第09講圖形的位似變換、測量與誤差

O【知識梳理】

一、位似的概念及性質

1）兩個多邊形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，象這樣的兩個圖形叫做位似

圖形，這個點叫做位似中心。這時的相似比又稱為位似比。

相似圖形與位似圖形的區別與聯系：1、區別：①位似圖形對應點的連線交于一點，相似圖形沒有；②位似

圖形的對應邊互相平行，相似圖形沒有。2、聯系：位似圖形是特殊的相似圖形。

2）相似圖形與位似圖形的區別與聯系：

區別：①位似圖形對應點的連線交于一點，相似圖形沒有；

②位似圖形的對應邊互相平行，相似圖形沒有。

聯系：位似圖形是特殊的相似圖形。

3）、位似圖形是特殊的相似圖形，故具有相似圖形的一切性質。

L________________________________r4）、位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離比等于相似比。

;位似中心的位置：可能位于兩I

i個圖形之間，也可能位于兩個圖形I

i一側，也可能位于兩圖形內。；

i位似中心的確定：根據"對應i

I點的連線都經過位似中心”的特點I

i確定位似中心的位置。i

二、利用位似變換作圖（放大或縮小圖形）

利用位似變換可以把一個圖形放大或縮小，若位似比大于1,則通過位似變換把原圖形放大；若位似比小于

1,則通過位似變換把原圖形縮小。

畫位似圖形的一般步驟：①確定位似中心；②連線并延長（分別連接位似中心和能代表原圖的關鍵點并延

長）；③根據相似比確定各線段的長度；④順次連接上述個點，得到圖形。

三、以原點為位似中心的位似變換

在平面直角坐標系中，如果位似變化是以原點為位似中心，相似比為“，那么位似圖形對應點的坐標的比等

于"（對應點在位似中心同側）或者一H對應點在位似中心異側）。即：若設原圖形的某一點的坐標為（根,“），

則其位似圖形對應點的坐標為（Am,如）或（-切z,-也）o

四.相似三角形的應用

（1）利用影長測量物體的高度.①測量原理：測量不能到達頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性

質即相似三角形的對應邊的比相等和“在同一時刻物高與影長的比相等”的原理解決.②測量方法：在同一

時刻測量出參照物和被測量物體的影長來，再計算出被測量物的長度.

（2）利用相似測量河的寬度（測量距離）.①測量原理：測量不能直接到達的兩點間的距離，常常構造“A”

型或“X”型相似圖，三點應在一條直線上.必須保證在一條直線上，為了使問題簡便，盡量構造直角三角

形.②測量方法：通過測量便于測量的線段，利用三角形相似，對應邊成比例可求出河的寬度.

（3）借助標桿或直尺測量物體的高度.利用桿或直尺測量物體的高度就是利用桿或直尺的高（長）作為三

角形的邊，利用視點和盲區的知識構建相似三角形，用相似三角形對應邊的比相等的性質求物體的高度.

W【考點剖析】

題型一：位似變換的應用

【解題技巧】掌握畫位似圖形的一般步驟為（先確定位似中心；再分別連接并延長位似中心和能代表原圖的

關鍵點；然后根據位似比，確定能代表所作的位似圖形的關鍵點；最后順次連接上述各點，得到放大或縮小

的圖形）.

例1.平面直角坐標系中，有一條魚，它有六個頂點，貝k）

A.將各點橫坐標乘以2,縱坐標不變，得到的魚與原來的魚位似

B.將各點縱坐標乘以2,橫坐標不變，得到的魚與原來的魚位似

C.將各點橫，縱坐標都乘以2,得到的魚與原來的魚位似

D.將各點橫坐標乘以2,縱坐標乘以工，得到的魚與原來的魚位似

2

【答案】C

【解析】平面直角坐標系中圖形的各個頂點，如果橫縱坐標同時乘以同一個非0的實數A,得到的圖形與原

圖形關于原點成位似圖形，位似比是|用.若乘的不是同一個數，得到的圖形一定不會與原圖形關于原點對

稱.故選C.

【變式1】如圖，ABC在方格紙中（1）請在方格紙上建立平面直角坐標系，使4（2,3）,C（6,2）,并寫

出3點坐標；（2）以原點。為位似中心，位似比為2,在第一象限內將..ABC放大，畫出放大后的圖形

NAB'C.

