第03講直線、平面平行的判定與性質(zhì)

目錄

01模擬基礎(chǔ)練..................................................................2

題型一：平行的判定.............................................................2

題型二：線面平行構(gòu)造之三角形中位線法...........................................3

題型三：線面平行構(gòu)造之平行四邊形法.............................................4

題型四：利用面面平行證明線面平行...............................................5

題型五：利用線面平行的性質(zhì)證明線線平行.........................................6

題型六：面面平行的證明.........................................................8

題型七：面面平行的性質(zhì).........................................................9

題型八：平行關(guān)系的綜合應(yīng)用....................................................10

02重難創(chuàng)新練.................................................................11

03真題實(shí)戰(zhàn)練.................................................................16

題型一：平行的判定

1.（多選題）（2024?遼寧?模擬預(yù)測）己知名月是兩個不同的平面，/,根是兩條不同的直線，則（）

A.若lua,mu/3,a//J3,則〃B.若m〃l,m〃a,laa,貝！|/〃

C.若a_L尸,，"ua,則m_1_尸D.若ILa,m〃l,mu0,則a_L/7

2.（多選題）如圖，在長方體ABC。-中，點(diǎn)M，N,E,尸分別在棱A4，A.,B￡,GR上,

且平面AACV〃平面EEDB,下列結(jié)論正確的是（）

DiF

'C

A.MNEFB.EF//BD

C.AN//DFD.BE〃平面AAW

3.（多選題）已知直線/，加，平面。，尸，則下列說法錯誤的是（）

A.mlH,Hla,則帆//or

B.Z///?.m///?,Z<=a,m<=<z,則（Z〃，

C.II0,則a///

D.111fl,mlIf!,lua,mua,l\rn=M,貝［］a〃4

4.設(shè)a、夕是兩個平面，m、”是兩條直線，且=下列四個命題:

①若〃z//〃，則〃〃<z或〃〃尸②若〃zJ_w,貝1|"_Lor,"J_夕

③若"〃a,且〃〃乃，貝！］④若"與a和4所成的角相等，貝隊(duì)"_1_"

其中所有真命題的編號是（）

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

題型二：線面平行構(gòu)造之三角形中位線法

5.(2024?新疆昌吉?高三校考學(xué)業(yè)考試)如圖，在正方體中，E是棱。。的中點(diǎn).

(1)證明：平面A￡C；

(2)若正方體棱長為2,求三棱錐。-AEC的體積.

6.(2024?黑龍江大慶?統(tǒng)考二模)如圖所示，在正四棱錐尸-ABCD中，底面的中心為O,PD邊

上的垂線BE交線段尸。于點(diǎn)區(qū)PF=2FO.

(1)證明：EO〃平面PBC；

7.如圖，四棱錐尸—ABCO中，四邊形ABC。為梯形，AB//CD,ADJ.AB,AB=AP=2DC=4,

PB=2AD=4垃,PD=2娓,M,N分別是PD,尸2的中點(diǎn).

(1)求證：直線MN//平面ABC￡)；

題型三：線面平行構(gòu)造之平行四邊形法

8.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)專著，書中將底面為直角三角形，側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“墊堵”.如

圖，在墊堵A3C—A31G中，已知AC=3C,且點(diǎn)Af,N,尸分別是A3,AG,5c邊的中點(diǎn).

⑴求證：C/〃平面肱VC；

9.(2024?天津?yàn)I海新?高三校考期中)如圖，四棱錐尸-ABCD的底面是菱形，平面上底面AB8,

E,尸分別是AB,PC的中點(diǎn)，AB=6,DP=AP=5,ABAD=60°.

(1)求證：E尸〃平面PA。；

TT

10.如圖，四棱臺ABCD-E尸GH的底面是菱形，且ZBAO=§,DH_L平面ABCD,EH=2,0/7=3,AD=4.

(1)求證：AE〃平面5DG；

(2)求三棱錐尸-BZX7的體積.

題型四：利用面面平行證明線面平行

11.(2024?全國?模擬預(yù)測)如圖，在多面體ABCDMP中，四邊形A38是菱形，且有NDAB=60。,

AB=DM=1,尸3=2,尸3_1_平面ABCZ>,PB//DM.

(1)求證：A"http://平面尸BC；

12.(2024?江西贛州?統(tǒng)考模擬預(yù)測)如圖，在三棱柱ABC-4局G中，側(cè)面的。。是矩形，側(cè)面

是菱形，ZB,BC=60,D、E分別為棱43、8￡的中點(diǎn)，下為線段QE的中點(diǎn).

(1)證明：A尸〃平面AQE；

13.（2024?上海?模擬預(yù)測）直四棱柱A8CD-44G2，ABDC,AB±AD,48=2,AD=3,DC=

題型五：利用線面平行的性質(zhì)證明線線平行

14.(2024?廣東?三模)如圖，邊長為4的兩個正三角形ABC,BCD所在平面互相垂直，E,尸分別為3C,

C。的中點(diǎn)，點(diǎn)G在棱AD上，AG=2GD,直線43與平面EFG相交于點(diǎn)H.

