重難點突破01圓中的范圍與最值問題

目錄

01方法技巧與總結...............................................................2

02題型歸納與總結...............................................................2

題型一：斜率型.................................................................2

題型二：直線型.................................................................3

題型三：距離型.................................................................3

題型四：周長面積型.............................................................4

題型五：數量積型...............................................................4

題型六：坐標與角度型...........................................................5

題型七：長度和差型.............................................................6

題型八：方程中的參數型.........................................................7

03過關測試.....................................................................7

亡法牯自與.柒年

//\\

1、涉及與圓有關的最值，可借助圖形性質，利用數形結合求解.一般地：

（1）形如〃=2二2的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題.

x-a

（2）形如t=+的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題.

（3）形如機=（x-a）2+（y-⑨2的最值問題，可轉化為曲線上的點到點（a,b）的距離平方的最值

問題.

2、解決圓中的范圍與最值問題常用的策略：

（1）數形結合

（2）多與圓心聯系

（3）參數方程

（4）代數角度轉化成函數值域問題

刑歸納與的年

//15

題型一：斜率型

【典例1-1］已知實數X,y滿足方程y=A/—x2+4x—1，則?的最大值為（）

A.0B.1C.5/3D.2

【典例1-2]如果實數"，滿足(x-2y+V=2,則十的范圍是()

A.(-1.1)B.[-1,1]C.(-oo,-l)u(l,+co)D.

【變式川若實數，、'滿足條件X—,則丁的范圍是（）

A.-,+°°IB.l-oo,-C.D.

【變式1-2】（2。24山東日照.二模）若實數小，滿足條件工―，則行的范圍是（）

A.[0,72]B.[-3,5]C.（-00-I]D.

【變式1-3]已知PW,"）為圓C:（x-孽+（y-iy=l上任意一點,則誓的最大值為（）

m+1

A.且B.-追C.1+?D.1一3

3333

題型二：直線型

【典例2-1】（2024?江西吉安?寧岡中學校考一模）已知點尸（無,，）是圓無2+y2-6x_4y+12=0上的動點，則

%+，的最大值為（）

A.5+及B.5-72C.6D.5

【典例2-2】已知點P（x,y）是圓c：（x-a）2+y2=3（a>0）上的一動點，若圓C經過點應），則L了

的最大值與最小值之和為（）

A.4B.2A/6C.-4D.-2娓

【變式2-11點P（x,y）在圓（x-2y+（y+3）2=l上，則x+y的范圍是_.

【變式2-2】已知x,V滿足，+/+2》_4丫=0,則2x+y的范圍是.

【變式2-3］如果實數羽V滿足等式/+/+4彳一2>-4=。，那么x?+產的最大值是一；2x-y的最大值

是—.

題型三：距離型

【典例3-1］三知點尸（加,〃）在圓C:（x-2y+（y-2）2=9上運動,則（加+2）2+（〃+1『的最大值為—,最小

值為___,Vm2+n2的范圍為.

【典例3-2】直線7：履-、-2為+2=0（kCR）過定點Q,若尸為圓C：（X-2）2+（y-3）2=4上任意一點，則IP例

的最大值為（）

A.1B.3C.4D.2

【變式3-1］（2024?浙江?三模）已知A（—2,—2）,3（1,3）,點尸在圓f+1=4上運動,則|叢「+歸砰的最大

值為（）

A.16-6V2B.26+20C.26+40D.32

【變式3-2］（2024?山東濟南.三模）圓（x-l）2+（y+l）2=4上的點到直線3x+4y-14=。的距離的最大值為

A.3B.4C.5D.9

【變式3-3］已知x；+y；=君+￡=8，且工/2+>1>2=0，貝1J（玉+/—2『+（%+%『的最大值為

（）

A.9B.12C.36D.48

【變式3-4］（2024?四川樂山三模）己知圓O:/+V=16,點E是/:2x-y+16=0上的動點，過E作圓。

的切線，切點分別為A3,直線A3與E。交于點則10M的最大值為（）

A.2B.75C.76D."

