第六章圓第27講圓的基本性質TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01圓的周長與面積問題??題型02圓中的角度、線段長度的計算??題型03利用垂徑定理結合全等，相似綜合求解??題型04在坐標系中利用垂徑定理求值或坐標??題型05垂徑定理在格點中的應用??題型06垂徑定理的實際應用??題型07利用垂徑定理求取值范圍??題型08利用弧，弦，圓心角的關系求解??題型09利用弧，弦，圓心角的關系求最值??題型10利用弧，弦，圓心角的關系證明??題型11利用圓周角定理求解??題型12利用圓內接四邊形性質求角??題型13利用圓的有關性質解決多結論問題??題型14利用圓的有關性質解決翻折問題??題型15利用圓的有關性質解決最值問題??題型16與圓有關的常見輔助線-遇到弦時，常添加弦心距??題型17與圓有關的常見輔助線-遇到直徑時，常添加直徑所對的圓周角??題型01圓的周長與面積問題1．（2024·四川成都·三模）魏晉時期數學家劉徽首創割圓術，為計算圓周率建立了嚴密的理論和完善的算法．所謂割圓術，即通過圓內接正多邊形細割圓，并使正多邊形的周長無限接近圓的周長，進而求得較為精確的圓周率．劉徽形容“割圓術”為：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣．”已知⊙O的半徑為1，運用“割圓術”，以圓內接正十二邊形近似估計⊙O的面積，可得π的近似值為．

2．（2023·江蘇鎮江·模擬預測）如圖，半徑為r的⊙O沿著邊長為a的正方形ABCD的邊作無滑動地滾動一周回到原來的位置，⊙O自身轉動的圈數是．（用含a，3．（2024·河北秦皇島·一模）某校社團實踐活動中，有若干個同學參加．先到的n個同學均勻圍成一個以O點為圓心，1m（1）若n=6，則相鄰兩人間的圓弧長是m．（結果保留π）（2）又來了兩個同學，先到的同學都沿各自所在半徑往后移a米，再左右調整位置，使這n+2個同學之間的圓弧長與原來n個同學之間的圓弧長相等．這n+2個同學排成圓圈后，又有一個同學要加入隊伍，重復前面的操作，則每人須再往后移b米，才能使得這n+3個同學之間的圓弧長與原來n個同學之間的圓弧長相同，則ba=??題型02圓中的角度、線段長度的計算4．（2024·四川成都·二模）如圖，AB是⊙O的弦，若⊙O的半徑OA=10，圓心O到弦AB的距離OC=6，則弦AB的長為()A．8 B．12 C．16 D．205．（2024·安徽蚌埠·模擬預測）如圖，CD是以O為圓心的半圓的直徑，A是DC延長線上一點，過A點的直線交半圓于B，E兩點，B在A，E之間，若AB=OD，∠EOD=45°，則∠BAO的大小為（

）

A．10° B．15° C．20° D．25°6．（2024·甘肅·模擬預測）如圖，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，D是⊙O上一點，若C是BD的中點，連接OC，∠OBC=50°，則∠ACD=．??題型03利用垂徑定理結合全等，相似綜合求解7．（2024·浙江寧波·二模）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，連結BC，AD，E為AB上一點，BE=BC，連結CE并延長交AD于點F，交⊙O于點(1)求證：∠G=2∠DCG．(2)若EF=2，FG=3，求(3)若EF=a，判斷1EC+18．（2024·湖南長沙·模擬預測）如圖，等腰三角形ABC和ACD無重疊地拼接在一起，且AB=AC=CD，△ABC的外接圓⊙O與邊CD交于點E（點E不與點C，D重合），過點E作線段CD的垂線，交BC的延長線于點F，交線段AB于點H，連接AE．(1)求證△ABC∽△AED；(2)若⊙O的半徑為5，①若tan∠BAC=43②連接BE，若BE平分∠ABC，求BC(3)若EDCE=m，對于CE任意長度，都有4E9．（2024·廣東汕尾·模擬預測）如圖，半圓O的直徑AB=6．點C在半圓O上，連接AC，BC，過點O作OD∥AC分別交BC，AB于點E，D，連接AD交BC于點F．(1)求證：點D是BC的中點；(2)將點O繞點F順時針旋轉90°到點G．①當點G在線段AD上，求AC的長；②當點G在線段AC上，求sin∠ABC10．（2024·上海普陀·三模）已知△ABC內接于⊙O，為的⊙O直徑，N為AC的中點，連接ON交AC于點H．(1)如圖①，求BCOH(2)如圖②，點D在⊙O上，連接DB，DO，DC，DC交OH于點E，若DB=DC，求證OD∥AC；(3)如圖③，在（2）的條件下，點F在BD上，過點F作FG⊥DO，交DO于點G．DG=CH，過點F作FR⊥DE，垂足為R，連接EF，EA，EF:DF=3:2，點T在BC的延長線上，連接AT，過點T作TM⊥DC，交DC的延長線于點M，若FR=CM,AT=42，請直接寫出圓O??題型04在坐標系中利用垂徑定理求值或坐標11．（2024·江蘇南京·一模）如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點A，C分別在x軸、y軸上，以AB為弦的⊙D與y軸相切．若點A的坐標為4,0，則點D的坐標為．12．（2023·黑龍江齊齊哈爾·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，以點C1,1為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A，B兩點，點P在⊙C

(1)求出A，B兩點的坐標；(2)試確定經過A、B兩點且以點P為頂點的拋物線解析式；(3)在該拋物線上是否存在一點D，使線段OP與CD互相平分？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．13．（2022·上海黃浦·二模）已知點P是直線y=2上一點，⊙P與y軸相切，且與x軸負半軸交于A、B兩點，如果AB=2，那么點P的坐標是．??題型05垂徑定理在格點中的應用14．（2024·山東淄博·二模）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B，C都在格點上，過A，B，C三點作一圓弧，則該圓弧的半徑=．15．（2024·山東濰坊·模擬預測）在每個小正方形的邊長為1的網格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點．如圖，在6×6的正方形網格圖形ABCD中，M，N分別是AB，BC上的格點BM=4，BN=2．若點P是這個網格圖形中的格點，連結PM，PN，則所有滿足16．（2024·江西景德鎮·二模）如圖是一個由小正方形構成的8×8的網格，每個小正方形的頂點叫作格點，⊙O經過A，B，C三個格點，請你使用無刻度的直尺在給定網格中按要求作圖，并保留作圖痕跡：(1)在圖1中，在圓上找一點D，使得BD=AC；(2)在圖2中，在圓上找一點P，使得A點為弧BP的中點．??題型06垂徑定理的實際應用17．（2025·廣西柳州·一模）某項目化研究小組只用一張矩形紙條和刻度尺，來測量一次性紙杯杯底的直徑．小敏同學想到了如下方法：如圖，將紙條拉直并緊貼杯底，紙條的上下邊沿分別與杯底相交于A、B、C、D四點，然后利用刻度尺量得該紙條的寬為3.5cm，AB=3cm，CD=4cmA．4.8cm B．5cm C．5.2cm18．（2024·廣西貴港·模擬預測）筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓，已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB長為4米，⊙O直徑長為6米．若點C為運行軌道的最低點，則點C到弦AB所在直線的距離是（

