湖南省衡陽市衡陽縣2024屆高三第一次模擬考試數學試卷

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一、單選題

1.設集合N={x|±°40},B={X|3X2-7X<10},則/口8=（）

A.B.31]

C.[0,1]D.（0,1]

2.已知復數z滿足zN=4且2+彳+忖=0,則zz。?的值為

A.-1B.-22019C.1D.22019

3.在V4BC中，AC=2,。為AB的中點，CD=、BC=不,尸為CD上一點，且

2

AP=mAC+^AB,貝1|網=（）

AV31nV13「岳n2而

4323

4.己知甲植物生長了一天，長度為乙植物生長了一天，長度為16a.從第二天起,

甲每天的生長速度是前一天的;倍，乙每天的生長速度是前一天的《，則甲的長度第一次超

過乙的長度的時期是（）（參考數據：取lg2=0.3,lg3=0.48）

A.第6天B.第7天C.第8天D.第9天

5.已知四棱錐尸-N8CD的底面為矩形，=26，BC=4,側面尸4B為正三角形且垂直

于底面43C。，"為四棱錐尸-/BCD內切球表面上一點，則點M到直線CD距離的最小值

為（）

A.710-2B.V10-1C.26-2D.273-1

6.已知/'（x）是定義在[0,+8）上單調遞增且圖像連續不斷的函數，且有

小)+/(用

〃x+y)=設再>%>i，則下列說法正確的是（)

i+/(x)/(y)'

/(再)+/(%)>/>]

A.

]>/(%)+/(9)/9+%)

B.>

試卷第1頁，共4頁

c.[）+葉〃玉）+小2）,]

D.I〉/]X+x?>〃演）+《2）

7.已知拋物線C：/=2px（p>0）的焦點為尸，過尸作不與x軸垂直的直線/交C于48兩

點，設△CM5的外心和重心的縱坐標分別為肛〃（。是坐標原點），則一的值為（）

n

313

A.1B.—C.-D.—

428

1r

8.已知函數/（x）=e*-3,g（x）=-+ln-,若〃加）=g（〃）成立，則”-加的最小值為（）

A.In2-1B.In2C.-l-ln2D.l+ln2

二、多選題

9.記函數/（尤）=2cos（0x+e）（0>O,O<0<7i）的最小正周期為T,若〃7）=白，且/1（x）

jrIT

在-三』上的最大值與最小值的差為3,則（）

A./（。）=1B.0訃/用

C.7（尤）在區間上單調遞減D.直線尸石-|x是曲線y=/（x）的切線

10.已知數列｛4｝各項均為負數，其前"項和S”滿足ajS.=16（"eN*）,則（）

A.數列｛/｝的第2項小于-3B.數列｛%｝不可能是等比數列

C.數列｛對｝為遞增數列D.數列｛%｝中存在大于-焉的項

11.球面三角學是研究球面三角形的邊、角關系的一門學科.如圖，球。的半徑為R,A,B,

C為球面上三點，劣弧BC的弧長記為“，設Q表示以。為圓心，且過3,C的圓，同理，

圓。6，Q的劣弧/c,N8的弧長分別記為6,C,曲面N8C（陰影部分）叫做曲面三角形,

若a=b=c,則稱其為曲面等邊三角形，線段OB,OC與曲面V/BC圍成的封閉幾何

體叫做球面三棱錐，記為球面。.設/BOC=tz,4Aoe=。,ZAOB=7,則下列結

論正確的是（）

試卷第2頁，共4頁

A.若平面VNBC是面積為3斤的等邊三角形，貝］兒=6=。=尺

4

B.^a2+b2=c2,貝1］優+02=72

C.若a=6=c=：R,貝狂求面。一ABC的體積%>交及3

312

TT

D.若平面VN8C為直角三角形，且N4C2=g,則/+/>2

2

三、填空題

12.甲乙兩個盒子中裝有大小、形狀相同的紅球和白球，甲盒中有5個紅球，2個白球；乙

盒中有4個紅球，3個白球.先從甲盒中隨機取出一個球放入乙盒，再從乙盒中隨機取出一個

球，則從乙盒中取出的是紅球的概率為.