題型四：周長面積型

【典例4-1】（2024?高三?河南?開學考試）若直線/：后一，+2—%=0與圓C:/+/-4x-2y-4=0交于A,

B兩點，則當zMBC周長最小時，k=（）

A.—B.C.1D.—1

22

【典例4-2】在直角坐標系尤Oy中，已知4（4,0）,3（1,3）,C（0,T）,動點/滿足黑=2,則AM4c面積

的范圍為

【變式4-1］若圓C的方程為f+/+皿+2%+（%-2）=0,則圓C的最小周長為（）

.36萬018亞兀?12后「6&

A.D.-------------C?---------?--------

5555

【變式4-2】已知點A3在直線，：x-2y-2=0上運動，且|鋤|=26，點C在圓（x+iy+/=5上，則

VABC的面積的最大值為（）

A.8B.5C.2D.1

題型五：數量積型

【典例5-1】已知PQ,MN是半徑為5的圓。上的兩條動弦，|迎|=6,|網=8,則|兩+則最大值是

A.7B.12C.14D.16

jr

【典例5-21在AABC中，BC=2,NR4c="。為2C中點，在AABC所在平面內有一動點P滿足

ULILUMULUlUL1U_____._____.

PB-PD=PC?PD，則AP8C的最大值為（）

A.逅B.空C.&D.逑

333

【變式5-1】已知圓（x-2）2+V=9的弦Ag的中點為點尸為圓上的動點，則麗.麗的最大值為

A.2B.6A/2-3C.8D.4+60

【變式5-2］在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,尸為矩形ABCD所在平面內的動點，且上4=1,則

而?無的最大值是（）

A.9B.10C.11D.12

題型六：坐標與角度型

【典例6-1】已知圓C：（尤-l）2+y2=l,點、P（xo,yo）在直線x-y+l=0上運動.若C上存在點。，使/

CPQ=30°,則xo的取值范圍是.

【典例6-2】已知X,y滿足/+9=4y-3,則儼+1的最大值為（）

獷+V

A.1B.2C.6D.75

【變式6-1］動圓M經過坐標原點，且半徑為1,則圓心M的橫縱坐標之和的最大值為（）

A.1B.2C.72D.2A/2

2

【變式6-2］（2024?湖南召邸日?三模）已知直線/：x—y—2=0與圓°：x+/=1＞過直線/上的任意一

點尸作圓0的切線E4，PB，切點分別為A，B，則上APS的最大值為（）

A.—B.—C.-D.-

4326

【變式6-3］（2024?湖南衡陽?模擬預測）如圖，己知尸是圓C:（x-2）2+（y-3）2=2上一點,

A（-1,O）,B（1,O）,則上4P3的正切值的最大值為（

AO\

B.亞C.坦

【變式6-4】已知圓。：（彳一。）2+丁=/&>0）與x軸相交于A、B兩點，且圓C：d+（y-5）2=9,點

M（0,3）.若圓C與圓。相外切，貝UtanNAMB的最大值為（）

題型七：長度和差型

【典例7-1】已知復數4=<2+歷，z2=c+di,a,b,c,deR,若閔=㈤=2,且ac+bd=2,則

|a+6-4|+2|c+d-4|的最大值為—.

【典例7-2】（2024.黑龍江佳木斯?三模）已知圓爐+丁=8上兩點A（玉,％）,8（々,%），O為坐標原點，若

^AOB=120°,貝（I|玉+%—4|+,+%—4的最大值是（）

A.8B.6及C.872D.12

【變式7-1】設A為直線x+y-2=0上一點，P,。分別在圓G：（x+；；+y2=；與圓

C2:（xT）2+（y-4）2=l上運動，則|AQ|-|AP|的最大值為（）

A3+V13?1+屈小3+773「-3+773

2222

【變式7-2]在定圓C：/+y2=4內過點P（-M）作兩條互相垂直的直線與C分別交于A,B和M,N,貝U

|AB|\MN\

的范圍是（

\MN\|AB|

【變式7-3]（2024?廣西貴港?模擬預測）已知圓C：（x-2），+（y—2）2=4,直線/：（m+2）x-wy-4=0,若

/與圓C交于A,B兩點，設坐標原點為。，則1。4+2］。8|的最大值為（）

A.4>/3B.673C.4715D.2回

題型八：方程中的參數型

【典例8-1】（2024?山東泰安.二模）已知在矩形428中，AB=1,AD=6，動點尸在以點C為圓心且與

BD相切的圓上，則Q.而的最大值為；若福=加通+”而（m,〃eR）,則加+〃的最大值為.

