2025年新人教版高考數學一輪復習講義含答案解析

§2.12函數與方程的綜合應用

【重點解讀】函數與方程的綜合應用是歷年高考的一個熱點內容，經常以客觀題出現，通過

分析函數的性質，結合函數圖象研究函數的零點或方程的根的分布、個數等，題目難度較大,

一般出現在壓軸題位置.

題型一由零點分布求值(范圍)

命題點1二次函數的零點分布

例1(1)(2023?揚州模擬)已知方程2)x+5=0的兩根都大于2,則實數m的取值范

圍是()

A.(-5,-4]U[4,+8)

B.(-5,-4]

C.(-5,+8)

D.[-4,-2)U[4,+°0)

答案B

解析方程f+H"—2)x+5—機=0的兩根都大于2,則二次函數/iXlur+e?—2)x+5一%的

圖象與x軸的兩個交點都在x=2的右側，

根據圖象得，方程的判別式/N0;

大2)＞0；

函數圖象的對稱軸一方一＞2.

~(機—2)2—4(5一優)20,

即＜4+2⑺一2)+5—?0,解得—4.

m—2

一29，

(2)(2023?蘇州模擬)若函數加)=(“L2)/+如+2機+1的兩個零點分別在區間(一1,0)和區間

(1,2)內，則機的取值范圍是()

11-

-

--

D.甲2

_

答案C

|A-iW)<o,

解析根據題意有,

Wi)-A2)<o,

解得9〈加弓

命題點2其他函數的零點分布

例2已知定義在R上的奇函數滿足式2—勸+本)=0,當xe(O,l]時，/(x)=—log2X，若函數

八元)=於)一sinn在區間[—1，河上有10個零點，則，"的取值范圍是()

A.[3.5,4)B.(3.5,4]

C.(5,5.5]D.[5,5.5)

答案A

解析由人2—功+兀v)=0M；x)=-A2—x)=/(x—2),得八尤)是一個周期為2的奇函數，

當xG(0,l]時，兀。=-log2尤，

因此yg)=一iog2T=i，八1)=。，

所以犬o)=o,/￡)=一1，八-1)=。，

271

且g(x)=sin心的周期為T=—=2,

且g(—1)=0，g(—￡l=-1，g(0)=0，g?)=l，g(D=°，

求F(x)—fix)—sin7TX的零點個數，

即求八x)與g(尤)圖象的交點個數，

如圖為兀c)與g(x)在區間的圖象，

因為兀0與g(x)均為周期為2的周期函數，

因此交點也呈周期出現，

若在區間[―1,河上有10個零點，則第10個零點坐標為(3.5,-1),第11個零點坐標為(4,0),

因此3.5W/n<4.

思維升華對于二次函數零點分布的研究一般從以下幾個方面入手

(1)開口方向；

(2)對稱軸，主要討論對稱軸與區間的位置關系；

(3)判別式，決定函數與無軸的交點個數；

(4)區間端點值.

跟蹤訓練1⑴設a為實數，若方程/—2ax+a=0在區間（一1,1）上有兩個不相等的實數解,

則a的取值范圍是（）

A.（—8,O）U（1,+8）

答案C

解析令g（x）=/—2辦+a,

由方程x2—2辦+a=0在區間（一1,1）上有兩個不相等的實數解可得

"。<

〃/=4〃2—4〃>0,0,

—1<a<1,—l<a<l

-1<a<1,

<即<1或<1

g(-l)>0,a>一,，a>—

、⑴>0,1。<1

解得一；<。<0.

~|~2x~I~,x<0,

（2）（2023?郴州模擬）（多選）已知函數1x）=；'八'若方程|無）=反4CR）有四個不同

［|lnx—2|,x>0,

的實數解，它們從小到大依次記為的，X2,冷，X4,貝女）

A.0<A:<lB.即+%2=—1

C.e<X3<e2D.0<xiX2X3X4<e4

答案ACD

解析畫出函數八元）與函數y=上的圖象如圖所示，

“x）在（-8,—1］上單調遞減，值域為［0,+°°）；

在［—1,0）上單調遞增，值域為［0,1）；

在（0,。2］上單調遞減，值域為［0,+°°）；

在七2,+8）上單調遞增，值域為［0,+°°）.

則有％1+兀2=-2,InX3—2+lnx4—2=0,

即％加=。4,故B錯誤；

方程7（x）=MZ￡R）有四個不同的實數解，

則有0<Ml,故A正確；

由於)在(0,e"上單調遞減，值域為[0,+8),

7(e)=|lne—2|=1,Xe2)~Rne2—2|=0,

可知e<X3Ve2,故C正確；

由X1<X2<0<X3<X4,可知修工加3%4>0,

XX1X2X3X4—e4%iX2=e4(—xi)(—X2)<e4-―即)[(——2=e4.

則有0<%1%加3%4<匕4,故D正確.

