第04講指數與指數函數

目錄

模擬基礎練......................................................................2

題型一：指數幕的運算..........................................................................2

題型二：指數函數的圖象及應用..................................................................2

題型三：指數函數過定點問題....................................................................3

題型四：比較指數式的大小......................................................................3

題型五：解指數方程或不等式....................................................................4

題型六：指數函數的最值與值域問題..............................................................4

題型七：指數函數中的恒成立問題................................................................4

題型八：指數函數的綜合問題....................................................................5

重難創新練......................................................................6

真題實戰練......................................................................9

梢陽建礎饗

//

題型一：指數幕的運算

x2+x-2-l

1.已知%+f；=3，計算:

IIT?

x+x~l+X2+X2

10Z4—

2.42+(72-1)-8§-4§+(忘p=

3.化簡求值：

⑴代訪(a>0)

4/^3.-1

⑵7%7)--匕1+2-(e-l)°-8；4xi/2

OJ7+2

題型二：指數函數的圖象及應用

4.若函數g(x)與函數/(力=2,+1的圖象關于直線y=x對稱，則g(x)的大致圖象是()

A.[-l,+oo)B.C.--,+°ojD.(-oo,-l]

6.當x>2時，函數y=4ai(a>0,且a*l)的圖象恒在函數y=3x-4的圖象下方，則。的取值范圍

為.

7.設。、分另IJ是方程2工+%+2=0與log?x+x+2=0的根，則a+6=.

題型三：指數函數過定點問題

8.己知函數/(勸=4+優+|(“>0,“*1)的圖象經過定點尸，則點尸的坐標是.

9.對。>0且。力1的所有正實數，函數了=。川-2的圖象一定經過一定點，則該定點的坐標是.

10.已知函數7(%)=產+4(u>0,31)恒過定點則函數g(x)="7+〃，的圖像不經過第象

限.

11.已知常數。>0且。W1,假設無論。取何值，函數y=log〃(x+8)-2的圖像恒過定點A,且點A的橫坐

標為七.又已知常數b>0且6片1,假設無論b取何值，函數y=6'』+l的圖像恒過定點8,則點8的坐標

為.

題型四：比較指數式的大小

12.若。="9,6=2「5,0="9,貝I]()

A.c>a>bB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

13.(2024?全國?模擬預測)已知〃=4e《，b=9^9c=6f則〃，b,c()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

J_2

14.已知q===則()

A.c>b>aB.a>b>c

C.c>a>bD.b>a>c

題型五：解指數方程或不等式

15.方程5*+5X+1+5X+2=3*+3X+1+3>2的解為.

16.方程方5A2y+5g=2的解為.

17.不等式8>3口的解集是.

18.設則關于X的不等式4/3+3>/的解集是.

題型六：指數函數的最值與值域問題

19.函數y=3匹(04x44)的最大值是

20.函數/(x)=4'—2x2、—3,xe[0,2]的最小值是,

e*+e'—2,x20

21.(2024?四川綿陽?模擬預測)已知函數/(》)=則/(x)的值域為

x2+2x,x<0

22.設函數/(x)是定義域為R的偶函數，g(x)是定義域為R的奇函數，且/(x)+g(x)=2可

⑴求/(力與g(x)的解析式；

⑵若h(x)=〃2x)-2zng(x)在［1,內)上的最小值為-2,求加的值.

題型七：指數函數中的恒成立問題

23.不等式4，_2，+1+°>0對任意》611都成立，則實數4的取值范圍________.

24.若實數此［-1,2］,使得?(a+b)“恒成立，則實數a的取值范圍是.

25.已知指數函數/(x)=(34-10〃+4)優(。>0且awl)在其定義域內單調遞增.設函數

g(x)=/(2x)-(m-4)/(x)-3,當me［2,6］時，函數g(x)20恒成立,則x的取值范圍是

丫21

26.已知函數/(力是定義在R上的奇函數，當x<0時，/(x)=——+1.

⑴求函數〃x)的解析式；

(2)若對于任意實數x,不等式/k2")+241*)20恒成立，求實數。的取值范圍.

題型八：指數函數的綜合問題

|4%_]\x<l

27.(2024?全國?模擬預測)已知函數“尤)=1,卜一，若方程2「〃x)T-(a+2)"(x)+a=0有

x-6x+8,x>1

7個不同的實數根，則實數。的取值范圍是.

