專題六概率統計、算法、復數與推理證明第17講排列、組合與二項式定理[云覽高考]說明：A表示簡單題，B表示中等題，C表示難題二輪復習建議命題角度：該部分的命題就是圍繞兩個點展開．第一個點是圍繞排列，組合展開，設計利用排列組合和兩個基本原理求解的實際計數問題的試題，目的是考查對排列組合基本方法的掌握程度，考查分類與整合的思想方法，試題都是選擇題或者填空題，難度中等或者偏易；第二點是圍繞二項式定理展開，涉及利用二項式的通項公式計算二項式中特定項的系數、常數項、系數和等試題，目的是考查對二項式定理的掌握程度和基本的運算求解能力，試題也都是選擇題或者填空題，難度中等．預計2013年對該部分的考查基本方向不變，即考查簡單的計數問題、二項式定理的簡單應用，但由于排列，組合試題的特點，也不排除出現難度稍大的試題的可能．復習建議：該部分的復習以基本問題為主，要點有兩個：一個是引導學生掌握解決排列，組合問題的基本思想，即分類與分步的思想，使學生在解題時有正確的思維方向；一個是掌握好二項展開式的通項公式的應用，這是二項式定理的考查核心．主干知識整合1.兩個基本原理分類加法計數原理各類之間是互斥的、并列的、獨立的，N＝m1＋m2＋…＋mn.分步乘法計數原理各步之間是關聯的、獨立的，N＝m1×m2×…×mn.2．排列(1)排列數公式：Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)(n，m∈N，m≤n)，規定0！＝1；(2)排列數的性質：Aeq\o\al(m,n)＝mAeq\o\al(m－1,n－1)＋Aeq\o\al(m,n－1)；Aeq\o\al(m,n)＝nAeq\o\al(m－1,n－1).3．組合(1)組合數公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(nn－1…n－m＋1,m！)，Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m)).(2)組合數的性質：Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)(m，n∈N，且m≤n)；Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)(m，n∈N，且m≤n)．4．二項式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn.Ceq\o\al(k,n)叫做二項式系數，Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N*)稱為二項展開式的通項公式．5．二項式系數的性質二項式系數具有如下幾個性質：(1)對稱性、等距性、單調最值性；(2)Ceq\o\al(r,r)＋Ceq\o\al(r,r＋1)＋Ceq\o\al(r,r＋2)＋…＋Ceq\o\al(r,n)＝Ceq\o\al(r＋1,n＋1)；Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(r,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n；Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝2n－1；Ceq\o\al(1,n)＋2Ceq\o\al(2,n)＋3Ceq\o\al(3,n)＋…＋nCeq\o\al(n,n)＝n2n－1.要點熱點探究?探究點一有關計數原理問題例1(1)[2012·浙江卷]若從1,2,3，…，9這9個整數中同時取4個不同的數，其和為偶數，則不同的取法共有(D)A．60種B．63種C．65種D．66種(2)[2012·課程標準卷]將2名教師，4名學生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學生組成，不同的安排方案共有(A)A．12種B．10種C．9種D．8種[點評]兩個基本原理是解決計數問題的根據，在計數問題中一般是先根據不同情況進行分類，然后對于每一類的計數問題再分步完成，根據分步乘法計數原理求出每類的數目，最后使用分類加法計數原理得到結果．變式題(1)在實驗室進行的一項物理實驗中，要先后實施6個程序，其中程序A只能出現在第一或最后一步，程序B和C在實施時必須相鄰，則實驗順序的編排方法共有(C)A．34種B．48種C．96種D．144種(2)在小語種提前招生考試中，某學校獲得5個推薦名額，其中俄語2名，日語2名，西班牙語1名．并且日語和俄語都要求必須有男生參加．學校通過選拔定下3男2女共5個推薦對象，則不同的推薦方法共有(C)A．20種B．22種C．24種D．26種?探究點二有關排列與組合問題例2(1)[2012·遼寧卷]一排9個座位坐了3個三口之家．若每家人坐在一起，則不同的坐法種數為(C)A．3×3!B．3×(3！)3C．(3！)4D．9!(2)將5名支教志愿者分配到3所學校，每所學校至少分1人，至多分2人，且其中甲、乙2人不到同一所學校，則不同的分配方法共有(D)A．78種B．36種C．60種D．72種[點評]本例第一題是元素相鄰的排列，只要把相鄰元素看作一個整體即可；第二題為分配問題，當元素個數多于分配位置時要先把元素進行分組，組數與分配位置相同，然后再進行分配，在分組時如果有元素個數相等的小組，有幾個就要除以幾的階乘．