第三篇立體幾何

專題07立體幾何中的最值問題

常見考點

考點一最大值問題

典例1.如圖，在VABC中，AC=3C=1,ZACS-120°,。為VABC的外心，POL

平面ABC,KPO=—.

2

⑴求證：3。〃平面9C；

⑵設平面PAOn面尸3。=/,若點M在線段PC(不含端點)上運動，當直線,與平面

向1所成角取最大值時，求二面角4-3河-0的正弦值.

變式1-1.如圖，在正三棱柱A2C-A2G中，AB=AA}=2,點。在邊上，E為

的中點.

(1)如果。為BC的中點，求證：平面網E〃平面CQA；

uumuuLI

⑵設銳二面角的平面角為a,CD=^CB，&萬」，當九取何值時,

cos々取得最大值?

變式1-2.如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面4"。是直角梯形，側棱SA，底面ABC。,

A3垂直于AO和BC,SA=AB=BC=2,AD=1,M是棱S3的中點.

AD

⑴求證：AM〃平面SCD；

(2)求平面SCD與平面SAB的夾角的余弦值；

(3)設點N是線段CD上的動點，MN與平面SAB所成的角為6,求sin。的最大值.

變式1-3.如圖，在正四棱錐S-ASCD中，點。，E分別是BD,BC中點，點尸是SE

上的一點.

(1)證明：OF1BC；

(2)若四棱錐S-ABCD的所有棱長為20,求直線。尸與平面SDE所成角的正弦值的

最大值.

考點二最小值問題

典例2.如圖，在梯形ABC。中，AB//CD,AD=DC=CB=1,ZBCD=120°,四邊

形8FEO為矩形，BF=\,平面3FED，平面A8CD

⑴求證：ADL平面BOEE；

(2)點P在線段所上運動，設平面陰3與平面ADE所成的夾角為。，試求，的最小

值.

變式2-1.如圖，在VABC中，Wl,BC=208號將VABC繞邊,翻轉至

△ABP,使面丫4即_1面丫45。，。是8C的中點.

(1)求二面角尸-3C-A的平面角的余弦值；

⑵設。是線段以上的動點，當PC與。。所成角取得最小值時，求線段AQ的長度.

變式2-2.如圖，四棱錐S-ABCD的底面為矩形，底面ABCD,設平面S4。與平

面S3。的交線為在

(1)證明：mlIBC,且加，平面SDC；

(2)已知S0=AD=OC=2,R為加上的點求S3與平面RCZ)所成角的余弦值的最小

值.

變式2-3.如圖，在梯形ABC。中，AB//CD,AD=DC=CB=1,ZBCD=120°,四邊

形班即為矩形，平面5FED_L平面ABC。，BF=1.

(1)求證：8￡>_L平面AED,">J_平面3DEF；

(2)點P在線段班上運動，設平面PAB與平面ADE所成銳二面角為。，試求6的最

小值.

鞏固練習

練習一最大值問題

1.如圖所示，在三棱柱ABC-ABC中，AB=BC,點4在平面ABC的射影為線段AC

的中點，側面AAQC是菱形，過點4,2。的平面a與棱AG交于點E.

(1)證明：四邊形8瓦⑦為矩形；

(2)求M與平面4330所成角的正弦值的最大值.

2.如圖，在矩形中，M、N分別是線段A3、CD的中點，AD=2,AB=4,

將AADM沿DM翻折，在翻折過程中A點記為P點.

(1)從△ADM翻折至VNDM的過程中，求點P運動的軌跡長度；

(2)翻折過程中，二面角尸-BC-O的平面角為仇求tan。的最大值.

3.在四棱錐P-ABC。中，PAL平面ABCD,底面ABCD是直角梯形，其中AD//3C,

皿.AB=AD^BC=2,E為棱BC上的點,且小小C.

p

(1)求證：DE_L平面PAC;

(2)若二面角A-PC-D的平面角的正切值為g，求的長；

⑶在(2)的條件下，若。為線段PC上一點，求8。與面PCD所成角為。，求sin"的

最大值.

4.如圖，在直角三角形A03中，NOA8=30。，斜邊AB=4,直角三角形AOC可以

通過A03以直線A0為軸旋轉得到，且二面角3-AO-C是直二面角，動點。在斜邊

A3上.

(1)求證：平面COD，平面493；

(2)當。為的中點時，求異面直線AO與8所成角的正切值；

(3)求8與平面A03所成角的正切值的最大值.

練習二最小值問題

5.如圖，ABCD為正方形，PDCE為直角梯形，/PDC=90。，平面ABC。，平面PDCE,

^.PD=AD=2EC=2.

(1)若尸E和。C延長交于點尸，求證：BP//平面R4C；

(2)若。為EC邊上的動點，求直線8Q與平面PZ汨所成角正弦值的最小值.

6.如圖，在梯形ABC。中，AB//CD,AD=DC=BC=1,ZABC=60。，四邊形ACFE

為矩形，平面ACFEL平面ABC。，CF=\,設點M在線段班上運動.

A

(1)證明：BC±AM；

(2)設平面M鉆與平面尸CB所成銳二面角為0,求6的最小值.

7.如圖，在梯形ABCD中，AB//CD,AD=DC=CB=1,ZBCD=120°,四邊形

BFED為矩形,平面8莊刀，平面A8CD,BF=1.

(1)求證：平面3EEO；

(2)點P在線段所上運動，設平面用8與平面AOE所成銳二面角為仇試求8的最

小值.

8.如圖，正方形ABCD邊長為1,EDL平面AB