28.已知函數〃司二三二，=

(1)若存在xe(O,『)，使得=成立，求實數f的取值范圍；

⑵若不等式"2x)+2維⑴20,對任意的xe[l，4恒成立，求實數b的取值范圍.

29.已知函數〃尤)=(2，y_2x2=8

(1)求不等式/(x)20的解集；

(2)求“力的值域;

(3)當xeR時，不等式/(%)>相2,-已恒成立，求加的取值范圍.

30.(2024?河南?模擬預測)已知/(無)為定義在R上的偶函數，g(x)=￥?,且〃x)+g(x)=2向.

⑴求函數“X),g(x)的解析式；

⑵求不等式2[/(力了-3g(x)W8的解集.

31.設函數/。）=訝-「（。>0且awl）是定義域為R的奇函數.

（1）若/⑴>0,試求不等式/（d+2幻+/（尤-4）>0的解集；

（2）^/（1）=-,且g（x）=/*+a3-4/（x）,求g（x）在口,+8）上的最小值及取得最小值時的x的值.

1.（2024?廣東茂名?模擬預測）自“ChatGPT”橫空出世，全球科技企業掀起一場研發AI大模型的熱潮，

隨著AI算力等硬件底座逐步搭建完善，AI大規模應用成為可能，尤其在圖文創意、虛擬數字人以及工業軟

件領域已出現較為成熟的落地應用.Sigmoid函數和Tanh函數是研究人工智能被廣泛使用的2種用作神經

網絡的激活函數，Tanh函數的解析式為tanhx=±|；,經過某次測試得知tanh%],則當把變量減半

時，tanh—=()

2

；或

A.iB.3C.1D.3

3

2.(2024?山東?二模）已知p:1<2"<4,q:Y一一1<0,若。是q的充分不必要條件，則（）

33

A.a>—B.0<?<-C.a>2D.0va<2

22

3.已知實數W滿足根+Inm=4,nlnn+n=e3，則加〃的值為（)

A./B.e3C.e4D.e5

2*+i—8,%(1

4.(2024?山東泰安?二模)已知函數/(x)=<dlog[(x+l),x>l且/(租)=T2,則/(6—〃z)=()

、2

A.-1B.-3C.-5D.-7

riY

5.（2024?江西景德鎮?三模）已知函數〃x）=是奇函數，則x>0時，g（x）的解析式為（）

g（x）,x>0

A.-g]B.QJC.一2'D.r

6.（2024?貴州畢節?三模）已知函數八尤）=J^是奇函數，若/（2023）>〃2024）,則實數a的值為（）

QX+a

A.1B.-1C.+1D.0

7.（2024?福建南平?二模）對任意非零實數a,當國充分小時，（1+xf?l+a-x>：

V5=V47T=2^171?2X^1+1X^=2.25,用這個方法計算S■的近似值為（）

A.1.906B.1.908C.1.917D.1.919

8.（2024?廣東廣州?二模）若看是方程/■（8（切=8（〃力）的實數解，則稱％是函數y=/（x）與y=g（x）

的“復合穩定點”.若函數"X）="3>0且。*1）與g（x）=2x-2有且僅有兩個不同的“復合穩定點”，貝匹的

取值范圍為（）

臼,x>0,

9.（2024?山東濰坊?二模）已知函數〃x）=【2）則圖象上關于原點對稱的點有（）

-|x2+2x|,x<0,

A.1對B.2對C.3對D.4對

10.（多選題）（2024?吉林長春?模擬預測）已知函數/（司=或1，則下列說法正確的是（）

A.函數/（x）單調遞增

B.函數/⑴值域為（0,2）

C.函數/⑴的圖象關于（0』）對稱

D.函數/（尤）的圖象關于。,1）對稱

11.（多選題）（2024?福建廈門?三模）若a<b<0,則（）

/74b

A.a2>b2B.ab<b2C.2a>2bD.-+一>4

ba

12.（多選題）（2024?云南曲靖?二模）已知集合S,T,定義S7={x"xeS,yeT},則下列命題正確的

是（）

A.若S={1921,1949},T={0,1},則歹與片的全部元素之和等于3874

B.若5={2021},R表示實數集，R+表示正實數集，則SR=R+

C.若5={2024},R表示實數集，則RS-R

D.若5={2049}國+表示正實數集，函數〃尤尸卜員孫尤/4式)'，則2049屬于函數/⑺的值域

13.(2024?四川?模擬預測)已知實數辦〃滿足下列等式8"T+?w=?,log4標工！+〃?=力貝|

883

4m+n=.