變式題(1)某市端午期間安排甲、乙等6支隊伍參加端午賽龍舟比賽，若在安排比賽賽道時不將甲安排在第一及第二賽道上，且甲和乙不相鄰，則不同的安排方法有(D)A．96種B．192種C．216種D．312種(2)從5名學生中任選4名分別參加數學、物理、化學、生物四科競賽，且每科競賽只有1人參加，若甲不參加生物競賽，則不同的選擇方案共有____96____種．?探究點三有關二項式定理問題例3(1)[2012·安徽卷](x2＋2)的展開式的常數項是(D)A．－3B．－2C．2D．3(2)[2012·湖北卷]設a∈Z，且0≤a<13，若512012＋a能被13整除，則a＝(D)A．0B．1C．11D．12[點評]兩個二項式相乘時求其中某項的系數，需要根據多項式乘法法則進行，此時要注意不要漏掉了其中的項，要把各種可能的情況都考慮進去；二項式定理解決整除性問題時，需要構造二項式，基本原則是根據除數對已知式進行變換．變式題(1)已知的展開式中常數項為eq\f(20,27)，那么正數p的值是(C)A．1B．2C．3D．4(2)若(x2＋1)5＝a0＋a1x2＋a2x4＋…＋a5x10，則a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝_____0___.規律技巧提煉?規律解答排列、組合試題的關鍵是先把問題分為既不重復也不遺漏的幾類，這樣不論是用直接法求解還是用間接法求解，都可以正確地使用這些分類中的某些類．?技巧相鄰問題的“捆綁法”，不相鄰問題的“插空法”；分配問題中先分組后分配．注意均勻分組與不均勻分組的區別；特殊賦值法求二項式系數和．?易錯(a＋b)n的展開式的二項式系數與該項的系數是兩個不同的概念，前者只是指Ceq\o\al(k,n)，它僅是與二項式的冪的指數n及項數有關的組合數，而與a，b的值無關；而后者是指該項除字母外的部分，即各項的系數不僅與各項的二項式系數有關，而且也與a，b的系數有關．在求二項展開式特定項的系數時要充分注意這個區別.命題立意追溯抽象概括能力——典型的排列組合問題的解法示例[2012·山東卷]現有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張．從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數為(C)A．232B．252C．472D．484[命題闡釋]本題立意是通過組合問題考查對數學問題的抽象概括能力，解題中需要根據把問題抽象概括為兩個類別問題加以解決．[跟蹤練]某次會展共展出5件藝術作品，其中不同書法作品2件、不同繪畫作品2件、標志性建筑設計1件，在展臺上將這5件作品排成一排，要求2件書法作品必須相鄰，2件繪畫作品不能相鄰，則該會展展出這5件作品不同的方案有___24_____種．(用數字作答)教師備用例題選題理由：下面的三個例題具有一定的典型性．例1、例2可以放在探究點二中使用，例3可以放在探究點三中使用．例1方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同，在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有(B)A．60條B．62條C．71條D．80條例2某藝校在一天的6節課中隨機安排語文、數學、外語三門文化課和其他三門藝術課各1節，則在課表上的相鄰兩節文化課之間最多間隔1節藝術課的排法數為___432_____(用數字作答)．例3[2012·浙江卷]若將函數f(x)＝x5表示為f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5為實數，則a3＝___10_____.第18講概率與統計[云覽高考]二輪復習建議命題角度：該部分通常圍繞三個點展開．第一個點是樣本估計總體，設計給出樣本數據的分布估計總體的分布的試題，目的是考查基本的運算求解能力和統計的基本思想，試題一般是解答題的一個組成部分，難度中等；第二點是圍繞變量的相關性與統計案例，設計判斷變量的相關關系、獨立性檢驗的應用等試題，目的是考查回歸分析和獨立性檢驗的基礎知識和基本思想方法，試題難度也不大；第三個點是圍繞概率初步展開，設計古典概型、幾何概型求解等問題，目的是考查對概率初步知識的掌握程度，考查運算求解能力，試題難度較小．預計2013年對該部分的考查基本方向不會有大的變化，仍然會以考查樣本估計總體的思想、變量相關性、獨立性檢驗、古典概型與幾何概型的計算等問題為主，由于概率統計內容較多，也不排除在抽樣方法、回歸分析等方面進行考查的可能性．復習建議：從課程標準卷近五年的考查情況看，該部分的重點是樣本估計總體思想，在復習時首先要抓住這個重點，其次要對變量的相關關系、回歸分析、獨立性檢驗給予一定的重視，使學生掌握其基礎知識和基本思想方法，雖然課程標準卷五年沒有單獨考查隨機抽樣的問題，也要適當注意．主干知識整合1.隨機抽樣(1)簡單隨機抽樣特點為從總體中逐個抽取，適用范圍：總體中的個體較少；(2)系統抽樣特點是將總體均分成幾部分，按事先確定的規則在各部分中抽取，適用范圍：總體中的個體數較多；(3)分層抽樣特點是將總體分成幾層，分層進行抽取，適用范圍：總體由差異明顯的幾部分組成．2．