）A．1米 B．2米 C．3?5米 D．3+19．（2024·河北邯鄲·模擬預測）粒子加速器是當今高能物理學中研究有關宇宙的基本問題的重要工具．圖1，圖2是某環形粒子加速器的實景圖和構造原理圖，圖3是粒子加速器的俯視示意圖，⊙O是粒子真空室，C、D是兩個加速電極，高速飛行的粒子J在A點注入，在粒子真空室內做環形運動，每次經過CD時被加速，達到一定的速度在B點引出，粒子注入和引出路徑都與⊙O相切．已知：AB=16km，粒子注入路徑與AB夾角α=53°，CD所對的圓心角是60°(1)求∠ABE的度數；(2)通過計算，比較CD與AB的長度哪個更長；(3)直接寫出粒子J在環形運動過程中，粒子J到AB的最遠距離．（相關數據：tan37°≈??題型07利用垂徑定理求取值范圍20．（20-21九年級下·河南鄭州·階段練習）如圖，在平面直角坐標系xOy中，半徑為4的⊙O與x軸的正半軸交于點A，點B是⊙O上一動點，點C為弦AB的中點，直線y=34x?6與x軸、y軸分別交于點D、E，若△CDE面積為S，則S的范圍是21．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐標系xOy中，對于直線l:y=kx+b，給出如下定義：若直線l與某個圓相交，則兩個交點之間的距離稱為直線l關于該圓的“圓截距”．如圖，點M的坐標為?1,0，若⊙M的半徑為2，當k的取值在實數范圍內變化時，直線l關于⊙M的“圓截距”的最小值為22，則b的值為22．（22-23九年級下·北京西城·階段練習）在平面直角坐標系xOy中，對于直線l:y=kx+b，給出如下定義：若直線l與某個圓相交，則兩個交點之間的距離稱為直線l關于該圓的“圓截距”．(1)如圖1，⊙O的半徑為1，當k=1，b=1時，直接寫出直線l關于(2)點M的坐標為(?1,0)，①如圖2，若⊙M的半徑為1，當b=1時，直線l關于⊙M的“圓截距”小于455，求②如圖3，若⊙M的半徑為2，當k的取值在實數范圍內變化時，直線l關于⊙M的“圓截距”的最小值為22，直接寫出b??題型08利用弧，弦，圓心角的關系求解23．（2025·湖北十堰·一模）“老碗面”是陜西地方特色美食之一．圖②是從正面看到的一個“老碗”（圖①）的形狀示意圖AB是⊙O的一部分，D是AB的中點，連接OD，與弦AB交于點C，連接OA，OB．已知AB=24cm，碗深CD=8cm，則⊙O的半徑OA為（A．13cm B．16cm C．17cm24．（2024·云南昆明·一模）如圖，AB是⊙O的直徑，BC=CD=DE．若∠BOC=34°，則A．68° B．78° C．88° D．112°25．（2024·上海長寧·二模）如圖，已知點A、B、C、D都在⊙O上，OB⊥AC，BC=CD，下列說法錯誤的是()A．弧AB=弧BC B．∠AOD=3∠BOC C．AC=2CD D．OC⊥BD??題型09利用弧，弦，圓心角的關系求最值26．（2023·山西陽泉·二模）如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝12，點M在⊙O上，∠MAB=20°，N是MB的中點，連接MN，P是直徑AB上的動點，若弦MN=2，則△PMN周長的最小值為．

27．（2022·河南洛陽·一模）如圖，D是以AB為直徑的半圓O的中點，CD=2CB，E是直徑AB上一個動點，已知AB=2cm，則圖中陰影部分周長的最小值是28．（2022·福建泉州·模擬預測）如圖，在半徑為2cm，圓心角為90°的扇形OAB中，BC=2AC，點D是半徑OB的中點，點E從點D出發，沿D→O→A的方向運動到A的過程中，線段BE、CE與BC所圍成的區域（圖中陰影部分）面積的最小值為??題型10利用弧，弦，圓心角的關系證明29．（2025·湖北十堰·模擬預測）如圖，⊙O的直徑AB垂直弦CD于點E，F是圓上一點，D是BF的中點，連接CF交OB于點G，連接BC．(1)求證：GE=BE；(2)若AG=6，BG=4，求CD的長．30．（2024·湖北·模擬預測）如圖，在⊙O中，弦AB，CD相交于點M，且AB=CD．(1)求證：AD=(2)連接OM，BD，若BD是⊙O的直徑，AB=2AD=8，求OM的長．31．（2024·廣東·模擬預測）綜合運用如圖所示，圓內接四邊形ABCD中，點B平分CAD，CA平分∠BCD．(1)求證：∠CDE=2∠ECD．(2)若cos∠CBA=12(3)求證：BC??題型11利用圓周角定理求解32．（2023·遼寧錦州·二模）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O與AB，BC分別交于點D，E，連接AE，DE，若∠BED=45°，AB=2，則陰影部分的面積為（

）A．π4 B．π3 C．2π33．（2025·安徽·模擬預測）如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB，垂足為D，弦CE與AB交于點F，連接AE，AC，BC．

(1)求證：∠BAC=∠E；(2)若AB=8，DC=2，CE=310，求CF34．（2025·山東臨沂·一模）如圖，⊙O為△ABC的外接圓，直徑AD⊥BC于E，過點A作⊙O的切線AF與∠ABC的平分線交于點F，BF交AC于點G，交AD于點H，交⊙O于點M，連接AM．(1)求證：∠ACB=2∠ABF；(2)若tan∠AMB=2，BC=2，求CG??題型12利用圓內接四邊形性質求角35．（2024·浙江寧波·二模）如圖，在以AB為直徑的半圓O中，弦AC∥OD，若∠CAB=70°，則∠ACD的度數為（A．110° B．115° C．120° D．125°36．（2024·內蒙古包頭·模擬預測）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，BD是⊙O的直徑，點F是CD延長線上的一點，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于點E．(1)求證：AB=AC；(2)若BD=12，DE=2，求BC的長．37．（2024·湖南·模擬預測）如圖，AB為☉O的直徑，C為☉O上一點，連接CB，過C作CD⊥AB于點D，過C作∠DCE，使∠DCE=2∠BCD，其中CE交AB的延長線于點(1)求證：CE是☉O(2)如圖2，點F是☉O上一點，且滿足∠FCE=2∠ABC，連接AF并延長交EC的延長線于點G①試探究線段CF與CD之間滿足的數量關系；②若CD=4，tan∠BCE=12??題型13利用圓的有關性質解決多結論問題38．（2024·山東濱州·模擬預測）閱讀材料：在平面直角坐標系中，點Px0,y0和直線Ax+By+C=0（其中A、B不全為0），則點P到直線Ax+By+C=0的距離d可用公式d=Ax0+By0+CA2+B2根據以上材料，有下列結論：①點M0,3到直線y=②若以點M0,3為圓心，以4為半徑的圓與直線y=3x+9③直線y=3x與直線y=3④若點P是拋物線y=?x2+23x?3上的點，則點P正確結論的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．439．（2024·湖南益陽·模擬預測）如圖，在⊙O中，AB是直徑，AC是弦，D是AC的中點，DG⊥AB于點G，交AC于點E，BD交AC于點F，下列結論一定正確的是（把所有正確結論的序號都填上）．①∠DAE=∠GAE，②AE=DE，③AC=2DG，④若tan∠BAC=3440．（2024·安徽安慶·三模）如圖，在正方形ABCD中，點O是對角線BD的中點，點P在線段OD上，連接AP并延長交CD于點E，過點P作PF⊥AP交BC于點F，連接AF、EF，AF交BD于G，現有以下結論：①AP=PF；②DE+BF=EF；③PB?PD=2BF；④S△AEF為定值；⑤SA．①③④ B．①②③④ C．①②③⑤ D．②③④??題型14利用圓的有關性質解決翻折問題41．（2023·海南海口·模擬預測）如圖，⊙O的半徑為4．將⊙O的一部分沿著弦AB翻折，劣弧恰好經過圓心O．則這條劣弧的弧長為（

）．A．43π B．π C．8342．（2023·浙江金華·三模）在綜合實踐課上，小慧將圖①中圓形紙片沿直徑AB向上對折得到圖②，再沿弦BC向下翻折得到圖③，最后沿弦BD向上翻折得到圖④．（1）若點E是弧BD的中點，則∠ABC=（2）若CE:EB＝1:n，則sin∠ABC=．（用關于n43．（2024·浙江臺州·三模）如圖，AB是⊙O的直徑，CB是弦，把CB沿著弦CB翻折交AB于點D，再把CDB沿著AB翻折交BC于點E．當E是DB的中點時，tan∠ABC的值是（

A．2?1 B．33 C．5?1??題型15利用圓的有關性質解決最值問題44．（2024·浙江寧波·一模）如圖，AB、CD是⊙O中的兩條弦，相交于點E，且AB⊥CD，AE=DE，點H為劣弧AD上一動點，G為HE中點，若CE=1，DE=7，連接AG，則

