知識必備08相似三角形（公式、定理、結論圖表）

I1思維導圖

「知識梳理

考點一、比例線段

1.比例線段的相關概念

如果選用同一長度單位量得兩條線段a,b的長度分別為m,n,那么就說這兩條線段的比是

nm

,或寫成a：b=m：n.在兩條線段的比a：b中，a叫做比的前項，b叫做比的后項.

bn

在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱

比例線段.

若四條a,b,c,d滿足或a：b=c：d,那么a,b,c,d叫做組成比例的項，線段a,d叫做比例外項，

線段b,c叫做比例內項.

/7h

如果作為比例內項的是兩條相同的線段，即—或a：b=b：c,那么線段b叫做線段a,c的比例中

bc

項.

2、比例的性質

（1）基本性質：①a：b=c：dOad=be②a：b=b：c<=>Z?2=ac.

（2）更比性質（交換比例的內項或外項）

?二二（交換內項）

ca

acWdcz._口工、

—I—（父換外項）

baba

db

—二—（同時交換內項和外項）

ca

（3）反比性質（交換比的前項、后項）：v=4=^-=-

baac

A,,u,aca±bc±d

（Z4）X合比性質：-=

baba

/、acem,,「八、a+c+e-\----\-ma

（5）等比性質：一二一二一二???=一z（b+d+fH---1-〃wO）n-----------------二一

bdfnb+d+f----\-nb

3、黃金分割

把線段AB分成兩條線段AC,BC（AOBC）,并且使AC是AB和BC的比例中項，叫做把線段AB黃金分割，點

V5-1

C叫做線段AB的黃金分割點，其中AC=——AB?0.618AB.

2

典例1：（2022?鎮江）《九章算術》中記載，戰國時期的銅衡桿，其形式既不同于天平衡桿，也異于稱桿.衡

桿正中有拱肩提紐和穿線孔，一面刻有貫通上、下的十等分線.用該衡桿稱物，可以把被稱物與祛碼放

在提紐兩邊不同位置的刻線上，這樣，用同一個祛碼就可以稱出大于它一倍或幾倍重量的物體.圖為銅

衡桿的使用示意圖，此時被稱物重量是祛碼重量的1.2倍.

【解答】解：由題意得，5加被稱物=6，"祛碼.

被稱物：“I祛媽=6：5=1.2.

故答案為：1.2.

【點評】本題主要考查比例，熟練掌握比例的性質是解決本題的關鍵.

典例2：（2022?衡陽）在設計人體雕像時，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于

下部與全部的高度比，可以增加視覺美感.如圖，按此比例設計一座高度為2機的雷鋒雕像，那么該雕像

的下部設計高度約是（結果精確到0.01%.參考數據：72^1.414,我心1.732,巡心2.236）（）

A.0.73mB.1.24mC.1.37mD.1.42m

【分析】設下部高為尤根據雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的

高度比列方程可解得答案.

【解答】解：設下部的高度為X%,則上部高度是（2-X）m,

???雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，

???2-x_,x-,

X2

解得X=?-1或X=-y-1（舍去），

經檢驗，x=V5-1是原方程的解，

-"-x=yfs_1^1.24,

故選：B.

【點評】本題考查黃金分割及分式方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，列出分式方程解決問題.

考點二、相似圖形

1.相似圖形：我們把形狀相同的圖形叫做相似圖形.

也就是說：兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到的.（全等是特殊的相似圖

形）.

2.相似多邊形：對應角相等，對應邊的比相等的兩個多邊形叫做相似多邊形.

3.相似多邊形的性質：

相似多邊形的對應角相等，對應邊成的比相等.

相似多邊形的周長的比等于相似比，相似多邊形的面積的比等于相似比的平方.

4.相似三角形的定義：形狀相同的三角形是相似三角形.

5.相似三角形的性質：

(1)相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等.

(2)相似三角形對應邊上的高的比相等，對應邊上的中線的比相等，對應角的角平分線的比相等，都等

于相似比.

(3)相似三角形的周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.