14.(2024?全國?模擬預測)已知私"為均不等于1且不相等的正實數.若函數"x)=3*("-是奇

函數，則根九=.

15.(2024?北京房山?一模)若對任意相,〃eR,函數/(幻滿足人》/5)=/(根+〃)，且當加>九時，都有

/(租)<f(n),則函數/(x)的一個解析式是.

16.(2024?上海黃浦?二模)設aeR,函數/(x)=二口.

2'-1

⑴求a的值，使得y=/(x)為奇函數；

⑵若/(2)=a,求滿足f(x)>a的實數x的取值范圍.

17.已知函數〃同=二+4,且〃Ig2)+〃lg5)=3.

⑴求。的值；

⑵當尤4-1,1]時，/(x"4'+加恒成立，求機的取值范圍.

7

18.已知關于x的不等式4、+4一"W2"+2一、+:的解集為M.

⑴求集合M；

⑵若根,〃￡加，且相>0,n>0,y[m+2yfn=1,求」嬴的最小值.

4mnn

19.已知函數/(司=3"xeR

⑴若/（x）-=求X的值；

⑵若方程一人）=9在[1,2]上有實數解，求實數。的取值范圍.

1.（2023年新課標全國I卷數學真題）設函數/'（尤）=2?F）在區間（0,1）上單調遞減，則。的取值范圍是（）

A.2]B.[—2,0）

C.（0,2]D.[2,+oo）

2.（2022年高考全國甲卷數學（文）真題）己知9'"=10,。=10加一11,6=8"'-9,則（）

A.a>0>bB.a>6>0C.b>a>0D.b>0>a

3.（2022年新高考北京數學高考真題）已知函數/。『士，則對任意實數無，有（）

1+2

A./（-元）+/（無）=0B./（-%）-/（%）=0

C./（-無）+f（x）=lD./（-x）-/（x）=1

4.（2012年全國普通高等學校招生統一考試理科數學（四川卷））函數y=優-工（。>0,。*1）的圖像可能

y

cD,

421

5.(2016年全國普通高等學校招生統一考試理科數學(新課標3卷精編版))已知a=2§，6=/，c=25”

則()

A.b<a<cB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

6.(2020年山東省春季高考數學真題)已知函數y=/(x)是偶函數，當xe(0,+s)時，y="(0<a<l),

7.(2013年全國普通高等學校招生統一考試理科數學(湖南卷))設函數/(x)=其中

c>a>0,c>Z?>0.

(1)設集合加={(。也c)|a,瓦c不能構成一個三角形的三條邊，且。=耳.則(a,b,c)eM所對應的/⑴的零

點的取值集合為.

(2)若瓦。是三角形ABC的三條邊，則下列結論正確的是.

①Vx?7U),/(x)>0.

②AwR,使優,不能構成一個三角形的三條邊長.

③若三角形A3C是鈍角三角形，則*41,2),使〃x)=0.

8.（2008年普通高等學校招生全國統一考試數學文科（江西卷））不等式242一〈1的解集為.

r%_|_]]<0

9.（2017年全國普通高等學校招生統一考試文科數學（新課標3卷精編版））設函數/（無）=>'；'則

[2',尤>0,

滿足/（x）+/（x-；）>1的龍的取值范圍是.

10.（2007年普通高等學校招生考試數學（文）試題（山東卷））函數》="-%。>0,。*1）的圖象恒過定點

A,若點A在直線""+見附>0）上，則工+工的最小值為.

mn

第04講指數與指數函數

目錄

模擬基礎練......................................................................2

題型一：指數幕的運算..........................................................................2

題型二：指數函數的圖象及應用..................................................................2

題型三：指數函數過定點問題....................................................................3

題型四：比較指數式的大小......................................................................3

題型五：解指數方程或不等式....................................................................4

題型六：指數函數的最值與值域問題..............................................................4

題型七：指數函數中的恒成立問題................................................................4

題型八：指數函數的綜合問題....................................................................5

重難創新練......................................................................6

真題實戰練......................................................................9

題型一：指數幕的運算

丁+――7

1.已知%+f；=3，計算:

x+x~l+X2+X2

【解析】因為1+_3,所以/+X5

人I人—J=9,所以％+%T+2=9,

I7

所以x+—=7,所以(x+/)2=72,gPx2+x-2+2=49.

