湖南省長沙市中雅培粹學校2024-2025學年上學期九年級第三

次月考數學試卷

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.下列四個圖形分別是四屆國際數學家大會的會標，其中不屬于中心對稱圖形的是（）

2.2024年2月5日至25日，人民網連續第23次開展全國兩會調查，調查圍繞10個領域

設置49個候選熱詞.本次調查廣納民情民意，吸引約6150000人次參與，其中6150000

用科學記數法可以表示為（）

A.6.15x10sB.6.15xl06C.0.615xl06D.0.615xl07

3.下列計算正確的是（）

A?。+a=aB.(-3a)-=6/

C.a+a=a~D.(a-1)2=a2-l

4.下列說法正確的是（）

A.拋擲一枚硬幣100次，一定有50次“正面朝上”

B.為了解全國中學生的心理健康情況，應該采用普查的方式

C.一組數據8,8,1,10,6,8,9的眾數和中位數都是8

D.“太陽東升西落”是不可能事件

5.如圖，OA,是O。的兩條半徑，點C在O。上，若4403=90。，則/C的度數為（）

A.30°B.35°C.40°D.45°

6.如圖，在平行四邊形/3CD中，E是CD邊上一點，4E與BD交于點、F,若DE=2EC,

試卷第1頁，共6頁

則名的值為（）

FE

C.2D.3

7.若加，〃分別為一元二次方程Y+2工-5=0的兩個實數根，貝1」2加〃-加-〃的值為（）

A.-12B.12C.-8D.8

Q

8.對于反比例函數^=—,下列說法不正確的是（）

x

A.這個函數的圖象分布在第一、三象限

B.點（2,4）在這個函數圖象上

C.若圖象上有兩點4（士,其），3（%,%）,且再＞了2，貝！］乂＜%

D.當x＞0時，V隨x的增大而減小

9.《孫子算經》中有一道題，原文是：“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈

繩量之，不足一尺，木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺，將

繩子對折再量木長，長木還剩余I尺，問木長多少尺？若設木長尤尺，繩子長V尺，則下列

方程組正確的是（）

x-y=4.5y-x=4.5

B.〈:11

—y=x-l

12/

x-y=4.5y-x=4.5

11D.〈:I1

—y=x-l—x=y-1

22J

10.反比例函數卜=*和『=上在第一象限內的圖象如圖所示，點尸在y=—的圖象上，尸

XxX

11斤

軸，交'=-的圖象于點A,尸。_L＞軸，交丁=-的圖象于點5.當點尸在歹=—的圖象上運

動時，以下結論：①△03。和△0。的面積相等；②尸/與心始終相等；③四邊形尸力。3的

面積不會發生變化；④當尸4=2/。時，PB=2BD.其中一定正確的是（）

試卷第2頁，共6頁

D.①③④

二、填空題

11.二次函數y=（x-2『一1的頂點坐標是.

12.為了比較甲、乙、丙三種水稻秋苗的長勢，每種秧苗各隨機抽取30株，分別量出每株

高度，計算發現三組秧苗的平均高度一樣，并且得到甲、乙、丙三組秧苗高度的方差分別是

8.6,5.8,12.8,由此可知種秧苗長勢更整齊（填“甲"、"乙”或"丙”）.

13.如圖，A/BC與ADEF是位似圖形，位似比為2:3,已知NB=4,則DE的長為.

''E

14.圓錐的側面積為20萬，母線長為5.則這個圓錐的底面半徑為

15.陜西飲食文化源遠流長，“老碗面”是陜西地方特色美食之一.圖②是從正面看到的一個

“老碗”（圖①）的形狀示意圖.還是O。的一部分，。是標的中點，連接O。，與弦N8

交于點C,連接CM,OB.已知48=24cm,碗深CD=8cm,則。O的半徑CM為

圖①

試卷第3頁，共6頁

16.如圖，OO內切于四邊形48cO,若NB=10,BC=8,CD=7,貝以。的長度為

三、解答題

17.計算：（-2024）。+4+|1-V2|-^（-3）2

18.先化簡，再求值：其中百一1.

