江蘇省南京市2024-2025學年高二上學期12月月考數學

檢測試題

一、單選題（本大題共8小題）

1.過點/（2,3）且與直線/:2尤-4y+7=0平行的直線方程是（）

A.%—2y+4=0B.x—2y—4—0C.2x—jv+1—0D.x+2y—8—0

2.已知圓G：/+/=4與圓C?:（尤-3）2+（y+4）2=9,則圓G與圓C2位置關系（）

A.外離B.外切C.相交D.內含

3.記Sn為等差數列{冊}的前〃項和，若公差d=2，則2s3-352=

（）

A.-6B.2C.4D.6

4.若雙曲線C：Fq=1與雙曲線C2=1的漸近線相同，則雙曲線。的離心率

96

為（）

A.巫B.正

V/?LJ?

2323

5.點尸為x軸上的點，A（-1,2）,B（0,3）,以/,B,P為頂點的三角形的面

7

積為大則點P的坐標為（）

2

A.（4,0）或（10,0）B.（4,0）或（-10,0）

C.（-4,0）或（10,0）D.（-4,0）或（11,0）

6.已知過點40,1）且斜率為左的直線/與圓C:（x-2）2+（y-3>=1相交于兩點.

則而?福為（）

A.3B.5C.7D.與人有關

7.若直線/：y=x+6與曲線二?有兩個交點，則實數b的取值范圍是（）

A.[b\-2y/2<b<2y/2}B.例2<b<2偽

C.{b\2?b<272}D.{b\b=±2}

8.過點且與曲線y=相切的切線斜率不可能為（）

3--

A.0B.8e2C.——e2D.1

4

二、多選題（本大題共3小題）

9.下列求導運算中正確的是（

3

r

XH----B.(3\nx)=—

X

(x2cosx)r=-2xsinx

10.已知圓M:（X+2）2+J?=2,直線+y-2=0,點「在直線/上運動，直線P4,總

分別于圓"切于點43.則下列說法正確的是（）

A.四邊形必啰的面積最小值為2行

B.0刊最短時，弦出長為灰

C.歸刊最短時，弦前直線方程為x+y-l=0

D.直線加過定點Rgg；

11.在數列｛%｝中，其前〃項和是則下列正確的是（）

2

A.若Sn=n+1,則%=2〃-1

B.若％=2,a“+i=冊+〃+1,則+〃+2）

C.若%=2,〃%+i=（〃+l）a?,則an=2n

三、填空題（本大題共3小題）

12.在直線/：2x-y+l=0上一點尸到點/（-3,0）,B（1,4）兩點距離之和最小,

則點尸的坐標為.

13.寫出一個同時具有下列性質（1）（2）（3）的數列｛4｝的通項公式：

（1）數列｛g｝是無窮等比數列；（2）數列｛%｝不單調；（3）數列｛|%|｝單調遞減.

14.過點尸（2,0）的動直線/與圓C:x2+j/一6x-2y+5=0交于用鳥兩點，過點4,5分別

作圓C的切線心4，若4與4交于點〃，貝的最小值____________.

四、解答題（本大題共5小題）

15.已知V/5C的三個頂點分別為/(-4,0),B(0,2),C(2,-2),求：

(1)/8邊中線所在的直線方程

(2)V/BC的外接圓的方程

16.已知。為實數，函數/(x)=4(x-a).

(1)若/'(1)=0,求實數。的值

⑵若。=3時，求函數/(無)在x=4處的切線方程；

17.已知拋物線C：儼=2pxg>0)過點/(2,-4).

(1)求拋物線C的方程，并求其準線方程；

(2)若點2(0,2),求過點2且與拋物線C有且僅有一個公共點的直線/的方程.

2

18.已知正項數列｛%｝的前"項和為S“，an+a?=2S,t+2,數列也｝滿足￡=?3%.

(1)求數列｛%｝的通項公式；

⑵求數列｛4｝的前"項和1.