【答案】（1）見解析，5（2,1）；（2）見解析

【分析】（1）根據點A（2,3）,。（6,2）可確認出坐標原點。的位置，從而可建立平面直角坐標系，再根據

點B的位置即可得出其坐標；（2）根據位似的定義畫圖即可.

【解析】（1）由點A（2,3）,C（6,2）確認出坐標原點。的位置，由此畫出x軸和y軸，建立平面直角坐標

系，如圖所示：由點B在平面直角坐標系中的位置得：點B坐標為6（2,1）；（2）根據位似的定義，分別連

接OA,OB,OC,將它們分別延長至點A',B',C，使得OA'=2OA,OB'=2OB,OC'=2OC,然后順次連

接點即可得到AA'5'C',如圖所示：

【點睛】本題考查了建立平面直角坐標系、畫位似圖形，依據點A、C坐標正確建立平面直角坐標系是解題

關鍵.

【變式2］如圖，在平面直角坐標系中，已知AABC三個頂點的坐標分別為A(-1,2),B(-3,4)C(-

2,6).(1)畫出△一(；繞點A順時針旋轉90°后得到的△ABQ；

(2)以原點0為位似中心，畫出將△ABC三條邊放大為原來的2倍后的△A2B2C2.

【答案】(1)見解析；(2)見解析.

【分析】(1)由A(-1,2),B(-3,4)C(-2,6),可畫出△ABC,然后由旋轉的性質,即可畫出△AB3；

(2)由位似三角形的性質，即可畫出AAzB2c2.

【解析】(1)如圖：△AB3即為所求；(2)如圖:△A2B2C2即為所求.

【變式3】如圖,在平面直角坐標系中，已知AABC的三個頂點的坐標分別為A(T,3),6(—3,1),C(—1,3),

請按下列要求畫圖：(1)將AABC先向右平移4個單位長度、再向下平移5個單位長度，得到AA4C，畫

出的四。］,并寫出點3的坐標；(2)以點A為位似中心將A4BC放大2倍，得到A452c2,畫出八4耳。2

并寫出點B的坐標.

【答案】（1）詳見解析4（1,V）；（2）詳見解析為（—2,—1）

【分析】（1）根據題目中給出的平移方式，描點畫圖即可；（2）根據相似比找到對應點當和G即可.

【解析】（1）根據題意可得：二4（1,-4）

A

A：A2)C

//

//

\?

5-4-/\oL

B2■)

A

―￡

（2）根據題意可得：為（一2,—1）

【點睛】本題主要考查了圖形的平移變換，位似圖形的性質，熟練掌握位似圖形的性質是解題的關鍵.

題型二：相似三角形的實際應用

【解題技巧】解決此問題的關鍵在于正確理解題意的基礎上建立數學模型，把實際問題轉化為數學問題，利

用相似及方程思想有效解決.

例2.如圖，花叢中有一路燈AB.在燈光下，小明在點D處的影長DE=3m,沿方向行走到達點G,

DG=5m,這時小明的影長G"=5m.如果小明的身高為1.7m,求路燈AB的高度.（精確到0.1m）

【答案】路燈AB的高度約為6.0m

DE)FGHG

【分析】根據AB_LBH,CD_LBH,FG_LBH,可得：△ABEsZ\CDE,則有—=---------和r---=

ABBD+DEABHG+GD+DB

而CD=FG,即可得---------=---------------，從而求出BD的長，再代入前面任意一個等式中，即可求出

BD+DEHG+GD+DB

AB.

【解析】由題意，得CDYBH,FGLBH,

CDDE

：.CD//AB.ACDE^AABE.：.——=------------.①

ABBD+DE

FGHG

同理，XFGHsMBH,：.—.②

ABHG+GD+DB

DEHG

又?.,CD=FG=1.7,.^.由①，②可得

JBD+DE-HG+GD+BD'

即---——，解得50=7.5.

BD+35+5+BD

將BD=7.5代入①，得AB=5.95工6.0.故路燈AB的高度約為6.0m.

【點睛】本題考查了相似三角形的應用，解這道題的關鍵是將實際問題轉化為數學問題，本題只要把實際問

題抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出.

【變式】為了測量校園水平地面上一棵不可攀的樹的高度，學校數學興趣小組做了如下探索：根據光的反射

定律，利用一面鏡子和一根皮尺，設計如下圖所示的測量方案：把一面很小的鏡子水平放置在離B（樹底）

8.4米的點E處，然后沿著直線BE后退到點D,這時恰好在鏡子里看到樹梢頂點A,再用皮尺量得DE=3.2

米，觀察者目高CD=1.6米，求樹AB的高度.