【典例8-2］如圖，在直角梯形ABCD中，A=8=90o,AD=4,AB=5C=2,點”在以8為直徑的半圓

上，且滿足由=根荏+〃?萬，則〃的最大值為（）

1

AB

A.2B.3C.--D.碗+5

24

【變式8-1］已知0（0,0）,P（"l）,Q（l+4cos。,百一4sin@,6e［0,2句，則△OPQ面積的最大值為

（）

Q

A.4B.5C.5A/3D.-73

\PB

【變式8-2】已知點A（0,Y）,點B（2,0）,P為圓。:犬+丁=4上一動點，則胃的最大值是（）

A2君R36「4君n3^3

3432

【變式8-3】已知過點八百）的動直線/與圓C:/+V=16交于A3兩點，過A3分別作。的切線，兩切

線交于點N.若動點M（cosasine）（0V0<2%）,則|肱V|的最小值為.

過蠹試

1.（多選題）已知實數x,y滿足方程f+/-4x-2y+4=。，則下列說法正確的是（）

A.上的最大值為:B.x+y的最大值為3+0

x3

C.7+,的最大值為百+1D..+；+目的范圍是［2,4］

2.（多選題）已知圓。：（》-1）2+丁=1,4（3,1）,點尸為圓。上一動點，O為坐標原點，則下列說法中正確

的是（）

A.的最大值為石+1

B.|。尸|+|尸聞的最小值為2企

-4'

C.直線”的斜率范圍為。,耳

D.以線段AC為直徑的圓與圓C的公共弦方程為y=-2x+］

3.（多選題）點P（%,%）是圓C：/+V-8.x-6y+21=0上的動點，則下面正確的有（）

A.圓的半徑為3

B.」、既沒有最大值，也沒有最小值

%-3

C.2%+%的范圍是［11-2下,11+2君］

D.其+必+2%+3的最大值為72

4.（多選題）（2024?高三?福建福州?期末）已知4—3,0）,3（3,0）,動點C滿足IC4|=2|C3|,記c的

軌跡為「過A的直線與r交于「，。兩點，直線成與r的另一個交點為出,則（）

A.Q,M關于x軸對稱B.的面積的最大值為60

C.當/PMQ=45。時，|PQ|=40D.直線AC的斜率的范圍為［-百,0］

5.（多選題）若實數X、》滿足條件/+丁=1,則下列判斷正確的是（）

A.x+y的范圍是B.爐-4戈+9的范圍是［-3,5］

C.孫的最大值為1D.三■的范圍是（---。

x+1I4J

6.（多選題）數學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上，這條直線被

后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標系中作△ABC,AB=AC=4,點僅一1,3）,點C（4,-2）,且

其“歐拉線”與圓M：。-3）2+丫2=產相切，則下列結論正確的是（）

A.圓M上點到直線x-y+3=0的最小距離為20

B.圓M上點到直線無->+3=0的最大距離為3點

C.圓M上到直線8C的距離為;的點有且僅有2個

D.圓（彳一。-1）2+（丫一〃）2=8與圓/有公共點，則a的范圍是口一20,1+20]

7.（多選題）設點P（x,y）為圓。：/+必=1上一點，已知點A（4,0）,8（5,0）,則下列結論正確的有（）

A.無+1的最大值為方

B.尤2+-4x-4y的最小值為一8

C.存在點P使忸到=&|上4|

D.過A點作圓C的切線，則切線長為相

8.（多選題）（2024?高三?遼寧鞍山?開學考試）已知直線/：區-'+左=0,圓

。:9+,2-6彳+5=0,尸（毛,％）為圓。上任意一點，則下列說法正確的是（）

A.篇+就的最大值為5

B.&的最大值為拽

為5

C.直線/與圓C相切時，k=士是

3

D.圓心C到直線/的距離最大為4

9.（多選題）（2024?江西宜春?三模）古希臘數學家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中給出了阿波羅