19.如圖，直線廣匕x+6（勺*0）與雙曲線y=§的片0）相交于/（1,2）、8（見-1）兩點.

（1）求直線和雙曲線的解析式；

⑵觀察圖象，請直接寫出不等式《x+6〈冬的解集.

X

20.某中學為積極落實國家“雙減”教育政策，決定增設四門興趣課，/“戲曲”、歲跳繩”、C“無

人機”、書法”，為了了解學生對每個興趣小組的喜愛情況，隨機抽取了部分同學進行調查,

并將調查結果繪制出下面不完整的統計圖，請結合圖中的信息解答下列問題：

試卷第4頁，共6頁

(1)本次共調查了名學生；并將條形統計圖補充完整；

(2)若該校共有學生2000人，則估計該校喜歡跳繩的學生人數約是；

(3)現選出了4名跳繩成績最好的學生，其中有1名男生和3名女生，要從這4名學生中任

意抽取2名學生去參加比賽，請用列表法或畫樹狀圖法，求剛好抽到1名男生與1名女生的

概率.

21.如圖，點E是正方形/BCD邊上一點，過E作NE的垂線，交CD于點尸，交4B的延

長線于點G.

(1)求證：/\ABEs/\ECF；

(2)若正方形的邊長為8.點E是8C的中點，求8G的長.

22.某校因物理實驗室需更新升級，現決定購買甲、乙兩種型號的滑動變阻器.若購買甲種

滑動變阻器用了1600元，購買乙種用了2700元，購買的乙種滑動變阻器的數量是甲種的

1.5倍，乙種滑動變阻器單價比甲種單價貴6元.

(1)求甲、乙兩種滑動變阻器的單價分別為多少元；

(2)該校擬計劃再訂購這兩種滑動變阻器共100個，總費用不超過5000元，那么該校最少購

買多少個甲種滑動變阻器？

23.如圖，以N8為直徑的。。中，點C為O。上一點，連接NC,BC,延長N8至點初，

使得=作交。。于點。，交的延長線于點N.

圖1圖2

(1)求證：直線MC為O。的切線；

(2)如圖2,若點。是灰的中點，連接DC,OC,求證：四邊形/OCD為菱形;

試卷第5頁，共6頁

⑶在（2）的條件下，若BM=2,求DN的長.

24.我們把圖象經過原點的函數，叫做“丫”函數.

（1）請你判斷下列說法是否正確（在題后相應的括號中，正確的打4,錯誤的打x）

①一次函數夕=h+6（上片0）可能是“丫”函數（）；

②二次函數了=辦2+云+《。*0）一定是“y”函數（）；

③反比例函數y=々4力0）可能是函數.（）

X

（2）已知二次函數y=ax2+2^x+c（0片0）是“丫”函數，河（五乂）和N（%,%）是它圖象上的

兩點.若對于再=30,都有必＜%,求。的取值范圍.

（3）已知拋物線6i=。/-6。關-。3+2/+］（。＞0）,過點/（否,3）和點8仇，3）,將直線4B

向下平移2個單位交拋物線G于E,尸兩點.設的面積為S,若對于任意的。＞0,

均有S2K成立，求K的最大值，并判斷此時該二次函數是否為“丫”函數.

25.如圖，點/、B、C、。在。。運動，且筋=筋，線段8￡?、NC交于點￡,且

/4DB+/3/C=90。，點G是線段上一點，連接/G并延長交。。于點尸，連接。尸.

（1）證明：/C是。。的直徑；

（2）若△/￡）尸的面積為S,AEDG的面積為H面積的為邑，且滿足西-病,

(3)若N尸=12,AB=x,^y=DF-BG-J--—+—-—+2AD+1995,求V關于x的函

"\AF-AGAC-AE

數解析式，并求出v的最大值.

