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文檔簡介
江蘇省南京市2024-2025學年高二上學期12月月考數學
檢測試題
一、單選題(本大題共8小題)
1.過點/(2,3)且與直線/:2尤-4y+7=0平行的直線方程是()
A.%—2y+4=0B.x—2y—4—0C.2x—jv+1—0D.x+2y—8—0
2.已知圓G:/+/=4與圓C?:(尤-3)2+(y+4)2=9,則圓G與圓C2位置關系()
A.外離B.外切C.相交D.內含
3.記Sn為等差數列{冊}的前〃項和,若公差d=2,則2s3-352=
()
A.-6B.2C.4D.6
4.若雙曲線C:Fq=1與雙曲線C2=1的漸近線相同,則雙曲線。的離心率
96
為()
A.巫B.正
V/?LJ?
2323
5.點尸為x軸上的點,A(-1,2),B(0,3),以/,B,P為頂點的三角形的面
7
積為大則點P的坐標為()
2
A.(4,0)或(10,0)B.(4,0)或(-10,0)
C.(-4,0)或(10,0)D.(-4,0)或(11,0)
6.已知過點40,1)且斜率為左的直線/與圓C:(x-2)2+(y-3>=1相交于兩點.
則而?福為()
A.3B.5C.7D.與人有關
7.若直線/:y=x+6與曲線二?有兩個交點,則實數b的取值范圍是()
A.[b\-2y/2<b<2y/2}B.例2<b<2偽
C.{b\2?b<272}D.{b\b=±2}
8.過點且與曲線y=相切的切線斜率不可能為()
3--
A.0B.8e2C.——e2D.1
4
二、多選題(本大題共3小題)
9.下列求導運算中正確的是(
3
r
XH----B.(3\nx)=—
X
(x2cosx)r=-2xsinx
10.已知圓M:(X+2)2+J?=2,直線+y-2=0,點「在直線/上運動,直線P4,總
分別于圓"切于點43.則下列說法正確的是()
A.四邊形必啰的面積最小值為2行
B.0刊最短時,弦出長為灰
C.歸刊最短時,弦前直線方程為x+y-l=0
D.直線加過定點Rgg;
11.在數列{%}中,其前〃項和是則下列正確的是()
2
A.若Sn=n+1,則%=2〃-1
B.若%=2,a“+i=冊+〃+1,則+〃+2)
C.若%=2,〃%+i=(〃+l)a?,則an=2n
三、填空題(本大題共3小題)
12.在直線/:2x-y+l=0上一點尸到點/(-3,0),B(1,4)兩點距離之和最小,
則點尸的坐標為.
13.寫出一個同時具有下列性質(1)(2)(3)的數列{4}的通項公式:
(1)數列{g}是無窮等比數列;(2)數列{%}不單調;(3)數列{|%|}單調遞減.
14.過點尸(2,0)的動直線/與圓C:x2+j/一6x-2y+5=0交于用鳥兩點,過點4,5分別
作圓C的切線心4,若4與4交于點〃,貝的最小值____________.
四、解答題(本大題共5小題)
15.已知V/5C的三個頂點分別為/(-4,0),B(0,2),C(2,-2),求:
(1)/8邊中線所在的直線方程
(2)V/BC的外接圓的方程
16.已知。為實數,函數/(x)=4(x-a).
(1)若/'(1)=0,求實數。的值
⑵若。=3時,求函數/(無)在x=4處的切線方程;
17.已知拋物線C:儼=2pxg>0)過點/(2,-4).
(1)求拋物線C的方程,并求其準線方程;
(2)若點2(0,2),求過點2且與拋物線C有且僅有一個公共點的直線/的方程.
2
18.已知正項數列{%}的前"項和為S“,an+a?=2S,t+2,數列也}滿足£=?3%.
(1)求數列{%}的通項公式;
⑵求數列{4}的前"項和1.
