PAGEPAGE12．2．4點到直線的距離1．了解點到直線的距離公式的推導方法．2．駕馭點到直線的距離公式，兩條平行線間的距離公式．3．會求點到直線的距離，兩平行線間的距離．1．點到直線的距離公式點P(x1，y1)到直線Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax1＋By1＋C|,\r(A2＋B2))．(1)點P(x1，y1)到x軸的距離為d＝|y1|；(2)點P(x1，y1)到y軸的距離為d＝|x1|；(3)點P(x1，y1)到與x軸平行的直線y＝a(a≠0)的距離為d＝|y1－a|；(4)點P(x1，y1)到與y軸平行的直線x＝b(b≠0)的距離為d＝|x1－b|．2．兩平行線間的距離設直線l1為Ax＋By＋C1＝0，直線l2為Ax＋By＋C2＝0(A，B不同時為0)，則兩線間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))．1．點(2，1)到直線l：x－2y＋2＝0的距離為()A．eq\f(2,5) B．eq\f(2,5)eq\r(5)C．eq\f(6,5)eq\r(5) D．0答案：B2．直線l1：2x＋3y－8＝0與l2：2x＋3y－10＝0之間的距離d＝__________．答案：eq\f(2\r(13),13)3．直線l1：x＋y－1＝0與l2：2x＋2y＋5＝0之間的距離d＝__________．答案：eq\f(7\r(2),4)4．當點P(x1，y1)在直線Ax＋By＋C＝0上時，還適合點到直線的距離公式嗎？解：適合．點P在直線Ax＋By＋C＝0上，則距離d＝0，且有Ax1＋By1＋C＝0，所以d＝eq\f(|Ax1＋By1＋C|,\r(A2＋B2))＝0．求點到直線的距離求點P(1，2)到下列直線的距離：(1)l1：y＝x－3；(2)l2：y＝－1；(3)y軸．【解】(1)將直線方程化為一般式為x－y－3＝0，由點到直線的距離公式，得d1＝eq\f(|1－2－3|,\r(12＋(－1)2))＝2eq\r(2)．(2)法一：直線方程化為一般式為y＋1＝0，由點到直線的距離公式，得d2＝eq\f(|2＋1|,\r(02＋12))＝3．法二：因為y＝－1平行于x軸(如圖所示)，所以d2＝|－1－2|＝3．(3)y軸的方程為x＝0，由點到直線的距離公式，得d3＝eq\f(|1|,\r(12＋02))＝1．eq\a\vs4\al()應用點到直線的距離公式應留意的三個問題(1)直線方程應為一般式，若給出其他形式應化為一般式．(2)點P在直線l上時，點到直線的距離為0，公式仍舊適用．(3)直線方程Ax＋By＋C＝0，當A＝0或B＝0時公式也成立，但由于直線是特別直線(與坐標軸垂直)，故也可用數形結合法求解．求過點P(3，4)，且到原點距離為3的直線方程．解：由題意可知當所求直線的斜率不存在時，x＝3，滿意題意．當所求直線的斜率存在時，設為y＝k(x－3)＋4，化為一般式為kx－y＋4－3k＝0，所以eq\f(|4－3k|,\r(k2＋1))＝3，解得k＝eq\f(7,24)．所以直線方程為7x－24y＋75＝0．綜上，所求直線方程為x＝3或7x－24y＋75＝0．求平行線間的距離(1)求兩平行線l1：3x＋4y＝10和l2：3x＋4y＝15間的距離．(2)已知直線l1：3x－4y＋a＝0與直線l2：6x－8y＝0間的距離d>3，求實數a的取值范圍．【解】(1)法一：若在直線l1上任取一點A(2，1)，則點A到直線l2的距離，即是所求的平行線間的距離．所以d＝eq\f(|3×2＋4×1－15|,\r(32＋42))＝1．法二：設原點到直線l1，l2的距離分別為|OF|、|OE|，結合圖形(圖略)可知，|OE|－|OF|即為所求．所以|OE|－|OF|＝eq\f(|－15|,\r(32＋42))－eq\f(|－10|,\r(32＋42))＝1．法三：利用公式d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))，得d＝eq\f(|(－10)－(－15)|,\r(32＋42))＝1．(2)法一：直線l2的方程可以化為3x－4y＝0，則由平行線之間的距離公式可得d＝eq\f(|a|,\r(32＋(－4)2))＝eq\f(|a|,5)，因為d>3，所以eq\f(|a|,5)>3，所以|a|>15．所以a>15或a<－15．法二：在l2上取點(0，0)，則d＝eq\f(|a|,\r(32＋(－4)2))＝eq\f(|a|,5)＞3．所以a＞15或a＜－15．eq\a\vs4\al()兩平行線間距離的求法(1)求兩平行線間的距離可以轉化為求點到直線的距離，也可以應用公式．(2)應用兩平行線間的距離公式d＝eq\f(|C2－C1|,\r(A2＋B2))時，兩直線方程必需是一般形式，而且x，y的系數對應相等．求與直線l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距離為2的直線方程．