樣本估計總體頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖、眾數、中位數、平均數、方差、標準差．3．變量的相關性與最小二乘法(1)相關關系的概念，正相關和負相關，相關系數．(2)最小二乘法：對于給定的一組樣本數據(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，通過求Q＝eq\o(∑,\s\up11(n),\s\do4(i＝1))(yi－a－bxi)2最小時，得到回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a的方法叫做最小二乘法．4．獨立性檢驗對于值域分別是{x1，x2}和{y1，y2}的分類變量X和Y，列出其樣本頻數列聯表，通過計算卡方統計量判斷兩個分類變量是否有關系的方法．5．概率(1)兩個隨機事件之間的關系：①包含關系；②相等關系；③和事件；④積事件；⑤互斥事件：事件A和事件B在任何一次試驗中不會同時發生；⑥對立事件：事件A和事件B在任何一次試驗中有且只有一個發生．(2)概率的基本性質：①任何事件A的概率都在[0,1]內，即0≤P(A)≤1，不可能事件?的概率為0，必然事件Ω的概率為1；②如果事件A，B互斥，則P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；③事件A與它的對立事件的概率滿足P(A)＋P()＝1.(3)古典概型和幾何概型.要點熱點探究?探究點一隨機抽樣的理解例1[2012·山東卷]采用系統抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調查，為此將他們隨機編號為1,2，…，960，分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為9，抽到的32人中，編號落入區間[1,450]的人做問卷A，編號落入區間[451,750]的人做問卷B，其余的人做問卷C，則抽到的人中，做問卷B的人數為(C)A．7B．9C．10D．15[點評]系統抽樣是把總體分成間隔距離相等的段，在每段中各抽取一個個體，在各段中抽取時可以使用簡單隨機抽樣的方法，不一定就是把第一段抽取的號碼加上組距，但使用第一段抽取的號碼加上組距的方法是最簡單易行的方法．變式題某校對全校男女學生共1600人進行健康調查，選用分層抽樣法抽取一個容量為200的樣本．已知女生比男生少抽了10人，則該校的女生人數應是____760____人．?探究點二樣本估計總體的方法例2[2012·安徽卷]甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統計圖如圖6－18－1所示，則(C)圖6－18－1A．甲的成績的平均數小于乙的成績的平均數B．甲的成績的中位數等于乙的成績的中位數C．甲的成績的方差小于乙的成績的方差D．甲的成績的極差小于乙的成績的極差[點評]統計圖給出了數據的分布情況，特別是莖葉圖給出了全部的數據，根據給出的數據即可對數據的數字特征進行分析、計算．變式題(1)2012年春運期間鐵道部門首次實行網上訂購火車票，并且規定旅客可以提前10天預訂，對60名在網上訂票的旅客進行調查后得到下表：網上提前預訂車票的時間(天)0～22～44～66～88～10旅客人數36181815則旅客平均提前預訂車票的時間大約為___6.2_____天．(2)為了解一片大約一萬株樹木的生長情況，隨機測量了其中100株樹木的底部周長(單位：cm)．根據所得數據畫出的樣本頻率分布直方圖如圖6－18－2，那么在這片樹木中，底部周長小于110cm的株數大約是(C)圖6－18－2A．3000B．6000C．7000D．8000?探究點三古典概型與幾何概型的應用例3(1)從{1,2,3,4,5}中隨機選取一個數為a，從{1,2,3}中隨機選取一個數b，則a>2b的概率為(B)A.eq\f(1,5)B.eq\f(4,15)C.eq\f(1,3)D.eq\f(6,15)(2)[2012·湖北卷]如圖6－18－3所示，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以OA，OB為直徑作兩個半圓．在扇形OAB內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是(A)圖6－18－3A．1－eq\f(2,π)B.eq\f(1,2)－eq\f(1,π)C.eq\f(2,π)D.eq\f(1,π)[點評]古典概型的關鍵是計算基本事件的個數和所求的隨機事件含有的基本事件的個數，在計算時注意不要重復也不要遺漏；幾何概型的關鍵是計算線段的長度、平面圖形的面積、立體圖形的體積等，在計算時要進行適當的技術處理，如本例第二題中要計算的是陰影部分的面積，解析采用面積變換的方法求解，實際上可以直接計算，不妨設OA＝2，可以驗證以OA，OB為直徑的兩個半圓的交點平分半圓，其中一塊空白區域的面積等于以OA為直徑的圓面積的二分之一減去四分之一圓上的兩個弓形的面積，即eq\f(π,2)－2＝1，所以空白區域的面積為2，根據對立事件的概率公式可得所求的概率是1－eq\f(2,π).?探究點四有關統計案例的問題例4(1)[2012·湖南卷]設某大學的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關關系，根據一組樣本數據(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x－85.71，則下列結論中不正確的是(D)A．