題型二復合函數的零點

命題點1復合函數的零點個數判定

Q~X—2,

'、、’則函數g(x)=/(/a))—身⑴+i的零點個數是()

{|ln(x—1)|,x>\,

A.4B.5C.6D.7

答案B

解析令f=/(x),g(x)=0,

則共。一2f+l=0,

即財=2f—l,

分別作出函數y=/W和直線y=2r—1的圖象，如圖所示，

由圖象可得有兩個交點，橫坐標設為儲

則n=0,l<r2<2,

對于分別作出函數y=/(x)和直線y=/2的圖象，如圖所示,

由圖象可得，

當/(x)=fi=0時，函數y=/(x)與無軸有兩個交點，即方程"r)=0有兩個不相等的根，

當/2=兀0時，函數y=y(x)和直線>=攵有三個交點，即方程叁=於)有三個不相等的根,

綜上可得g(x)=O的實根個數為5,

即函數g(x)=Mx))—紈x)+l的零點個數是5.

命題點2根據復合函數零點求參數

一2、巧x+2,x20,

例4(2024?駐馬店模擬)已知函數於)=<'-'若函數g(x)=[/(x)]2—旅)+1

[ln(—x),x<0,

有6個零點，則〃的取值范圍是()

A.(2,4]B.(2,+8)

<51「5J

c.(2,51D.[],4

答案C

解析設￡=/(冗)，則由g(%)=[/(X)]2—頌%)+1,可設>=〃《)=於一成+1,

畫出兀0的圖象,如圖，

由圖可知，當/<一1時，￡=/(x)有且僅有一個解；

當％=-1或Z>2時，，=/(x)有兩個不同的解；

當一1<%W2時，/=/(x)有三個不同的解，令/?⑺=0,即修一辦+1=0,因為函數g(x)有6個零

點，

故需^~at+l=0在(-1,2]內有兩個不同的根，

"/=。2—4>0,

h(—1)=1+〃+1>0,

所以<//(2)=4—2a+lN0,解得2<逐|,

—1<^<2,

VZ

即a的取值范圍是(2,|.

思維升華對于復合函數y=/(ga))的零點個數問題，求解思路如下：

(1)確定內層函數〃=g(x)和夕卜層函數y=f(u)\

(2)確定外層函數y=X")的零點〃=%??=1,2,3,…，力；

⑶確定直線"=%(，=1,2,3,…，幾)與內層函數〃=g(x)圖象的交點個數分別為防，〃2,。3,…，

an,則函數y=/(g(x))的零點個數為“i+z+a3H---1■斯.

f|lgx\,x>0,

跟蹤訓練2已知函數危尸2.……且關于x的方程伏㈤心一(2加+1區%)+病

【一片一2x十1,xWO,

+根=0有7個不同的實數解，則實數機的取值范圍為.

答案(0,1]

解析由題意，人尤)的圖象如圖所示,

因為［/U)］2—(2機+1求x)+M+機=。有7個實數解，

設段)=/,則方程t1—(2m+l)t+m2+m=0有2個不相等的實根h=m,ti=m+\且

或,2=2.

當1-t2=2時，m=l,滿足題意;當0<ri<l^fo<2時，0<m<l^m+l<2,解得me(0,1).

綜上，me(0」］.

課時精練

一、單項選擇題

1.若方程一一+辦+4=0的兩實根中一個小于一1,另一個大于2,貝!J。的取值范圍是()

A.(0,3)B.[0,3]

C.(-3,0)D.(—8,1)U(3,+oo)

答案A

解析令y(x)=一—+辦+4,

則70)有兩個零點，一個大于2,另一個小于一1,

由二次函數的圖象可知，

l/(2)>0,f-22+?-2+4>0,

lA-l)>0,5Pl-(-l)2+a.(-l)+4>0,

解得0<a<3.

2.若關于x的方程尹+(4+4>3*+4=0有實數解，則實數a的取值范圍是()

A.[0,+°0)

B.(—8,-8]

C.(-8,-8]U[0,+8)

D.(-8,-8)U(0,+8)

答案B

解析令f=3，>0,則9"=凡

由9*+(。+4>3工+4=0,得產+(a+4)f+4=0.

則問題轉化為關于1r的二次方程產+(a+4)f+4=0在t>0時有實數根.

4

由(^+4)^+4=0,可得一(〃+4)=，+7，

由基本不等式得一(。+4)=/+｝力2\^1=4,

當且僅當r=2時，等號成立，

所以一(。+4)>4,解得aW—8.

因此，實數a的取值范圍是(一8,-8].

忸一1|,xW2,

3.(2023?南京師大附中模擬)設加是不為0的實數，已知函數五》)=,_]0氏.+24r>2若

函數F(X)=2[AX)F—〃次尤)有7個零點，則機的取值范圍是()

A.(-2,0)U(0,16)

B.(0,16)

C.(0,2)

D.(-2,0)U(0,+°°)

答案C

解析犬尤)的圖象如圖所示，

由網x)=/(x)［紈X)—〃“=0,得?r)=0或紈尤)一根=0,

1/1

當人￡)=0時，於:)有3個零點，當2f(x)—m=0時，八工)=萬,

即尸危)與尸三有4個交點，

rri

所以0<y<1,解得0<m<2.