解：法一：設所求直線的方程為5x－12y＋m＝0，因為兩直線間的距離為2，所以eq\f(|6－m|,\r(52＋(－12)2))＝2，所以m＝32或m＝－20．所以所求直線的方程為5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0．法二：設所求直線的方程為5x－12y＋C＝0．在直線5x－12y＋6＝0上取一點P0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，則點P0到直線5x－12y＋C＝0的距離為d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－12×\f(1,2)＋C)),\r(52＋(－12)2))＝eq\f(|C－6|,13)，由題意得eq\f(|C－6|,13)＝2，則C＝32或C＝－20．所以所求直線的方程為5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0．距離公式的綜合運用已知A(4，－3)，B(2，－1)和直線l：4x＋3y－2＝0，求一點P，使|PA|＝|PB|，且點P到直線l的距離等于2．【解】法一：設點P的坐標為P(a，b)，由|PA|＝|PB|得，(4－a)2＋(－3－b)2＝(2－a)2＋(－1－b)2，化簡得a－b＝5， ①由點P到直線l的距離等于2，得eq\f(|4a＋3b－2|,\r(42＋32))＝2， ②由①②方程聯立，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝－4))，或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(27,7),b＝－\f(8,7)))．所以，所求的點為P(1，－4)或P(eq\f(27,7)，－eq\f(8,7))．法二：設點P的坐標為P(a，b)，因為A(4，－3)，B(2，－1)，所以線段AB的中點M的坐標為(3，－2)．而直線AB的斜率kAB＝eq\f(－3－(－1),4－2)＝－1，所以線段AB的垂直平分線方程為y－(－2)＝x－3，即x－y－5＝0．而點P(a，b)在直線x－y－5＝0上，故a－b－5＝0． ③由已知點P到l的距離為2，得eq\f(|4a＋3b－2|,\r(42＋32))＝2． ④由③④方程聯立，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝－4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(27,7),b＝－\f(8,7)))．所以，所求的點為P(1，－4)或P(eq\f(27,7)，－eq\f(8,7))．eq\a\vs4\al()解析幾何的主要思想就是利用點的坐標反映圖形的位置．對于求點的問題，首先需設出點的坐標，依據題目中的條件，用點的坐標表示出來，列出方程組進行求解，即可得出所需結論．1．動點P(x，y)在直線x＋y－4＝0上，O為原點，求|OP|最小時P點的坐標．解：直線上的點到原點距離的最小值即為原點到直線的距離，此時OP垂直于已知直線，則kOP＝1，所以OP所在直線方程為y＝x，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＋y－4＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2.))所以P點坐標為(2，2)．2．求過點P(1，2)且與原點距離最大的直線方程．解：由題意知與OP垂直的直線到原點O的距離最大，因為kOP＝2，所以所求直線方程為y－2＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－5＝0．1．點到直線距離公式的推導用到了解析幾何中的常用方法“設而不求”，希望在今后學習中留意這種方法在解題中的應用．公式只與直線方程中的系數有關，因而它適合隨意直線，在詳細應用過程中，應將直線方程化為一般式，再套用公式．2．兩平行線間的距離求法有兩種：一是轉化為點到直線的距離；二是干脆運用兩平行線間的距離公式d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))，但應留意兩直線方程中x、y系數分別對應相等(即A1＝A2，B1＝B2)；若不相等，應化為相等，再運用．3．某些距離最值問題常運用數形結合法轉化為點到直線的距離問題．1．求點到直線的距離時，直線方程應為一般式，若給出其他形式，要先化成一般式再用公式．2．點P在直線l上時，點到直線的距離為零，公式仍舊適用，故應用公式時不必推斷點P與直線l的位置關系．3．應用兩條平行直線間的距離公式時，應把直線方程化為一般形式，且使兩條平行直線方程中x，y的系數分別對應相等．4．求兩條平行線間的距離，通常轉化為求其中一條直線上隨意一點到另一條直線的距離．1．原點到直線x＋2y－5＝0的距離為()A．1 B．eq\r(3)C．2 D．eq\r(5)解析：選D．