13.口+以2尸［展開式中的常數項是120,則實數0=.

14.正四面體48CD的棱長為6,點尸是該正四面體內切球球面上的動點，當強.而取得

最小值時，△尸2。的面積為.

四、解答題

15.若銳角VNBC的內角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,其外接圓的半徑為且

acos(B-C)+acosA-2V3csinBcosA.

(1)求角A的大小；

i2.2

⑵求±的取值范圍

b

16.已知數列｛4｝是等差數列，%=3,d豐0,且q,%，。25構成等比數列，

⑴求凡;

⑵設/(〃)=%,若存在數列也｝滿足4=1,外=7,4=25,且數列〃色,)｝為等比數歹I),

試卷第3頁，共4頁

求｛。也｝的前"項和S”.

17.如圖，在四棱錐尸-/3CD中，四邊形/BCD是菱形，平面平面尸4D,點M在

。尸上，且。河■=2〃？,40=/尸,/尸40=120°.

(1)求證：AD1平面/CM；

⑵若NADC=60°,求平面ACM與平面ABP夾角的余弦值.

18.2023年12月25日，由科技日報社主辦，部分兩院院士和媒體人共同評選出的2023年

國內十大科技新聞揭曉.某高校一學生社團隨機調查了本校100名學生對這十大科技的了解

情況，按照性別和了解情況分組，得到如下列聯表：

不太了解比較了解合計

男生204060

女生202040

合計4060100

(1)判斷是否有95%的把握認為對這十大科技的了解存在性別差異；

⑵若把這100名學生按照性別進行分層隨機抽樣，從中抽取5人，再從這5人中隨機抽取2

人，記抽取的2人中女生數為X,求X的分布列及E(X).

附：①力2=7-八："：*"人八，其中〃=。+6+。+】；

②當z2>3.841時有95%的把握認為兩變量有關聯.

19.已知函數/(x)=lnx,g(%)=%-l.

⑴證明：/(x)<g(x)；

⑵設Mx)=/(x)-g(x),求證：對任意的0<6<°,都有"(")一〃9)>」——1成立.

a-ba+b

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案DDDCBDDABDBCD

題號11

答案BC

1.D

【分析】先求出集合A,B,再結合交集的定義，即可求解.

【詳解】因為三工0,所以產下）4°,解得0<E,

x[xw0

因為3/一7xW10,所以（3x-10）（x+l）W0,解得-LWxwg,

所以《={》|0<》41},5={x|-l<x<y},

故"c8=（O,l].

故選：D.

2.D

【解析】首先設復數z=a+4（a,6GR）,根據z2=4和z+7+0=0得出方程組，求解可得:

/1Ai~

z=-2-5土乎A，，通過計算可得：（-，土業）3=1,代入即可得解.

I22722

【詳解】設Z=Q+4（〃，b￡R）,

由z?亍=4且z+N+團=0,得

a2+b2=4

，解得a=1,b=±V3.

2Q+2=0

而（。*=T+3x（jx]川+3*卜/（一爭）2+（一4）』，

,15、3

(——+—z)

22

22019.(_l+21-)201922019

...Z2019=z=.[(_1±2L1Z-)3]673=

故選：D.

答案第1頁，共18頁

【點睛】本題考查了復數的計算，考查了共輾復數，要求較高的計算能力，屬于較難題.

3.D

【分析】由中點可知方=乂5+荏），根據模長關系可得0.赤=-2,設方=43，結合

1

m=—

:,用聲，而表示下，結合模長運算求解.

平面向量的線性運算以及基本定理可得

A=-

3

【詳解】因為。為A8的中點，則麗=（（卞+方）,

可得函Z=；（而^^+25.赤卜即7=：（4+28+2（3?屈），解得臣.赤=一2,

又因為尸為C。上一點，設爐=人而，

+為=mAC+1-AB,

貝ij不=就+而=就+疝5=冠+力=(1-A)4C

23

quur2uutr

可得ai,解得:,即。尸=—CA,

)

1-2=-3口=2§3

則赤=就+3=電+|"(/+))=一爐+”,

uur4uur21uur24uuruur5?,__,/77

可得4P=-C2A+-CB--CACB=―,即不=義”.