y與x具有正的線性相關關系B．回歸直線過樣本點的中心(，)C．若該大學某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD．若該大學某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg(2)在性別與吃零食這兩個分類變量的計算中，下列說法正確的是__=2\*GB3②_____．(填序號)①若K2的觀測值為k＝6.635，我們有99%的把握認為吃零食與性別有關系，那么在100個吃零食的人中必有99人是女性；②從獨立性檢驗可知有99%的把握認為吃零食與性別有關系時，我們說某人吃零食，那么此人是女性的可能性為99%；③若從統計量中求出有99%的把握認為吃零食與性別有關系，是指有1%的可能性使得出的判斷出現錯誤．規律技巧提煉?規律1.對于幾何概型，當基本事件只受一個連續的變量控制時，這類幾何概型是線型的；當基本事件受兩個連續的變量控制時，這類幾何概型是面型的，一般是把兩個變量分別作為一個點的橫坐標和縱坐標，這樣基本事件就構成了平面上的一個區域，即可借助于平面區域解決；當基本事件是受三個連續的變量控制時，這類幾何概型是體型的，可以通過構造空間幾何體加以解決．2．方差和標準差是描述一個樣本和總體的波動大小的特征數，標準差大說明波動大．回歸直線方程一定過點(，)?技巧計算方差首先要計算平均數，然后再按照方差的計算公式進行計算，值得注意的是如果數表中給出的數據均是有重復性的，要根據這個重復性簡化計算．?易錯注意確定性思維和統計思維的差異，確定性思維作出的是完全確定的、百分之百的結論，但統計思維作出的是帶有隨機性的、不能完全確定的結論，在解題中忽視了這兩種思維方式作出結論的差異，就可能對統計計算的結果作出錯誤的解釋.命題立意追溯數據處理能力——實際問題中的數據收集與處理示例[2012·北京卷]近年來，某市為促進生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設置了相應的垃圾箱．為調查居民生活垃圾分類投放情況，現隨機抽取了該市三類垃圾箱中總計1000噸生活垃圾，數據統計如下(單位：噸)：“廚余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱廚余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060(1)試估計廚余垃圾投放正確的概率；(2)試估計生活垃圾投放錯誤的概率；(3)假設廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為a，b，c，其中a>0，a＋b＋c＝600.當數據a，b，c的方差s2最大時，寫出a，b，c的值(結論不要求證明)，并求此時s2的值．注：s2＝eq\f(1,n)[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中為數據x1，x2，…，xn的平均數.解：(1)廚余垃圾投放正確的概率約為eq\f(“廚余垃圾”箱里廚余垃圾量,廚余垃圾總量)＝eq\f(400,400＋100＋100)＝eq\f(2,3).(2)設生活垃圾投放錯誤為事件A，則事件表示生活垃圾投放正確．事件的概率約為“廚余垃圾”箱里廚余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量與“其他垃圾”箱里其他垃圾量的總和除以生活垃圾總量，即P()約為eq\f(400＋240＋60,1000)＝0.7，所以P(A)約為1－0.7＝0.3.(3)當a＝600，b＝c＝0時，s2取得最大值．因為＝eq\f(1,3)(a＋b＋c)＝200，所以s2＝eq\f(1,3)[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2]＝80000.[跟蹤練]某地區農科所為了選擇更適應本地區種植的棉花品種，在該地區選擇了5塊土地，每塊土地平均分成面積相等的兩部分，分別種植甲、乙兩個品種的棉花，收獲時測得棉花的畝產量如圖6－18－4所示．(1)請問甲、乙兩種棉花哪種畝產量更穩定，并說明理由；(2)求從種植甲種棉花的5塊土地中任選2塊土地，這兩塊土地的畝產量均超過種植甲種棉花的5塊土地的總平均畝產量的概率．圖6－18－4解：(1)由莖葉圖可知甲種棉花的平均畝產量為：eq\f(95＋102＋105＋107＋111,5)＝104，方差為seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)[(95－104)2＋(102－104)2＋(105－104)2＋(107－104)2＋(111－104)2]＝28.8.乙種棉花的平均畝產量為：eq\f(98＋103＋104＋105＋110,5)＝104，方差為seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)[(98－104)2＋(103－104)2＋(104－104)2＋(105－104)2＋(110－104)2]＝14.8.