分析：先過E作EFLBD于點E,再根據入射角等于反射角可知，Z1=Z2,故可得出/DEC=NAEB,由CD,

BD,ABLBD可知NCDE=/ABE,進而可得出△CDEs^ABE,再由相似三角形的對應邊成比例即可求出大樹AB

的高度.

【解析】過點E作EF_LBD于點E,則/1=N2,VZDEF=ZBEF=90°,AZDEC=ZAEB,

DECD

VCD±BD,AB±BD,ZCDE=ZABE=90°，AACDE^AABE,；.——=——，

BEAB

4216

：DE=3.2米，CD=1.6米，EB=8.4米，；.—=—,解得AB=4.2（米）.

8.4.IB

答：樹AB的高度為4.2米.

:尸

點睛：此題主要考查了相似三角形的應用，解題關鍵是根據題意得出△CEDs^AEB,再根據相似三角形的對

應邊成比例得出結論.

題型三：相似三角形中的動態問題

例3.如圖，在矩形。4HC中，。。=8,。4=12,B為CH中點、,連接A3.動點M從點。出發沿。4

邊向點A運動，動點N從點A出發沿AB邊向點5運動，兩個動點同時出發，速度都是每秒1個單位長度,

超姜CM,CN,MN,設運動時間為/(秒)(0<?<10).貝曠=時，A&VCV為直角三角形

【答案】■上浮

【分析】ZXCMN是直角三角形時，有三種情況，一是/CMN=90。，二是/MNC=90°,三是/MCN=90°,然后

進行分類討論求出t的值.

【解析】解：過點N作0A的垂線，交0A于點F,交CH于點E,如圖1,

cBEH

OA

圖1

TB點是CH的中點，.-.BH=-CH=-0A=6,VAH=0C=8,二由勾股定理可求：AB=10,

22

.BNEN

AN=t,BN=10-t,NE〃AH,ABEN^ABHA,

*AB~AH

10-tEN4(10-r)4

???-------=——，AEN=-----------.\FN=8-EN=-r

10855

3

當NCMN=90°,由勾股定理可求：AF=-r,

38

V0M=t,???AM=12—t,AMF=AM-AF=12-t-,

55

VZ0CM+ZCM0=90°,ZCM0+ZFMN=90°,AZ0CM=ZFMN,

OCOM———7

VZ0=ZNFM=90°o，/.AACOM^AAMFN,/.——=-------，.?i84..t=一，

MFFN12-7-t2

4483

當lz/MNC=90°o，FN=-Z.\EN=8o-—tVMF=12--t.\CE=0F=0M+MF=12--t

5555

'：ZMNF+ZCNE=90°ZECN+ZCNE=90°,AZMNF=ZECN,

,CEEN

ZCEN=ZNFM=90°AACEN^ANFM,

FNMF

34

12--?8--Z

.士囪,V0<t<5,.?.一I-國

5=5

4-8

-t12--t44

55

當/NCM=90°,由題意知：此情況不存在,

綜上所述，ACMN為直角三角形時，t=Z或電二叵I

24

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質、勾股定理等知識，有一定的綜合性.

【變式1】如圖所示，在等腰△/回中，A8=AC=U)c瓜,BC=\6cm.點〃由點/出發沿加方向向點6勻速

運動，同時點￡由點8出發沿6c方向向點C勻速運動，它們的速度均為IcWs.連接用設運動時間為t

(s)(0<t<10),解答下列問題：(1)當力為何值時，△〃力的面積為7.5c渭；(2)在點〃￡的運動中，

是否存在時間t,使得△皿應與△Z6C相似？若存在，請求出對應的時間t；若不存在，請說明理由.

D

【分析】（1）根據等腰三角形的性質和相似三角形的判定和性質求三角形瓦厲邊龍的高即可求解;

（2）根據等腰三角形和相似三角形的判定和性質分兩種情況說明即可.

【解答】解：（1）分別過點心/作班L8GAGVBC,垂足為KG；

，百DFBD

如圖；J.DF//AG,一=一'：AB=AC=\Q,BC=\6：.BG=8,：.AG=6.