9999??3

故選：D.

【點睛】關鍵點睛：1.根據模長關系可得而.而=-2;

1

m=—

3

2.設麗=4比，根據平面向量基本定理求得

2=-

3

3.以石，而為基底表示萬，進而運算求解.

4.C

【分析】設甲植物每天生長的長度構成等比數列｛%｝,甲植物每天生長的長度構成等比數列

也｝,設其前〃項和分別為分、T“,依題意得到｛%｝、也｝的通項公式，即可求出邑、Tn,

再由邑>4得到[9]>24,最后根據指數函數的性質及對數的運算性質計算可得.

【詳解】設甲植物每天生長的長度構成等比數列｛與｝,甲植物每天生長的長度構成等比數列

答案第2頁，共18頁

{b?},設其前〃項和分別為S）,、T?（即〃（〃eN*）天后樹的總長度）,

所以S.

由邑＞北，可得—2a

解得0>24或<1（舍去），

,,1g24Ig3+31g20.48+3x0.3

_

由>24則“‘bg/’，因為°gg~lg3-lg2-0.48-0.3

即〃>7.7,又〃eN*,所以”的最小值為8.

故選：C

【點睛】關鍵點睛：本題關鍵是利用等比數列求出公式求出〃（〃eN*）天后樹的總長度，從

而得到不等式，再結合指數函數的性質解得.

5.B

【分析】X,N分別為和CD的中點，平面PAN截四棱錐尸-ABCD的內切球。所得的截

面為大圓，求出圓的半徑，利用圓心到直線距離求點M到直線。距離的最小值.

【詳解】如圖，設四棱錐的內切球的半徑為％取NB的中點為兄CD的中點為N,連接

PN,HN,

答案第3頁，共18頁

球O為四棱錐尸-/BCD的內切球，

底面N8C。為矩形，側面P48為正三角形且垂直于底面48CD,

則平面P/W截四棱錐P-ABCO的內切球。所得的截面為大圓，

此圓為的內切圓，半徑為r,與HN,P"分別相切于點E,F,

平面尸4B_L平面4BC。，交線為NB,JWu平面P4B,

△P4B為正三角形，有PH工4B,PH1ABCD,

可￥<=平面48。，PHVHN,

/B=2VJ,BC=4,貝！］有尸H=3,HN=4,PN=5,

則AP/W中，S.郎=；x3x4=；r(3+4+5),解得r=l.

所以，四棱錐尸-A8C。內切球半徑為1,連接ON.

QPH_L平面4BCD,CDu平面4BCD,CDVPH,

又CDLHN,PH,HNt平面PHN,PHCHN=H,

\CD'平面莊W,?rONu平面尸耳V,可得ON_LCD,

所以內切球表面上一點M到直線CD的距離的最小值即為線段ON的長減去球的半徑,

y-ON=y/OE2+EN2=710-

所以四棱錐尸-4BCD內切球表面上的一點M到直線CD的距離的最小值為9-1.

故選：B.

【點睛】方法點睛：

四棱錐P-A8CZ)的內切球，與四棱錐的五個面都相切，由對稱性平面尸7W截四棱錐

P-42CD的內切球。所得的截面為大圓，問題轉化為三角形內切圓，利用面積法求出半徑,

即內切球的半徑，由球心到直線的距離，求點M到直線C。的距離的最小值.

6.D

【分析】根據函數的單調性的定義和性質以及利用反證法證明不等式，結合選項先證明

答案第4頁，共18頁

2/網+匕

/(無)<1,再根據[(2尤)=2]：)可得/(占+々)=「;2J構造函數

l+/(x)]+/(七+*2j

0y

g(x)=S^xe[O/)，根據函數單調性即可得出結論.