X2+X-2-747—7

所以爐十廠2=47,所以-------T~-=4

—7+3

X+%T+x2+X2

2-42+(72-1)°-8i-41+(>/2=-

【答案】-3

10---1241

【解析】4?+(志一1)-83=(22)2+1-(23)3-234-25=2+l-4-2=-3-

故答案為：-3.

3.化簡求值:

小aQa<a.

⑴門…

77--1-/—

⑵丘)3+^一+2-(e-l)°-84x^/2.

8V7+2

【解析】(1)

37

4

a-aQ4I;

----1-=---1="

a4a2a2

77_112L177-232

(2)(—)3+-=—+2.(e-l)0-84x^=+2-24-24

8V7+27-4

◎+年+2.2號分邛

題型二：指數函數的圖象及應用

4.若函數g(x)與函數/(力=2，+1的圖象關于直線y=x對稱，則g(x)的大致圖象是()

【解析】由題意函數g(x)與函數〃"=2,+1互為反函數，

所以尤=26)+1，解得g(x)=log2(x-l),它在定義域。,內)內單調遞增，且過定點(2,0),

對比選項可知A符合題意.

故選：A.

5.要使/(耳=[3]+'+1的圖象不經過第一象限，貝心的取值范圍是()

A.[-l,+oo)B.[-<?,一〈C.-〈，+8)D.(-oo,-l]

【答案】B

+t的圖象與y軸的交點坐標為(0,；+/),且為減函數,

【解析】函數/(x)

要使/(%)圖象不經過第一象限，則;+Y0,解得區

故選：B.

6.當%>2時，函數y=4〃i(〃>0,且awl)的圖象恒在函數y=3%-4的圖象下方，則〃的取值范圍

為.

【答案】

【解析】由題意，得當x>2時不等式4a'T<3x-4恒成立，即—令/(力=，\g(x)=、x-l,

分類討論。>1和0<。<1兩種情況，并在同一平面直角坐標系中作出兩個函數的圖像，由圖像得到關于。的

3

不等式，解不等式得解由題意，得當尤>2時不等式4優t<3%-4恒成立，即優龍-1,

4

令/（X）=/T,g（X）=-X-l,在同一平面直角坐標系中作出兩個函數的圖象，

當時，如圖所示，

3

由圖可知，V尤wR,1恒成立，故不滿足題意;

4

當Ovavl時，如圖所示，

3Q11

由圖可知，要22,小<不-1恒成立，需〃2）<g⑵，即/七x2-1,解得a故。

綜上可知：。的取值范圍是（o,g.

7.設“、8分另IJ是方程2工+了+2=0與bg2x+x+2=0的根，則a+6=.

【答案】-2

【解析】如圖，分別作出函數y=k>g2X,y=2x,y=-2-x的圖象，

且函數y=-2—x與y=2*、y=log2尤分別相交于點尸，Q.

由題意log2”=-2-。，2b=-2-b.而y=log2X（x>0）與>=2*互為反函數，

直線y=-2-無與直線y=尤互相垂直，所以點尸與Q關于直線y=x對稱.

所以a=2“=-2-。.所以a+b=—2.

故答案為：-2.

題型三：指數函數過定點問題

8.己知函數/(勸=4+優+|(“>0,“*1)的圖象經過定點尸，則點尸的坐標是.

【答案】(-1,5)

【解析】在函數/(x)=4+a，M(a>0,awl)中，當x+l=O,即x=-l時，/'(元)=4+1=5,

所以點P的坐標是(-1,5).

故答案為：(T,5)

9.對a>0且awl的所有正實數，函數y=a*U-2的圖象一定經過一定點，則該定點的坐標是.

【答案】(-1--D

【解析】由函數y=a'M-2,當尤=一1時，可得了=/一2=-1,

所以該函數恒經過定點(TT).

故答案為：(-LT).