試卷第6頁，共6頁

參考答案:

題號12345678910

答案ABCCDACCBD

1.A

【分析】本題主要考查了中心對稱圖形的識別.在同一平面內，如果把一個圖形繞某一點旋

轉180度，旋轉后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形.這個旋

轉點，就叫做中心對稱點.

【詳解】解：選項B、C、D均能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180度后和原圖

形完全重合，所以是中心對稱圖形，

選項A不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180度后和原圖形完全重合，所以不

是中心對稱圖形，

故選：A.

2.B

【分析】本題主要考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為axlO"的形式，其

中1引《＜10,〃為整數.確定”的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，〃的

絕對值與小數點移動的位數相同.

【詳解】解：6150000=6.15xlO6,

故選：B.

3.C

【分析】本題主要考查合并同類項、積的乘方、同底數幕的除法、完全平方公式，根據合并

同類項、積的乘方、同底數幕除法，完全平方公式，進行判斷即可.

【詳解】解：A、a+a=2a,原計算錯誤，該選項不符合題意；

B、(-3a)2=9a2,原計算錯誤，該選項不符合題意；

C、a3^a=a2,原計算正確，該選項符合題意；

D、(a-球=/_2a+l,原計算錯誤，該選項不符合題意.

故選：C.

4.C

【分析】本題考查頻率和概率的關系，抽樣調查和全面調查，眾數和中位數，事件的分類等

知識，根據相關知識逐項判斷即可.

答案第1頁，共18頁

【詳解】解：A、頻率不等于概率，正面朝上的次數不確定，故此選項錯誤，不符合題意；

B、為了解全國中學生的心理健康情況，應該采用隨機抽樣的方式，故此選項錯誤，不符合

題意；

C、這組數據按從小到大的順序排列為6,7,8,8,8,9,10,中位數是8,出現最多的是

8,即眾數是8,故此選項正確，符合題意；

D、“太陽東升西落”是必然事件，故此選項錯誤，不符合題意；

故選：C.

5.D

【分析】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或者在等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相

等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解答本題關鍵.

根據圓周角定理即可求解.

【詳解】解：是。。的兩條半徑，點C在O。上，ZAOB=90°,

ZC=-ZAOB=45°,

2

故選：D.

6.A

【分析】本題考查相似三角形的判定與性質，平行四邊形的性質，過￡作后。〃3c交于

Q,先根據得到ADEQSAQCB,結合四邊形N8C。是平行四邊形得到

AD=BC,從而得到得到AFEQSA皿即可得到答案；

【詳解】解：過E作EQ〃BC交BD于Q,

?：EQ//BC,

/.ADEQSADCB,

EQ_DE

~BC~~DC'

DE=2EC,

EQ2

5C-3)

四邊形/BCD是平行四邊形,

答案第2頁，共18頁

AAD//BC,AD=BC,

：.EQ//AD,

/.小FEQs小FDA,

?_A_D__A_F____3

"EQ~EF~29

故選：A.

7.C

【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，對于一元二次方程

卜c

ax1+bx+c=Q（a^Q）,若再，％是該方程的兩個實數根，則再+超=-一，再迎=一，據此可

aa

得加+〃=-2,mn=-5,再利用整體代入法求解即可.

【詳解】解：,?加，〃分別為一元二次方程V+2x-5=0的兩個實數根，

m+n=—2,mn=-5,

2mn-m-n=2mn-（m+=-5x2-（-2）=-8,

故選：C.

8.C

【分析】本題考查了反比例函數的性質，根據當左>0,雙曲線的兩支分別位于第一、三象

限，在每一象限內y隨x的增大而減小進行分析即可.

4

【詳解】解：A.反比例函數”—中的左=8〉0,這個函數的圖象分布在第一、三象限，故

該選項正確，不符合題意；

B.點（2,4）在這個函數圖象上，故該選項正確，不符合題意；

C.選項沒有說明兩點在同一象限，所以不正確，符合題意；

D.當x>0時，V隨X的增大而減小，故該選項正確，不符合題意；

故選：C.