【詳解】/(x+O)=I?；；[')得到"0)[尸(x)T]=0，

因為/(x)單調遞增,所以/(x)不恒等于±1,故八0)=0,

因為/(x)在[0,+旬上單調遞增，故/(x"〃0)=0,

/(x)+l

若存在/使得/(%)=1,則〃X+Xo)=1

1+/(尤)

則1(x)恒等于1,與/(X)單調遞增矛盾，故/'(x)wl,

Vxe[0,+s),若存在X[,使得/1(芭)>1

因為/(x)連續,/(%1)>1,/(0)=0<1,故存在%，使得/6)=1,

與上述〃力21矛盾,故Vxe[0,+8)/(無)<1,

/(X+X)小)+/(0)2/(占)+/&)

對于本題，“r-1+〃匹)〃/)一]+[代012^1，當且僅當/(為)=/優)時取

2

等，

f(x+x)>/—)+//)

因為再力無2，/卜)單調遞增，故不取等號，即'1?J〃網)+/6)丫

+2~

2/(無)

當〉=x時，有〃2x)=即/(X|

l+/2(x)'

2

當xe[0,l)時，令g(x)=￡g(無)=-]---,xe(O,l)

---FX

X

答案第5頁，共18頁

2

因為＞='+尤廣€（0,1）單調遞減，所以g（x）=T1'xe（°』）單調遞增,

X+X

X

o

因為g（O）=O,所以8卜）=.Y,》40,1）,單調遞增,

xx+x2

x+x2

因為g/x2至=_/（與+外,

2再+x

1+/2

2

l2>1J/(XJ+/(X2)T

2

所以所以/［號］＞"為）7優）,

綜上所述］＞dwB＞/叫/㈤

故選：D.

o

【點睛】關鍵點點睛：根據選項先證明構造函數8口）=含Y，根據單調性得出

結論.

7.D

【分析】設么（國,乂），B（x2,y2）,直線42的方程為x=（y+］（/wO）,聯立直線與拋物線方

程，消元、列出韋達定理，△GM5的重心的縱坐標"=%+'+0,再表示出04、。3的垂

直平分線方程，從而求出加，即可得解.

【詳解】設/（%,必），B（x2,y2）,顯然（再,必,無2/2/0），直線48的方程為x=）+］（/H0）,

y2=2px

2

由《〃整理得/—2〃卬—/=0,顯然A〉0,所以必+為=2p，，y1y2=-p,

%=W+~

所以占+%=2p〃+p,所以AOAB的重心的縱坐標n=乂+：+°=早,

又△GM5的外心既在OB的垂直平分線上，也在04的垂直平分線上，

x=」ma=_24V.也+.

又。/的垂直平分線方程為2j27a2j4P

2p

答案第6頁，共18頁

整理得x=_"y+p+3,

Ji4P

同理可得OB的垂直平分線方程為x=-^-y+p+^,

%4P

則-&加+P+F=-亞加+P+4,解得砂-93=與，

為4P/4p8P-4

Pt

即外心的縱坐標機=與，所以'=建7="|.

故選：D

【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：

(1)設直線方程，設交點坐標為(4,匕)、(X2，%);

(2)聯立直線與圓錐曲線的方程，得到關于x(或V)的一元二次方程，必要時計算A；

(3)列出韋達定理；

(4)將所求問題或題中的關系轉化為項+迎、網馬的形式；

(5)代入韋達定理求解.

8.A

【分析】令f=/(〃z)=g(〃)，得到拼，〃關于/的函數式，進而可得"-加關于/的函數式,

構造函數利用導數研究單調性并確定最值，即可求〃-優的最小值.

1n

【詳解】令/=/(">=g(〃)，則e"T=/,-+ln-=Z,

.?.加=3+ln/,〃=2e」，所以〃-相=2e-5_3-lnf，

若力Q)=2e-5_3-ln“貝1J"'(，)=2e'2>0),

二，'。)=。，有/=—，

2

當0<t<!■時，"'(/)<0,“⑺單調遞減，

當/>!■時，h'(t)>0,〃(/)單調遞增，二4⑺1nhi=%》=山2-1,

即〃一加的最小值為In2-1.

故選：A.