19.已知橢圓G:J+9=l和雙曲線。2:[-9=1,過橢圓£左焦點尸且斜率為左的
直線交橢圓于A,3兩點.設P是橢圓的右頂點,記直線P4,P8的斜率分別為左,
k2,直線P4,尸8與雙曲線的另一個交點分別為M,N,.
(1)求上住的值;
(2)求證:直線過定點.
答案
1.【正確答案】A
【分析】利用平行直線的特點先設出待求直線方程,代入所過點可得答案.
【詳解】由題意設所求方程為2x-4y+c=0(*7),
因為直線經過點4(2,3),
所以2x2-4x3+c=0,即c=8,所以所求直線為》-2了+4=0.
故選:A.
2.【正確答案】B
【分析】
求出兩個圓的圓心距,再根據圓心距與兩圓的半徑之間的關系判斷兩圓的位置關系.
【詳解】
圓Ci:x2+y2=4的圓心坐標為Ci(0,0),半徑ri=2,圓C2:(x-3)2+(y+4)2=9
的圓心坐標為圓C2(3,-4),半徑"=3.V|CiC2|=5=ri+r2,二圓Ci與圓C2的位置
關系是為外切.
故選B.
本題考查了判斷兩圓的位置關系,當圓心距等于兩圓的半徑之和時,兩圓外切.
3.【正確答案】D
【詳解】因為Sn為等差數列{an}的前〃項和,公差d=2,
所以2s3-3s2=2(3d]H———39的H—丁d)=3d=6.
4.【正確答案】A
【分析】根據題意求出雙曲線£與雙曲線G的漸近線,從而得到。=2,再結合雙曲
線G的方程即可求得其離心率.
【詳解】對于雙曲線G工-q=1,其漸近線為上-4=0,即3/=分,
a3a3
對于雙曲線C,:4-W=l,其漸近線為=0,即3/=2/,
9696
因為雙曲線。與雙曲線C?的漸近線相同,所以。=2,即雙曲線=
設雙曲線C1的半實軸長為%,半虛軸長為4,半焦距為G,
則q;=2,6;=3,c;=a;+6;=5,即%=V2,q=6,
所以雙曲線G的離心率為e=,=^=孚.
故選:A.
5.【正確答案】B
【分析】先用兩點距離公式求出|曲,再求出直線的方程,再利用點線距離公式
求出?點到期的距離,再用三角形的面積公式代入求解即可.
【詳解】根據題意,設點「的坐標為(再0),則
3-2
卜四='_(_])=1,故直線為:y-3=x,即x-y+3=0,
lx—-0+3|lx+3|
故?到直線上的距離為:d=+(_了=,
又因為\AB\=^(-1-0)2+(2-3)2=V2,
所以由邑皿=/卻〃=9g*?=片3=?得卜+3=7,
解得x=4或x=—10,即「為(4,0)或(一10,0).
故選:B.
6.【正確答案】C
【詳解】依題意,設過點4。,1)且斜率為后的直線/的方程為了=履+1,設
M(XQi),N(X2,%),
y=kx+\
聯立+e-3j-l'消去九得:(1+F)/-(44+4)x+7=0,
止匕時A=(4左+4)2-28(1+/)=-12尸+32左一12>0,顯然有解,
7______k_
故再馬=^^7,/M=(X],J「1),/N=區,%-1),
_
所以AM-AN=x{x2+(以一l)(y2l)=x1x2+kx{-kx,
7
二(1+左2)再入2=(1+左2).=7.
1+左2
故選:C.