尼斯圓的定義：在平面內，已知兩定點A,8之間的距離為a（非零常數），動點/到A,8的距離之比為

常數2（A>0,且4wl）,則點M的軌跡是圓，簡稱為阿氏圓.在平面直角坐標系xOy中，已知

A（T,0）,3（2,0）,點M滿足|MA|=2|M3],則下列說法正確的是（）

A.AAMB面積的最大值為12B.必?麗的最大值為72

C.若。（8,8）,貝1]|始|+2|m。|的最小值為10D.當點M不在x軸上時，M。始終平分NAAZB

10.（多選題）已知點尸在圓C：（x-4y+（y-4）2=9上，點A（4,0）,B（0,2）,則（）

A.直線AB與圓C相切

B.點尸到直線43的距離小于7

C.當NPBA最大時，|依|=而

D.NPBA的最小值小于15。

11.（多選題）（2024?高三?浙江寧波?期末）己知"為直線尤->+5=0上的一點，動點N與兩個定點

0（0,0）,A（3,0）的距離之比為2,則（）

A.動點N的軌跡方程為（x-4）2+V=4B.|MN|22+竽

1JT

C.|MN|十大.0]的最小值為4^/^D.NACW的最大角為"

26

12.（多選題）已知點時在圓Q：/+（y+2）2=4上，點?是直線/：4x-3y+6=0上一點，過點?作圓。的

兩條切線，切點分別為A、B,又設直線,分別交x，y軸于c,O兩點，則（）

A.的最小值為爭B.直線A3必過定點

C.滿足的點有兩個D.|MD|+21Mq的最小值為屈

13.（2024?高三?山東濟寧?開學考試）過直線/：x+y-4=0上一點尸作圓C：/+y2—2x—2y+l=0的

兩條切線，切點分別為A3,則線段A3的長度的范圍是—.

14.已知《：g_y_3m+1=0與，2：%+my—3/一1=0相交于點尸線段是圓C：（x+l）2+（y+l）2=4的一

條動弦，且|明=2否則國+閘的范圍為

15.（2024?高三?上海閔行?開學考試）阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內到兩定點距離之比為

常數的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.若平面內兩定點4B間的距離為3,動點尸滿足

PA

—=2，則尸4尸8的范圍為.

16.（2024?江西宜春?一模）已知點4（—1,-1）,3（1,—1）,若圓（x-a）?+（y-2a+4尸=1上存在點又滿足

MAMB=3＞則實數。的取值的范圍是.

17.已知4-m,0）,8（加,0）（加＞0）,若圓（7:/+丁+6兀-8》+21=0上存在點尸，使得|尸4『+|尸8『=4一,則

m的范圍____.

18.（2024?上海?一模）已知點。為圓O：f+y2=4的弦的中點，點A的坐標為。，。），且威TA&=I，

則小的范圍是—?

19.已知A（l，2）,B（-3,-1）,若圓/+y2=r2（r＞0）上恰有兩點河，N,使得和△N4B的面積

均為5,貝卜的范圍是.

20.（2024?高三?河北邢臺?開學考試）己知實數。/滿足。2+62=2。一2"則=的最大值為.

21.已知圓G：/+V+4x-4y=。，動點尸在圓。2：一+必_4x-12=0上，則△PGG面積的最大值

為一

22.（2024?河南周口?模擬預測）已知點A（I,O）,/為圓/+/=4上一動點，N為直線2x—y+7=0上

一點，則21AMi+|%V|的最小值為一.

23.已知x，y滿足尤2+丁=4,貝［函數T=3j5—2x+J13—6y的最小值為.

重難點突破01圓中的范圍與最值問題

目錄

01方法技巧與總結...............................................................2

02題型歸納與總結...............................................................2

題型一：斜率型.................................................................2

題型二：直線型.................................................................3

題型三：距離型.................................................................3

題型四：周長面積型.............................................................4

題型五：數量積型...............................................................4

題型六：坐標與角度型...........................................................5

題型七：長度和差型.............................................................6

題型八：方程中的參數型.........................................................7

03過關測試.....................................................................7

亡法牯自與.柒年

//\\

1、涉及與圓有關的最值，可借助圖形性質，利用數形結合求解.一般地：

(1)形如〃=2心的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題.

x-a

(2)形如t=+的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題.

(3)形如機=(x-a)2+(y-b)2的最值問題，可轉化為曲線上的點到點(a,b1的距離平方的最值

問題.