10.已知函數/(x)=a，+5+4(a>0,awl)恒過定點M(九〃)，則函數g(x)=%+〃'的圖像不經過第象

限.

【答案】二

【解析】由已知條件得當》=-5時，/(-5)=5,則函數Ax)恒過點(3,5),

即機=-5,"=5,此時g(無)=一5+5",

由于g(x)由y=5,向下平移五個單位得至IJ,且過點(0,-4),

由此可知g(x)不過第二象限，

故答案為：二.

11.已知常數。>0且。工1,假設無論。取何值，函數y=log〃(x+8)-2的圖像恒過定點A,且點A的橫坐

標為％.又已知常數b>0且6片1,假設無論萬取何值，函數y=Z/』+l的圖像恒過定點8,則點8的坐標

為.

【答案】(-7,2)

【解析】由對數函數過定點可知：函數y=log〃(x+8)-2的圖像恒過定點A(-7,-2),

則有x0=-7,又因為指數函數y=廳一'。+1的圖像恒過定點8（玉,2）,

所以點3的坐標為（-7,2）,

故答案為：（-7,2）.

題型四：比較指數式的大小

12.若a=2L9,6=2",c="9,則（）

A.c>a>bB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

【答案】B

【解析】???指數函數y=2”在R上單調遞增，

且1.9>1.5,

**?21,9>21,5>a>b.

?.?塞函數〉=尤"在（o,+8）上單調遞增，且3>2,

...3I.9>2I.9,即c>°,

c>a>b.

故選：A.

13.（2024?全國?模擬預測）已知〃=0=9—c=6f則小6，c（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

【答案】C

【解析】令y（x）=M,o<x<i,求導得/a）=（.L?1,

當Ovxvl時,r（x）<0,則/（九）在（0,1）上單調遞減，

則'即4e^<9”'而e>；,于是4e，>4x（；），=6,

所以cvavb.

故選：D

￡2

14.已知〃=/=[],°=2。+1，則（）

A.c>b>aB.a>b>c

C.c>a>bD.b>a>c

【答案】A

【解析】?60=A

1Q

因為Ov—<—<1,故°6>b6即故OVZ;VQV1.

1627

因為a+6—l>26—l=2x[j一i=2—>o,

所以c=2"J>2°=1,所以c>a>6.

故選：C.

題型五：解指數方程或不等式

15.方程5*+5向+5?2=3*+3川+3A2的解為.

,13

【答案】x=l°g?下

【解析】因為5*+5X+1+5C+2=3*+3t+1+3X+2，

所以5*(1+5+52)=3*0+3+32),即IM

所以x=log5下.

3J1

113

故答案為：x=log工方.

16.方程364+5乒=2的解為

|%=2

【答案】<

[y=5

【解析】因為，5x-2y之。且正工》。，由指數函數的圖象和性質可知：當時，、=優（“>1）恒大于等

17.不等式>3。'的解集是.

【答案】（一2,4）

【解析】9）>3-2=3-『+8>3口=一/+8>一2尤=一2<尤<4-

故答案為：（-2,4）.

18.設0<a<l,則關于龍的不等式/3+3>a6的解集是.

【答案】(-1⑶

【解析】因為且優23+3>。6,則根據指數函數的單調性可知，--2x+3<6,解得—l<x<3,所

以不等式的解集為(T,3).

故答案為：(-L3)

題型六：指數函數的最值與值域問題

19.函數丫=3g(04尤<4)的最大值是.

【答案】9

【解析】由題可知：0VxV4,所以"工?0,2]

又指數函數y=3,為R上的增函數，所以>=3句(0<尤44)的最大值為3:9

故答案為：9

20.函數/(x)=4「2x2X-3,xe[0,2]的最小值是.

【答案】-4

【解析】令Z=2x,xG[0,2],則/￡[1,4].

原函數化為g(t)=t2-2t-3=(r-1)2-4,

當Ul時，g(0有最小值，即/(%)有最小值為-4.

故答案為：-4.

21.(2024?四川綿陽?模擬預測)已知函數〃x)="廣一2+0,則/⑺的值域為________

[x+2x,x<0

【答案】[T,”)

xxxx

【解析】由題意可知*20時，y=Q+&-2>2^e-e-2=0-當且僅當x=0時取得等號，

xvO時，y=%2+2x=(x+l)2-1>-1,當且僅當戶一1時取得等號，

故〃x)N-L

故答案為：[-1,+°°).