45．（2024·陜西咸陽·模擬預測）【問題探究】（1）如圖1，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，點E是菱形ABCD的對稱中心，點F、M、N分別是邊AB、AD、CD的中點，連接MN，點P是線段MN上的動點，連接PE、PF，求PE+PF的最小值；【問題解決】（2）如圖2，某市有一塊未開發的四邊形綠地ABCD，經測量，AD=3km，CD=33km，∠BAD=120°，AD∥BC，AD⊥CD，點D處有一個水塘，綠地中有兩條弧形小路劣弧AC和劣弧GH，點G、H分別在邊AB、CB上，GH所對的圓心角為60°，BH=BG=4?km．現計劃沿MP、PD修建景觀水渠，并沿△EFM的三邊喬木類的樹木方便市民納涼，點E、F、M、P分別是BG、BH、GH、AC上的動點．為節約成本要求PD+PM值最小，同時要求46．（2025·湖南·模擬預測）我們在學習圓的知識時，常常碰到題目中明明沒有圓，但解決問題時要用到，這就是所謂的“隱圓”問題：下面讓我們一起嘗試去解決：(1)如圖1，Rt△ABC中，AB⊥BC,AB=6,BC=4，P是△ABC內部的一個動點，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長的最小值為________(2)如圖2，在正方形ABCD中，動點E，F分別從D，C兩點同時出發，以相同的速度在邊DC,CB上移動，連接AE和DF交于點P，由于點E，F的移動，使得點P也隨之運動．若AD=2，則線段CP的最小值是_______；(3)如圖3，矩形ABCD中，AB=2,AD=3，點E，F分別為AD,DC邊上的點，且EF=2，點G為EF的中點，點P為BC上一動點，則PA+PG的最小值為多少？??題型16與圓有關的常見輔助線-遇到弦時，常添加弦心距47．（2021·浙江寧波·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以點A為圓心，AC長為半徑作圓，交BC于點D，交AB于點E，連接DE(1)若∠ABC=20°，求∠DEA的度數；(2)若AC=3，AB=4，求CD的長．48．（21-22九年級下·廣東深圳·階段練習）如圖，AB是圓O的弦，且AB=6，點C是弧AB中點，點D是優弧AB上的一點，∠ADC=30°，則圓心O到弦AB的距離等于．49．（2023·黑龍江哈爾濱·三模）如圖，已知⊙O的半徑為7，AB是⊙O的弦，點P在弦AB上．若PA=4，PB=6，則OP的長為??題型17與圓有關的常見輔助線-遇到直徑時，常添加直徑所對的圓周角50．（2023·廣東陽江·一模）如圖，AB為⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，∠BAC=55°，則∠ADC=（

）A．25° B．35° C．45° D．55°51．（2024·湖南·模擬預測）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，若AB=4,∠C=30°，則AD的長度為（

A．1 B．1.5 C．2 D．352．（2024·四川眉山·二模）如圖，⊙P與⊙O相交于A，B兩點，⊙P經過圓心O，點C是⊙P的優弧AB上任意一點（不與點A，B重合）．連結AB，AC，BC，OC；(1)證明：∠ACO=∠BCO；(2)請說明當點C在⊙P什么位置時，直線CA與⊙O相切；(3)請說明當∠ACB的度數為何值時，⊙P與⊙O的半徑相等．1．（2024·江西·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，AB=2，點C在線段AB上運動，過點C的弦DE⊥AB，將DBE沿DE翻折交直線AB于點F，當DE的長為正整數時，線段FB的長為．2．（2024·內蒙古通遼·中考真題）【實際情境】手工課堂上，老師給每個制作小組發放一把花折傘和制作花折傘的材料及工具．同學們認真觀察后，組裝了花折傘的骨架，粘貼了彩色傘面，制作出精美的花折傘．【模型建立】（1）如圖1，從花折傘中抽象出“傘形圖”．AM=AN，DM=DN．求證：∠AMD=∠AND．【模型應用】（2）如圖2，△AMC中，∠MAC的平分線AD交MC于點D．請你從以下兩個條件：①∠AMD=2∠C；②AC=AM+MD中選擇一個作為已知條件，另一個作為結論，并寫出結論成立的證明過程．（注：只需選擇一種情況作答）【拓展提升】（3）如圖3，AC為⊙O的直徑，AB=BC，∠BAC的平分線AD交BC于點E，交⊙O于點D，連接CD．求證：3．（2024·甘肅臨夏·中考真題）根據背景素材，探索解決問題．平面直角坐標系中畫一個邊長為2的正六邊形ABCDEF背景素材六等分圓原理，也稱為圓周六等分問題，是一個古老而經典的幾何問題，旨在解決如何使用直尺和圓規將一個圓分成六等份的問題．這個問題由歐幾里得在其名著《幾何原本》中詳細闡述．已知條件點C與坐標原點O重合，點D在x軸的正半軸上且坐標為2,0操作步驟①分別以點C，D為圓心，CD長為半徑作弧，兩弧交于點P；②以點P為圓心，PC長為半徑作圓；③以CD的長為半徑，在⊙P上順次截取DE=④順次連接DE，EF，FA，AB，BC，得到正六邊形ABCDEF．問題解決任務一根據以上信息，請你用不帶刻度的直尺和圓規，在圖中完成這道作圖題（保留作圖痕跡，不寫作法）任務二將正六邊形ABCDEF繞點D順時針旋轉60°，直接寫出此時點E所在位置的坐標：______．4．（2024·江蘇徐州·中考真題）在△ABC中，點D在邊AB上，若CD2=AD?DB，則稱點D(1)如圖（1），在△ABC中，若∠ACB=90°，CD⊥AB于點D．試說明：點D是點C的“關聯點”．(2)如圖（2），已知點D在線段AB上，用無刻度的直尺和圓規作一個△ABC，使其同時滿足下列條件：①點D為點C的“關聯點”；②∠ACB是鈍角（保留作圖痕跡，不寫作法）．(3)若△ABC為銳角三角形，且點D為點C的“關聯點”．設AD=m，DB=n，用含m、n的代數式表示AC的取值范圍（直接寫出結果）．5．（2024·海南·中考真題）如圖1，拋物線y=?x2+bx+4經過點A?4,0、B1,0，交y(1)求該拋物線的函數表達式；(2)當點P的坐標為?2,6時，求四邊形AOCP的面積；(3)當∠PBA=45°時，求點P的坐標；(4)過點A、O、C的圓交拋物線于點E、F，如圖2．連接AE、AF、EF，判斷△AEF的形狀，并說明理由．1．（2024·江蘇連云港·中考真題）如圖，將一根木棒的一端固定在O點，另一端綁一重物．將此重物拉到A點后放開，讓此重物由A點擺動到B點．則此重物移動路徑的形狀為（

）

A．傾斜直線 B．拋物線 C．圓弧 D．水平直線2．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=1，動點E，F分別從點A，C同時出發，以每秒1個單位長度的速度沿AB，CD向終點B，D運動，過點E，F作直線l，過點A作直線l的垂線，垂足為G，則AG的最大值為（

）

A．3 B．32 C．2 3．（2024·內蒙古通遼·中考真題）如圖，圓形拱門最下端AB在地面上，D為AB的中點，C為拱門最高點，線段CD經過拱門所在圓的圓心，若AB=1m，CD=2.5m，則拱門所在圓的半徑為（A．1.25m B．1.3m C．1.4m4．（2024·海南·中考真題）如圖，AD是半圓O的直徑，點B、C在半圓上，且AB=BC=CD，點P在CD上，若∠PCB=130°，則A．105° B．100° C．90° D．70°5（2024·內蒙古·中考真題）如圖，正四邊形ABCD和正五邊形CEFGH內接于⊙O，AD和EF相交于點M，則∠AMF的度數為（

）A．26° B．27° C．28° D．30°6．（2024·湖北·中考真題）如圖，AB是半圓O的直徑，C為半圓O上一點，以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，交BA于點M，交BC于點N，分別以點M，N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠ABC的內部相交于點D，畫射線BD，連接AC．若∠CAB=50°，則∠CBD的度數是（

A．30° B．25° C．20° D．15°7．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，AB是⊙O的直徑，若∠BEC=20°，則∠ADC的度數為（

）

A．100° B．110° C．120° D．130°8．（2024·北京·中考真題）如圖，⊙O的直徑AB平分弦CD（不是直徑）.若∠D=35°，則∠C=°

9．（2024·重慶·中考真題）如圖，以AB為直徑的⊙O與AC相切于點A，以AC為邊作平行四邊形ACDE，點D、E均在⊙O上，DE與AB交于點F，連接CE，與⊙O交于點G，連接DG．若AB=10,DE=8，則AF=?_．DG=10．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，連接AD、BC、BD．若∠BCD=20°，則∠ABD=°．11．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=5，tan∠C=2，則AC+55

