第08講二次根式的乘除

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學(xué)習(xí)目標(biāo)

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1.掌握二次根式的乘法法則：瓜?、樂=而(。20/20),能利用其進(jìn)行計(jì)算，并能逆

用法則進(jìn)行化簡(jiǎn)

2.掌握二次根式的除法法則:-j==^a>0,b>0),能利用其進(jìn)行計(jì)算，并能逆用法

則進(jìn)行化簡(jiǎn)。

3.理解最簡(jiǎn)二次根式的概念，會(huì)進(jìn)行二次根式的乘除法混合運(yùn)算，并能將二次函數(shù)化為最

簡(jiǎn)形式。

||雷基礎(chǔ)知識(shí)f

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知識(shí)點(diǎn)1:二次根式的乘法法則

1,二次根式的乘法法則:品=疝(a>0,b>0)

(二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變)

2.二次根式的乘法法則的推廣

(1)Va-Vb-4c=Vabc(a>0,&>0,c>0)

(2)a7b-cVd=acVbd(^>0,J>0),即當(dāng)二次根式前面有系數(shù)時(shí)，可類比單項(xiàng)式乘

單項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算，即將系數(shù)之積作為系數(shù)，被開方數(shù)之積作為被開方數(shù)。

3.二次根式的乘法法則的逆用

疝=布?瓜a>0,b>0)(二次根式的乘法法則的逆用實(shí)為積的算數(shù)平方根的性質(zhì))

4.二次根式的乘法法則的逆用的推廣

Jabcd=Va-Vb-Vc-4d,(a>0,Z?>0,c>0,J>0)

知識(shí)點(diǎn)2：二次根式的除法法則

1.二次根式的除法法則

^=^(a>0,b>0)(二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變)

2.二次根式的除法法則的推廣

,x/a-+y/~b+y[c—Ya+b+c(a20,Z?A0,c20)

注意:

(1)a20,b>0時(shí),

7廠成才有意義;

(2)如果被開方數(shù)時(shí)帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)先化成假分?jǐn)?shù)

y

知識(shí)點(diǎn)3：最簡(jiǎn)二次根式

1.最簡(jiǎn)二次根式的概念

(1)被開方數(shù)不含分母

(2)被開方數(shù)中不含能開方開得盡得因數(shù)或因式

2.化簡(jiǎn)二次根式的一般方法

方法舉例

將被開方數(shù)中能開得盡得因數(shù)或因式進(jìn)行開方V8=74^2=272

若被開方數(shù)中含有帶分「p2V3

數(shù),先將被開方數(shù)化成假

分?jǐn)?shù)

若被開方數(shù)中含有小數(shù)，Vo9=!!=更=巫

先將小數(shù)化成分?jǐn)?shù)■V10vioo10

化去根號(hào)下的分母若被開方數(shù)時(shí)分式，先將1__5a_15a-3c_115ac_4l5ac

正之26bc

分式分母化成能轉(zhuǎn)化為2^c—X12b,3c—X36b,c—

平方的形式，再進(jìn)行開方

(a>0,b>0,c>0)

運(yùn)算

被開方數(shù)時(shí)多項(xiàng)式的要先因式分解,X，2xy+y2"(x+Y)=x+y

(x20,y20)

3.分母有理化

(1)分母有理化：當(dāng)分母含有根式時(shí)，依據(jù)分式的基本性質(zhì)化去分母中的根號(hào)。

方法：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的

根號(hào)。

Q考點(diǎn)剖析^

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考點(diǎn)一：求字母的取值范圍

1.（2022秋?永興縣期末）若'x（x-6）=47x-6則（）

A.x26B.%20

C.(XW6D.%為一切實(shí)數(shù)

（2°23春.西城區(qū)校級(jí)期中）若底=等￡成立’則x的取值范圍為（

【變式1-lJ

A.B.GO或xVlC.X<1D.0?l

【變式1-2]（2023春?城區(qū)校級(jí)期中）化簡(jiǎn)（加彳）2+1%-2|結(jié)果為（)

A.0B.2x-4C.4-2xD.4

【變式1-3】（2022春?堯都區(qū)期中）若心亞.心耳=?軟2則a的取值范圍是（

A.B.-2C.g24D.-2

考點(diǎn)二：二次根式乘除的運(yùn)算

2.（2021秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算：2V3XV12X-^Vs-

【變式2-1]（2023春?鹿城區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：-近Xj7=（)

A.^14B.-V14C.277D.-2^7

【變式2-2]（2021秋?古冶區(qū)期末）計(jì)算:

(1)V3X6;(2)V27-

|例3.（2021春?鐵西區(qū)期末）計(jì)算：J藥X洞+2泥.