d＝eq\f(|0＋2×0－5|,\r(12＋22))＝eq\f(|－5|,\r(5))＝eq\r(5)．2．與直線2x＋y＋1＝0平行且距離等于eq\f(\r(5),5)的直線方程為()A．2x＋y＝0B．2x＋y－2＝0C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0解析：選D．設與直線2x＋y＋1＝0平行的直線方程為2x＋y＋C＝0，由兩平行線間的距離公式得eq\f(|C－1|,\r(5))＝eq\f(\r(5),5)，所以|C－1|＝1，所以C＝0或C＝2，故選D．3．直線2x－y－1＝0與直線6x－3y＋10＝0的距離是________．解析：直線2x－y－1＝0可化為6x－3y－3＝0，則d＝eq\f(|－3－10|,\r(62＋(－3)2))＝eq\f(13,3\r(5))＝eq\f(13\r(5),15)．答案：eq\f(13\r(5),15)4．與直線3x－4y＋1＝0垂直，且與點(－1，－1)距離為2的直線方程為____________．解析：設所求直線方程為4x＋3y＋C＝0．則eq\f(|4×(－1)＋3×(－1)＋C|,\r(42＋32))＝2，即|C－7|＝10．解得C＝－3或C＝17．故所求直線方程為4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0．答案：4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0[學生用書P119(單獨成冊)])[A基礎達標]1．點P(1，－1)到直線l：3y＝2的距離是()A．3 B．eq\f(5,3)C．1 D．eq\f(\r(2),2)解析：選B．點P(1，－1)到直線l的距離d＝eq\f(|3×(－1)－2|,\r(02＋32))＝eq\f(5,3)，選B．2．已知點M(1，4)到直線l：mx＋y－1＝0的距離為3，則實數m＝()A．0 B．eq\f(3,4)C．3 D．0或eq\f(3,4)解析：選D．點M到直線l的距離d＝eq\f(|m＋4－1|,\r(m2＋1))＝eq\f(|m＋3|,\r(m2＋1))，所以eq\f(|m＋3|,\r(m2＋1))＝3，解得m＝0或m＝eq\f(3,4)，選D．3．已知點A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0)，則△ABC的面積等于()A．3 B．4C．5 D．6解析：選C．設AB邊上的高為h，則S△ABC＝eq\f(1,2)|AB|·h．|AB|＝eq\r((3－1)2＋(1－3)2)＝2eq\r(2)，AB邊上的高h就是點C到直線AB的距離．AB邊所在的直線方程為eq\f(y－3,1－3)＝eq\f(x－1,3－1)，即x＋y－4＝0．點C到直線x＋y－4＝0的距離為eq\f(|－1＋0－4|,\r(2))＝eq\f(5,\r(2))，因此S△ABC＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\f(5,\r(2))＝5．4．已知點P(1＋t，1＋3t)到直線l：y＝2x－1的距離為eq\f(\r(5),5)，則點P的坐標為()A．(0，－2) B．(2，4)C．(0，－2)或(2，4) D．(1，1)解析：選C．直線l：y＝2x－1可化為2x－y－1＝0，依題意得eq\f(|2(1＋t)－(1＋3t)－1|,\r(22＋(－1)2))＝eq\f(\r(5),5)，整理得|t|＝1，所以t＝1或－1．當t＝1時，點P的坐標為(2，4)；當t＝－1時，點P的坐標為(0，－2)，故選C．5．若直線l1：x＋ay＋6＝0與l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，則l1，l2間的距離是()A．eq\f(4\r(2),3) B．eq\f(8\r(2),3)C．4eq\r(2) D．2eq\r(2)解析：選B．因為l1∥l2，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a(a－2)－3＝0，,2a－6(a－2)≠0，))解得a＝－1．所以l1的方程為x－y＋6＝0，l2的方程為－3x＋3y－2＝0，即x－y＋eq\f(2,3)＝0，所以l1，l2間的距離是eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(6－\f(2,3))),\r(12＋(－1)2))＝eq\f(8\r(2),3)．6．經過兩直線x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交點，且和原點相距為1的直線的條數為________．解析：設所求直線l的方程為x＋3y－10＋λ(3x－y)＝0，即(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0，因為原點到直線的距離d＝eq\f(|－10|,\r((1＋3λ)2＋(3－λ)2))＝1，所以λ＝±3，即直線方程為x＝1或4x－3y＋5＝0，所以和原點相距為1的直線的條數為2．