2、解決圓中的范圍與最值問題常用的策略：

(1)數形結合

(2)多與圓心聯系

(3)參數方程

(4)代數角度轉化成函數值域問題

㈤2

〃題型歸納與總結\\

題型一：斜率型

【典例1-1］已知實數"?滿足方程1=5/-突+4-1，則2的最大值為()

-X

A.0B.1C.73D.2

【答案】B

【解析】方程尸7-x2+4^-l化為(x-2『+V=3(y20),

表示的圖形是一個以(2,0)為圓心，百為半徑的半圓，

令上=k,即y=近，如圖所示，

解得左=石或/=一石(負值不滿足條件，舍去),

所以2的最大值為6,

X

故選：C.

【典例1-2]如果實數X,V滿足(x-2y+y2=2,則?的范圍是()

A.(-1,1)B.[-1,1]C.(^x),-l)u(l,+co)D.(田包)

【答案】A

【解析】設2=3則＞=履表示經過原點的直線，左為直線的斜率.

如果實數X,y滿足(X—和十=左，即直線y=履同時經過原點和圓上的點(x,y).

其中圓心C(2,0),半徑廠=應

從圖中可知，斜率取最大值時對應的直線斜率為正且剛好與圓相切，設此時切點為E

則直線的斜率就是其傾斜角NEOC的正切值，易得|0C|=2,|CE|=r=&,

可由勾股定理求得\OE\=VOC2-CE2=0,于是可得到k=tanZEOC=釜=1為?的最大值;

同理，上的最小值為一1.

X

則?的范圍是［-U］.

故選：B.

【變式1-1］若實數X、y滿足條件/+y=1,則葉—的范圍是()

~1}(11(11「1

A.二，+8B.-00,-C.-8,1D.-,+oo

4)(4(22

【答案】A

【解析】令^^^=左，可得(％-i)x-y+左+1=。,

則直線("l)x—y+A+l=0與圓1+丁=1有公共點,

1^+111

所以，1/、241，解得上4，

小一1)2+14

即葉一L的取值范圍是(_肛：.

x+1I4J

故選：B.

【變式1-2](2024?山東日照.二模)若實數小V滿足條件Y+y2=l,則—的范圍是()

A.[。,弦]B.[-3,5]C.(-co,-l]D,f-co,--|

【答案】D

【解析】行的幾何意義即圓上的點到定點(-L2)的斜率，由圖知，斜率的范圍處在圓的兩條切線

斜率之間，其中AC斜率不存在，設A3的斜率為4,

則AB的方程為y=k(x+1)+2=kx+k+2,

由切線性質有，4^=1，解得上=-;，故匕的取值范圍為

y/1+k24X+11I1-8,4

故選：D

【變式1-3]已知P(見")為圓C：d)2+(y-1)一上任意一點，則”三的最大值為()

m+1

A,息D.1一3

B.一昱C1+

33-T3

【答案】B

m+nm+l+n—1,n—1

【解析】--------------=1+-------

m+1m+1m+1

由于尸(見")為圓C:(x-l)2+(y-l)2=1上任意一點,

故篙可看作圓上任意一點PM到定點A(—U)的斜率'

當直線B4與圓相切時，此時斜率最大,

PC_1

由于相切時，|4。=2,依「|=1故|削=6,此時斜率左=

~AP~43'

故窘的最大值為I+*

題型二：直線型

【典例2-1】（2024?江西吉安?寧岡中學校考一模）已知點尸（羽》）是圓月+/一6x-4y+12=0上的動點，則

天+丁的最大值為（）

A.5+&B.5-&C.6D.5

【答案】D

cc?fX=3+COS3r-71

【解析】由（％-3）+（y—2）=1,令｛.,則x+y=5+V^sin（e+T）,

[y=2+sm94

所以當sin（e+?□時，x+y的最大值為5+技

故選：A

【典例2-2】已知點P（x,y）是圓C：（x-a）2+y2=3（a>o）上的一動點，若圓C經過點，則yr

的最大值與最小值之和為（）

A.4B.2A/6C.-4D.-2娓

【答案】B

【解析】因為圓C：（x—°）2+y2=3（a>0）經過點

（l-a）2+2=3.又a>0,所以a=2,

y-尤可看成是直線y=x+b在y軸上的截距.如圖所示,

\2-0+b\

當直線y=x+b與圓相切時，縱截距取得最大值或最小值，此時-6，解得Z?=—2土y/69

6

所以y-%的最大值為-2+C，最小值為-2-C，故丁-％的最大值與最小值之和為t.