【變式3-1]（2022春?周至縣期末）計(jì)算：伍X4假小J欣.

【變式3-2]（2021春?靜安區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：3V3^2A/2X4V3.

【變式3-3]（2021春?西吉縣期末）計(jì)算:小(3728)x(-

考點(diǎn)三：二次根式符號(hào)的化簡(jiǎn)

例3.（2021春?閔行區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算:

b2

【變式3-1]（2020秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算:

【變式3-2]（2020秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算:

考點(diǎn)四：最簡(jiǎn)二次根式的判斷

4.（2023春?南昌縣期中）下列根式中屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（）

2

A.VQ75B.V8C.V27D.7a+l

【變式4-1]（2023春?北京期中）下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式是（）

A.V3B.VT5C.舊D.V8

【變式4-2]（2023春?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式是（

A.V5B.'工C.D.g

考點(diǎn)五：化簡(jiǎn)最簡(jiǎn)二次根式

Q1例5.（2022秋?南關(guān)區(qū)期末）將杉化為最簡(jiǎn)二次根式的結(jié)果是

【變式5-1】（2023春?東湖區(qū)校級(jí)期中）將化為最簡(jiǎn)根式是.

【變式5-2]（2023春?雄縣月考）化成最簡(jiǎn)二次根式：.

【變式5-3]（2022秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期中）二次根式中：A/a2+b2,疝缶、伍、J春是

最簡(jiǎn)二次根式的是.

考點(diǎn)六：已知最簡(jiǎn)二次根式求參數(shù)

例6.（2023?商丘二模）寫出一個(gè)實(shí)數(shù)x,使J啟是最簡(jiǎn)二次根式，則x可以

【變式6-1]（2023春?金鄉(xiāng)縣月考）若最簡(jiǎn)二次根式方際元與最簡(jiǎn)二次根式倔W相

等，貝Im+n=.

【變式6-2]（2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)月考）若最簡(jiǎn)二次根式而I與，正是同類二次根式，

貝！Jm=.

考點(diǎn)七：分母有理化

例7.（2022秋?南安市期末）化簡(jiǎn)：-1=,=.

【變式7-1]（2022秋?徐匯區(qū)期末）計(jì)算：_尸、

V3W2

【變式7-2]（2022秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期中）分母有理化：—。

3-V10

[變式7-3]（2022秋?寶山區(qū)期中）“分母有理化”是我們常用的一種化簡(jiǎn)方法,化簡(jiǎn)：1

考點(diǎn)八：比較二次根式的大小

例8.（2021秋?曲陽(yáng)縣期末）比較大小：

【變式8-1]（2021春?金壇區(qū)期末）比較大小:11（填寫“>”或“=”

2-V2V2-1

或.

【變式8-2]（2020?昆山市一模）設(shè)b=2+M，c=—1—,則a、b、c從小到

V3W2

大的順序是.

考點(diǎn)九：分母有理化的應(yīng)用

「、一例9.(2022春?青秀區(qū)校級(jí)期中)閱讀材料，并解決問題：

?-----'定義：將分母中的根號(hào)化去的過程叫做分母有理化.如：將「2廠分母有理化，

V5-V3

解：原式=2至嗎)=(V5+V3).運(yùn)用以上方法解決問題:

(V5-V3)(V5W3)

(1)將1分母有理化;

V3+2

(2)比較大小：(在橫線上填或一)

①11

V6-VsW-V6

②L(〃、2,且“為整數(shù))；

Vn-Vn-1Vn+1-Vn

(3)化簡(jiǎn)：+]+

l+v2v2+v3爽+v4V2021W2022

【變式9-1](2022秋?濟(jì)南期末)閱讀材料：我們已經(jīng)知道，形如廠0廠的無理數(shù)的化

Va±Vb

簡(jiǎn)要借助平方差公式：

33X(23)

例如:,=_L_6+蓊=6+3電?.下面我們來看看

2^3(2^3)(2W3)22-(V3)4-3

完全平方公式在無理數(shù)化簡(jiǎn)中的作用.