22.設函數是定義域為R的偶函數，g(x)是定義域為R的奇函數，且〃x)+g(x)=2號

⑴求“X)與g(x)的解析式；

⑵若/Z(x)=/(2x)-2771g(力在[1,+CO)上的最小值為_2,求機的直

【解析】⑴?."(可為偶函數，；"(一耳=/(同，

又Tg(x)為奇函數，.?.g(-x)=-g(x),

-：f［x）+g［x）=T+x,①

x）+g（r）=2-加，即/（尤）-g（x）=2-"i,②

由曾產得：〃X）=2，+2T,越可得g（x）=2-2二

（2）?1-/（2x）=22V+Tlx=（2r-Tx）2+2,

所以，=/（2尤）一2,“g（尤）=（2工一2T）2-2m（2x-2-x）+2,

令/=2*-2-*,因為函數;y=2*、>=-2-，在［l,+8）上均為增函數，

13

故/=2'-2f在［1,+s）上單調遞增，貝卜=2,-2T22-q=：,

3

設人⑺=/一2皿+2,t>—,對稱軸1=機，

①當機>|■時，函數力。）在根］上為減函數，在（機內）上為增函數，

則人（'）min=九（根）=a2一2機2+2=2—加2=一2,解得：帆=2或%=一2（舍）；

②當冽4T時，"⑺在5+8）上單調遞增，

==解得：^=f>|>不符合題意.

綜上：m=2.

題型七：指數函數中的恒成立問題

23.不等式4工-2?1+0>0對任意xeR都成立，則實數〃的取值范圍_________.

【答案】（1,-）.

【解析】原不等式可化為a>-4x+2Kl對xeR恒成立，

令f=2",貝卜>0,所以>=一4"+2川=-〃+2r=-（r-l）2+141,

當/=1時，>max=1，所以a>1.

故答案為：（1,E）.

24.若實數匹［-1,2］,使得2〃（a+3"恒成立，則實數a的取值范圍是.

【答案】［9,+向

【解析1■（a+b）“在實數6e［-1,2］時恒成立等價于a>2b一人在實數6e［-1,2］時恒成立,則

令f(b)=2M,-b=4x(-)*-b,-：y=(-)\y=-b,為減函數，

.?./(3=22。一6在北［-1,2］上為減函數，故當6=-l時，Q2T'-虬「9,

即實數a的取值范圍是［9,y).

故答案為：［9,+8).

25.已知指數函數〃力=(3/_10°+4)/<。>0且"1)在其定義域內單調遞增.設函數

g(x)=/(2x)-(m-4)/(x)-3,當m42,6］時，函數g(x)“恒成立,則x的取值范圍是

【答案】x>l

【解析】因為/(X)是指數函數，所以3片一1。。+4=1,解得。=3或者。=；,

又因為“X)在定義域內單調遞增，所以。>1,所以。=3,所以〃力=3,，

所以g(x)=32—(4)-3”-3,

令人)=-3"根+3?"+4x3^-3,要使得g(x)20即九(加)/0恒成立,

0⑵20=產'+2x3'-320n(3X+3)(3%-1)>0

川伉6"00L?-2x3"320=［①一3)(3,+1”0，

h'-l>0

所以下CC,解得—I，

故答案為：X>1

26.已知函數/(x)是定義在R上的奇函數，當x<0時，/(x)==J+l.

⑴求函數的解析式；

(2)若對于任意實數x,不等式/［2工)+2^^，)20恒成立，求實數。的取值范圍.

【解析】(1)當x=0時，〃。)=0,

當%>0時，一次<0,f(一%)=------F1,

又因為/(尤)是定義在實數集R上的奇函數,

所以〃X)=_〃T)=一一+1=一一1,

f+]

即當龍＞0時，/(x)=------1.