因為seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，所以乙種棉花的平均畝產量更穩定．(2)從種植甲種棉花的5塊土地中任選2塊土地的所有選法為Ceq\o\al(2,5)＝10種，設“畝產量均超過種植甲種棉花的5塊土地的總平均畝產量”為事件A，包括的基本事件為(105,107)，(105,111)，(107,111)共3種．所以P(A)＝eq\f(3,10).答：兩塊土地的畝產量均超過種植甲種棉花的5塊土地的總平均畝產量的概率為eq\f(3,10).教師備用例題選題理由：例1從樣本平均數的理論計算上進行考查，較為新穎，可在探究點二中使用；例2把定積分與幾何概型結合，這也是古典概型命題的一個方向，可在探究點三中使用；例3可作為解讀統計思想的題目使用．例1[2012·江西卷]樣本(x1，x2，…，xn)的平均數為，樣本(y1，y2，…，ym)的平均數為()．若樣本(x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym)的平均數＝α＋(1－α)，其中0<α<eq\f(1,2)，則n，m的大小關系為(A)A．n<mB．n>mC．n＝mD．不能確定例2[2012·福建卷]如圖所示，在邊長為1的正方形OABC中任取一點P，則點P恰好取自陰影部分的概率為(C)A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,7)例3從甲、乙兩品種的棉花中各抽測了25根棉花的纖維長度(單位：mm)，結果如下：甲品種：271273280285285287292294295301303303307308310314319323325325328331334337352乙品種：284292295304306307312313315315316318318320322322324327329331333336337343356由以上數據設計了如下莖葉圖：根據以上莖葉圖，對甲、乙兩品種棉花的纖維長度作比較，寫出兩個統計結論：①________________；②________________.[答案]①乙品種棉花的纖維平均長度大于甲品種棉花的纖維平均長度(或：乙品種棉花的纖維長度普遍大于甲品種棉花的纖維長度)②甲品種棉花的纖維長度較乙品種棉花的纖維長度更分散(或：乙品種棉花的纖維長度較甲品種棉花的纖維長度更集中(穩定)，甲品種棉花的纖維長度的分散程度比乙品種棉花的纖維長度的分散程度更大)第19講離散型隨機變量及其分布列[云覽高考]二輪復習建議命題角度：該部分的命題通常圍繞三點展開．第一個點是圍繞概率計算展開，設計利用事件的獨立性、互斥性、對立性等進行計算的概率試題，目的是考查對概率知識的掌握程度和運算求解能力、分類整合的數學思想方法，一般是選擇題、填空題或者解答題的一個組成部分；第二個點是圍繞離散型隨機變量及其分布列展開，設計求解離散型隨機變量的分布列、數學期望和方差的帶有實際背景的試題，目的是考查對實際問題的理解、分析，并把實際問題轉化為概率計算、數學與方差的計算，這是概率統計考查的一個核心命題點，試題一般是解答題，難度中等；第三個點是圍繞正態分布展開，設計利用正態密度曲線的對稱軸求解概率、或者實際應用問題，目的是考查對正態分布的理解程度和數形結合思想，試題為選擇題或者填空題，難度較小．預計2013年該部分的考查仍然會以離散型隨機變量的分布列、數學期望和方差為主，通盤試卷整體結構，兼顧考查含有獨立事件的概率、正態分布等問題．復習建議：該部分是概率統計的核心內容，復習時要抓住核心中的核心，即離散型隨機變量分布列的求解，其本質上是概率的求解，要把概率計算方法和技巧作為復習的重中之重．值得指出的是從近五年來全國課標區的概率統計解答題看，有三年以解答題的形式考查了隨機變量的分布列和數字特征，但這三個解答題都是與函數問題結合進行考查的，復習時也要注意這個特點．主干知識整合3.數字特征數學期望E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpnE(aX＋b)＝aE(X)＋b方差和標準差方差：D(X)＝eq\i\su(i＝1,n,[)xi－E(X)]2pi，標準差：σX＝eq\r(DX)D(aX＋b)＝a2D(X)4.典型分超幾何分布、二項分布、正態分布.要點熱點探究?探究點一相互獨立事件的概率與n次獨立重復試驗概型例1[2012·山東卷]現有甲、乙兩個靶，某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為eq\f(3,4)，命中得1分，沒有命中得0分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為eq\f(2,3)，每命中一次得2分，沒有命中得0分．該射手每次射擊的結果相互獨立，假設該射手完成以上三次射擊．(1)求該射手恰好命中一次的概率；(2)求該射手的總得分X的分布列及數學期望E(X)．