問題提出：M7+4日該如何化簡(jiǎn)?

建立模型：形如dm+24的化簡(jiǎn),只要我們找到兩個(gè)數(shù)。，b,使a+b=m,ab=n,這樣

(Va)2+(Vb)2=m,Va'Vb

那么便有：7m±2Vn=V(Va±Vb)2=Va±Vb(。＞匕)，

問題解決：化簡(jiǎn)：V7+473.

解：首先把J7+4內(nèi)化為47+2后，這里根=7,”=12,由于4+3=7,4X3=12,即

(V4)2+(V3)2=7,xV3=V12

?,?V7+4V37+2712=7(VI+V3)2=2+>/3-

模型應(yīng)用1:利用上述解決問題的方法化簡(jiǎn)下列各式:

（1）V6+275；

⑵V13-4\<10；

模型應(yīng)用2：

（3）在RtZXABC中，NC=90°,AB=4-AC=、/§,那么邊的長(zhǎng)為多少？（結(jié)

果化成最簡(jiǎn)）.

（2022秋?豐城市校級(jí)期末）在進(jìn)行二次根式簡(jiǎn)化時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如摩

33X75_3r=（_）

洛第=逗（二）

V3V3X33

2=2（愿-1）（三）

V3+1（V3+1）（V3-1）（V3）2-l2'

以上這種化簡(jiǎn)的步驟叫做分母有理化

2=3-1=（“）2-J=（a+i）（?1）%_1；（四）

V3+1V3+1V3+1V3+1

⑴化簡(jiǎn)房=—遂―點(diǎn)=—哈―

（2）請(qǐng)用不同的方法化簡(jiǎn)

V5W3

①參照（三）式得

V5W3

②步驟（四）式得廠2=

V5W3———

（3）化簡(jiǎn):

__11+___1+…+______1_______

V3+1娓用V7-tV5V2n+1+V2n-1

［域真即演練［I

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1.（2022?桂林）化簡(jiǎn)J五的結(jié)果是（）

A.2A/3B.3C.2A/2D.2

2.（2022?青島）計(jì)算（V27-V12）X患的結(jié)果是（）

A.返B.1C.V5

D.3

3

3.（2022?武漢）計(jì)算（（一2產(chǎn)的結(jié)果是-

4.（2022?天津）計(jì)算（W3+1）（JR-1）的結(jié)果等于_____

5.（2022?安順）估計(jì)（道+2/^）乂電的值應(yīng)在（）

A.4和5之間B.5和6之間C.6和7之間D.7和8之間

(V3+^-)XA/6,

6.（2021?蘭州）計(jì)算:

7.（2022?濟(jì)寧）已知°=2+遙，6=2-遍，求代數(shù)式/計(jì)%的值.

8.（2021?西寧）計(jì)算：（遍+3）（V5-3）-（V3-1）2.

l］總過關(guān)檢測(cè)［l

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1.（2022秋?海口期末）化簡(jiǎn)（-五）2的結(jié)果是（）

A.9B.±3C.-3D.3

2.（2022秋?臥龍區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算后X電的結(jié)果是（）

A.1B.gC..L/ZD.3

4V2

3.（2022春?桓臺(tái)縣期中）當(dāng)。＜0時(shí)，化簡(jiǎn)J石的結(jié)果是（）

A.-4。B.4aC.-44D.4〃

4.（2022秋?濟(jì)南期末）二次根式疝化成最簡(jiǎn)二次根式是.

5.（2022春?宿城區(qū)期末）若二次根式癡百是最簡(jiǎn)二次根式，則x可取的最小整數(shù)

是.

6.（2022秋?安鄉(xiāng)縣期末）若等式成立，則尤的取值范圍是.

7.（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）分母有理化一^=.

2^15

8.（2020秋?成華區(qū)期中）比較大小：2+"?__