爐+11八

---------1,X>0

X

所以函數/（X）的解析式為=，0,x=0

X2+1.八

--------i-l,x<0

x

（2）因為對于任意實數x,不等式/卜2*）+24（1）20恒成立,

所以付上1_1+2小亡±1一1工0在R上恒成立,

e"Ie工）

即e2x+白-l+2a[eX+g-l卜0在R上恒成立，

整理得-3+2a（e*+士-1]20在R上恒成立，

=■—-,因為e、>0，所以f=e*+'N2Je".'=2,

eeve

當且僅當e'=1即x=0時，等號成立，

從而r—3+2a?—1）之0在%22上恒成立,

所以2〃2^-^=—〃一1）+'—2在.>2上恒成立，

t-1'7t-\

2

令加=/一121,g{m）=-m+——2,則242g（加）耐，

因為函數g（加）=-加+：-2在[1,+8）單調遞減,可得g（m）的最大值為g（1）=-1,

所以2。2-1,所以“2-彳.

2

題型八：指數函數的綜合問題

27.（2024?全國?模擬預測）已知函數〃x）U'E,若方程2「〃疥-（a+2”（x）+a=0有

x-6x+8,x>l

7個不同的實數根，則實數。的取值范圍是.

【答案】（0,2）

【解析】作出函數〃尤）的圖象，如圖所示.

由2[〃x）[-（a+2）"（x）+a=0,得=0,

解得〃x)=i或

由圖象易知，直線y=i與的圖象有3個交點，

所以方程〃力=1有3個不同的實數根，

因為方程2"(切2_(°+2)"⑺+0=0有7個不同的實數根，

所以直線》=微與的圖象有4個交點，

故0<|<1,解得0<。<2,故實數。的取值范圍是(0,2).

故答案為：(0,2)

QX.r\—Xr\Xr\-X

28.已知函數=g(x)==^^.

⑴若存在使得〃x)=f.2，+g成立，求實數f的取值范圍；

(2)若不等式/(2力+2紜⑺“，對任意的xe[l，4恒成立，求實數6的取值范圍.

【解析】(1)=〃力=加2'+'

22

...2'+2J=,.2、」_L,即"：(20一2一工+1)在xe(0,欣)有解，

222

令機=2一，40,1),所以/=[+(1加一g],

當機=:時京='!；當加趨向于0或1時f趨向于9即re

2oz|_oZy

(2)f(2x)+2bg(x)>0,即^^_^+b(2，+2T”0,

令2,-2-，=m，因為xe[l,2],所以>=2=2一￡為增函數，

-315-

所以機￡,則22"+2—2%=療+2,

加2In桃2.r\315

所以生士+6機2。，化為對任意的-,—恒成立，

22m124」

e（機）=_*7*=_（g+'］在加6py-上單調遞減，

2m（2m）［_24_

當加="!時，取得最大值為e［'!1=_，

所以實數6的取值范圍為

12L12）

29.已矢口函數/a）=（2'）2_2x2'_8

⑴求不等式〃切之0的解集；

⑵求〃x）的值域；

（3）當xeR時，不等式/（%）>租Z'-IZ恒成立，求用的取值范圍.

【解析】（1）由題意可得：（2Y）2-2X2^-8>0,BP（2v-4）（2A+2）>0.

因為2工>0,

則2,24.

因為函數y=2,在R上單調遞增，且22=4，

所以x22.

故不等式20的解集為［2,+?>）

（2）由/（》）=（顰）2_2、2。8,得：函數定義域為R.

令”2，

貝!|y=--2/-8,t>0.

因為二次函數y=〃-2f-8在區間（0,1）上單調遞減，在區間（L+s）上單調遞增,

所以當「=1時，Jmin=12-2x1-8=-9,當f—>+=0時，y—+3O.

故〃X）的值域為［-9,+8）.

（3）由題意得：當xeR時，不等式（2*）2-2x2'-8>m2-12恒成立，

即當XER時，不等式（才）+4〉加+2恒成立,

2X

4

即當xeR時，不等式2，+->加+2恒成立.

2%7

4

令/=2,，y=t+-（t>0）.

因為函數,=/+；（?0）在區間（0,2）上單調遞減，在區間（2,+s）上單調遞增

所以當r=2時，/n=4.

所以優+2<4,解得：m<2

故當xeR時，不等式/(力>〃〃2'-12恒成立，加的取值范圍為(y,2).

30.(2024?河南?模擬預測)已知〃x)為定義在R上的偶函數,g(尤)=令11,且〃x)+g(x)=2向.

⑴求函數/(x),g(x)的解析式;

(2)求不等式2[〃力了-3g(無)<8的解集.

【解析】⑴由題意易知,/(-%)=