12．（2024·河南·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=3，線段CD繞點C在平面內旋轉，過點B作AD的垂線，交射線AD于點E．若CD=1，則AE的最大值為，最小值為13．（2023·湖南·中考真題）問題情境：筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，既經濟又環保，明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖①）．假定在水流量穩定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都按逆時針做勻速圓周運動，每旋轉一周用時120秒．問題設置：把筒車抽象為一個半徑為r的⊙O．如圖②，OM始終垂直于水平面，設筒車半徑為2米．當t=0時，某盛水筒恰好位于水面A處，此時∠AOM=30°，經過95秒后該盛水筒運動到點B處．（參考數據，2≈1.414

問題解決：(1)求該盛水筒從A處逆時針旋轉到B處時，∠BOM的度數；(2)求該盛水筒旋轉至B處時，它到水面的距離．（結果精確到0.1米）14．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖是6×7的網格，每個小正方形的邊長均為1，半圓ACB上的點A，B(1)在圖中作出弧BC的中點D．(2)連結AC，作出∠BAC的角平分線．(3)在AB上作出點P，使得AP=AC．15．（2023·山東·中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，C是圓上一點，D是BC的中點，弦DE⊥AB，垂足為點F．

(1)求證：BC=DE；(2)P是AE上一點，AC=6,BF=2，求tan∠BPC(3)在（2）的條件下，當CP是∠ACB的平分線時，求CP的長．16．（2023·四川綿陽·中考真題）如圖，在⊙O中，點A，B，C，D為圓周的四等分點，AE為切線，連接ED，并延長交⊙O于點F，連接BF交AC于點G．(1)求證：AD平分∠CAE；(2)求證：△ADE≌△ABG；(3)若AE=3，AG=3GC，求cos∠CBF

第六章圓第27講圓的基本性質TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01圓的周長與面積問題??題型02圓中的角度、線段長度的計算??題型03利用垂徑定理結合全等，相似綜合求解??題型04在坐標系中利用垂徑定理求值或坐標??題型05垂徑定理在格點中的應用??題型06垂徑定理的實際應用??題型07利用垂徑定理求取值范圍??題型08利用弧，弦，圓心角的關系求解??題型09利用弧，弦，圓心角的關系求最值??題型10利用弧，弦，圓心角的關系證明??題型11利用圓周角定理求解??題型12利用圓內接四邊形性質求角??題型13利用圓的有關性質解決多結論問題??題型14利用圓的有關性質解決翻折問題??題型15利用圓的有關性質解決最值問題??題型16與圓有關的常見輔助線-遇到弦時，常添加弦心距??題型17與圓有關的常見輔助線-遇到直徑時，常添加直徑所對的圓周角??題型01圓的周長與面積問題1．（2024·四川成都·三模）魏晉時期數學家劉徽首創割圓術，為計算圓周率建立了嚴密的理論和完善的算法．所謂割圓術，即通過圓內接正多邊形細割圓，并使正多邊形的周長無限接近圓的周長，進而求得較為精確的圓周率．劉徽形容“割圓術”為：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣．”已知⊙O的半徑為1，運用“割圓術”，以圓內接正十二邊形近似估計⊙O的面積，可得π的近似值為．【答案】3【分析】本題考查了正多邊形與圓，三角形的面積的計算，圓的面積，正確地作出輔助線是解題的關鍵．過A作AM⊥OB于M，求得∠AOB=360°÷12=30°，根據直角三角形的性質得到AM=12OA=12【詳解】解：如圖，AB是正十二邊形的一條邊，點O是正十二邊形的中心，

過A作AM⊥OB于M，在正十二邊形中，∠AOB=360°÷12=30°，∴AM=1∴S∴正十二邊形的面積為12×1∴3=1∴π=3，∴π的近似值為3，故答案為：3．2．（2023·江蘇鎮江·模擬預測）如圖，半徑為r的⊙O沿著邊長為a的正方形ABCD的邊作無滑動地滾動一周回到原來的位置，⊙O自身轉動的圈數是．（用含a，【答案】2aπr【分析】本題主要考查圓的基礎知識，根據正方形的邊長可得正方形的周長，結合圓的周長計算，即可求解，掌握圓的基礎知識是解題的關鍵．【詳解】解：⊙O的周長為：2πr，正方形的周長為：4a，∴⊙O自身轉動的圈數是4a2πr故答案為：2aπ3．（2024·河北秦皇島·一模）某校社團實踐活動中，有若干個同學參加．先到的n個同學均勻圍成一個以O點為圓心，1m（1）若n=6，則相鄰兩人間的圓弧長是m．（結果保留π）（2）又來了兩個同學，先到的同學都沿各自所在半徑往后移a米，再左右調整位置，使這n+2個同學之間的圓弧長與原來n個同學之間的圓弧長相等．這n+2個同學排成圓圈后，又有一個同學要加入隊伍，重復前面的操作，則每人須再往后移b米，才能使得這n+3個同學之間的圓弧長與原來n個同學之間的圓弧長相同，則ba=【答案】π3【分析】本題考查圓的周長和弧長，（1）先計算出圓的周長，再計算出圓的弧長即可；（2）先計算出半徑往后移a米的圓的周長，求出弧長，根據弧長相等建立等式即可求出a，再計算出b，即可得到答案．【詳解】解：（1）當n=6時，圓的周長為：2π，∴相鄰兩人間的圓弧長是2π6故答案為：π3（2）又來了兩個同學后圓的周長為：2π1+a∴2π1+a∴a=1當又有一個同學要加入隊伍后，圓的周長為：2π1+a+b∴2π1+a+b∴b=1∴ba故答案為：12??題型02圓中的角度、線段長度的計算4．（2024·四川成都·二模）如圖，AB是⊙O的弦，若⊙O的半徑OA=10，圓心O到弦AB的距離OC=6，則弦AB的長為()A．8 B．12 C．16 D．20【答案】C【分析】根據垂徑定理，得AC=BC=12AB本題考查了勾股定理，垂徑定理，熟練掌握兩個定理是解題的關鍵．【詳解】解：根據垂徑定理，得AC=BC=1根據勾股定理，得AC=O故AB=2AC=16．故選：C．5．（2024·安徽蚌埠·模擬預測）如圖，CD是以O為圓心的半圓的直徑，A是DC延長線上一點，過A點的直線交半圓于B，E兩點，B在A，E之間，若AB=OD，∠EOD=45°，則∠BAO的大小為（

）

A．10° B．15° C．20° D．25°【答案】B【分析】本題考查了等邊對等角、三角形的外角的性質等知識點，連接OB，可推出∠BAO=∠BOA，∠OBE=∠BAO+∠BOA=2∠BAO，根據OB=OE，得∠OEB=∠OBE=2∠BAO，進而得∠EOD=∠BAO+∠OEB=3∠BAO=45°，即可求解；【詳解】解：連接OB，如圖所示：