AGAB

DF10-t3

■:AMBE=t,:-t,：.—=----解得DF=q（10-t）

6105

i3

:必敏=十陟如=7.5，一（10-力?方=15解得方=5.答：［為5秒時，△應后的面積為7.5。/9

N5

（2）存在.理由如下：

?,BEBDt10-t3…50

①當BE=DE聃，MBDEsXBCA,—=—即—=----，斛得t="，

ABBC101613

②_當劭=龐時，ABDEsABAC,一BE=—BD即一t=-1-0--t,解得t=罵on.

BCAB161013

答：存在時間t為史或四秒時，使得△及應與△46。相似.

1313

【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質、等腰三角形的性質，解決本題的關鍵是動點變化過程中形成

不同的等腰三角形.

【變式2】如圖，Rt△四GNC=90°,4c=10an,BC=8cm.點?從點。出發，以2c勿/s的速度沿。向點

/勻速運動，同時點0從點6出發，以lc〃/s的速度沿況向點。勻速運動，當一個點到達終點時，另一個

2

點隨之停止.（1）求經過幾秒后，△尸，的面積等于面積的g?

（2）經過幾秒，△尸，與△/女?相似？

【分析】（1）設經過X秒，△戶總的面積等于△力暖面積的|,根據三角形的面積和已知列出方程，求出方程

的解即可；（2）根據相似三角形的判定得出兩種情況，再求出？即可.

2

【解答】解：（1）設經過x秒，△尸&的面積等于面積的J

112

--2%?（8—%）=-X10X8X解得：%=/2=4,

225

2

答：經過4秒后，△〃口的面積等于△/回面積的J

（2）設經過方秒，△尸攵與△/回相似，因為NC=NG所以分為兩種情況：

…PCCQ2t8-tEg16

①葭=就‘后=GT觸得：仁

^PCCQ2t8-t5/口40

②一=—,—=—，解得：t=罌;

ACBC10813

答：經過齊或工秒時，△,8與相似.

【點評】本題考查了三角形的面積，直角三角形，相似三角形的判定等知識點，能得出關于x的方程是解

（1）的關鍵，能求出符合的所有情況是解（2）的關鍵.

題型四：相似三角形中的綜合問題

例4.如圖，在aABC中，AB=AC=10,點D是邊BC上一動點（不與B,C重合），ZADE=ZB=a,

4

DE交AC于點E,且cosa=不下列結論：①△ADESAACD；②當BD=6時，Z\ABD與4DCE全等；

25

③4DCE為直角三角形時，BD為8或上；④0CCEW6.4.其中正確的結論是.（填序

2

號）

【答案】①、②、③、④.

【解析】①：AB=AC,，/B=/C,又；NADE=NB；./ADE=NC,AAADE^AACD；故①正確,

44

②AB=AC=10,ZADE=ZB=a,cosa=-,/.BC=2ABcosB=2X10X-=16,VBD=6,.*.06=10,.\AB=DC,

55

在AABD與ADCE中，/BAD=/CDE/B=/CAB=DC/.△ABD^ADCE(ASA).故②正確，

③當NAED=90°時，由①可知：△ADEsaACD,；./ADC=NAED,：NAED=90°,：.ZADC=90°,即AD_LBC,

VAB=AC,；.BD=CD,；.NADE=/B=a且cosa=4,AB=10,BD=8.

7

4

當NCDE=90°時，易△CDEs/^BAD,VZCDE=90°,ZBAD=90°,：/B=aJ.cosa=-.AB=10,

5

AB425

cosB=---=—BD=——.故③錯它.

BD52

④易證得△CDEs/^BAD,由②可知BC=16,設BD=y,CE=x,—=—/.10=—

DCCE16-yx

整理得：y2-16y+64=64-10x,即(y-8)?=64-10x,；.0<xW6.4.故④正確.

考點：(1)、三角形全等；(2)、三角形相似.