9.B

【分析】本題主要考查了從實際問題中抽象出二元一次方程組，設木長x尺，繩子長了尺，

根據用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺可得方程y-x=4.5,根據將繩子對折再

量木長，長木還剩余1尺，可得方程;y=x-l,由此即可得到答案.

【詳解】解：設木長x尺，繩子長V尺，

答案第3頁，共18頁

y-x=4.5

由題意得，h,

—y=x-l

12/

故選B.

10.D

【分析】本題考查了反比例函數比例系數k的幾何意義、反比例函數的圖象以及反比例函數

圖象上點的坐標特征；由點48均在反比例函數＞=」的圖象上，利用反比例函數系數上的

X

幾何意義即可得,即可判斷①；設點尸的坐標為則點3的坐標為

（十,幺］，點求出產4%的長度，由此可得出P4與尸8的關系無法確定，即可

mJImJ

判斷②；利用分割圖形求面積法即可得出S四邊形尸408=ME形OCPD-Roos-Soo=k-1，即可判

斷③；設點尸的坐標為（加,8］,則點5的坐標為［7,七］,點,由點尸/=2/C可

VmJ\kmJ\mJ

得出左=3,將其代入點P、5的坐標即可得出心=2助，即可判斷④.

【詳解】解：①???點45在反比例函數＞=’的圖象上，且軸，4C_Lx軸，

x

?S_1＜_1

,?°AODB—o，°AOCA，

,?S^oDB=S&ocA，故①正確;

②設點P的坐標為［加,X］,則點8的坐標為上］，點/（儀，］

VmJ\kmJ\mJ

.c,k1k—1ccmmk-m

..PA=-----=,PB=m=------,

mmmkk

???尸/與M的關系無法確定，故結論②錯誤；

③：點P在反比例函數＞="的圖象上，且尸C，x軸，PDVy^,

X

,,S矩形OCPD=k,

=

S四邊形尸NOB蠢形OCPQ-S&ODB-SOCA=k-1,故結論③正確；

④設點P的坐標為［機,幺］,則點B的坐標為，點/（加,，

mJ\kmJvm

VPA=2AC,貝!）尸C=3ZC,

:?k=3,

工點尸的坐標為（加,3］,8但刀,

（mJmJ

：.PD=3BD，即尸8=2BD故結論④正確；

答案第4頁，共18頁

正確的結論為①③④，

故選：D.

11.（2,-1）

【分析】本題考查了利用二次函數頂點式求頂點坐標，解題關鍵是運用了頂點式

y=a（x-h）2+k,其頂點坐標是仇人）.

根據頂點式對照求二次函數y=（x-2『-1的頂點坐標即可求解.

【詳解】解：；二次函數y=（x-2>-l是頂點式,

，頂點坐標為

故答案是：（2,-1）.

12.乙

【分析】本題考查方差的意義，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越大，表明這組數據偏離平均數越大，即波動

越大，數據越不穩定；反之，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離平均數越

小，即波動越小，數據越穩定.

【詳解】解：V5.8<8.6<12.8,

??.乙種秧苗長勢更整齊，

故答案為：乙.

13.6

【分析】由^ABC與4DEF是位似圖形，位似比為2：3,可得AB：DE=2：3,繼而可求

得DE的長.

【詳解】：ZXABC與4DEF是位似圖形，位似比為2：3,

AAB：DE=2：3,

DE=6.

故答案為6.

【點睛】本題考查了位似圖形的性質.解題的關鍵是掌握位似圖形是相似圖形的特殊形式，

位似比等于相似比的特點.

14.4

【分析】圓錐的側面積=底面周長X母線長+2,把相應數值代入即可求解.

答案第5頁，共18頁

【詳解】解：設底面半徑為R,

則底面周長=2%及，

圓錐的側面積=,x2乃Rx5=5"R=20萬,

2

：.R=4.

故答案為：4.

【點睛】本題考查了圓錐的底面半徑，利用圓錐側面積公式求解是解題的關鍵.