答案第7頁，共18頁

【點睛】關鍵點點睛：令f=/(")=g(〃)確定關于I的函數式，構造函數并利用導數求

函數的最小值.

9.BD

【分析】根據題意，先由函數周期以及/(7)=6可得夕=￡,再由條件可得。的值，即可

得到/(x)=2cos[：x+￡],然后對選項逐一判斷，即可得到結果.

【詳解】由7===?。=2兀，又〃T)=2cos(江+夕)=6,可得cos夕=1,

又0<°<兀，貝|」"=色，即/(%)=2cos函+4,

6I6；

若/(X)在上單調，則如,-，[]=%,即二2；兀=04，

_33J23V3co32

人兀兀兀，2

令，=GX+—,貝U兀H——<t<—7H——<—71<71,

636363

rrc.CDTlCD兀t、，

即>=2COS，在--7l+—,—7l+—上單調遞減,

3636

口n0兀八1

即---K+—>0=a)<—,

362

此時%,=1,此時幾-ymn<2-1=1,不符合題意,

3

所以/'(無)在弓上不單調,

口rc.0)TlCO71

艮fly=2cos，在---71+—,—71+—上不單調,

3636

.22兀

又>max—>min=3，即；兀KT=——(D<3,即0<外(3,

3co

5兀、

anCD717CD71

即一兀+—W—兀,---7TH———Ge——71,f—,

36636L66j

697171)<①717123

若％n=2COS——+-=-1=>-----F—=—CD=—

363632

CDTln

此時-—71H■—=,符合題意;

363

CD714①7125

若Wn=2cos71H■—=-1=>——冗=—71=^69

3633

?,。兀71FE人口Hf

止tt匕時一^+:二兀，不付合就思;

36

Q7T371

綜上可得，(o=-,(p=~,gp/(x)=2cos-x-\——

2626

對于A,/(0)=2cosy=^,故錯誤;

6

答案第8頁，共18頁

/I-I-2cosl—x—+—I=1,故B正確;

,.兀27r.3兀7

對于C,當'￡，則+0,-71,

_93J26|_6

「7"I

且y=2cosx在0,二兀上先遞減后遞增，故C錯誤；

o

對于D,因為尸（x）=-3sin1|x+J所以八0）=__|,

f⑼=6,可得了=6-|尤是y=在（0J（0））處的切線，故D正確;

故選：BD

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是根據最值之差求出。的值，需要對該區間內函數的單調

性進行分類討論，從而確定函數解析式，再一一分析選項即可.

10.BCD

【分析】根據題意，由數列前”項和與通項的關系求出生和電的值，可判斷選項A,利用反

證法判斷選項B和D,分析。“-a,-的符號，即可判斷選項C.

【詳解】由題知，因為ajS“=16（"eN*）,

所以當”=1時，％4=16,可得％=-4,

當〃=2時，出,邑=電（-4+°2）=16,可得.。=2—2A/5,

又2-2君-（-3）=5-2瓦且52＞（2可，

所以02=2-2括＞-3,A錯誤;

對于B,假設數列｛%｝是等比數列，設其公比為4,

由于（%）2=%%，即=

變形可得a；（1+/=（1+q+/）,

必有4=0,與等比數列定義矛盾，B正確；

對于C,當“22時，可得%=S“-S“T=電-里="3史也＜0,

a.%

答案第9頁，共18頁

必有%即％則｛%｝是遞增數列，C正確;

對于D,假設數列｛6｝中不存在大于-工的項,

即對于V”eN*,有

則5。。。。。。(1000000。<1000000x(--—I=-10000,

八」1UUUUUUnI]00I

所以有81000000=<-10000,

000000

161

變形得4000000-------->-------

10000100

與假設矛盾，故D正確.

故選：BCD

II.BC

【分析】根據弧長公式即可求解A,根據勾股定理以及弧長公式即可求解B,根據球的截面

性質可得求解C,根據余弦定理，取反例即可求解D.

【詳解】若平面VNBC是面積為字尺2的等邊三角形，則=3C=NC=R,則a=夕=/=g,

兀A

a=b=c=—R.A不正確.