【變式1】己知，如圖1,在朝6(%中，點E是AB中點，連接DE并延長，交CB的延長線于點F.(1)求證：

△ADE^ABFE；(2)如圖2,點G是邊BC上任意一點(點G不與點B、C重合)，連接AG交DF于點H,連接

HC,過點A作AK〃HC,交DF于點K.①求證：HC=2AK；②當點G是邊BC中點時，恰有HD=n?HK(n為正整

【分析】此題涉及的知識點是兩三角形全等的判定，平行四邊形的性質點的綜合應用，解題時先根據已知條

件證明△ADE04BFE,再根據兩三角形相似的判定，等量代換得出邊的大小關系

【解析】(1)證明：：四邊形ABCD是平行四邊形，，AD〃BC,ZADE=ZBFE,ZA=ZFBE,

，ZADE=ZBFE

在AADE和ABFE中，，NAED=/BEF，/.AADE^ABFE；

AE=BE

(2)如圖2,作BN〃HC交EF于N,

D

圖2

VAADE^ABFE,.*.BF=AD=BC,/.BN=—HC,

2

由(1)的方法可知，^AEK絲△BEN,；.AK=BN,.,.HC=2AK；

(3)如圖3,作GM〃DF交HC于M,

.MGCG1

.".△CMG^ACHF,

"HFCF7

.".△AHD^AGHF,.?鯉二典二^=2,旦

VAD/7FC,

HFHGFG3DH8

uvAH9UK1

VAK/7HC,GM〃DF,AAAHK^AHGM,即HD=4HK,.\n=4.

GMHG3HD4

【點睛】此題重點考察學生對于三角形全等的判定和性質，三角形相似的判定和性質的綜合應用能力，熟練

掌握判定條件和性質是解題的關鍵.

【變式2】如圖1,在RtZ^ABC中，ZC=90°,AC=BC=2,點D、E分別在邊AC、AB上，AD=DE=-AB,連接

2

DE.將4ADE繞點A逆時針方向旋轉，記旋轉角為9.

BEBE

（1）問題發現①當。=0°時，-----；②當。=180°時，----=.

CD------CD------

BE

（2）拓展探究試判斷：當0°6<360°時，——的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明；

CD

（3）問題解決①在旋轉過程中，BE的最大值為；②當4ADE旋轉至B、D、E三點共線時，線段CD的

長為.

【答案】（1）①/②0;（2）無變化，證明見解析；（3）①2及+2,②6+1或相-1.

【分析】（1）①先判斷出DE//CB,進而得出比例式，代值即可得出結論；②先得出DE//BC,即可得出,

AEAD

—=—，再用比例的性質即可得出結論；（2）先/。氏/以￡,進而判斷出旗即可得出結論;

ABAC

（3）分點，在班'的延長線上和點，在座上，先利用勾股定理求出劭，再借助（2）結論即可得出切.

【解析】解：(1)①當6=0°時，在RtZkABC中，AC=BC=2,/.ZA=ZB=45°,AB=20,

1廠.CDBE

VAD=DE=-AB=V2＞，/AED=NA=45°,AZADE=90°,；.DE〃CB,

'~AC~~AB

CDBE‘五BE=行r-’故答案為夜r-'

②當9=180°Ht,如圖1,

,,里=型=巫坨故答案為應；

CDAC2

BE

（2）當0°W。＜360°時，——的大小沒有變化,

CD

理由：VZCAB=ZDAE,AZCAD=ZBAE,

..ADAEAB

.'.△ADC^AAEB,.BE

.ACAB,CDAC2

（3）①當點E在BA的延長線時，BE最大，在RtzXADE中，AE=0AD=2,；.BE最大=AB+AE=20+2；

②如圖2,

E

圖2

當點E在BD上時，VZADE=90°，NADB=90

在RtAADB中，AB=20,AD=0,根據勾股定理得，BD=JAB2-AD2"A/6>

.-.BE=BD+DE=76+V2）由（2）知,

如圖3,

當點D在BE的延長線上時,

在RtAADB中，AD=&,AB=20,根據勾股定理得，BD=SJAB--AD1=V6，

；.BE=BD-DE=#-0,

由（2）知，---=y/2,CD=-1?故答案為\/3+1或y/3-1.

CDV2V2

【點睛】此題是相似形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質和判定，勾股定理，相似三角形的判定和

性質，比例的基本性質及分類討論的數學思想，解（1）的關鍵是得出DE//BC,解（2）的關鍵是判斷出△加人

sXAEB,解（3）關鍵是作出圖形求出劭，是一道中等難度的題目.