∵AB=OD，OD=OB，∴AB=OB，∴∠BAO=∠BOA，∴∠OBE=∠BAO+∠BOA=2∠BAO，∵OB=OE，∴∠OEB=∠OBE=2∠BAO，∴∠EOD=∠BAO+∠OEB=3∠BAO=45°，∴∠BAO=15°，故選：B6．（2024·甘肅·模擬預測）如圖，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，D是⊙O上一點，若C是BD的中點，連接OC，∠OBC=50°，則∠ACD=．【答案】10°/10度【分析】此題考查了圓周角定理，等弧所對的圓心角相等，直角三角形兩銳角互余等知識．如圖所示，連接OD，首先由直徑得到∠ACB=90°，然后求出∠A=90°?∠B=40°，根據圓周角定理得到∠BOC=2∠A=80°，進而求出∠COD=∠BOC=80°，然后求出∠AOD=180°?∠COD?∠BOC=20°，最后利用圓周角定理求解即可．【詳解】如圖所示，連接OD∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°∵∠OBC=50°∴∠A=90°?∠B=40°∴∠BOC=2∠A=80°∵C是BD的中點∴BC∴∠COD=∠BOC=80°∴∠AOD=180°?∠COD?∠BOC=20°∴∠ACD=1故答案為：10°．??題型03利用垂徑定理結合全等，相似綜合求解7．（2024·浙江寧波·二模）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，連結BC，AD，E為AB上一點，BE=BC，連結CE并延長交AD于點F，交⊙O于點(1)求證：∠G=2∠DCG．(2)若EF=2，FG=3，求(3)若EF=a，判斷1EC+1【答案】(1)詳見解析(2)10(3)不會改變，1【分析】（1）如圖1，連接ED，根據EB=BC，得出∠BCE=∠BEC，由同弧所對的圓周角相等得∠BCE=∠BAG，根據垂徑定理得出AB是CD的垂直平分線，得到CE=ED，證出∠BEC=∠BED=∠AEG=∠BCE=∠BAG，再結合三角形內角和定理證出∠DEG=∠G，根據三角形外角的性質即可證明∠G=2∠DCG；（2）根據EF=2,FG=3，求出EG=5，由（1）知：∠AEG=∠EAG，得出AG=EG=5，證明△AGF∽△DEF，根據相似三角形的性質即可求解．（3）設FG=b，則EG=AG=a+b，根據相似三角形的性質即可解答．【詳解】（1）證明：如圖1，連接ED，∵EB=BC，∴∠BCE=∠BEC，由同弧所對的圓周角相等得∠BCE=∠BAG，∵AB是⊙O的直徑，且CD⊥AB，∴CH=DH，∴AB是CD的垂直平分線，∴CE=ED，∴∠CEB=∠DEB,∠ECD=∠EDC，∵∠AEG=∠BEC,∠BCE=∠EAG，∴∠BEC=∠BED=∠AEG=∠BCE=∠BAG，∵∠EAG+∠AEG+∠G=180°,∠AEG+∠BED+∠DEG=180°，∴∠DEG=∠G，∵∠DEG=∠ECD+∠EDC=2∠DCG，∴∠G=2∠DCG；（2）解：∵EF=2,FG=3，∴EG=EF+FG=2+3=5，由（1）知：∠AEG=∠EAG，∴AG=EG=5，∵∠DEG=∠G，∴AG∥DE，∴△AGF∽△DEF，∴DE∴DE5∴DE=10∵DE=CE，∴CE=10（3）解：1EC設FG=b，則EG=AG=a+b，∵AG∥DE，∴△AGF∽△DEF，∴DE∴DEa+b∴DE=a(a+b)∴1∴1【點睛】本題考查了圓周角定理，平行線的判定，垂徑定理，等腰三角形的性質和判定，相似三角形的性質和判定等知識，解題的關鍵是學會用相似三角形的性質列比例式解決問題，屬于中考常考題型．8．（2024·湖南長沙·模擬預測）如圖，等腰三角形ABC和ACD無重疊地拼接在一起，且AB=AC=CD，△ABC的外接圓⊙O與邊CD交于點E（點E不與點C，D重合），過點E作線段CD的垂線，交BC的延長線于點F，交線段AB于點H，連接AE．(1)求證△ABC∽△AED；(2)若⊙O的半徑為5，①若tan∠BAC=43②連接BE，若BE平分∠ABC，求BC(3)若EDCE=m，對于CE任意長度，都有4E【答案】(1)見解析(2)①1655

(3)1【分析】（1）根據平行四邊形的性質可得∠B=∠D，再由圓內接四邊形的性質可得∠B=∠AED，再由AB=AC，可得∠B=∠ACB=∠AED=∠D，即可求證；（2）①連接AO，并延長AO交BC于點M，連接BO，可得OA⊥BC，從而得到BC=2CM,∠BAM=12∠BAC，進而得到∠BOM=∠BAC，繼而得到tan∠BOM=BMOM=43，設BM=4x，OM=3x，可求出x的值，從而得到BM=4，OM=3，再由勾股定理求出AC=AB=45，再由△ABC∽△AED，即可求解；②由BE平分∠ABC，得到AE=EC，由△ABC∽△AED，得到BCAB=EDAE，根據等量代換得到，BCAB=ABBC?1（3）過點A作AG⊥DE于點G，可得DE=2DG，再由平行四邊形的性質可得AG=EH，根據題意可得DE=mCE，從而得到DG=12mCE，AC=AB=CD=CE+DE=(m+1)CE，再由ΔABC∽ΔAED，可得AD2=(本題主要考查了平行四邊形的性質，相似三角形的判定和性質，垂徑定理，圓內接四邊形的性質，解直角三角形，解題的關鍵是：根據題意列出等量關系式．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B=∠D，∵四邊形ABCE是圓內接四邊形，∴∠B+∠AEC=180°，∵∠AEC+∠AED=180°，∴∠B=∠AED，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=∠AED=∠D，∴△ABC∽△AED；（2）解：①如圖，連接AO，并延長AO交BC于點M，連接BO，∵AB=AC，∴AB=AC，∴OA⊥BC，∴BC=2CM，∠BAM=1∵∠BOM=2∠BAM，∴∠BOM=∠BAC，∵tan∠BAC=∴tan∠BOM=設BM=4x，OM=3x，∴OB=5x，∵⊙O的半徑為5，∴5x=5，即x=1，∴BM=4，OM=3，∴BC=2BM=8，AM=OA+OM=8，∴AC=AB=B∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC=8，∵△ABC∽△AED，∴ACAD=BCDE，即②∵BE平分∠ABC，∴AE=EC，∵△ABC∽△AED，∴BCAB又∵CD=AB，EC=AE=AD=BC，∴BCAB=設ABBC=t，則：1t=t?1，即：t2?t?1=0，解得：設BM=12BC=a在Rt△ABM中，AM=在Rt△OBM中，OM2+BM∴BC（3）如圖，過點A作AG⊥DE于點G，∵∠AED=∠D，∴AD=AE，∴DE=2DG，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AB∥CD，∴AG⊥AB，∵EH⊥AB，∴AG=EH，∵EDCE∴DE=mCE，∴DG=1∴AC=AB=CD=CE+DE=(m+1)CE，∵△ABC∽△AED，∴ACAD=BC∴AD∴AG∴HE∴4E=4=∵對于CE的任意長度，都有4EH∴3m解得：m=1∴當m=13時，EH9．