15.13CZM/13厘米

【分析】本題考查了垂徑定理、勾股定理的應用，設。。的半徑為Rem,列出關于火的

方程是解題的關鍵.首先利用垂徑定理的推論得出a>_LN3,AC=BC=^-AB=l2cm,再

2

設。。的半徑CM為Rem,則。C=(R-8)cm.在RQCMC中根據勾股定理列出方程

J?2=122+(7?-8)2,求出火即可.

【詳解】解：；前是O。的一部分，。是冠的中點，AB=24cm,

OD±AB,AC=BC=—AB=12cm,

2

設OO的半徑。4為Rem,則。C=OD-CD=(7?-8)cm.

在Rt^O/C中，VZOCA=90°,

:.OA2=AC2+OC2,

:.R2=122+(7?-8)2,

，R=13,

即OO的半徑。4為13cm.

故答案為13cm.

16.9

【分析】本題考查了切線長定理；如圖，設4B與。。相切于點E,8C與。。相切于點尸，CD

與。。相切于點G,AD與。。相切于點〃，根據切線長定理得到/￡=/"，BE=BF,

CF=CG,DG=DH,進而得到/3+CD=4D+3C,結合已知即可得出的長.

【詳解】解：內切于四邊形ABCD,

如圖，設力B與。。相切于點E,5c與。。相切于點RCD與。。相切于點G,AD與。。相

切于點H,

答案第6頁，共18頁

：?AE=AH,BE=BF,CF=CG,DG=DH,

：.AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH,

：.AB+CD=AD+BC,

?.?AB=10,BC=8,CD=7,

：.40+8=10+7,

解得：AD=9,

故答案為：9.

17.6+V2

【分析】本題考查了實數的混合運算，根據零指數幕，負整數指數幕，化簡絕對值，算術平

方根進行計算即可求解.

【詳解】解：（一2024）°+、j+|l_&|-好了

=1+9+72-1-3

=6+V2.

18.x+1,V3

【分析】本題考查了分式的化簡求值，實數的計算，先根據分式的混合運算進行化簡，再將

字母的值代入進行計算即可求解.

【詳解】解：fi+J-L—

IX-1)

X-1+1

----------------X

=x+1,

答案第7頁，共18頁

當％=百—i時，原式=a-i+i=6.

12

19.(l)y=丈+1,y=-

X

(2*<-2或0<%<1

【分析】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，涉及的知識有：待定系數法確定函

數解析式，利用了數形結合的思想，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵.

(1)將A坐標代入反比例解析式中求出優的值，確定出雙曲線解析式，將3坐標代入反比

例解析式求出機的值，確定出3坐標，將A與3坐標代入一次函數解析式中求出發與6的值,

即可確定出直線解析式；

(2)由兩函數交點坐標，利用圖象即可得出所求不等式的解集.

【詳解】(1)解：將"(1,2)代入雙曲線解析式得：魚=2,

即雙曲線解析式為〉=*,

x

將代入雙曲線解析式得：-1=-,

m

即加二一2,

5(-2,-1),

將A與8坐標代入直線解析式得：

[k+b=2[k.=1

x1'解得：;I'

[—2左1+b=_][b=l

則直線解析式為y=x+l；

(2)解：利用函數圖象得：不等式左x+6<￡的解集為x<-2或0<x<l.

X

20.(1)40,統計圖見解析

(2)800

*

【分析】本題考查了扇形統計圖與條形統計圖信息關聯，樣本估計總體，用樹狀圖法求概率,

熟練掌握和靈活運用相關知識是解題的關鍵.

(1)用A組人數除以占比求得總人數，進而求得C組人數，補全統計圖；

(2)用B組的占比乘以2000,即可求解；

答案第8頁，共18頁

（3）畫樹狀圖求概率即可求解.

【詳解】（1）解：4^10%=40（人）

答:本次共調查了40人；

C小組有：40-4-16-12=8（人），

⑵若該校共有學生2。。。人，則估計該校喜歡跳繩的學生人數約是2。叱獷8。。（A）.