【要點詮釋】

結合兩個圖形相似，得出對應角相等，對應邊的比相等，這樣可以由題中已知條件求得其它角的度數和線段

的長.對于復雜的圖形，采用將部分需要的圖形(或基本圖形)“抽”出來的辦法處理.

6.相似三角形的判定：

(1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似；

(2)如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；

(3)如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三角形相似；

(4)如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似.

(5)如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的斜邊和一條直角邊的比對應相等,

那么這兩個三角形相似.

典例3：(2022?襄陽)如圖，在AABC中，。是AC的中點，ZkABC的角平分線AE交8。于點凡若BF：

FD=3-.1,AB+BE=3M，則△ABC的周長為5M.

【分析】如圖，過點尸作尸于點FNLAC于點N,過點。作。T〃A￡交于點T.證明A2

=3AD,設AD=CD=a,證明ET=CT,設ET=CT=b,則BE=3%,求出a+b,可得結論.

【解答】解：如圖，過點尸作于點FNLAC于點N,過點。作。T〃AE交8c于點T.

B

ETC

TAE平分NBAC,FM±AB,FN±AC,

:?FM=FN,

.bAABF_BF_2

??---------3,

SAADFDF氏Q.FN

：.AB=3AD,

設A0=DC=a,貝!JA3=3〃，

9：AD=DC,DT//AE,

：.ET=CT,

?BEBFQ

ETDF

設ET=CT=b,則BE=36,

\'AB+BE=3yf3,

；.3a+36=35/§,

a+b—yf^,

：.△4BC的周長=AB+AC+BC=5a+56=5?,

故答案為：573.

【點評】本題考查平行線分線段成比例定理，角平分線的性質定理等知識，解題的關鍵是學會利用參數

解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

典例4：（2022?賀州）如圖，在△ABC中，DE//BC,DE=2,BC=5,則SAADE：%ABC的值是（）

B

A.2B.C.2D.旦

252555

【分析】根據相似三角形的面積比等于相似比的平方計算即可.

【解答】解：：。石〃2（7,

AADE^AABC,

,:DE=2,BC=5,

??S/\ADE-S^ABC的值為4，

25

故選：B.

【點評】本題主要考查相似三角形的性質，熟練掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關

鍵.

典例5：(2022?荷澤)如圖，在RtaABC中，ZABC=90°,E是邊AC上一點，且3E=BC,過點A作BE

的垂線，交BE的延長線于點。，求證：△AOES/XABC.

【分析】根據等腰三角形的性質可得/C=/CEB=NAE。，由可得/A=/ABC=90°,即可

得△ADES/VIBC.

【解答】證明：：BE=BC,

:.NC=NCEB,

'：ZCEB=ZAED,

：.ZC=ZAED,

?；AD_LBE,

：.ZD=ZABC=90°,

△ABC.

【點評】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解決問題的關鍵.

典例6:(2022?湘潭)如圖，在。。中，直徑與弦CD相交于點E,連接AC、BD.

(1)求證：AAECs△DEB；

(2)連接A。，若AD=3,NC=30°,求。。的半徑.

【分析】(1)根據圓周角定理和相似三角形的判定可以證明結論成立；

(2)根據直角三角形的性質和圓周角定理，可以得到A3的長，從而可以得到。。的半徑.

【解答】（1）證明：VZC=ZB,ZAEC=ADEB,

：.AAECsADEB；

（2）解：VZC=ZB,ZC=30°,

；.NB=30°,

「AB是。。的直徑，AD=3,

：.ZADB=9Q°,

.,.AB—6,

???。。的半徑為3.

【點評】本題考查相似三角形的判定、圓周角定理，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想

解答.

典例7：（2022?陜西）小明和小華利用陽光下的影子來測量一建筑物頂部旗桿的高.如圖所示，在某一時刻，

他們在陽光下，分別測得該建筑物的影長OC為16米，OA的影長QD為20米，小明的影長FG為

2.4米，其中。、C、。、F、G五點在同一直線上，A、B、。三點在同一直線上，S.AO±OD,EFLFG.已

【分析】解法一：先證明列比例式可得A。的長，再證明△BOCs/XA。。，可得。g的

長，最后由線段的差可得結論.