（2024·廣東汕尾·模擬預測）如圖，半圓O的直徑AB=6．點C在半圓O上，連接AC，BC，過點O作OD∥AC分別交BC，AB于點E，D，連接AD交BC于點F．(1)求證：點D是BC的中點；(2)將點O繞點F順時針旋轉90°到點G．①當點G在線段AD上，求AC的長；②當點G在線段AC上，求sin∠ABC【答案】(1)見解析(2)①AC=2；②sin【分析】（1）先得到∠C=90°，由平行線的性質得到OD⊥BC，則由垂徑定理即可證明結論；（2）①連接OF，在AF上取一點使得FG=OF，由旋轉的性質可得∠OFG=90°，證明△ACF≌△DEFAAS得到AC=DE，再證明△BOE∽△BAC，得到AC=2OE，再根據線段之間的關系求解即可②如圖，由旋轉的性質可得FG=FO，∠OFG=90°，證明△CFG≌△EOFAAS得到OE=CF，證明△ACF∽△DEF，設OE=CF=x，則AC=2x，DE=3?x可得EF=3?x2，則CE=BE=3+x【詳解】（1）證明：∵AB是半圓O直徑，∴∠C=90°∵OD∥∴∠OEB=∠C=90°，即OD⊥BC∴BD=CD，即點D（2）解：①連接OF，在AF上取一點使得FG=OF，∵點O繞點F順時針旋轉90°到點G，∴∠OFG=90°，∴AF=DF，又∵OD∥∴∠D=∠CAD，∠C=∠DEC，∴△ACF≌△DEF∴AC=DE，∵O是AB中點，OD∥AC，∴△BOE∽△BAC，∴OEAC∴AC=2OE，∵直徑AB=6，∴OE+DE=OD=3，∴AC+1∴AC=2；②如圖，由旋轉的性質可得FG=FO，∵∠FCG=∠OEF=90°，∴∠CFG+∠EFO=90°=∠CGF+∠CFG，∴∠EFO=∠CGF，∴△CFG≌△EOF∴OE=CF，由①得，AC=2OE，∵AC∥∴△ACF∽△DEF，設OE=CF=x，則AC=2x，DE=3?x∴CF:AC=EF:DE=1:2∴EF=3?x∴CE=BE=CF+EF=∴在Rt△BOE中，由勾股定理得3+x解得：x1=1.8，∴sin【點睛】本題主要考查了垂徑定理，相似三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，解直角三角形，直徑所對的圓周角是直角，掌握相應的知識點是解本題的關鍵．10．（2024·上海普陀·三模）已知△ABC內接于⊙O，為的⊙O直徑，N為AC的中點，連接ON交AC于點H．(1)如圖①，求BCOH(2)如圖②，點D在⊙O上，連接DB，DO，DC，DC交OH于點E，若DB=DC，求證OD∥AC；(3)如圖③，在（2）的條件下，點F在BD上，過點F作FG⊥DO，交DO于點G．DG=CH，過點F作FR⊥DE，垂足為R，連接EF，EA，EF:DF=3:2，點T在BC的延長線上，連接AT，過點T作TM⊥DC，交DC的延長線于點M，若FR=CM,AT=42，請直接寫出圓O【答案】(1)BCOH(2)證明見解析；(3)13．【分析】（1）連接OC，根據N為AC的中點，可得AH=HC，再根據中位線定理得出結論；（2）連接OC，先證△DOB≌△DOC得∠BDO=∠CDO，再根據OB=OD得∠DBO=∠BDO，根據（3）連接AD，先證△DOB≌△DOC，再證四邊形ADFE是矩形，過A作AS⊥DE垂足為S，先證出FR=AS，再能夠證出△CAS≌△TCM從而CT=AC，得到等腰直角△ACT，利用三角函數求出AC，再根據【詳解】（1）證明：如圖，連接OC，∵N為AC的中點，∴AN=∴∠AON=∠CON，∵OA=OC，∴AH=HC，∵OA=OB，∴OH是△ABC的中位線，∴BCOH（2）證明：如圖，連接OC，設∠BDC=2α，∵BD=DC，DO=DO，OB=OC，∴△DOB≌∴∠BDO=∠CDO=1∵OB=OD，∴∠DBO=∠BDO=α，∵∠ACD=∠ABD=α，∴∠CDO=∠ACD，∴OD∥（3）解：連接AD，∵FG⊥OD，∴∠DGF=90°，∵∠CHE=90°，∴∠DGF=∠CHE，∵∠FDG=∠ECH，DG=CH，∴△DGF≌∴DF=CE，∵AH=CH，∴OH⊥AC，∴CE=AE=DF，∵∠EAC=∠ECA=α，∠AED=∠EAC+∠ECA=2α，∴∠BDC=∠AED，∴DF∥∴四邊形ADFE是平行四邊形，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴四邊形ADFE是矩形，∴∠EFD=90°，∴tan∠EDF=過點A作AS⊥DE垂足為S，∴sin∠AES=∵FR⊥DC，∴sin∠FDR=∵FD∥∴∠FDR=∠AES，∴sin∠FDR=∴FR=AS，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACS=90°，∵∠ASC=90°，∴∠CAS+∠ACS=90°，∴∠BCE=∠CAS，∵∠BCE=∠TCM，∴∠CAS=∠TCM，∵TM⊥DC，∴∠TMC=90°，∴∠TMC=∠ASC，∵FR=CM，∴AS=CM，∴△CAS≌∴CT=AC，∵∠ACT=180°?90°=90°，∴∠CAT=∠CTA=45°，∴AC=AT?sin∵∠EDF=∠BAC，∴tan∠EDF=∴BCAC∴BC=6，∴AB=A∴圓O半徑的長13．【點睛】本題是圓的綜合題，考查圓的有關知識、全等三角形的判定與性質、三角形中位線定理、垂徑定理、三角函數、勾股定理、圓周角定理等知識，構造輔助線解決問題是解題關鍵．??題型04在坐標系中利用垂徑定理求值或坐標11．（2024·江蘇南京·一模）如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點A，C分別在x軸、y軸上，以AB為弦的⊙D與y軸相切．若點A的坐標為4,0，則點D的坐標為．【答案】5【分析】本題考查了勾股定理、切線的性質、正方形性質，垂徑定理等知識點，過點D作DF⊥AB，交OC與點E，連接AD，設⊙D得半徑為r，由正方形的性質及垂徑定理可得EF=4，DF=EF?ED=4?r，BF=AF=2，在根據勾股定理即可求解．熟練掌握相關圖形的性質是解決問題的關鍵．【詳解】解：過點D作DF⊥AB，交OC與點E，連接AD，設⊙D得半徑為r，∵A4,0∴在正方形OABC中，AB∥OC，OA=AB=BC=OC=4，∵以AB為弦的⊙D與y軸相切，AB∥OC，∴DE⊥CO，則EF是⊙D直徑的一部分則EF=4，DF=EF?ED=4?r，由垂徑定理可得BF=AF=2，在Rt△ADF中，AD2解得：r=5∴點D的坐標為52故答案為：5212．（2023·黑龍江齊齊哈爾·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，以點C1,1為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A，B兩點，點P在⊙C