（3）解：畫樹狀圖如圖，

開始

男女

女女女男女女男女女男女女

共有12種等可能結果，其中剛好抽到1名男生與1名女生，有6種,

...剛好抽到1名男生與1名女生的概率為三=；

122

21.⑴見解析

⑵2

【分析】本題考查了正方形的性質，相似三角形的性質與判定；

（1）根據題意兩個都是直角，再得出NCFE=/BFA,即可證出；

（2）證明AGEBSAE/B,根據相似三角形的性質，即可求解.

【詳解】（1）解：：四邊形是正方形，

...ZC=90°,

ZCFE+NFEC=90°

?；AELFG,

：.ZFEC+ZAEB=90°,

答案第9頁，共18頁

???ZCFE=/BEA，

又：ZC=ZABE=90°

：./\ABEs^ECF.

(2)VAELFG,

：./EAB+/EGA=90。

又???四邊形ABCD是正方形，

?,.ZABE=90°,

：.ZEBG=90°=ZABEf

：.ZGEB+/BGE=90°

???ZGEB=/EAB

*,.&GEBs&EAB

,BGBE

BE~AB

???E為5c中點,

/.BE=-BC=-AB=4

22

.BE242、

AB8

22.(1)甲種滑動變阻器的單價是48元，乙種滑動變阻器的單價是54元;

⑵該校最少購買67個甲種滑動變阻器.

【分析】本題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式的應用；

(1)設甲種滑動變阻器的單價是x元，則乙種滑動變阻器的單價是(x+6)元，乙種書的單

價是丁元，根據“購買甲種滑動變阻器用了1600元，購買乙種用了2700元，購買的乙種滑

動變阻器的數量是甲種的1.5倍”，可得出關于x的分式方程，解之即可得出結論；

(2)設購買甲種滑動變阻器機個，則購買乙種滑動變阻器(100-〃。個，利用總價=單價x數

量，結合總費用不超過5000元，可得出關于加的一元一次不等式，解之取其中的最小整數

值，即可得出結論.

【詳解】(1)解：設甲種滑動變阻器的單價是x元，則乙種滑動變阻器的單價是(x+6)元,

以幽

根據題意得:1.5x

x+6x

解得：x=48.

答案第10頁，共18頁

經檢驗，x=48是所列方程的根，且符合題意.

/.x+6=48+6=54(元)

答：甲種滑動變阻器的單價是48元，乙種滑動變阻器的單價是54元；

(2)解：設購買甲種滑動變阻器機個，則購買乙種滑動變阻器。00-〃。個.

根據題意得：48m+54(100-m)<5000.

解得：加之一.

,：m為整數，

：.m的最小值為67,

答：該校最少購買67個甲種滑動變阻器.

