第08講二次根式（8種題型）

小【知識梳理】

--二次根式的定義

二次根式的定義：一般地，我們把形如㈠（。20）的式子叫做二次根式.

①“廠”稱為二次根號

②a（a20）是一個非負數；

二次根號

連開方數

學習要求：

理解被開方數是非負數，給出一個式子能準確的判斷其是否為二次根式，并能根據二次根式的定義確定被開

方數中的字母取值范圍.

二.二次根式有意義的條件

判斷二次根式有意義的條件：

（1）二次根式的概念.形如五（a20）的式子叫做二次根式.

（2）二次根式中被開方數的取值范圍.二次根式中的被開方數是非負數.

（3）二次根式具有非負性.4（a》O）是一個非負數.

學習要求：

能根據二次根式中的被開方數是非負數來確定二次根式被開方數中字母的取值范圍，并能利用二次根式的

非負性解決相關問題.

【規律方法】二次根式有無意義的條件

1.如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數都必須是非

負數.

2.如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數為非負數外，還必須保證分母不為零.

三.二次根式的性質與化簡

（1）二次根式的基本性質：

/一二"0；（雙重非負性）.

②（二）2=a（a20）（任何一個非負數都可以寫成一個數的平方的形式）.

a（a>0）

③斤=|?|=0（a=0）（算術平方根的意義）

~a（a<0）

（2）二次根式的化簡：

①利用二次根式的基本性質進行化簡；

②利用積的算術平方根的性質和商的算術平方根的性質進行化簡.

Vab—Va*/b（心0,620）（。20,b>0）

（3）化簡二次根式的步驟：①把被開方數分解因式；②利用積的算術平方根的性質，把被開方數中能開得

盡方的因數（或因式）都開出來；③化簡后的二次根式中的被開方數中每一個因數（或因式）的指數都小于

根指數2.

【規律方法】二次根式的化簡求值的常見題型及方法

1.常見題型：與分式的化簡求值相結合.

2.解題方法：

（1）化簡分式：按照分式的運算法則，將所給的分式進行化簡.

（2）代入求值：將含有二次根式的值代入，求出結果.

（3）檢驗結果：所得結果為最簡二次根式或整式.

四.最簡二次根式

最簡二次根式的概念：（1）被開方數不含分母；（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式.

我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.

最簡二次根式的條件：（1）被開方數的因數是整數或字母，因式是整式；（2）被開方數中不含有可化為平方

數或平方式的因數或因式.

如：不含有可化為平方數或平方式的因數或因式的有2、3、a（a20）、x+y等；

含有可化為平方數或平方式的因數或因式的有4、9、。2、（x+y）2、x2+2xy+y2等.

五.二次根式的乘除法

（1）積的算術平方根性質：Va^b=/a-Vb（。。0，b20）

（2）二次根式的乘法法則：Va'Vb=Va^b（a》0，b20）

（3）商的算術平方根的性質：/=奈（a^0^b>0）

（4）二次根式的除法法則：乎>=點（。。0,b>0）

規律方法總結：

在使用性質/a*b（aNO，bNO）時一定要注意a》O,bNO的條件限制，如果a<0,b<0,使

用該性質會使二次根式無意義，如（■x/W）X（V^9）W-4X-9；同樣的在使用二次根式的乘法法則，

商的算術平方根和二次根式的除法運算也是如此.

六.二次根式的加減法

（1）法則：二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數相同的二次根式進行合

并，合并方法為系數相加減，根式不變.

（2）步驟：

①如果有括號，根據去括號法則去掉括號.

②把不是最簡二次根式的二次根式進行化簡.

③合并被開方數相同的二次根式.

（3）合并被開方數相同的二次根式的方法：

二次根式化成最簡二次根式，如果被開方數相同則可以進行合并.合并時，只合并根式外的因式，即系數相

加減，被開方數和根指數不變.

七.二次根式的混合運算

（1）二次根式的混合運算是二次根式乘法、除法及加減法運算法則的綜合運用.學習二次根式的混合運算

應注意以下幾點：

①與有理數的混合運算一致，運算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的.

②在運算中每個根式可以看做是一個“單項式“，多個不同類的二次根式的和可以看作“多項式“?

（2）二次根式的運算結果要化為最簡二次根式.

（3）在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當的解題途徑，往

往能事半功倍.

八.二次根式的化簡求值

二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值.

二次根式運算的最后，注意結果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運算要與加減運算區分，避免互相干

擾.