【過關檢測】

一、單選題

1.（2023?安徽淮北?校考一模）如圖，在平面直角坐標系中，A8C'與，ABC位似，位似中心為原點。,

已知點C（T,-1）,AC=6,則點C'的坐標為（）

C.(6,2)D.(8,2)

【答案】D

【分析】根據A（T，T）,C（-4-1）,求出AC的長度，結合位似，得到相似比，即可得到答案;

【詳解】解：0A(-1,-1),CM,-1),

EI.A'3'C'與ABC位似，AC=6,

0.AB'C與.ABC的相似比為2:1,

0C(-4,-l),

團C'(8⑵，

故選：D.

【點睛】本題考查位似，解題的關鍵是根據線段比得到位似比，再根據位似性質求解.

2.（2022秋?安徽滁州?九年級校考階段練習）如圖，已知0ABe和團EOC是以點C為位似中心的位似圖形,

且和aEZJC的位似比為1：2,aEZJC的周長為8,則0ABe的周長是（）

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【分析】根據三角形的位似比等于相似比，和相似三角形的性質計算即可;

【詳解】回0ABe和回即C的位似比為1：2,

EHABC和回即C的相似比為1：2,

又EBEDC的周長為8,

C^ABC_C^ABC_]

EBABC的周長為4.

故選B.

【點睛】本題主要考查了位似圖形和相似三角形的性質應用，準確分析計算是解題的關鍵.

3.（2021秋?安徽阜陽?九年級校考階段練習）如圖，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高18”，他在地面上的

影長為2.L”.若小芳身高只有1.2m,則她的影長為（）

【答案】B

【分析】利用在同一時刻身高與影長成比例得出比例式，即可得出結果.

【詳解】解：設小芳的影長為xm.

1Q1O

根據在同一時刻身高與影長成比例可得：三=三，

2.1x

解得：x=1.4.

經檢驗，符合題意，

故選民

【點睛】本題考查了相似三角形的應用；根據同一時刻身高與影長成比例得出比例式是解決問題的關鍵.

4.（2023春?安徽合肥?九年級校考階段練習）下列說法中，正確的是（）

A.兩個多邊形相似，則它們一定是位似圖形B.兩個位似圖形的位似中心可能不止一個

C.位似圖形一定是相似圖形D.兩個多邊形相似，面積比一定是相似比

【答案】C

【分析】根據位似圖形的概念和相似多邊形的性質判斷即可.

【詳解】A.兩個多邊形相似，則它們不一定是位似圖形，，故該選項說法錯誤；

B.兩個位似圖形的位似中心只有一個，故該選項說法錯誤；

C.位似圖形一定是相似圖形，故該選項說法正確；

D.兩個多邊形相似，面積比是相似比的平方，故該選項說法錯誤；

故選：C.

【點睛】本題考查的是位似圖形的概念，相似多邊形的性質，掌握如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對

應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形是解題的關鍵.

5.（2022秋?安徽亳州,九年級統考期末）如圖是趙師傅利用一塊三角形的白鐵皮剪成一塊正方形鐵皮備

用.在0ABC中，8C=120,高AO=80,正方形EFGH的邊GH在邊上，E,尸分別在邊AB,AC上，

則正方形EBGH的邊長為（）

A.36B.42C.48D.54

【答案】C

【分析】根據正方形邊的平行關系，得出對應的相似三角形，即ABEHsABAD,從而

得出邊長之比M=AEEHBE,sEFEHAEBE

——，得至lj——+——=——+——進而求出正方形的邊長.

BCBABCADABBA

【詳解】解：設正方形零件的邊長為x

在正方形EFGH中，EF//BC,EH//AD

：.ZAEF=^\ABC,BEAF=^\BAC；BBHE=^\BDAf

：.AAEF^AABC,XBEHSXBAD

.EFAEEHBE

??拓一耘'而一M

.EFEHAEBE.

"BCAD~ABBA~

解得：尤=48

即：正方形零件的邊長為48；

故選：C.

【點睛】本題考查綜合考查相似三角形性質的應用以及正方形的有關性質，掌握相似三角形的判定和性質

是解題的關鍵.

6.（2022秋?安徽合肥,九年級合肥壽春中學校考期中）如圖，身高為1.6m的小明想測量一下操場邊大樹的

高度，他沿著樹影54由8到A走去，當走到C點時，他的影子頂端正好與樹的影子頂端重合，測得

于是得出樹的高度為（）

4.8mC.6.4mD.8m

【答案】B

【分析】求出A2的長度，然后根據相似三角形對應邊成比例列出比例式求解即可.