故選：c.

【變式2-1】點P(x,y)在圓(x-2y+(y+3)2=l上，則x+y的范圍是_.

【答案】

【解析】設x=2+cos6,y=-3+cos。，gpP(2+cos0,-3+sin0),

所以x+y=sin9+cos9-l=+-1,

因為一1Wsin+W1,所以——1Vx+yV—1.

故答案為：[-72-1,72-1]

【變式2-2】已知X,V滿足/+y2+2x-4y=0,則2尤+y的范圍是.

【答案】[—5,5]

【解析】因為/+v+2x-4y=o,所以(x+l)2+(y_2)2=5,表示以(-1,2)為圓心，新為半徑的圓，即

點(x,y)為圓(x+l)2+(y-2)2=5上的點,

令2x+y=z,即2x+y-z=0,當直線與圓(尤+l)2+(y-2『=5相切時z取得最值，所以

(/)—-=\[5,即目=5,解得z=±5,所以一5?2x+y45

VF7F11

故答案為：[-5,5]

【變式2-3]如果實數羽V滿足等式￡+丁+4工一2>-4=。，那么/+的最大值是一；2x-y的最大值

是—.

【答案】14+6番/6番+143A/5-5/-5+3A/5

【解析】Efex2+/+4x-2y-4=0,得(x+2>+(y-1>=9,f+/的幾何意義為圓(升2-+(y-l>=9上的

動點到原點距離的平方.

因為圓心(-2,1)到原點的距離為新，所以圓上的動點到原點距離的最大值為斯+3，

貝U-+y2的最大值是(非+3)2=14+66.

令2x-y=t,則T是直線2%-了=/在丫軸上的截距，

當直線與圓相切時，直線2%->=/在、軸上的截距，一個是最大值，一個是最小值,

|-4-l-z|

此時，圓心(-2,1)到直線2x-y=t的距離d==3,解得r=-5±3也，

所以2x-y的最大值為3際-5.

故答案為：14+6正；375-5.

題型三：距離型

【典例3-1】已知點〃)在圓C:(無-2)2+(y-2『=9上運動，則(機+2『+("+1『的最大值為_,最小

值為___,Vm2+n2的范圍為.

【答案】644[3-272,3+2^]

【解析】由圓C的圓心為(2,2),半徑為3,且P在圓C上，

則(加+2)2+(w+l)2表示在圓C上點到(-2,-1)距離的平方，

而圓心到(-2,-1)的距離為7[2-(-2)]2+[2-(-1)]2=5>3,

所以在圓C上點到(-2,-1)距離的最大值為8,最小值為2,

故(7〃+2)2+(力+1)2的最大值為64,最小值為4；

又Vm2+n2表示在圓C上點到原點的距離，而圓心到原點距離為2a<3，

所以的范圍為13-2/,3+2/].

故答案為：64,4,[3-2應,3+2&]

【典例3-2】直線/：h-y-2%+2=0/eR)過定點Q,若尸為圓C:(x-2『+"-3)2=4上任意一點，則|尸。|

的最大值為()

A.1B.3C.4D.2

【答案】A

【解析】由/：履7-2k+2=0(丘R),得y-2=左@-2),

所以直線過定點Q（2,2）,

由<7:@-2）2+。-3）2=4,知圓心坐標（2,3）,半徑為2,

所以。到圓心的距離為d=7（2-2）2+（2-3）2=1<2,則。在圓內，

則的最大值為d+2=3,

故選：B

【變式3-1］（2024?浙江?三模）已知A（-2,-2）,3（1,3）,點尸在圓/+9=4上運動，則尸城的最大

值為（）

A.16-672B.26+20C.26+40D.32

【答案】B

【解析】設P（2cos6,2sin。），

貝修1尸8「=（2cos（9+2）2+（2sin<9+2『+（2cos61—1P+（2sin6—3）2

=4cos2^+8cos0+4+4sin2^+8sin0+4+4cos26-4cosJ+l+dsii?6—12sin6+9

=4cos-4sin0+26=4A/2COS+26,

當cos［。+：）=1時，+|PB「取得最大值26+40.

