進行計算即可;

1XjjX33X/

（3）根據（1）、（2）的結論找出規律，并進行計算即可.

177

【解答】解：（1）后二1一22x3233x434

111

2007x200820072008

故答案為?—____—.

以口木人,20（）72008'

⑵』瀉（1一9J_=J_=!_d

3x5~15~25一（，2W（卜夕，

?'?￡+￡+￡+―+2005：2007

-(1--+---+---+H——一芯）

2335572005

1003

2007,

1003

故答案為:2007；

（3）根據（1）,（2）的計算，我們可以猜測下列結論：=（（（—?）?

+---=L(1_'+‘一』+’__1+----L)=—

1X44x77X102005x20083447710200520082008

故答案為：B（++）-

【題型7倒數求值法】

【例7】（城廂區校級月考）先閱讀理解，再回答問題

、［/1、,2112、

計算：（一癡）+（］―記+彳_P?

解：（方法一）原式=

（一卷）+?+＜）+（—,一|）］=（—（）+《一9

=-看義3

_1

——兀

A+〉$X(_30)

-20+3-5+12

-10.

故原式=_.

請閱讀上述材料，選擇合適的方法計算：弓+：-j）.

【分析】首先應用乘法分配律，求出原式的倒數是多少；然后用1除以原式的倒數，求出

算式的值是多少即可.

【解答】解：原式的倒數為:

（，x上+2一2）二（_，）

%*27十39）,'54

（"尹一）*（74）

-*36+12

_77

-T

?,?原式=一三.

【變式7-1](南開區期中)(一()小(一彳一：+《一》?