19.已知橢圓G：J+9=l和雙曲線。2：［-9=1，過橢圓￡左焦點尸且斜率為左的

直線交橢圓于A,3兩點.設P是橢圓的右頂點，記直線P4,P8的斜率分別為左，

k2,直線P4,尸8與雙曲線的另一個交點分別為M,N,.

(1)求上住的值;

(2)求證：直線過定點.

答案

1.【正確答案】A

【分析】利用平行直線的特點先設出待求直線方程，代入所過點可得答案.

【詳解】由題意設所求方程為2x-4y+c=0(*7),

因為直線經過點4(2,3),

所以2x2-4x3+c=0,即c=8,所以所求直線為》-2了+4=0.

故選：A.

2.【正確答案】B

【分析】

求出兩個圓的圓心距，再根據圓心距與兩圓的半徑之間的關系判斷兩圓的位置關系.

【詳解】

圓Ci：x2+y2=4的圓心坐標為Ci(0,0),半徑ri=2,圓C2：(x-3)2+(y+4)2=9

的圓心坐標為圓C2(3,-4),半徑"=3.V|CiC2|=5=ri+r2,二圓Ci與圓C2的位置

關系是為外切.

故選B.

本題考查了判斷兩圓的位置關系，當圓心距等于兩圓的半徑之和時，兩圓外切.

3.【正確答案】D

【詳解】因為Sn為等差數列｛an｝的前〃項和，公差d=2,

所以2s3-3s2=2(3d]H———39的H—丁d)=3d=6.

4.【正確答案】A

【分析】根據題意求出雙曲線￡與雙曲線G的漸近線，從而得到。=2,再結合雙曲

線G的方程即可求得其離心率.

【詳解】對于雙曲線G工-q=1,其漸近線為上-4=0,即3/=分,

a3a3

對于雙曲線C,:4-W=l,其漸近線為=0,即3/=2/，

9696

因為雙曲線。與雙曲線C?的漸近線相同，所以。=2,即雙曲線=

設雙曲線C1的半實軸長為%,半虛軸長為4,半焦距為G，

則q；=2,6；=3,c；=a；+6；=5,即％=V2,q=6,

所以雙曲線G的離心率為e=，=^=孚.

故選：A.

5.【正確答案】B

【分析】先用兩點距離公式求出|曲，再求出直線的方程，再利用點線距離公式

求出?點到期的距離，再用三角形的面積公式代入求解即可.

【詳解】根據題意，設點「的坐標為（再0）,則

3-2

卜四='_（_]）=1，故直線為：y-3=x,即x-y+3=0,

lx—-0+3|lx+3|

故？到直線上的距離為：d=+（_了=,

又因為\AB\=^（-1-0）2+（2-3）2=V2,

所以由邑皿=/卻〃=9g*?=片3=?得卜+3=7,

解得x=4或x=—10,即「為（4,0）或（一10,0）.

故選：B.

6.【正確答案】C

【詳解】依題意，設過點4。,1）且斜率為后的直線/的方程為了=履+1,設

M（XQi）,N（X2，%）,

y=kx+\

聯立+e-3j-l'消去九得：（1+F）/-（44+4）x+7=0,

止匕時A=（4左+4）2-28（1+/）=-12尸+32左一12>0,顯然有解，

7______k_

故再馬=^^7，/M=（X],J「1）,/N=區,％-1），

_

所以AM-AN=x{x2+（以一l）（y2l）=x1x2+kx{-kx,

7

二（1+左2）再入2=（1+左2）.=7.

1+左2

故選：C.

