專題09相似三角形的五種基本模型

例1.如圖，已知。是BC的中點，M是AD的中點.求4V:NC的值.

例2.(培優)如圖，“RC中，點D在AC邊上，^.ZBDC=9(T+^ZABD.

(1)求證：DB=AB；

(2)點E在8C邊上，連接AE交3D于點F,且ZAFD=ZABC,BE=CD,求NACB的度數.

(3)在(2)的條件下，若BC=16,△鉆廠的周長等于30,求AF的長.

【變式訓練1】一塊直角三角形木板的面積為1.5mL一條直角邊A3為1.5m,怎樣才能把它加工成一個面

積最大的正方形桌面？甲、乙兩位木匠的加工方法如圖所示，請你用學過的知識說明哪位木匠的方法符合

要求（加工損耗忽略不計，計算結果中的分數可保留）.

【變式訓練2】在平面直角坐標系中，已知人（-3,4）,0（-1,0）,點C是了軸正半軸上一動點，以AC為直

角邊構造直角AABC,另一直角邊交x軸負半軸于點B,E為線段8C的中點，則DE的最小值為

類型二、X字型

X字型（平行）反X字型（不平行）

例1.如圖在平行四邊形ABCD中,E是C。的中點，尸是AE的中點,CF交BE于點G,若3E=8,則GE=

F

AB

例2.（培優）矩形ABC。中，AB=8,AD=12.將矩形折疊，使點A落在點尸處，折痕為DE.

Ap

（1）如圖①，若點尸恰好在邊BC上，連接AP,求不；的值；

DE

（2）如圖②，若E是的中點，EP的延長線交BC于點R求的長.

【變式訓練1】如圖，在AABC中，點。在BC上，BD=2CD=2,連接AD,ZADC=2ZBAC=^）°,則

線段的長為.

【變式訓練3】（1）某學校"學習落實"數學興趣小組遇到這樣一個題目

如圖，在EL4BC中，點O在線段BC上，13540=30。，E1OAC=75°,AO=6,BO：C0=2：1,求AB的長

經過數學小組成員討論發現，過點B作BD0AC,交A。的延長線于點D,通過構造0A就可以解決問題（如

圖2)

（2）請參考以上解決思路，解決問題：

如圖3在四邊形ABCD中對角線AC與8。相交于點。，A（^AD,A0=6,BABC=SACB=75Q,BO：OD

=2：1,求。C的長

圖3

類型三、母子型

例1.如圖，AABC中，點。在上，NB=2/BCD,若BD=2,BC=5,則線段CD的長為

例2.（培優）已知：如圖，AABC中，AD平分NBAC,AD的垂直平分線交AB于點E,交AD于點

交AC于點G,交BC的延長線于點尸，求證：DF2=CFBF.

【變式訓練1】如圖，在Rt^ABC中，/408=90。,47=8。=6,。是48上一點，點￡在2。上，連接8,AE

交于點尸，若/。詁=45。,3￡>=2乂>,則CE=.

【變式訓練2】如圖，在AABC中，ZABC=45°,AB=2亞,AD=AE,NDAE=90。，CE=逐，貝UCD

的長為.

E

BD

類型四、旋轉相似模型

例.在AABC中，CA=CB,ZAC3=c,點P是平面內不與點A,C重合的任意一點，連接AP,將線段AP

繞點尸逆時針旋轉a得到線段。尸，連接AD,BD,CP.

⑴觀察猜想

如圖①，當夕=60。時，分的值是,直線3D與直線CP相交所成的較小角的度數是

(2)類比探究

如圖②，當《=90。時，請寫出券的值及直線SD與直線CP相交所成的較小角的度數，并就圖②的情形

說明理由.

【變式訓練1］某校數學活動小組探究了如下數學問題:

(1)問題發現：如圖1,AABC中，ABAC=9Q)°,=AC.點P是底邊8c上一點，連接AP,以AP為腰

作等腰且NR4Q=90。，連接CQ、則8尸和CQ的數量關系是；

(2)變式探究：如圖2,AABC中，ABAC=90°,AB^AC.點P是腰AB上一點，連接CP,以CP為底邊

作等腰RtACP。，連接AQ,判斷8尸和AQ的數量關系，并說明理由；

⑶問題解決：如圖3,在正方形ABC。中，點尸是邊BC上一點，以DP為邊作正方形。尸所，點。是正方

形OPEF兩條對角線的交點，連接CQ.若正方形。PE歹的邊長為M,CQ=亞,求正方形ABCD的邊長.

【變式訓練2】在0ABe中，AB=AC,aBAC=a，點尸為線段CA延長線上一動點，連接尸2,將線段尸3繞

點尸逆時針旋轉，旋轉角為a,得到線段尸。，連接。8,DC.

(1)如圖1,當a=60。時，求證：PA=DC；

(2)如圖2,當a=120。時，猜想必和OC的數量關系并說明理由.

(3)當a=120。時，若AB=6,BP=底,請直接寫出點。到CP的距離.

圖1圖2備用圖

【變式訓練3】如圖1,在RtAASC中，ZACB=90°,AC=BC,在斜邊AB上取一點2過點。作DE〃BC,

交AC于點E.現將VAZ把繞點A旋轉一定角度到如圖2所示的位置(點。在AABC的內部)，使得

ZAB￡>+ZACZ)=90°.