解：(1)記：“該射手恰好命中一次”為事件A，“該射手射擊甲靶命中”為事件B，“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件C，“該射手第二次射擊乙靶命中”為事件D，由題意知P(B)＝eq\f(3,4)，P(C)＝P(D)＝eq\f(2,3)，由于A＝Beq\o(C,\s\up6(－))eq\o(D,\s\up6(－))＋eq\o(B,\s\up6(－))Ceq\o(D,\s\up6(－))＋eq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－))D，根據事件的獨立性和互斥性得P(A)＝P(Beq\o(C,\s\up6(－))eq\o(D,\s\up6(－))＋eq\o(B,\s\up6(－))Ceq\o(D,\s\up6(－))＋eq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－))D)＝P(Beq\o(C,\s\up6(－))eq\o(D,\s\up6(－)))＋P(eq\o(B,\s\up6(－))Ceq\o(D,\s\up6(－)))＋P(eq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－))D)＝P(B)P(eq\o(C,\s\up6(－)))P(eq\o(D,\s\up6(－)))＋P(eq\o(B,\s\up6(－)))P(C)P(eq\o(D,\s\up6(－)))＋P(eq\o(B,\s\up6(－)))P(eq\o(C,\s\up6(－)))P(D)＝eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,3)＝eq\f(7,36).2)根據題意，X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5.根據事件的獨立性和互斥性得P(X＝0)＝P(eq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－))eq\o(D,\s\up6(－)))＝[1－P(B)][1－P(C)][1－P(D)]＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(1,36)，P(X＝1)＝P(Beq\o(C,\s\up6(－))eq\o(D,\s\up6(－)))＝P(B)P(eq\o(C,\s\up6(－)))P(eq\o(D,\s\up6(－)))＝eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(1,12)，P(X＝2)＝P(eq\o(B,\s\up6(－))Ceq\o(D,\s\up6(－))＋eq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－))D)＝P(eq\o(B,\s\up6(－))Ceq\o(D,\s\up6(－)))＋P(eq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－))D)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,3)＝eq\f(1,9)，P(X＝3)＝P(BCeq\o(D,\s\up6(－))＋Beq\o(C,\s\up6(－))D)＝P(BCeq\o(D,\s\up6(－)))＋P(Beq\o(C,\s\up6(－))D)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，P(X＝4)＝P(eq\o(B,\s\up6(－))CD)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,9)，P(X＝5)＝P(BCD)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3).故X的分布列為X012345Peq\f(1,36)eq\f(1,12)eq\f(1,9)eq\f(1,3)eq\f(1,9)eq\f(1,3)所以E(X)＝0×eq\f(1,36)＋1×eq\f(1,12)＋2×eq\f(1,9)＋3×eq\f(1,3)＋4×eq\f(1,9)＋5×eq\f(1,3)＝eq\f(41,12).[點評]本題的考查核心就是獨立事件的概率計算，這也是一般的概率解答題的考查特征．該題對乙靶的射擊實際上是二次獨立重復試驗問題，求解時可以借助二次獨立重復試驗概型簡化計算，如第一問中命中甲靶一次、乙靶沒有命中的概率是eq\f(3,4)×Ceq\o\al(0,2)×＝eq\f(1,12)，沒有命中甲靶命中乙靶一次的概率是×Ceq\o\al(1,2)＝eq\f(1,9)，所以該射手恰好命中一次的概率是eq\f(1,12)＋eq\f(1,9)＝eq\f(7,36)，第二問中的各個概率值也可類似地進行計算．在概率的計算中事件的獨立性和n次獨立重復試驗概型是最為重要的．變式題甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標的概率分別是eq\f(2,3)和eq\f(3,4).假設兩人射擊是否擊中目標相互之間沒有影響；每人各次射擊是否擊中目標相互之間也沒有影響．(1)求甲射擊3次，至少1次未擊中目標的概率；(2)假設某人連續2次未擊中目標，則停止射擊，問：乙恰好射擊4次后，被終止射擊的概率是多少？(3)設甲連續射擊3次，用ξ表示甲擊中目標的次數，求ξ的數學期望Eξ.