7.【正確答案】C
【分析】求出直線與曲線相切時實數b的值,再結合圖象,即可得到答案;
【詳解】化簡方程歹=",可得/+必=4(好0),
方程/+/=4(yN0)對應的曲線為以(0,0)為圓心,以2為半徑的圓在X軸上方的部
分(含點(2,0),(-2,0));
當直線y=x+6與半圓相切時,2=甲
b>0,
所以b=2V2,
當直線過點(-2,0)時,b=2,
所以實數6的取值范圍為[2,20b
8.【正確答案】D
【詳解】由>得了=2."+/爐=尤(尤+2)e)
設切點為(吃,康加),
貝IJ切線斜率左=xo(x°+2)e'。,
即切線方程為V-X;e*。=%(%+2)e'"(x-%,
又切線過點
則—x()e°=(%+2)e",
整理可得;X0(x0-2)(2x0+3)e'。=0,
八,、3
解得%=0或%=2或%=-5,
則切線斜率為0或8e?或-士e2,
4
故選:D.
9.【正確答案】AB
【詳解】對于選項A,因為卜+£|=1-},所以選項A正確,
3
對于選項B,因為(31n%y=—,所以選項B正確,
對于選項C,因為(土〕=f*=上£,所以選項C錯誤,
(門(ex)2ex
對于選項D,因為(/cosx)'=2xcosx-/sinx,所以選項D錯誤,
故選:AB.
10.【正確答案】ABD
【分析】由圓的方程可確定圓心和半徑,根據切線長與圓心到定點距離。和半徑尸之
間關系,即切線長=片下可知當?時,|E4|最小,可確定四邊形面積最小
值,同時利用面積橋可求得|圈,由此可知AB正確;設夕(飛,又),可知方程為:
(%0+2)(%+2)+汽、=2,由/可求得尸點坐標,由此可得/B方程,知C正確;將
%=2-%代入方程,根據直線過定點的求法可知D正確.
【詳解】由圓的方程知:圓心M,0),半徑“亞,
對于AB,四邊形的面積5=2邑皿=2義;四"=也網
則當叫最短時,四邊形如落的面積最小,
點、M至|J直線/的距離"=上?21=2a,1^1.=而」=屈,
<211mm
止匕時S.M=2jl,A正確;
又封叩=刎"=!叫||回,,此時網=后二遍,B正確;
對于C,設/(陽,%),B(x2,y2),戶優,為),
則過A作圓的切線,切線方程為:(%+2)(x+2)+%y=2;過B作圓的切線,切線方程
為:(X?+2)(x+2)+y2y=2,
(網+2)(%+2)+%先=2
又「為兩切線交點,
.("+2)(%+2)+%%=2
則48兩點坐標滿足方程:(X。+2)(x+2)+”=2,即制方程為:
(%+2)(x+2)+九〉=2;
當|/訓最小時,.?.直線&f方程為:y=x+2,
?fy—x+2,fx=0,、
由工、n得:°,即尸(。,2),
[x+y-2=0[)=2
.?.48方程為:2(%+2)+2y=2,即x+y+l=0,C錯誤;
對于D,由C知:/B方程為:(%。+2)(%+2)+汽卜=2;
又X。+%-2=0,gpy0=2-x0,
方程可整理為:(x-y+2)xo+2x+2y+2=O,
3
x=——
x-"2=°得.,2
由.?./5過定點D正確.
2x+2j/+2=01
尸5
故選:ABD.
結論點睛:過圓(>+。)2+3+92=/上一點(工,%)作圓的切線,則切線方程為:
(%。+a)(%+a)+Qo+6)(y+b)=Y;過圓(工十。丫十口十人丫=/外一點(毛,%)作圓的兩條
切線,切點弦所在直線方程為.(%()+。)(%+。)+(九+b)(y+b)=Y
11.【正確答案】BCD
【分析】A根據%,百的關系判斷即得;B由遞推式可得%=%+(2+3+4+...+幾)即可求
通項公式;C構造數列{裝}即可求通項;D利用裂項相消法即得.
n
【詳解】A:〃=1時,S[=2,而%=1。岳=2,故錯誤;
B:由題設,。2=+2,。3=。2+3,。4=。3+4,“5=。4+5,…,則
c。(幾+2)(及-1)n2+n+2.丁咨
cin=%+(2+3+4+…+〃)=2+---------------=-----------,Rx1E;
C:由題設,氣=2,而?=2,則”=2,即%=2〃,故正確;
n+\n1n
,〃+211—,口
D:由""="(〃+1)2向=萬一(〃+1)?2向,可侍
£__1__J______1__J_____1__J________1_79
2-2-222-223^2?-4-24+4-24-5^-2"5^-160故正確.