3

222

^a+b=c,貝!|（夕r）2+（〃?）2=（泮）2,則優+於=尸8正確.

兀71

若a=b=c=—R,則□="=7=—,AB=BC=AC=R,

33

lR_0R

則平面VN8C的外接圓半徑為5F=丁，則O到平面/3C的距離

sin—

3

則三棱錐°-ABC的體積vo_ABC=^ABC-h=^lt,

3

則球面O-ABC的體積V>VCOz-AbBC=—]2R.C正確.

BC2=2R2-2R2cosa,

由余弦定理可知/C2=22及2cos民因為C=：,所以8c2+/c2=/g2,則

AB2=2R2-2R2cosy,2

cosa+cos/?-cos/=1.

答案第10頁，共18頁

7TTTTT7T

取a=￡=—,y=—,則〃=Z）=—7?,c=—R,

3232

9-22

則力斗尺2RQCLD不正確.

94

故選：BC

【點睛】方法點睛：解決與球相關的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉化

為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：

（1）定球心：如果是內切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心

到接點的距離相等且為半徑；

（2）作截面：選準最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元

素以及體現這些元素的關系），達到空間問題平面化的目的；

（3）求半徑下結論：根據作出截面中的幾何元素，建立關于球的半徑的方程，并求解.

33

12.—

56

【分析】記從乙盒中取出的是紅球為事件A,從甲盒中取出的球為紅球為事件呂，取出白

球為事件與，由已知可得出尸（4），尸（不），尸（圖耳），尸（圖與）的值，然后根據全概率公

式，即可得出答案.

【詳解】記從乙盒中取出的是紅球為事件A,從甲盒中取出的球為紅球為事件與，取出白

球為事件鳥,

59541

由已知可得,尸⑸=亍,P⑻=不P（A\Bl）=-,P{A\B1）=-=-,

根據全概率公式可得，

尸（/）=PgU被）=尸（/用）+尸（核）=尸（耳）尸（4|兄）+尸包戶⑷星）

552133

=—X--I--X—=——.

787256

故答案為：＜337-

56

13.2

【分析】求出［尤一；的通項公式，得到一￥與刀=80x,從而得到口+三口-［展

開式常數項，得到方程，求出a=2.

答案第11頁，共18頁

【詳解】：]》一]展開式的通項公式為以=(-1)至；25]53任=0,1,2,...,5),

40

令5—2〃=一1得，=3,即4=-Cf22%-1=---.

x

令5—2尸=1得尸=2,即刀=C；23x=80x,

...]x+￡|(2x-J5展開式中的常數項為xZ+/Z=-40+80%

故—40+80〃=120,角軍得Q=2.

故答案為：2

149行-3#

-2

【分析】利用等體積法求得正面體/8C。內切球的半徑為,，取/。的中點為E,利用向量

的運算得到沙.麗=而2_9,易知當段的長度最小時，用.而取得最小值，由

是/。的中點，則。，尸,E三點共線求解.

【詳解】解：由正四面體N8CD的棱長為6,則其高為/I=F，!X6、=2巫,

貝I其體積為憶=1x」x6x6x史x2b=18逝，

322

設正四面體/BCD內切球的半徑為「，

則％=4xW6x6x=184,解得廠=^^,

3222

如圖,

取40的中點為￡,

則萬?麗=(而+珂.(而+而)=定+花?停+而)+初?麗二花2_9,

顯然，當尸石的長度最小時，秒.而取得最小值，

答案第12頁，共18頁

設正四面體內切球的球心為。，可求得04=〃--=二二，

2

則球心。到點E的距離d=^OA2-AE2=逑，

2

所以內切球上的點P到點E的最小距離為d-r=3后一”

2

???04=0。乃是/。的中點，。,尸/三點共線，

:.OELAD.PELAD,

皿…邊上的高為—

匕w)=gx6x手;瓜=9五:屈

IJI)一

9拒-3〃

故答案為:

2

71

15.⑴：

(2)[6,4月)

【分析】（1）利用正弦定理可將acos（3-C）+acos/=2&sin3cos4化簡為

asinSsinC=AACsinScos,再次化簡得sin/sin3sinC=J5sinCsin3cos4從而求得

tan/=g,從而可求解.