答案：27．已知x＋y－3＝0，則eq\r((x－2)2＋(y＋1)2)的最小值為________．解析：設P(x，y)，A(2，－1)，則點P在直線x＋y－3＝0上，且eq\r((x－2)2＋(y＋1)2)＝|PA|．|PA|的最小值為點A(2，－1)到直線x＋y－3＝0的距離d＝eq\f(|2＋(－1)－3|,\r(12＋12))＝eq\r(2)．答案：eq\r(2)8．已知△ABC中，A(3，2)，B(－1，5)，點C在直線3x－y＋3＝0上，若△ABC的面積為10，則點C的坐標為________．解析：設C(x，y)，由|AB|＝5，△ABC的面積為10，得點C到直線AB的距離為4，又線段AB所在直線方程為3x＋4y－17＝0．所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(|3x＋4y－17|,\r(32＋42))＝4，,3x－y＋3＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,3)，,y＝8.))所以點C的坐標為(－1，0)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，8))．答案：(－1，0)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，8))9．如圖，在△ABC中，頂點A、B和內心I的坐標分別為A(9，1)、B(3，4)、I(4，1)，求頂點C的坐標．解：AB邊所在直線方程為eq\f(y－1,4－1)＝eq\f(x－9,3－9)，即x＋2y－11＝0．由于內心I到直線AB的距離等于內切圓半徑r，則r＝eq\f(|4＋2×1－11|,\r(5))＝eq\r(5)．設AC邊所在直線的方程為y－1＝k(x－9)，即kx－y＋1－9k＝0．又I到直線AC的距離也是eq\r(5)，所以eq\f(|4k－1＋1－9k|,\r(k2＋1))＝eq\r(5)，解得k＝±eq\f(1,2)．因為kAB＝－eq\f(1,2)，所以k＝eq\f(1,2)．故AC所在直線的方程為y－1＝eq\f(1,2)(x－9)，即x－2y－7＝0．同理，可求BC邊所在直線方程為2x－y－2＝0．解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y－2＝0，,x－2y－7＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－4.))故點C坐標為(－1，－4)．10．已知正方形的中心為直線x－y＋1＝0和2x＋y＋2＝0的交點，正方形一邊所在直線方程為x＋3y－2＝0，求其他三邊所在直線的方程．解：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0，,2x＋y＋2＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝0，))所以中心坐標為(－1，0)．所以中心到已知邊的距離為eq\f(|－1－2|,\r(12＋32))＝eq\f(3,\r(10))．設正方形相鄰兩邊方程為x＋3y＋m＝0和3x－y＋n＝0．因為正方形中心到各邊距離相等，所以eq\f(|－1＋m|,\r(10))＝eq\f(3,\r(10))和eq\f(|－3＋n|,\r(10))＝eq\f(3,\r(10))．所以m＝4或m＝－2(舍去)，n＝6或n＝0．所以其他三邊所在直線的方程為x＋3y＋4＝0，3x－y＝0，3x－y＋6＝0．[B實力提升]11．P、Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋6＝0上隨意一點，則|PQ|的最小值為()A．eq\f(9,5) B．eq\f(18,5)C．3 D．6解析：選C．法一：|PQ|的最小值是這兩條平行線間的距離，在直線3x＋4y－12＝0上取點(4，0)，然后利用點到直線的距離公式得|PQ|的最小值為3．法二：|PQ|的最小值即為兩平行直線6x＋8y－24＝0與6x＋8y＋6＝0的距離d＝eq\f(|－24－6|,\r(62＋82))＝3，故選C．12．直線x－2y＋1＝0關于直線x＝1對稱的直線方程是()A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0解析：選D．設所求直線上任一點(x，y)，則它關于x＝1對稱的點(2－x，y)在直線x－2y＋1＝0上，所以2－x－2y＋1＝0，即x＋2y－3＝0．故選D．13．已知直線l經過直線l1：2x＋y－5＝0與l2：x－2y＝0的交點．(1)若點A(5，0)到l的距離為3，求l的方程；(2)求點A(5，0)到l的距離的最大值．解：(1)經過兩已知直線交點的直線系方程為(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，因為點A(5