(結果可以用分數表示)解：(1)記“甲連續射擊3次，至少1次未擊中目標”為事件A1，由題意，射擊3次，相當于3次獨立重復試驗，故P(A1)＝1－P(eq\x\to(A1))＝1－eq\f(2,3)3＝eq\f(19,27).(2)記“乙恰好射擊4次后，被終止射擊”為事件A2，由于各事件相互獨立，故P(A2)＝eq\f(1,4)×eq\f(3,4)×eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＋eq\f(3,4)×eq\f(3,4)×eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(3,64).(3)根據題意ξ服從二項分布，Eξ＝3×eq\f(2,3)＝2.?探究點二隨機變量的分布列、均值與方差例2[2012·浙江卷]已知箱中裝有4個白球和5個黑球，且規定：取出一個白球得2分，取出一個黑球得1分．現從該箱中任取(無放回，且每球取到的機會均等)3個球，記隨機變量X為取出此3球所得分數之和．(1)求X的分布列；(2)求X的數學期望E(X)．[規范評析]本題的背景是超幾何分布，只是把超幾何分布中的隨機變量根據取球情況不同，得分不同作了個簡單的替換．在概率統計中二項分布、超幾何分布是兩個典型而重要的概率分布，在復習時要高度重視．例3[2012·課程標準卷]某花店每天以每枝5元的價格從農場購進若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售．如果當天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理．(1)若花店一天購進16枝玫瑰花，求當天的利潤y(單位：元)關于當天需求量n(單位：枝，n∈N)的函數解析式；(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20頻數 10 20 16 16 15 13 10以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發生的概率．①若花店一天購進16枝玫瑰花，X表示當天的利潤(單位：元)，求X的分布列、數學期望及方差；②若花店計劃一天購進16枝或17枝玫瑰花，你認為應購進16枝還是17枝？請說明理由．?探究點三有關正態分布問題圖6－19－1例4[2012·課程標準卷]某一部件由三個電子元件按圖6－19－1方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作，設三個電子元件的使用壽命(單位：小時)均服從正態分布N(1000,502)，且各個元件能否正常工作相互獨立，那么該部件的使用壽命超過1000小時的概率為________．[點評]正態分布N(μ，σ2)中的μ是總體的均值，直線x＝μ是正態密度曲線的對稱軸，如果X～N(μ，σ2)，則P(X<μ)＝P(X>μ)＝eq\f(1,2).題設隨機變量ξ服從正態分布N(1，σ2)，則函數f(x)＝x2＋2x＋ξ不存在零點的概率是(C)A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)規律技巧提煉規律1.概率計算題的核心環節就是把一個隨機事件進行分拆，這中間有三個概念，事件的互斥，事件的對立和事件的相互獨立，在概率的計算中只要弄清楚了這三個概念，根據實際情況對事件進行合理的分拆，就能把復雜事件的概率計算轉化為一個個簡單事件的概率計算，達到解決問題的目的．2．求解一般的隨機變量的期望和方差的基本方法是：先根據隨機變量的意義，確定隨機變量可以取哪些值，然后根據隨機變量取這些值的意義求出取這些值的概率，列出分布列，根據數學期望和方差的公式計算．技巧在解含有相互獨立事件的概率題時，首先把所求的隨機事件分拆成若干個互斥事件的和，其次將分拆后的每個事件分拆為若干個相互獨立事件的乘積，如果某些相互獨立事件符合獨立重復試驗概型，就把這部分歸結為獨立重復試驗概型，用獨立重復試驗概型的概率計算公式解答，這就是解決含有相互獨立事件的概率題的基本解題思路．?易錯混淆相互獨立事件與互斥事件，在求離散型隨機變量的分布列時忽視概率分布列性質的應用，對實際的含義理解不清等.命題立意追溯示例[2012·天津卷]現有4個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇，為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點數為1或2的人去參加甲游戲，擲出點數大于2的人去參加乙游戲．(1)求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率；(2)求這4個人中去參加甲游戲的人數大于去參加乙游戲的人數的概率；(3)用X，Y分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數，記ξ＝|X－Y|，求隨機變量ξ的分布列與數學期望Eξ.[命題闡釋]本題以獨立重復試驗概型為中心展開，考查的重點是概率問題中的運算求解．其中對事件之間關系的合理分拆是解題的關鍵環節，也是概率計算的重要技巧．[跟蹤練]某醫療設備每臺的銷售利潤與該設備的無故障使用時間Q(單位：年)有關．若Q≤1，則銷售利潤為0元；若1<Q≤3，則銷售利潤為100元；若Q>3，則銷售利潤為200元．