23.(1)見解析

⑵見解析

(3)1

【分析】(1)連接。C,根據是。。的直徑得到NNC2=90。，根據。/=OC得到

AOAC=NOCA,結合ZMCB=NCAM即可得到/OQW=90。即可得到答案；

(2)根據/N_LCM得到==90。，從而得到ZN||OC,得至I」ND/C=NO。，根據

點。是就的中點得到AD=CD從而得到AD=CD,得到ADAC=NDCA,根據OA=OC得

至U/CMC=/OCN,從而得到/。4c=/DC4,即可得到。C〃/O,即可得到證明；

(3)根據四邊形NOCD為菱形得到=結合3=。。，得到△O4D是等邊三角形即

可得到/。/。=60。，從而得到/"=90。-60。=30。，結合30。角所對直角邊等于斜邊一半在

AOMC中求出半徑，在A/MN中即可求出￡W；

【詳解】(1)證明：連接OC,

：48是O。的直徑，

ZACB=9Q°,

:OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

'：ZMCB=ZCAM

：.ZMCB=ZOCA,

：.ZOCM=ZACB=90°,

答案第11頁，共18頁

N

C

圖1

?,?直線M2為。O的切線；

(2)證明：AN1CM,

：.NN=ZOCM=90°,

.?.AN\\OCf

：.ADAC=AOCA,

???點。是就的中點，

AD=CD

：.AD=CD,

：.ZDAC=ZDCA,

,：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCAf

：.ZOAC=ZDCA,

???DC//AO,

?.?AN\\OCf

???四邊形AOCD為平行四邊形,

又O4=OC,

???四邊形49C。為菱形；

(3)解：連接8,

???四邊形4。。。為菱形，

???OA=AD,

u：OA=OD,

△040是等邊三角形，

???/CM。=60。，

答案第12頁，共18頁

NN=90。,

：.ZM=90°-60°=30°,

AN=r+DN=；AM=；Qr+BM),

???/OCA/=90。，

.?.OC=r=^OM=^(r+BM),

BM=2,

r=—(r+2),r+DN=—(2r+2),

22

：.r=2,DN=1.

【點睛】本題考查圓的切線證明，菱形的判定與性質，直角三角形30。角所對直角邊等于斜

邊一半，等邊三角形的判定與性質，解題的關鍵是做出輔助線.

24.(1)①《②x；③x

,、4

(2)0<67<1或a<——

(3)472，不是函數

【分析】(1)根據新定義，判斷各函數是否過原點，即可求解；

(2)根據二次函數的性質，先求得拋物線的對稱軸為直線x=-。，進而分a>0,?<0,

分別畫出圖形，根據題意，得出不等式，解不等式，即可求解；

(3)根據題意得直線AB為:y=3,直線EF為:>=1,拋物線對稱軸為直線x=3,進

而聯立跖與拋物線解析式，得出一元二次方程，設點E、尸的橫坐標為m,n,根據

根與系數的關系可得〃z+〃=6,"?7=-/+2°,結合題意求得S的最小值，即可得出K的最

大值，進而求得。=1,寫出二次函數解析式，判斷是否過原點，即可求解.

【詳解】(1)解：①當6=0時，一次函數>=依經過原點，故①正確；

②二次函數了="2+區+4。40)。不一定等于0,則不一定是“丫”函數，故②錯誤；

答案第13頁，共18頁

③反比例函數y=&（4片0）不經過原點，故③錯誤，

X

故答案為：①《②x；③x.

D2

（2）解：二次函數y=ax2+2?2x+c（aw0）的對稱軸為直線x=-*L=-a；

2a

①如圖，當a>0時，和？/（工2必）都在對稱軸右側，

此時y隨x增大而增大,

弘<%，

，再<起,

3。＜3,

.'.0<a<1；

②當a<0時，對稱軸為直線：x=.a,

M（X],必）在對稱軸左側，2V（X2,y2）在對稱軸右側,

點M（3a,yJ關于對稱軸的對稱點（-5aM）在對稱軸右側，在對稱軸右側，y隨x增大而減

小，

弘<%，

—5a>4,

4

解得：。<一不；

一、4

綜上所述，0<。<1或〃<-1；

答案第14頁，共18頁

(3)解：由題知，直線為：V=3,直線EF為:>=1,

)=一6〃x-q3+2/+1對稱軸為直線％=--—-6-a-=3,如圖:

則S=；xEFx(%)=E/，

聯立直線所和拋物線的表達式得：依2_6依-/+2/+1=1,

即%2-6x-Q?+2Q—0，

設點E、F的橫坐標為m,n,

貝！J冽+〃=6,nm=-a2+2a,

貝ljEF2—{m—n^=(m+w)2-4mn=36-4(-/+2Q)=4(Q2_2Q+9),

貝ljS=EF=2^Ja2-2a+9=2^(a-l)2+8>472，

當。=1時，等號成立，即K的最大值為：4拒，此時。=1,

???拋物線的表達式為：y=x2-6x+2,圖像不過原點，不是“丫”函數.

【點睛】本題考查了新定義，一次函數，反比例函數，二