(1)求出A，B兩點的坐標；(2)試確定經過A、B兩點且以點P為頂點的拋物線解析式；(3)在該拋物線上是否存在一點D，使線段OP與CD互相平分？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)A(2)y=?x2(3)D【分析】（1）作CE⊥AB于點E，連接OA,OB，根據C1,1，半徑AC=BC=2，得到CE=1,利用勾股定理求出AE=BE=3，即可得到A，（2）由圓與拋物線的對稱性可知拋物線的頂點P的坐標為1,3或1,?1，分別設出解析式代入點B的坐標求出解析式；（3）假設存在點D使線段OP與CD互相平分，則四邊形OCPD是平行四邊形，得到PC∥OD且PC=OD，由PC∥y軸，確定點D在y軸上，根據【詳解】（1）作CE⊥AB于點E，連接OA,OB，∵C1,1，半徑AC=BC=2∴CE=1，∴AE=BE=A∴A1?

（2）由圓與拋物線的對稱性可知拋物線的頂點P的坐標為1,3或1,?1，當拋物線的頂點P的坐標為1,3時，設拋物線的解析式為y=ax?1將點B1+3,0∴y=?x?1當拋物線的頂點P的坐標為1,?1時，設拋物線的解析式為y=ax?1將點B1+3,0∴y=1（3）假設存在點D使線段OP與CD互相平分，則四邊形OCPD是平行四邊形，∴PC∥OD且∵PC∥∴點D在y軸上，當拋物線為y=?x∵PC=2，∴OD=2，即D0,2又D0,2滿足y=?∴點D在拋物線上，存在D0,2使線段OP與CD當拋物線為y=1∵PC=3，∴OD=3，即D0,?3∵D0,?3不滿足y=∴不存在D0,?3使線段OP與CD綜上，存在D0,2使線段OP與CD【點睛】此題考查了圓的垂徑定理，勾股定理，求二次函數的解析式，平行四邊形的性質及判定，綜合掌握各知識點是解題的關鍵．13．（2022·上海黃浦·二模）已知點P是直線y=2上一點，⊙P與y軸相切，且與x軸負半軸交于A、B兩點，如果AB=2，那么點P的坐標是．【答案】?【分析】根據題意作出圖形，過點P作x軸的垂線，垂足為M，然后由垂徑定理及勾股定理可得圓的半徑，由此可得答案．【詳解】解：根據題意，畫出圖形如下：∴ON=2，AB=2，過點P作x軸的垂線，垂足為M，∴PM=2，AM=BM=1，在Rt△PBM中，PB=∵⊙P與y軸相切，∴PN⊥y軸，PN=PB=5∵⊙P與x軸負半軸交于A、B兩點，∴點P的坐標是?5故答案為：?5【點睛】此題考查的是切線的性質、垂徑定理及坐標與圖形的性質，正確作出圖形是解決此題的關鍵．??題型05垂徑定理在格點中的應用14．（2024·山東淄博·二模）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B，C都在格點上，過A，B，C三點作一圓弧，則該圓弧的半徑=．【答案】5【分析】本題考查垂徑定理的應用，解答此題的關鍵是熟知垂徑定理，即“垂直于弦的直徑平分弦”．根據垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點即為圓心．再利用網格與勾股定理求解即可．【詳解】解：根據垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點即為圓心．如圖所示，連接OA，∴OA=22故答案為：5．15．（2024·山東濰坊·模擬預測）在每個小正方形的邊長為1的網格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點．如圖，在6×6的正方形網格圖形ABCD中，M，N分別是AB，BC上的格點BM=4，BN=2．若點P是這個網格圖形中的格點，連結PM，PN，則所有滿足【答案】2【分析】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，得出邊PM的長的最大值等于圓O的直徑是解題的關鍵．作線段MN中點Q，作MN的垂直平分線OQ，并使OQ=12MN，以O為圓心，OM為半徑作圓，通過圖形可知，當點P在P'位置時，恰好過格點且P'M經過圓心O，此時P'M最大，等于圓O的直徑，得出【詳解】解：作線段MN中點Q，作MN的垂直平分線OQ，并使OQ=12MN，以O為圓心，OM∵OQ為MN垂直平分線且OQ=12MN∴OQ=MQ=NQ，∴∠OMQ=∠ONQ=45°，∴∠MON=90°，∴弦MN所對的圓O的圓周角為45°，∴點P在圓O上，PM為圓O的弦，通過圖形可知，當點P在P'位置時，恰好過格點且P'M∴此時P'M最大，等于圓∵BM＝4，BN＝2，∴MN=2∴MQ=OQ=5，∴OM=2MQ=∴P'即邊PM的長的最大值為21016．（2024·江西景德鎮·二模）如圖是一個由小正方形構成的8×8的網格，每個小正方形的頂點叫作格點，⊙O經過A，B，C三個格點，請你使用無刻度的直尺在給定網格中按要求作圖，并保留作圖痕跡：(1)在圖1中，在圓上找一點D，使得BD=AC；(2)在圖2中，在圓上找一點P，使得A點為弧BP的中點．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】此題通過作圖考查了圓周角定理和垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定及性質，熟練掌握圓周角定理和垂徑定理是正確作圖的關鍵．（1）連接BO交⊙O于D，可知BD為直徑，則BD=AC，點D即為所求；（2）取格點E，F，連接BF交AC于G，交⊙O于P，點P即為所求．【詳解】（1）解：由圖可知，AB=3，BC=6，AC=3∴AC∴∠ABC=90°，又∵⊙O經過A，B，C三個格點，∴AC為⊙O的直徑，連接BO交⊙O于D，可知BD為直徑，則BD=AC，如圖所示，點D即為所求；（2）取格點E，F，連接BF交AC于G，交⊙O于P，由圖可知，AB=EF=3，BC=EB=6，AC=FB=3∴△ABC≌△FEBSSS∴∠ABG=∠ACB，∵∠ABG+∠CBG=90°，∴∠ACB+∠CBG=90°，則∠BGC=90°，∴直徑AC⊥BP，∴AB=即：點P即為所求．??題型06垂徑定理的實際應用17．（2025·廣西柳州·一模）某項目化研究小組只用一張矩形紙條和刻度尺，來測量一次性紙杯杯底的直徑．小敏同學想到了如下方法：如圖，將紙條拉直并緊貼杯底，紙條的上下邊沿分別與杯底相交于A、B、C、D四點，然后利用刻度尺量得該紙條的寬為3.5cm，AB=3cm，CD=4cmA．4.8cm B．5cm C．5.2cm【答案】B【分析】本題考查垂徑定理的應用，勾股定理．由垂徑定理求出BN，CM的長，設ON=x，由勾股定理得到3.5?x2+22=x2【詳解】解：如圖，MN⊥AB，MN過圓心O，連接OC，OB，∴MN=3.5cm，∵AB∥∴MN⊥CD，∴CM=12CD=設ON=xcm∴OM=MN?ON=3.5?x∵OM2+M∴OM∴3.5?x∴x=2，∴ON=2cm∴OB=O∴紙杯的直徑為2.5×2=5cm故選：B．18．（2024·廣西貴港·模擬預測）筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓，已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB長為4米，⊙O直徑長為6米．若點C為運行軌道的最低點，則點C到弦AB所在直線的距離是（