（2）由A/3C的外接圓半徑為百，從而得三=3=2百，從而可得

sinAsmB

=+由A/8C為銳角三角形可得sinBefj」］,再構造函數

bI4sin5）（2）

/（x）=X+［，X€結合對勾函數的性質從而可求解.

【詳角軍】（1）因為QCOS（8—C）+QCOS4=2GsinBcos4,

所以QCOS8COSC+osinBsinC-《cos5cosC-sinBsin=iT^csinBcos^

即asin5sinC=V3csinBcos由正弦定理得sin4sin3sinC=sinCsingeos4

顯然sinC>0,sin>0,所以sin4=Geos4,所以tan4=JJ,

因為所以/=1.

(2)因為A/3C外接圓的半徑為G，所以二工=—二=2百，所以。=3,6=273sin5,

sinAsmB

答案第13頁，共18頁

所以^±￡1=b+吼=2班sin8+2旨(sin8+3

bb2sin5\4sin8

0<B<-

7TTTT

因為V4BC為銳角三角形，所以《。即即sin^E

八271n兀

0<----B<一14

132

令〃x)=x+J尤d，根據對勾函數的性質可知函數〃x)=x+3■在"當上單調

^TX'NJ^rX〈N乙1

遞減,

在寧』上單調遞增，且/5=2,f半=5“1)=(,

所以/(x)e[G,2),即sin8+$^e[百,2),

所以26卜in2+=|國|e[6,4/),即生J的取值范圍為[6,4百).

16.(1)4=〃+2

小、(2〃+3)x3/i—92\

⑵S'=^——>---------z(/+5〃)

【分析】(1)由等差數列的性質和等比中項列方程解出公差，再由基本量法寫出等差數列的

通項公式.

(2)由已知和等比數列的性質求出6'=3"-2,再由錯位相減法和等差數列的前”和公式共

同求出結果.

【詳解】(1)：｛。“｝是等差數列，％=3,d^O,/.a7=?1+6t/,%5=%+24d.

,a7,出5構成等比數列，二(％+64)2=%(q+24d),

化簡可得%=3d=3,"=1,所以0,=“+2.

(2)?."(61)=〃)=%=3,/他)=■/⑺=%=9,/低)=/(25)=。25=27,

又數列｛〃")｝為等比數列，.?./(")=3",

而/(")=%="+2,.-Ja+Z,.?"“=3"-2,

所以地=(〃+2)3"-2(〃+2),設數列｛(?+2)3"｝的前〃項和為7；,

貝|］北=0+2)x3i+(2+2)x32+…+("+2)x3"①，

答案第14頁，共18頁

37；=(1+2)X32+(2+2)X33+---+(?+2)X3"+1@,

①②相減得-27；,=(1+2)X31+32+---+3--(H+2)X3"+1,化簡可得

1.⑵+3)x3"i-9

F9+-^------(n+2)xT+1+1--------------

"21-3v74

又因為等差數歹U{2("+2)}的前〃項和為'(2X3；2"+4)=/+5〃,

綜上可得Sn=(2〃+3)7-9_(“2+5”).

17.(1)證明見解析

【分析】(1)由余弦定理結合勾股定理逆定理可得兒￡4_L4D,后結合平面48coi平面產/。，

可得WBD,后結合ZC1AD可得結論；

(2)由(1)結合題意建立如圖所示的空間直角坐標系，分別求出平面NCM與平面N8P的

法向量，即可得答案.

【詳解】(1)=AP=3,"ZPAD=120°,DM=2MF,

DP=3區DM=2瓜PM=V3,

由余弦定理得AM=>]AP2+MP2-2APMPCOS30°=6，

在44DM中，AD2+AM-=DM2MA1AD,

平面ABCD1平面PAD,平面ABCDA平面PAD=AD,MAu平面PAD,

：.MAV^^ABCD.

Q8。匚平面48。2；.吊4_18。,

,??四邊形48