0BC=1.4m,C4=0.7m,

0AB=AC+BC=0.7+1.4=2.1m,

國小明與大樹都與地面垂直,

0ACEsABD,

廣CEAC

團---=----

BDAB

即生二22

BD2.1

解得3。=4.8,

故選：B.

【點睛】本題考查了相似三角形的應用，判斷出相似三角形，利用相似三角形對應邊成比例列出比例式是

解題的關鍵.

7.（2020?安徽合肥?合肥市第四十二中學校考一模）如圖，以點O為位似中心，將五邊形ABCDE放大后得

到五邊形AB'CDE,已知0A=10cm,OA'=20cm,則五邊形ABCOE的周長與五邊形AbCDE的周長比

【答案】A

【分析】由以點。為位似中心，將五邊形A8COE放大后得到五邊形OA=Wcm,OA'=

20cm,可得五邊形ABCDE的周長與五邊形AbCDE的位似比為：10：20=1：2,然后由相似多邊形的

性質進一步求解即可.

【詳解】回以點O為位似中心，將五邊形A8CDE放大后得到五邊形AbCOE,OA=Wcm,OA'=20cm,

國五邊形ABCDE的周長與五邊形A'B'C'D'E的位似比為：10：20=1：2,

團五邊形ABCDE的周長與五邊形A'8'C'OE的周長比是：1：2.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了位似圖形的性質，熟練掌握相關概念是解題關鍵.

8.（2022秋?安徽宿州?九年級統考期末）如圖所示，王華晚上由路燈A下的8處走到C處時，測得影子

C。的長為1米，繼續往前走3米到達E處時，測得影子EF的長為2米，已知王華的身高是1.5米，那么

路燈A的高度等于（）

【答案】B

【分析】根據同一時刻物高和影長成正比，即在同一時刻的兩個物體，影子，經過物體頂部的太陽光線三

者構成的兩個直角三角形相似解答.

【詳解】解：如圖所示，GCBiBC,ABS\BC,

A

王華的身高=路燈的高度

王華的影長路燈的影長

當王華在CG處時，Rf3\DCG3\R^\DBA,BP—=—

DBAB

當王華在即處時，R^FE^FBA,即齊先寫

CDEF

團---=----

BDBF

團CG=EH=1.5米，8=1米，CE=3米，E尸=2米,

設A3=x,BC=y,

12

團kR'

解得y=3,

則丫:，

X4

解得，x=6米.

即路燈A的高度42=6米.

故選：B.

【點睛】本題綜合考查了中心投影的特點和規律以及相似三角形性質的運用.解題的關鍵是利用中心投影

的特點可知在這兩組相似三角形中有一組公共邊，利用其作為相等關系求出所需要的線段，再求公共邊的

長度.

9.（2022秋?安徽蚌埠?九年級校考期中）如圖所示，在井口A處立一垂直于井口的木桿A2,從木桿

的頂端2觀測井水水岸。，視線8。與井口的直徑C4交于點E,若測得AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4

米，則水面以上深度8為（）

B

A.4米B.3米C.3.2米D.3.4米

【答案】B

【分析】由題意可得ABEjCDE,然后根據相似三角形對應邊成比例列式即可求得C￡）.

【詳解】解：由題意可知：AB//CD,

團ABEs-CDE,

ABAE

團---=---,

CDCE

團=1米，AC=L6米，AE=0.4米,

10.4

團---=-------,解得CD=3,

CD1.6-0.4

國水面以上深度CD為3米.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質，根據題意得出ABES_CDE是解決問題的關鍵.

10.（2021秋?安徽阜陽?九年級統考階段練習）如圖四個圖中，一ABC均與一A8C'相似，且對應點交于一

點，則ABC與‘A'3'C'成位似圖形的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】直接利用位似圖形的性質分析判斷得出答案.

【詳解】解：圖1中，一ABC與一AEC成位似圖形；

圖2中，I3AB與A8不平行，AC與AC不平行，回」1BC與A'3'C'不成位似圖形；

圖3中，ABC與‘A'3'C'成位似圖形；

圖4中，ABC與，A'3'C'成位似圖形；

綜上，A5C與11Abe'成位似圖形的有圖1、圖3、圖4,共有3個.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了位似變換，位似圖形的定義：如果兩個圖形不僅是相似圖形，且對應點連線相交

于一點，對應線段相互平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，位似圖形對應點所在直線的交點是位似

中心.