故選：C.

【變式3-2］（2024?山東濟南.三模）圓1）2+（》+1尸=4上的點到直線3x+4y-14=0的距離的最大值為

（）

A.3B.4C.5D.9

【答案】B

【解析】圓（x-l）2+（y+l）2=4的圓心為C（l,-1）,半徑r=2,

|3-4-14|

則圓心C（l,-1）到直線3元+4y-14=0的距離為d」」=3,

V32+42

所以圓（Al）?+（>+1）2=4上的點到直線3x+4y-14=0的距離的最大值為3+2=5.

故選：C.

【變式3-3】已知"+靖=君+￡=8，且玉々+乂%=0，則（％+馬_2『+（%+%『的最大值為

（）

A.9B.12C.36D.48

【答案】B

【解析】設A（玉,%）與5（芍,上）為圓0：%2+,2=8上一點，

則OA-OB=王X2+%%=o,得-oy，網=儂=2及，

即AAB。為等腰直角三角形，設"為AB的中點，

則|。閭=席+求=2,得力+另=4，

即點M在以0為圓心，2為半徑的圓上，

故（玉+々―2）2+（%+%『=4［口時_1）2+'/］,

因為點Af到定點。（1,0）的距離的最大值為4=3,

因此（占+%-2）~+（%+必）2的最大值為36.

故選：C

【變式3-4］（2024?四川樂山.三模）己知圓O:/+V=16,點E是/：2元-,+16=0上的動點，過E作圓。

的切線，切點分別為A3,直線A3與EO交于點則的最大值為（）

A.2B.75C.>/6D."

【答案】A

【解析】由題意作出圖形如圖所示

、y\OA\\OM\

設A/(x,y)，E(x',/)，由△AOESAMOA,可得出^=踵而

|OE|Q多,即心任/即怎=二的’

所以F710ML

\OM|\OM|2

16x16y

所以(/,_/)=

16x

x2+y

所以

16y

16x16y

所以點石

x2+y2?x2+y

將點￡的坐標代入直線/：2x-y+16=0中，

化簡可得=：（x，y不同時為0）,

所以點”的軌跡是以“m為圓心，手為半徑的圓，

所以IW的最大值為卜I-Op+f+手=互

故選：B.

題型四：周長面積型

【典例4-1】（2024?高三?河南?開學考試）若直線/：Xy+2—左=0與圓（7:/+/—4X一2丫-4=0交于4

B兩點，則當AABC周長最小時，k=（）

A.—B.C.1D.—1

22

【答案】B

【解析】直線/：-y+2—左=0的方程可化為，-2=左（％—1）

所以直線/恒過定點。（1,2）,

因為12+22-4x1-2x4-4=-11<0

所以點。在圓內，

由圓的性質可得當CD，/時，|A3|最小，VABC周長最小，

又C（2,1）,0（1,2）

所以左8=-1,此時左=1.

故選：C.

【典例4-2】在直角坐標系xOy中，已知A（4,0）,B（l,3）,C（0,T）,動點M滿足黑=2,則面積

的范圍為

【答案】[8,24]

［解析］設點M(x,y),則1MAi=7(X-4)2+/,\MB\=J(x-l)2+(y-3)2

由已知得|叫

所以“x-W+yZ=2jd)2+(y_3)2,即Y+y2_8y+8=0

22

故點M的軌跡方程為二+9一8>+8=0,［ipx+(y-4)=8,其圓心。4),半徑為「=20.

直線AC的方程為:+七=1,即無一y-4=0

4-4

則點M到邊AC的距離的最小值為d-r=4后-2版=20，最大值為d+r=472+272=60

又|AC|=7(4-0)2+(0+4)2=472

則△A4AC面積的最小值為gx4應x2衣=8,最大值為gx4血x60=24,

所以AM4C面積的范圍為[8,24].

故答案為：[8,24].

【變式4?1】若圓。的方程為12+丁2+必+2的+(根-2)=0,則圓C的最小周長為()

36萬18?乃心12小兀「6A/57r

5555

【答案】D

【解析】因為圓C的方程為龍?+y2+mx+2my+(m-2)=0,

(____________________________If_2?36

所以圓C的半徑為J療+(2⑼2-4(,”-2),5/2-4一+8