解法二：過點C作CM1.于C,證明AEGFsAMDC可得結論.

【解答】解：解法一：：AQ〃EG,

ZADO=ZEGF,

VZAOD^ZEFG^90°,

小AODs/XEFG,

?AO-0D即AO—20

*'EF-FG，178-274，

；.AO=15,

同理得△BOCs/XAOD,

?BO_OC即BO_16

??而一而‘l5-20，

:.BO=n,

：.AB=AO-BO=15-12=3（米）；

解法二：如圖，過點。作。加，。￡）于C,交AD于

"：/\EGF^/\MDC,

.EF=CM即1.8_CM

,?而DC'27420-16,

；.CAf=3,

即AB=CM=3（米），

答：旗桿的高A8是3米.

【點評】本題考查相似三角形的判定與性質等知識，解題的關鍵掌握相似三角形的判定，屬于中考常考

題型.

典例8：（2022?資陽）如圖，平行四邊形ABC。中，AB=5,BC=10,BC邊上的高AM=4,點E為BC邊

上的動點（不與8、C重合，過點E作直線AB的垂線，垂足為R連接。E、DF.

（1）求證：△ABM'sAEBF；

（2）當點E為8C的中點時，求。￡的長；

（3）設BE=x,△￡）環的面積為y,求y與x之間的函數關系式，并求當x為何值時，y有最大值，最

【分析】（1）利用兩個角對應相等的三角形全等即可證明

(2)過點E作EN_LA。于點M可得四邊形AMEN為矩形，從而得到NE=AM=4,AN=ME,再由勾

股定理求出BM=3,從而得到ME=AN=2,進而得到DN=8,再由勾股定理，即可求解；

(3)延長FE交DC的延長線于點G.根據sin/B=M旦-可得EF』x，再證得

ABBE5

可得GC總(10-x)，從而得到DG^(10-x)+5,再根據三角形的面積公式，得到函數關系式，再根據

55

二次函數的性質，即可求解.

【解答】(1)證明：AM是BC邊上的高，

Z.ZAMB=ZEFB=90°,

又,：NB=/B,

(2)解：過點E作ENLAD于點N,如圖：

在平行四邊形A8C￡＞中，AD//BC,

又YAM是BC邊上的高，

：.AM.LAD,

：.ZAME=ZMAN=/ANE=90°,

...四邊形AMEN為矩形，

；.NE=AM=4,AN=ME,

在RtAABM中,BM=VAB2-AM2=^52-42=3,

又為BC的中點，

BE-|-BC=5'

:.ME=AN=2,

:.DN=8,

在RtADNE中，DE=7DN2+NE2=^42+82=475；

(3)解：延長FE交DC的延長線于點G,如圖:

?.?-4--E-F

5x

...EF——4x,

5

,JAB//CD,

：.ZB=ZECG,ZEGC=ZBFE=90°,

又,.,NAM2=/EGC=90°,

：.AABMsAECG,

.CGEC

,面詞

?.?-C-G-=10-x’，

35

，GC=3(10-X),

5

：.DG^DC+GC^5+—(10-x),

5

2

.?.>=皂>市="&[5+旦(10-x)]=--LX+22.X=--L(x-生)2+1Z1,

-22552552566

??.當工二變時，y有最大值為3,

66

答：y=-A?+22x,當尤=變時，y有最大值為3.

25566

【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質，相似三角形的判定和性質，二次函數的性質，矩形的性質，

解直角三角形，熟練掌握平行四邊形的性質，相似三角形的判定和性質，二次函數的性質，矩形的性質

是解題的關鍵.

考點三、位似圖形

1.位似圖形的定義：

兩個多邊形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，不經過交點的對應邊互相平行，像這樣的兩個

圖形叫做位似圖形，這個點叫位似中心.

2.位似圖形的分類：

(1)外位似：位似