設每臺該種設備的無故障使用時間Q≤1,1<Q≤3及Q>3這三種情況發生的概率分別為p1，p2，p3，又知p1，p2是方程25x2－15x＋a＝0的兩個根，且p2＝p3.(1)求p1，p2，p3的值；(2)記ξ為銷售兩臺這種設備的利潤總和，求ξ的分布列和數學期望．教師備用例題選題理由：把統計與概率綜合命制解答題是近年來概率統計解答題的一個命題趨向，下面的例題從樣本的頻率分布，到獨立性檢驗，再到二項分布，較為全面地考查了概率統計的主干知識和方法，可以作為該講總結之用．例[2012·遼寧卷]電視傳媒公司為了解某地區電視觀眾對某類體育節目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調查．下面是根據調查結果繪制的觀眾日均收看該體育節目時間的頻率分布直方圖．將日均收看該體育節目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”．(1)根據已知條件完成下面的2×2列聯表，并據此資料你是否認為“體育迷”與性別有關？非體育迷體育迷總計男女1055總計將上述調查所得到的頻率視為概率，現在從該地區大量電視觀眾中，采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次．記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數為X.若每次抽取的結果是相互獨立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)．附：P(K2≥k)0.050.01k3.8416.635第20講復數、算法與推理證明[云覽高考]二輪復習建議題角度：該部分的命題就是圍繞兩個點展開．第一個點是圍繞復數展開，設計考查復數的概念、運算的試題，目的是考查對復數基礎知識的掌握程度和基本的運算求解能力，試題很簡單；第二個點是圍繞算法展開，設計以程序框圖表達的算法試題，目的是考查對算法的基本邏輯結構的認識，對算法功能的認識，試題難度中等．至于推理與證明，理論上講任何數學試題的解答都離不開推理，所以我們在考點統計中沒有進行全面統計，只看合情推理、反證法和數學歸納法．預計2013年對復數和算法的考查不會發生變化，即考查復數的基本概念和運算，考查以程序框圖設定的算法．但對合情推理以及反證法和數學歸納法的考查，則可能出現新的試題．復習建議：該部分中復數的內容非常簡單，只要把概念和運算法則弄清楚即可；算法的復習中要引導學生模擬框圖給出的算法進行計算，注重對算法中的判斷條件的分析；在推理與證明中適度注意合情推理問題及反證法和數學歸納法．主干知識整合1.復數(1)復數的相等：a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)?a＝c，b＝d.(2)共軛復數：當兩個復數實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數．(3)運算：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i，(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i，(a＋bi)÷(c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－da,c2＋d2)i(c＋di≠0)．(4)復數的模：|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).要點熱點探究?探究點一復數的基本概念及其運算例1(1)[2012·課程標準卷]下面是關于復數z＝eq\f(2,－1＋i)的四個命題：p1：|z|＝2，p2：z2＝2i，p3：z的共軛復數為1＋i，p4：z的虛部為－1，其中的真命題為(C)A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4(2)[2012·山東卷]若復數z滿足z(2－i)＝11＋7i(i為虛數單位)，則z為(A)A．3＋5iB．3－5iC．－3＋5iD．－3－5i[點評]復數的考查核心是代數形式的四則運算，即使是概念的考查也需要相應的運算支持．本例第一題注意復數z＝a＋bi(a，b∈R)中的b是虛部，不是bi為虛部，也就是說虛部是一個實數不是純虛數；本例第二題也可以設z＝a＋bi(a，b∈R)代入z(2－i)＝11＋7i后進行乘法運算，然后根據兩復數相等的充要條件得出方程組求出a，b.?探究點二利用程序框圖描述算法例2(1)[2012·課程標準卷]如果執行圖6－20－1所示的程序框圖，輸入正整數N(N≥2)和實數a1，a2，…，aN，輸出A，B，則(C)A＋B為a1，a2，…，aN的和B.eq\f(A＋B,2)為a1，a2，…，aN的算術平均數C．A和B分別是a1，a2，…，aN中最大的數和最小的數D．A和B分別是a1，a2，…，aN中最小的數和最大的數(2)[2012·遼寧卷]執行如圖6－20－2所示的程序框圖，則輸出的S值是(A)圖6－20－2A．－1B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,2)D．4[點評]本例第一題把算法的順序結構、條件結構、循環結構綜合起來進行考查，是一道很有新意的題目，解