二、填空題

11.（2021秋?安徽安慶?九年級統考期中）如圖所示，一條河流的兩岸互相平行，沿南岸有一排大樹，每隔

4米一棵，沿北岸有一排電線桿，每兩根電線桿之間的距離為80米，一同學站在距南岸9米的點尸處，正

好北岸相鄰的兩根電線桿被南岸的5棵樹遮擋住，那么這條河流的寬度是米.

f北岸>f

三二

三三三

至

三三

、?S6%

、

二

二

、

二二

三三

二

、

三

三

W三三

、

三

一二S

、

11登

；

三

、

三

月垂

三

、

二S

、

、S

」~

\/南岸

\\//

P

【答案】36

【分析】根據題意，利用相似三角形的判定定理可得再由其性質：相似三角形高的比等

于相似比進行求解即可得.

【詳解】解:如圖,

回北岸相鄰的兩根電線桿被南岸的5棵樹遮擋住，

/.AS=16m,DC=80m,

-AB//CD,

???^ABP?”CP,

ABPE

~DC~~PF"

vAB=16m,尸到A5的距離即P石=9m,

16_9

，，80-9+EF?

解得：EF=36m,

團河寬為36米，

故答案為：36.

【點睛】題目主要考查相似三角形的判定和性質，理解題意，熟練運用相似三角形的判定和性質是解題關

鍵.

12.（2022秋?安徽馬鞍山?九年級馬鞍山八中校考期中）學校門口的欄桿如圖所示，欄桿從水平位置BD繞

。點旋轉到AC位置，已知AB_LBD,BD足分別為5,D,AO=4m,AB=1.6m,CO=\m,則欄桿C

端應下降的垂直距離CD為.

2

【答案】0.4m/ym

AnAR

【分析】由Z4BO=NCDO=90。，NAQB=NCOD知AABOsACDO,據此得而=而，將已知數據代入

即可得.

【詳解】解：ABLBD,CDLBD,

:.ZABO=ZCDO=90°,

又二ZAOB=NCOD,

皿AOA3

貝U—二—，

COCD

AO=4m,AB=1.6m,CO=Im,

4_1.6

T-CD*

解得：CD=0.4,

???欄桿C端應下降的垂直距離CO為0.4機.

故答案為：0.4m.

【點睛】本題主要考查相似三角形的應用，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質.

13.（2022秋?安徽宿州?九年級統考期末）如圖，A3表示一個窗戶的高，AM和表示射入室內的光線,

窗戶的下端到地面的距離3C=lm.已知某一時刻5C在地面的影長CN=1.5m,AC在地面的影長CM

4.5m,則窗戶的高度為.m.

【答案】2

【分析】陽光可認為是一束平行光，由光的直線傳播特性可知透過窗戶后的光線5N與AM仍然平行，由

此可得出一對相似三角形，由相似三角形性質可進一步求出A5的長，即窗戶的高度.

【詳解】解:BN//AM,

.NBNSNCAM,

BCCN

CN=1.5,CM=4.5,BC=1,

1_1.5

AC-45

AC=3,

:.AB=AC-BC=2(m),

答：窗戶的高度A3是2m.

故答案為：2.

【點睛】本題考查相似三角形性質的應用，解題的關鍵是找出相似的三角形，然后根據對應邊成比例，建

立適當的數學模型來解決問題.

14.（2022秋?安徽安慶?九年級統考期中）如圖，小明在A時測得垂直于地面的樹的影長為4米，8時又測

得該樹的影長為12米，若兩次日照的光線互相垂直，則樹的高度為米.

4時

5時

【答案】473

FDFC

【分析】根據題意,畫出示意圖,可得Rt.DECsRtCEF,進而可得耘=而’代入數據可得答案.

【詳解】解：如圖，根據題意得：“CF=90。,ED=4,FE=12,CE±DF,

d時

8時支

0NCED=ZZCEF=90°,ZDCE+NFCE=90°,

SZDCE+ZCDE=90°,

SZFCE=ZCDE

HRtDECRtCEF,

EDEC

El----=-----,

ECEF

4EC

即Hn——=——,

EC12

解得：EC=46,

答：樹的高度為4石米.

故答案為：4A萬.

【點睛】本題考查了通過投影的知識結合三角形的相似，求解高的大小，是平行投影性質在實際生活中的

應用，難度適中.掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵.

15.（2022秋?安徽宣城?九年級統考期末）如圖是小孔成像原理的