7.【正確答案】C

【分析】求出直線與曲線相切時實數b的值，再結合圖象，即可得到答案;

【詳解】化簡方程歹="，可得/+必=4（好0）,

方程/+/=4（yN0）對應的曲線為以（0,0）為圓心，以2為半徑的圓在X軸上方的部

分（含點（2,0）,（-2,0））；

當直線y=x+6與半圓相切時，2=甲

b>0,

所以b=2V2，

當直線過點（-2,0）時，b=2,

所以實數6的取值范圍為［2,20b

8.【正確答案】D

【詳解】由＞得了=2."+/爐=尤（尤+2）e）

設切點為（吃,康加），

貝IJ切線斜率左=xo（x°+2）e'。，

即切線方程為V-X；e*。=%（%+2）e'"（x-％,

又切線過點

則—x（）e°=（%+2）e",

整理可得;X0（x0-2）（2x0+3）e'。=0,

八,、3

解得%=0或%=2或%=-5，

則切線斜率為0或8e?或-士e2,

4

故選：D.

9.【正確答案】AB

【詳解】對于選項A,因為卜+￡|=1-},所以選項A正確，

3

對于選項B,因為(31n%y=—,所以選項B正確，

對于選項C,因為(土〕=f*=上￡,所以選項C錯誤，

(門(ex)2ex

對于選項D,因為(/cosx)'=2xcosx-/sinx,所以選項D錯誤，

故選：AB.

10.【正確答案】ABD

【分析】由圓的方程可確定圓心和半徑，根據切線長與圓心到定點距離。和半徑尸之

間關系，即切線長=片下可知當？時，|E4|最小，可確定四邊形面積最小

值，同時利用面積橋可求得|圈，由此可知AB正確；設夕(飛,又)，可知方程為：

(%0+2)(%+2)+汽、=2,由/可求得尸點坐標，由此可得/B方程，知C正確；將

%=2-%代入方程，根據直線過定點的求法可知D正確.

【詳解】由圓的方程知：圓心M,0),半徑“亞，

對于AB,四邊形的面積5=2邑皿=2義；四"=也網

則當叫最短時，四邊形如落的面積最小，

點、M至|J直線/的距離"=上?21=2a,1^1.=而」=屈,

<211mm

止匕時S.M=2jl,A正確；

又封叩=刎"=!叫||回，,此時網=后二遍,B正確;

對于C,設/（陽,％）,B（x2,y2）,戶優,為），

則過A作圓的切線，切線方程為：（%+2）（x+2）+%y=2；過B作圓的切線，切線方程

為：（X?+2）（x+2）+y2y=2,

(網+2)(%+2)+%先=2

又「為兩切線交點,

.("+2)(%+2)+%%=2

則48兩點坐標滿足方程：（X。+2）（x+2）+”=2,即制方程為:

（%+2）（x+2）+九〉=2；

當|/訓最小時，.?.直線&f方程為：y=x+2,

?fy—x+2,fx=0,、

由工、n得：°，即尸（。，2）,

[x+y-2=0[）=2

.?.48方程為：2（%+2）+2y=2,即x+y+l=0,C錯誤；

對于D,由C知：/B方程為：（％。+2）（%+2）+汽卜=2；

又X。+%-2=0,gpy0=2-x0,

方程可整理為：(x-y+2)xo+2x+2y+2=O,

3

x=——

x-"2=°得.,2

由.?./5過定點D正確.

2x+2j/+2=01

尸5

故選：ABD.

結論點睛：過圓（＞+。）2+3+92=/上一點（工,%）作圓的切線，則切線方程為:

（%。+a）（%+a）+Qo+6）（y+b）=Y；過圓（工十。丫十口十人丫=/外一點（毛，％）作圓的兩條

切線，切點弦所在直線方程為.（%（）+。）（％+。）+（九+b）（y+b）=Y

11.【正確答案】BCD

【分析】A根據％,百的關系判斷即得；B由遞推式可得%=%+（2+3+4+...+幾）即可求

通項公式；C構造數列｛裝｝即可求通項；D利用裂項相消法即得.

n

【詳解】A：〃=1時，S[=2,而％=1。岳=2,故錯誤；

B：由題設，。2=+2,。3=。2+3,。4=。3+4,“5=。4+5,…，則

c。（幾+2）（及-1）n2+n+2.丁咨

cin=%+（2+3+4+…+〃）=2+---------------=-----------,Rx1E；

C：由題設，氣=2，而?=2,則”=2,即%=2〃，故正確；

n+\n1n

,〃+211—,口

D：由""="（〃+1）2向=萬一（〃+1）?2向，可侍

￡__1__J______1__J_____1__J________1_79

2-2-222-223^2?-4-24+4-24-5^-2"5^-160故正確.