故選:BCD.
12.【正確答案】(1,3)
【詳解】設4關于直線2》-〉+1=0的對稱點為4(",,"),連接",
當且僅當4,尸,8三點共線時等號成立.
m=\
解得,,故4(1,-2),故直線48:x=l,
n=-2
故當|PN|+歸可取最小值時,尸的橫坐標為1,故其縱坐標為3,即尸。,3).
故答案為.(1,3)
13.【正確答案】氏=1-£|(答案不唯一)
【分析】
根據數列{%}需要滿足的條件,可寫出答案.
【詳解】
由題意可得,滿足(1)數列{與}是無窮等比數列;(2)數列{與}不單
調;(3)數列{區|}單調遞減,
14.【正確答案】述
2
【詳解】設圓C的圓心C(3,l),如圖所示:
則為直徑的圓Cj的方程為(x-x0)(尤-3)+(y-%)(y-l)=0,
2
即x+y~-(x0+3)x-(〉o+l)y+3x0+y0=0,
由平面幾何的知識知直線不心的方程為圓C與圓。的公共弦所在直線方程,
從而把圓C和圓C1的方程相減得直線<5的方程為(尤。-3)尤+(%-1)了+5-3%-%=0,
???尸(2,0)在直線耳舄上,代入得/+為+1=0
,點W在直線x+y+l=0上,
則QM的最小值為圓心C到直線x+y+l=0的距離,.?"=賢平=學
故竽
15.【正確答案】(l)3x+4y+2=0
(2)尤"++2x+2y-8=0
3
【詳解】(1)設的中點為。(-2,1),則CD所在直線的斜率為一二,
4
3
則C。邊所在直線的方程為y-l=--(x+2),即3x+4y+2=0.
4
(2)設V48c的夕卜接圓的方程為一+/+m+4+77=0,
-4Z)+F+16=0伊=2
由<2£+尸+4=0,解之可得<£=2
2O-2E+尸+8=0[尸=-8
故丫45。的外接圓的方程為/+/+2工+2了-8=0.
16.【正確答案】(1)。=3,
9
(2)切線方程為=
【詳解】(1)函數的定義域為[0,+⑹,
=4+:)=3:=①>0),因為=解得"3.
2\JX2yjx
(2)若a=3時,則/(%)=4(x-3),/3二審,
27x
/(4)<,"4)=2,
所以〃X)在X=4處的切線方程為了一2=j(x-4),即y=,x-7.
17.【正確答案】(1)/=8x,x=-2
(2)x=0或y=2或x-y+2=0
【詳解】(1)由拋物線C:/=2px(0>o)過點2(2,-4),
可得16=4p,解得p=4.
所以拋物線C的方程為「=8尤,其準線方程為》=-2.
(2)根據題意,易知點8(0,2)不在拋物線上.
①當直線/的斜率不存在時,x=0符合題意;
②當直線/的斜率為0時,>=2符合題意;
③當直線/的斜率存在且不為0時,設直線/的方程為>=履+2,
\y=kx+2.
由2,得如一8y+16=0,由A=64-64左=0,得左=1,
[J=8x
故直線/的方程為無一V+2=0.
綜上直線/的方程為x=0或了=2或x-y+2=0.
18.【正確答案】(1)氏=〃+1
⑵八手3T
【分析】(1)利用S,與與的關系,求解通項公式;
(2)利用錯位相減法求解數列的前”項和.
【詳解】(1)當"=1時,q2+q=2S]+2,即。,一%-2=0,4=2或%=-1(舍)
當〃22時,吮+*=
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