九.二次根式的應用

把二次根式的運算與現實生活相聯系，體現了所學知識之間的聯系，感受所學知識的整體性，不斷豐富解決

問題的策略，提高解決問題的能力.

二次根式的應用主要是在解決實際問題的過程中用到有關二次根式的概念、性質和運算的方法.

【考點剖析】

二次根式的定義（共4小題）

1.（2023春?廬陽區校級期末）下列式子中，一定是二次根式的是（）

A.V-2023B.VsC.如D.VI

2.（2023春?大石橋市期中）下列各式是二次根式的有（）

⑴V21；⑵⑶7x2+r⑷源;⑸正2x2

A.4個B.3個C.2個D.1個

3.（2022秋?門頭溝區期末）下列代數式能作為二次根式被開方數的是（）

A.xB.3.14-itC.f+lD.x2-1

4.（2022秋?寧德期末）已知。是正整數，J詬是整數，則。的最小值是2.那么若6是正整數，j

是大于1的整數，則b的最大值與最小值的差是.

二.二次根式有意義的條件（共3小題）

5.（2023春?江夏區校級期末）若使二次根式江-3+X在實數范圍內有意義,則無的取值范圍是（）

A.x》3B.x>3C.x<3D.xW3

6.（2022秋?寶山區期末）如果y=、3-2xW2x-3，貝1Jx+y的值為（）

A透B.1c.2D.0

3

歹為實數,且yM乂21

7.（2023春?東港區校級月考）已知x,2-9_^/g_x+4>貝Jx-尸（）

A.-1B.-7C.-1或-7D.1或-7

三.二次根式的性質與化簡（共4小題）

8.（2023春?合川區期末）實數加對應的點在數軸上的位置如圖，則化簡J（m-2）2+Y（m-7）2的結果為

）

-101234

A.2m-9B.-5C.5D.9-2m

9.（2023春?泰山區校級期中）把根號外的因式移入根號內，化簡的結果是（）

A.Vl-xB.Vx-1C.-Vx-1D.-V1-x

10.（2023?婁底二模）如果J（X-2）2=2-X,那么x取值范圍是（）

A.xW2B.x<2C.x22D.x>2

11.（2023春?莘縣期末）若2<a<3,則Ja2-4a+4H（a-3）2等于（）

A.5-2aB.\-2aC.2a-5D.2a-\

四.最簡二次根式（共2小題）

.（2022秋?平度市期末）下列各式：①需，②③，五，@VO72-最簡二次根式有（）

12

A.1個B.2個C.3個D.4個

13.（2023春?南京期末）下列二次根式中，最簡二次根式是（）

A.712B.V6c.叱D.

五.二次根式的乘除法（共6小題）

14.（2023春?仙游縣期中）下列運算正確的是（）

A.近.M二遙B.9yxi^=遙C.76X72=12=6

15.（2021秋?古冶區期末）計算：

（1）V3XV12；（2）JixV27-

.（2023春?興縣期中）若皿=二\口"成立,則（）

16

V6^xv6-x

A.x<6B.0WxW6C.xNOD.00<6

17.（2023春?蓬萊區期中）已知J五=6,則VO.063=

生3ababD3ab

A.RJD.---------

1010100.loo

計算：2V6X3^^V3,

18（2023春?密云區期末）

19.（2022春碓中區校級月考）375X2710.

六.二次根式的加減法（共5小題）

20.（2022秋?道外區期末）下列計算正確的是（）

A.V4+>/9=Vi3B.Vs-V3=V5C.3V2-V2=-2^2D.V3=V15

21.（2022秋?渠縣校級期末）計算，運-收的結果是（）

A.V6B.-1C.V3D.-V3

22.（2022秋?南關區校級期末）規定用符號[刈表示一個實數加的整數部分，^1]^：[-|]=0>[3.14]=3,按

此規定[7-浜]的值為____.

23.（2023?松北區三模）計算加7-3患的結果是.

24.（2023春?涪城區期中）已知實數機、〃、p滿足等式Mm-3+nT3-m-n=43m+5n-2-p+A/m-n-D,則

P="

七.二次根式的混合運算（共3小題）

25.（2023春?宿城區期末）計算：（立）XV2

26.（2023春?金川區校級期中）計算:

（1）V12-3V8+2V18；⑵9^3+7V12+5

(3)V24-^V3W6X2V3；(4)(V5W3)2-(V5+2)(V5-2)-

27.（2023春?潘集區期末）計算:

2

⑴<27-味xV6;⑵(275-572)(275+572)-(75W2)-

八.二次根式的化簡求值（共4小題）

28.（2023春?福清市期中）已知x=?+百，＞='而-通，求/+盯+/的值.