故選：BCD.

12.【正確答案】（1,3）

【詳解】設4關于直線2》-〉+1=0的對稱點為4（"，，"），連接",

當且僅當4,尸,8三點共線時等號成立.

m=\

解得,,故4（1，-2）,故直線48:x=l,

n=-2

故當|PN|+歸可取最小值時，尸的橫坐標為1,故其縱坐標為3,即尸。,3）.

故答案為.（1,3）

13.【正確答案】氏=1-￡|（答案不唯一）

【分析】

根據數列｛%｝需要滿足的條件，可寫出答案.

【詳解】

由題意可得，滿足（1）數列｛與｝是無窮等比數列；（2）數列｛與｝不單

調；（3）數列｛區|｝單調遞減，

14.【正確答案】述

2

【詳解】設圓C的圓心C(3,l),如圖所示:

則為直徑的圓Cj的方程為(x-x0)(尤-3)+(y-%)(y-l)=0,

2

即x+y~-(x0+3)x-(〉o+l)y+3x0+y0=0,

由平面幾何的知識知直線不心的方程為圓C與圓。的公共弦所在直線方程，

從而把圓C和圓C1的方程相減得直線<5的方程為(尤。-3)尤+(%-1)了+5-3%-%=0,

???尸(2,0)在直線耳舄上，代入得/+為+1=0

，點W在直線x+y+l=0上，

則QM的最小值為圓心C到直線x+y+l=0的距離，.?"=賢平=學

故竽

15.【正確答案】(l)3x+4y+2=0

(2)尤"++2x+2y-8=0

3

【詳解】(1)設的中點為。(-2,1),則CD所在直線的斜率為一二,

4

3

則C。邊所在直線的方程為y-l=--(x+2),即3x+4y+2=0.

4

(2)設V48c的夕卜接圓的方程為一+/+m+4+77=0,

-4Z)+F+16=0伊=2

由＜2￡+尸+4=0,解之可得＜￡=2

2O-2E+尸+8=0［尸=-8

故丫45。的外接圓的方程為/+/+2工+2了-8=0.

16.【正確答案】(1)。=3,

9

(2)切線方程為=

【詳解】(1)函數的定義域為［0,+⑹，

=4+：)=3：=①>0),因為=解得"3.

2\JX2yjx

(2)若a=3時，則/(%)=4(x-3),/3二審，

27x

/(4)＜，"4)=2，

所以〃X)在X=4處的切線方程為了一2=j(x-4),即y=，x-7.

17.【正確答案】(1)/=8x,x=-2

(2)x=0或y=2或x-y+2=0

【詳解】(1)由拋物線C：/=2px(0>o)過點2(2,-4),

可得16=4p,解得p=4.

所以拋物線C的方程為「=8尤，其準線方程為》=-2.

(2)根據題意，易知點8(0,2)不在拋物線上.

①當直線/的斜率不存在時，x=0符合題意；

②當直線/的斜率為0時，＞=2符合題意；

③當直線/的斜率存在且不為0時，設直線/的方程為＞=履+2,

\y=kx+2.

由2，得如一8y+16=0,由A=64-64左=0,得左=1,

[J=8x

故直線/的方程為無一V+2=0.

綜上直線/的方程為x=0或了=2或x-y+2=0.

18.【正確答案】(1)氏=〃+1

⑵八手3T

【分析】(1)利用S,與與的關系，求解通項公式；

(2)利用錯位相減法求解數列的前”項和.

【詳解】(1)當"=1時，q2+q=2S]+2,即。，一%-2=0,4=2或％=-1(舍)

當〃22時，吮+*=