4.若存在實數a使得函數式x)=2%+2=一加層+〃—3有唯一零點，則實數m的取值范圍是

()

1

-

,8B

41

1D.(0,

C.0,4

答案A

解析令/=2%?0),則f是增函數，令>=/+:,

由對勾函數的性質知y=f+：在（0,1）上單調遞減，在（1,+8）上單調遞增，

所以當t=l時，ymin=2,此時尤=0,

因此八x）有唯一零點，則零點為x=0,

/（0）=—mtz2+a—1=0,當機=0時，a=l有解；當機W0時，/=1—4/"N0,mW〃且m#0.

綜上，機W；.

5.已知人x）是定義域為（0,十8）的單調函數，若對任意的xe（0,+8）,都有歡x）—log加）

=3,則函數＞=2而）一9的零點為（）

A.；B＜C.2D.3

答案A

解析因為人了）是定義域為（0,+8）的單調函數，且對任意的xG（0,+°°）,都有式/（X）—Iog2X）

=3,故可設存在唯一的實數ce（o,+8）,使得犬0=3,則八龍）一log#=C,所以/U）=log2%

+C,

所以犬C）=log2C+C=3,則log2c=3—C,

由于函數y=log”在（0,+8）上單調遞增，函數＞=3—x在（0,+8）上單調遞減，

又log22=l=3—2,所以C=2,

故/（x）=log2x+2=log2（4x）,

再令那》一已=0,xG（0,+8）,得以一（=0,

解得x=T（負值舍去）.

則函數y=2於T的零點為去

6.（2024?濟南模擬）已知大無）是定義在R上的偶函數，對任意的xGR,都有式x+4）=/（x）,且

當2,0］時，段）=d）'—1,若在區間（-2,6］內方程段）-108心+2）=0（廬1）有三個不同

的實數根，則實數。的取值范圍為（）

A.（12］B.（2,+°0）

C.（1,陰）D.（y/4,2）

答案D

解析根據函數人無+4）=兀0可知，函數人?的周期7=4,

由人x）是定義在R上的偶函數，

當xG［—2,0］時，式尤）=（；＞—1可得

當尤e(0,2］時，一尤e［-2,0),

所以六—x)=-]=2*―1=/(x),

畫出函數兀0部分周期內的圖象如圖粗實線所示,

若在區間(一2,6］內方程?r)—logaCr+2)=0(a>l)有三個不同的實數根，即函數兀r)的圖象與y

=108“0+2)(0>1)的圖象在(-2,6］內有三個交點，

y=loga(x+2)(a>l)的圖象如圖中細實線所示，

log“(2+2)勺(2)=3,

則需滿足，

log“(6+2)次6)=3,

[log^S,

即解得</4<a<2.

[log?8>3,

二、多項選擇題

7.若關于X的一元二次方程(%—2)(x—3)=根有實數根的，X2，且X1<X2，則下列結論正確的

是()

A.當機=0時，為=2,忿=3

B.m>—

C.當m>0時,2<XI<X2<3

D.二次函數y=(x—為)。一松)十加的零點為2和3

答案ABD

解析對于A,易知當m=0時，(x—2)。-3)=0的根為％1=2,%2=3,故A正確；

對于B,設>=(%—2)(%—3)=，一5x+6=(x—52一；》一；，因為y=(x—2)(x—3)的圖象與直

線尸根有兩個交點，所以心一；，故B正確；

對于C,當機>0時，y=(x—2)(%—3)一根的圖象由y=(x—2)(x—3)的圖象向下平移機個單位

長度得到，貝I即<2<3<12,故C錯誤；

2

對于D,由(%—2)。-3)=加展開得x—5x+6—根=0,由根與系數的關系得為+冗2=5,X\X2

=6—m,代入y=(x—xi)(x—X2)+m可得y=x1—(x\+x2)x+xiX2+m=x1—5x+6—m+m=x1

—5x+6=(x—2)(%—3),所以二次函數y=(x—x\)(x-xi)-\-m的零點為2和3,故D正確.

8.(2023?湖州模擬)若危)和g(x)都是定義在R上的函數，且方程德(動=%有實數解，則下

列式子中可以為g(/(x))的是()

A.B.x+1

C.ecosxD.ln(|x|+l)

答案ACD

解析由方程Xg(x))=x有實數解可得g(Ag(x)))=g(x),

再用X替代g(x),即x=g(/(x))有實數解.

2

對于A,X=X+2X9即f+x=O,方程有實數解，故A正確；

對于B,x=x+l,即0=1,方程無實數解，故B錯誤；

對于C,當*一時,^h(x)=ecosx-x,

因為/z(0)=e>0,從⑨=1—些。，

由函數零點存在定理可知，%(x)在(0,電上存在零點，所以方程有實數解，故C正確；

對于D,當ln(|x|+l)=x時，尤=0為方程的解，

所以方程有實數解，故D正確.

三、填空題

9.若存在正實數x,使得辦2+(〃―1