29.（2023春?泰安期中）（1）當a=3-2立時，求代數式a+Wa2-6a+9的值?

（2）當a=3+2亞，b=3-2M，求代數式/-3乃+廬的值.

30.（2023春?虹口區期末）已知：a+b=-2,ab=l,求：卜通?+aiR-的值.

31.（2022秋?羅湖區校級期末）小明在解決問題：已知。求2/-8a+l的值，他是這樣分析與解

2W3

答的:

12-V3

*?a==2-V3-

2W3"(2W3)(2W3)

/.-2=-.

(。-2)2=3,即屋-4Q+4=3.

，4-4。=-1,

???2/-8〃+1=2(/-4a)+1=2X(-1)+1=-1.

請你根據小明的分析過程，解決如下問題:

(1)計算：_J^=；

V2+1

(2)計算：一1—+1一+____1-+?-?+.1

V2+lV3W2V4W3V2020W2019

(3)若——，求2a2-8a+l的值.

V5-2

【過關檢測】

一、單選題

1.（2023春?浙江寧波?八年級寧波市第十五中學?？计谥校┤舾秸苡幸饬x，則x的取值范圍是

（）

A.x=2B.C.x>2D.x>2

2.（2023春?山東臨沂?八年級統考期末）下列二次根式為最簡二次根式的是（）

A.V12B.703C.7a2+1D.出/

3.（2023春?廣東惠州?八年級校考期中）已知：廊是整數，則滿足條件的最小正整數〃為（）

A.2B.4C.5D.20

4.（2023春?河北廊坊?八年級統考期末）下列各式計算正確的是（）

A.2+豆=2旨B.J（-3）x（-4）=12

C.72x5/3=76D.^+5/9=>/4+9

5.（2023春?安徽淮南?八年級統考期末）若p=E4一回:也，則p的取值范圍為（）

A.0<p<lB.1<p<2C.2<p<3D.3<p<4

6.（2023春?北京海淀?八年級中關村中學校考期中）下列二次根式中，與行能合并的是（）

A.724B.720C.V18D.比

7.（2023?上海?八年級假期作業）已知x=3-2y/3,貝。尤2-6x+l的值為（）

A.-4B.4C.2y/3-3D.2G-8

8.（2023春?四川德陽?八年級統考期末）若最簡二次根式而與-3歷萬能夠合并，則。的值是（）

A.-IB.0C.1D.2

9.（2023春?廣東惠州?八年級統考期末）下列根式是最簡二次根式的是（）

A.y/4B.[C.y/5D.78

10.（2023?全國?八年級假期作業）下列式子一定是二次根式是（）

A.^4B.7rC.i/aD.近

二、填空題

11.（2023春?江蘇?八年級專題練習）已知"是一個正整數，&麗是整數，則"的最小值是

12.（2023春?江西贛州?八年級統考期中）計算：-莊+&=.

13.（2023春?福建龍巖?八年級統考期末）當x=4時，二次根式后7的值為.

14.（2023春?河南新鄉?八年級河南師大附中?？计谀┯嬎悖汉笠?=.

15.（2023春?山東泰安?八年級統考期末）計算：V^3+V3^+7-x=.

16.（2023春?廣東汕頭?八年級統考期末）計算：（2+退）（2-石尸=.

三、解答題

17.（2023春?北京東城?八年級期末）已知X=2+6，求代數式（X-1）2-2X+5的值.

18.（2023春?廣東江門?八年級統考期末）如圖，從正方形ABCD中載去兩個面積分別為24cm2和15cm2的

正方形8EOH和OG,求留下部分的總面積.

19.（2023?全國?八年級假期作業）閱讀材料，并解決問題:

定義：將分母中的根號化去的過程叫做分母有理化.如：將石■分母有理化，解：原式=

2心+學

=（V5+V3）.運用以上方法解決問題:

（有-百）（有+?。?/p>

（1）將分母有理化;

（2）比較大?。海ㄔ跈M線上填“>”、“<”或"="）

①7^-----773^；

②~1=I______________/7=（〃22,且〃為整數）；

7n一7幾一\7n十1—7n

⑶化簡：占+懸耳+的\++V2021+V2022-

20.（2023春?北京西城?八年級校考期中）已知了=6+括，y=&6,求Yy+孫?的值.

21.（2023春?廣東惠州?八年級統考期末）計算：&