）A．1米 B．2米 C．3?5米 D．3+【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理的應用和勾股定理的應用，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關鍵．連接OC，OC交AB于D，由垂徑定理得AD=BD=12AB=2（米），再由勾股定理得OD=【詳解】解：連接OC，OC交AB于D，由題意得：OA=OC=3米，OC⊥AB，AB=4米，∴AD=BD=12AB=2∴OD=O∴CD=OC?OD=3?即點C到弦AB所在直線的距離是3?5故選：C．19．（2024·河北邯鄲·模擬預測）粒子加速器是當今高能物理學中研究有關宇宙的基本問題的重要工具．圖1，圖2是某環形粒子加速器的實景圖和構造原理圖，圖3是粒子加速器的俯視示意圖，⊙O是粒子真空室，C、D是兩個加速電極，高速飛行的粒子J在A點注入，在粒子真空室內做環形運動，每次經過CD時被加速，達到一定的速度在B點引出，粒子注入和引出路徑都與⊙O相切．已知：AB=16km，粒子注入路徑與AB夾角α=53°，CD所對的圓心角是60°(1)求∠ABE的度數；(2)通過計算，比較CD與AB的長度哪個更長；(3)直接寫出粒子J在環形運動過程中，粒子J到AB的最遠距離．（相關數據：tan37°≈【答案】(1)∠ABE=53°(2)AB的長度更長，見解析(3)粒子J到AB的最遠距離是16【分析】（1）如圖，延長AF，BE交于（2）根據弧長公式求出CD的長，再進行比較即可；（3）如圖，當粒子J運動到P點時，離AB的距離最遠，根據切線的性質得到∠FAO=90°，再根據垂徑定理和三角函數得出AO的長，進而解答即可【詳解】（1）解：如圖，延長AF，BE交于由題意得，AF，BE是∴AG=BG，∴∠ABE=∠FAB=α=53°；（2）解：AB的長度更長，∵CD所對的圓心角為60°，OC=OA=10km∴CD的長度約為60π∵10.5<16，∴AB的長度更長；（3）解：如圖，過點O作OE⊥AB于點E，延長EO交⊙O于點P，連接AO，∵AF是⊙O的切線，∴∠FAO=90°，∵α=53°，∴∠EAO=90°?53°=37°，∵AB是⊙O的弦，OE是弦心距，OE⊥AB，∴AE=BE=12AB=8∴tan∠EAO=∴OE≈3∴AO=A如圖，當粒子J運動到P點時，離AB的距離最遠，∴EP=OE+OP=6+10=16km即粒子J到AB的最遠距離是16km【點睛】本題是圓的綜合題，涉及圓周角定理，圓切線的性質，垂徑定理，解直角三角形，弧長公式，正確作出輔助線是解題關鍵．??題型07利用垂徑定理求取值范圍20．（20-21九年級下·河南鄭州·階段練習）如圖，在平面直角坐標系xOy中，半徑為4的⊙O與x軸的正半軸交于點A，點B是⊙O上一動點，點C為弦AB的中點，直線y=34x?6與x軸、y軸分別交于點D、E，若△CDE面積為S，則S的范圍是【答案】8≤S≤28【分析】連接OC，如圖，根據垂徑定理得到OC⊥AB，則利用圓周角定理可判斷點C在以OA為直徑的圓上（點O、A除外），以OA為直角作⊙P，過P點作直線PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，如圖，先利用一次函數解析式確定E（0，-6），D（8，0），則DE=10，接著證明△DPH∽△DEO，利用相似比求出PH=185，則MP=285，NH=85，由于當C點與M點重合時，S最大；C點與N點重合時，S最小，然后計算出SΔNED【詳解】解：連接OC，如圖，∵點C為弦AB的中點，∴OC⊥AB，∴∠ACO=90°，∴點C在以OA為直徑的圓上（點O、A除外），以OA為直角作⊙P，過P點作直線PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，如圖，當x=0時，y=34x-6=-6，則E當y=0時，34x-6=0，解得x=8，則D∴DE=62∵A（4，0），∴P（2，0），∴PD=6，∵∠PDH=∠EDO，∠PHD=∠EOD，∴△DPH∽△DEO，∴PH：OE=DP：DE，即PH：6=6：10，解得PH=185∴MP=PH+2=285，NH=PH-2=8∴SΔNED=當C點與M點重合時，S最大；C點與N點重合時，S最小，∴S的范圍為8≤S≤28．故答案為：8≤S≤28．【點睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質和一次函數的性質．21．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐標系xOy中，對于直線l:y=kx+b，給出如下定義：若直線l與某個圓相交，則兩個交點之間的距離稱為直線l關于該圓的“圓截距”．如圖，點M的坐標為?1,0，若⊙M的半徑為2，當k的取值在實數范圍內變化時，直線l關于⊙M的“圓截距”的最小值為22，則b的值為【答案】±1【分析】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，一次函數與幾何綜合，如圖所示，設直線l與⊙M交于B、C，與y軸交于D，過點M作MD⊥BC于E，連接MB，先證明當點E與點D重合時，ME最大，即此時BC最小，再由BC最小=22，求出MD=2【詳解】如圖所示，設直線l與⊙M交于B、C，與y軸交于D，過點M作ME⊥BC于E，連接MB，∴BC=2BE，在Rt△MBE中，由勾股定理得BE=∴當ME最大時，BE最小，即此時BC最小，∵ME≤MD，∴當點E與點D重合時，ME最大，即此時BC最小，∵直線l關于⊙M的“圓截距”的最小值為22，即B∴BD=1∴MD=M∵D0∴1+b解得b=±1，故答案為：±1．22．（22-23九年級下·北京西城·階段練習）在平面直角坐標系xOy中，對于直線l:y=kx+b，給出如下定義：若直線l與某個圓相交，則兩個交點之間的距離稱為直線l關于該圓的“圓截距”．(1)如圖1，⊙O的半徑為1，當k=1，b=1時，直接寫出直線l關于(2)點M的坐標為(?1,0)，①如圖2，若⊙M的半徑為1，當b=1時，直線l關于⊙M的“圓截距”小于455，求②如圖3，若⊙M的半徑為2，當k的取值在實數范圍內變化時，直線l關于⊙M的“圓截距”的最小值為22，直接寫出b【答案】(1)2(2)①0<k<12或k>2；【分析】（1）先求出⊙O與一次函數的交點坐標即為1，（2）①求出當直線l經過點A0，1，B?2，0時，k=12，解直角三角形求出此時BC=455；求出當直線l經過點0，1，?1，?1時，k=?2，由對稱性可知此時直線l關于⊙M的“圓截距”為455，兩種情況結合函數圖象求解即可．②如圖所示，設直線l與⊙M交于B、C，與y軸交于D，過點M作MD⊥BC【詳解】（1）解：當k=1，b=1時，則一次函數解析式為∴此時一次函數與坐標軸的交點坐標為1，∵1，∴1，0，0，1都在∴“圓截距”=1（2）解：①如圖2-1所示，當直線l經過點A0∴?2k+b=0b=1∴k=1∵OA=1，∴AB=O∴cos∠ABO=設AB與⊙M的另一個交點為C，連接OC，可知∠OCB=90°．∴BC=OB?cos∠ABO=455．即此時直線l結合圖形可知0<k<1如圖2-2所示，當直線l經過點0，1，由對稱性可知此時直線l關于⊙M的“圓截距”為45結合圖形可知k>2．綜上，當0<k<12或k>2時直線l關于⊙M的“圓截距”小于②如圖所示，設直線l與⊙M交于B、C，與y軸交于D，過點M作ME⊥BC于E，連接MB，∴BC=2BE，在Rt△MBE中，由勾股定理得BE=∴當ME最大時，BE最小，即此時BC最小，∵ME≤MD，∴當點E與點D重合時，ME最大，即此時BC最小，∵直線l關于⊙M的“圓截距”的最小值為22，即B∴BD=1∴MD=M∵D0∴1+b解得b=±1．【點睛】本題主要考查了垂徑定理，圓周角定理，一次函數與幾何綜合，解直角三角形，勾股定理等等，正確理解題意利用數形結合的思想求解是解題的關鍵．??題型08利用弧，弦，圓心角的關系求解23．（2025·湖北十堰·一模）“老碗面”是陜西地方特色美食之一．圖②是從正面看到的一個“老碗”（圖①）的形狀示意圖AB是⊙O的一部分，D是AB的中點，連接OD，與弦AB交于點C，連接OA，OB．已知AB=24cm，碗深CD=8cm，則⊙O的半徑OA為（A．13cm B．16cm C．17cm【答案】A【分析】本題主要考查了垂徑定理、等腰三角形的性質、勾股定理的應用等知識點，設⊙O的半徑OA為Rcm，并根據勾股定理列出關于R先利用垂徑定理的推論得出OD⊥AB，AC=BC=12AB=12cm，再設⊙O的半徑OA為Rcm【詳解】解：∵D是AB的中點，∴AD=∴∠AOD=∠BOD,∵OA=OB,AB=24cm∴OD⊥AB，設⊙O的半徑OA為Rcm，則OC=OD?CD=在Rt△OAC中，∠OCA=90°∴OA∴R2=122+R?82，解得：R=13故選：A．24．（2024·云南昆明·一模）如圖，AB是⊙O的直徑，BC=CD=DE．若∠BOC=34°，則A．68° B．78° C．88° D．112°【答案】B【分析】本題主要考查了弧與圓心角之間的關系，根據同圓中，等弧所對的圓心角相等得到∠DOE=∠COD=∠BOC=34°，再根據平角的定義可得答案．【詳解】解：∵BC=CD=∴∠DOE=∠COD=∠BOC=34°，∴∠AOE=180°?∠DOE?∠COD?∠BOC=78°，故選：B．25．（2024·上海長寧·二模）如圖，已知點A、B、C、D都在⊙O上，OB⊥AC，BC=CD，下列說法錯誤的是()A．弧AB=弧BC B．∠AOD=3∠BOC C．AC=2CD D．OC⊥BD【答案】C【分析】本題考查了圓周角定理、垂徑定理、圓心角、弧、弦的關系；根據題意和垂徑定理，可以得到AC=BD，AB=BC，【詳解】解：∵OB⊥AC，∴，AB=BC，故A正確；∴AD=3BC，∴∠AOD=3∠BOC，故B正確；AC=∴AC=BD<BC+CD=2CD，故C錯誤；∵CD=∴OC⊥BD，故D正確；故選：C．??題型09利用弧，弦，圓心角的關系求最值26．（2023·山西陽泉·二模）如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝12，點M在⊙O上，∠MAB=20°，N是MB的中點，連接MN，P是直徑AB上的動點，若弦MN=2，則△PMN周長的最小值為．

【答案】8【分析】如圖所示，作點N關于AB的對稱點N'，連接MN'交AB于P，△PMN周長為PM+PN+MN=2+PM+PN，由對稱性知△PMN周長為=2+PM+PN=2+PM+PN'【詳解】解：作點N關于AB的對稱點N'，則點N'在⊙O上，連接MN'交

由對稱性知PN=PN∴△PMN周長為PM+PN+MN=2+PM+PN=2+PM+PN根據兩點之間線段最短可知△PMN周長的最小為2+MN∵點N是MB的中點，∠MAB=20°，∴MN=∴∠BAN'=10°，∴∠MAN'=20°+10°=30°，∴∠MON'=60°，∴△MON'是正三角形，∴OM=ON'=MN'=1∵MN=2，∴△PMN周長的最小值為2+6=8，故答案為：8．【點睛】本題考查動點最值問題，涉及圓周角定理，圓心角、弧、弦的關系以及軸對稱性質，掌握圓周角定理，圓心角、弧、弦的關系以及軸對稱的性質是解決問題的關鍵．27．（2022·河南洛陽·一模）如圖，D是以AB為直徑的半圓O的中點，CD=2CB，E是直徑AB上一個動點，已知AB=2cm，則圖中陰影部分周長的最小值是【答案】3【分析】取點C連關于AB對稱的點C'，連接DC'交AB于點E，當D、E、C【詳解】解：作圖如下：∵CD∴∠COD=2∠BOC=60°∴取點C連關于AB對稱的點C'，連接DC'交AB∴DE+CE=DE+C即為DE+CE的最小值，過點D作DH⊥CC'∴CP=OC·sinOP=OC·cos∴CH=OD?CP=1?1HC∵DH=OP=3∴DC∴圖中陰影部分周長的最小值是3+故答案為：3+【點睛】本題考查的核心原理在于兩點之間的線段最短和垂線段最短，通常在求最值的時候我們會借助于幾何三大變化，軸對稱、平移、旋轉變換進行線段的轉移，從而轉換成兩大核心原理進行求解．28．（2022·福建泉州·模擬預測）如圖，在半徑為2cm，圓心角為90°的扇形OAB中，BC=2AC，點D是半徑OB的中點，點E從點D出發，沿D→O→A的方向運動到A的過程中，線段BE、CE與BC所圍成的區域（圖中陰影部分）面積的最小值為【答案】2【分析】分兩種情況討論求解，①當點E在線段OB上時，易得當點E與點D重合時，陰影部分面積最小，連接OC、BC，如圖1，②當點E在線段OA上時，易得當點E與點A重合時，陰影部分面積最小，連接OC、BC，過點C作CF