(1)①求證：AABDSACE；②若CO=1,BD=y/6,求AD的長；

(2)如圖3,將原題中的條件〃AC=BC〃去掉，其它條件不變，去Ar二大AF二女設，若CD=1,BD=3,AD=4,

ABAD

求上的值；

(3)如圖4,將原題中的條件〃NAC3=90°〃去掉，其它條件不變，若告=會AF=39,設。。=機，

ABAD3

BD=n,AD=p,試探究利n,P三者之間滿足的等量關系.(直接寫出結果，不必寫出解答過程)

類型五、K字模型

例1.（1）問題發現：如圖1,ZABC=a,將邊AC繞點C順時針旋轉口得到線段CE,在射線8C上取點

D,使得/CDE=（z.請求出線段BC與DE的數量關系；

（2）類比探究：如圖2,若@=90。，作NACE=90。，且CE=；AC,其他條件不變，則線段BC與。E的

數量關系是否發生變化?如果變化，請寫出變化后的數量關系，并給出證明；

（3）拓展延伸：如圖3,正方形ABCD的邊長為6,點E是邊AD上一點，且AE=2,把線段CE逆時針旋

轉90。得到線段E尸，連接BF,直接寫出線段即的長.

圖1圖2圖3

例2.（培優）如圖，在矩形ABCD中，BC=6,AB=2,RSBEP的頂點E在邊CD或延長線上運動，且財"

=90°,EF=1BE,DF=7io,則BE=.

【變式訓練1】【感知】如圖①，在四邊形ABC。中，點尸在邊A3上（點P不與點A、3重合），

NA=NB=NDPC=90。.易證4Ps3c.（不需要證明）

【探究】如圖②，在四邊形A2CD中，點尸在邊上（點尸不與點重合），ZA=NB=NDPC.若PD=4,

PC=8,BC=6,求AP的長.

【拓展】如圖③，在AABC中，AC=BC=8,AB=12,點P在邊AB上（點尸不與點A、B重合），連結

CP,作NCPE=NA,PE與邊BC交于點、E,當是等腰三角形時，直接寫出AP的長.

【變式訓練2】如圖，矩形ABCD中，AB=1,BC=3,點E是邊BC上一個動點(不與點B、C重合)，AE的

垂線AF交CD的延長線于點F,點G在線段EF上，滿足FG國GE=1回2,設BE=x.

ADDF

(1)求證:

AB~BE

(2)當點G在團ADF的內部時，用尤的代數式表示國ADG的余切;

(3)當EIFGD=iaAFE時，求線段BE的長.

【變式訓練3】如圖1和圖2,在平面直角坐標系中，點C的坐標為(0,4),A是x軸上的一個動點，M是

線段AC的中點.把線段AM以A為旋轉中心、按順時針方向旋轉90。得到AB.過B作X軸的垂線、過點C

作y軸的垂線，兩直線交于點D,直線DB交x軸于點E.設A點的橫坐標為m.

(1)求證：回AOCEBBEA；

(2)若m=3,則點B的坐標為；若m=-3,則點B的坐標為；

(3)若m〉0,回BCD的面積為S,則m為何值時，S=6?

(4)是否存在m,使得以B、C、D為頂點的三角形與回AOC相似？若存在，求此時m的值；若不存在，請

說明理由.

課后作業

1.如圖，在平行四邊形ABC。中，E為邊AD的中點，連接AC,BE交于點F.若朋EF的面積為2,貝IJ財BC

的面積為()

A.8B.10C.12D.14

2.如圖，P為YABCD的邊AQ上的一點，E,尸分別為PB,PC的中點，！PEF,APDC,APAB的面積

分別為s,S1,S2.若5=3,則，+$2的值是()

C.6D.10

3.如圖1,AABC^,AB=AC,點￡＞在3A的延長線上，點E在BC上，DE=Z)C,點?是DE與AC的交點.

(1)求證：0BDE=0ACD；

(2)若DE=2DF,過點￡作EG〃AC交AB于點G,求證：AB=2AG；

(3)將“點。在BA的延長線上，點E在BC上"改為"點。在AB上，點E在C8的延長線上"，"點E是。E

與AC的交點"改為"點F是ED的延長線與AC的交點”，其它條件不變，如圖2.

①求證：ABBE=ADBC；

②若DE=4DF,請直接寫出SAABCSADEC的值.

'E

圖1圖備用圖

2E

4.【問題發現】（1）如圖1,在RSABC中，AB=AC,D為BC邊上一點（不與點3、C重合）將線段

繞點A順時針旋轉90。得到AE,連接EC,則線段9與CE的數量關系是—，位置關系是一；

【探究證明】（2）如圖2,在RLABC和RhADE中，AB^AC,AD=AE,將AADE繞點A旋轉，當點C,

D,E在同一直線時，2。與CE具有怎樣的位置關系，并說明理由；

【拓展延伸】（3）如圖3,在RtcBCD中，ZBCD=90°,BC=2CD=4,將AACD繞順時針旋轉，點C對應

點E，設旋轉角NC4E為1（0°<a<360°）,當點C,D,E在同一直線時，畫出圖形，并求出線段3E的

長度.

5.如圖，等腰三角形ABC和等腰三角形AOE,其中AB=AC,AD=AE.

（1）如圖1,若SBAC=90。，當C、D、E共線時，4。的延長線A理BC交BC于點尸，則0ACE=；