⑴證明：BD//GH；

15.如圖，在三棱柱ABC-44G中，AC=BC，AC=AB,側(cè)面BBCC為矩形.

(1)記平面Aj8G與平面A8C交線為/,證明：AC//Z；

16.如圖，在四棱錐尸—ABCO中，AB=BD=BP=下,PA=PD=^2,NAP￡>=90。，E、尸分別是棱

PA,AD的中點(diǎn)，且8Er〃平面尸CD.證明：BF//CD.

17.如圖，空間六面體ABCDEFGH中，AD//BC,EH//FG,平面ABCD〃平面￡FGH,C￡)HG為正方形,

求證：AE//BF；

題型六：面面平行的證明

18.(2024?江西鷹潭?模擬預(yù)測)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，PA=3,AB=2,四邊形ABCD為菱形,

JT.

ZABC=-,以，平面ABC。，E,F,。分別是8C,PC,的中點(diǎn).

(1)證明：平面跖0//平面尸.；

19.(2024?陜西安康?模擬預(yù)測)如圖，在圓臺。。中，AAB均為軸截面，AB=2A4=4,NAA8=6。，C

為下底面圓周上一點(diǎn)，斤為下底面圓。內(nèi)一點(diǎn)，AE垂直下底面圓。于點(diǎn)E,/COF=/ER9.

(1)求證：平面Q0C〃平面AEF；

20.如圖，在六面體A5cDE廠中，DE//CF,四邊形ABCD是平行四邊形，DE=2CF.

(1)證明：平面ADE//平面BCF.

(2)若G是棱3c的中點(diǎn)，證明：AE//FG.

21.如圖，在正方體中，M,N分別是A3,A。的中點(diǎn)，AB=2.

(1)若4/中點(diǎn)為。，求證：平面MNQ〃平面AAD；

⑵求點(diǎn)C到平面ABD的距離.

題型七：面面平行的性質(zhì)

22.如圖，在正方體中，作截面E/G/7(如圖)交G。，A.B,,AB,8分別于E,F,

G,H,則四邊形E尸GH的形狀為()

A.平行四邊形B.菱形C.矩形D.梯形

23.（2024?全國?模擬預(yù)測）設(shè)機(jī),〃是兩條相交直線，。，乃是兩個互相平行的平面，且"〃夕，貝廣加//"

是“加//尸”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

24.已知正方體平面MC與平面的交線為/,貝U（）

A.1〃ADB.1//B.Dc.I〃C\DD.I〃DQ

題型八：平行關(guān)系的綜合應(yīng)用

25.如圖所示，在棱長為1的正方體ABC。-A百GR中，點(diǎn)耳尸分別是棱BC,CG的中點(diǎn)，尸是側(cè)面水夕瓦

內(nèi)一點(diǎn)，若AP〃平面AE尸，則線段AP長度的取值范圍是（）

3A/2叵D.[/，君]

4FC.

26.（2024?貴州?模擬預(yù)測）在三棱錐中，AC_L平面88,尸是43上一點(diǎn)，且3AB=43尸，連

接CP與D尸，。為。尸中點(diǎn).

⑴過。點(diǎn)的平面平行于平面皿且與交于點(diǎn)M，求需

27.（2024?湖南長沙?三模）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，X4JL平面ABCD,24=2,底面ABCD為

直角梯形，ABAD=90°,AB=2,CD=AD=X,N是尸8的中點(diǎn)，點(diǎn)V,。分別在線段尸￡）與”上，且

DM=AMP.AQ=juQP.

(1)若平面粉V。〃平面ABC?,求;I、M的值;

2

⑵若MQ〃平面P8C,求匕的最小值.

A

28.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABC。是矩形，點(diǎn)分別在棱AB,尸。上，其中E是A3的中點(diǎn),

連接ME.

(1)若M為PC的中點(diǎn)，求證：ME//平面PAD；

⑵若ME〃平面B4D,求點(diǎn)〃的位置.

1.(2024?四川?模擬預(yù)測)設(shè)《能為兩條不同的直線，％,%為兩個不同的平面，下列說法正確的是()

A.若4〃4,lj/ax,則/"/4

B.若，1，，2與生所成的角相等，則4//，2

Z//，2

C.若名2a2,則4,

D.若%_L_L,4，％，則/1，，2

2.（2024?四川樂山?三模）在三棱柱A5C-44G中，點(diǎn)。在棱3片上，且與旦=3a）,點(diǎn)"在棱AC上，

NB

且M為AG的中點(diǎn)，點(diǎn)N在直線5片上，若MN〃平面ADG，則徜=（）

IV鳥

A.2B.3C.4D.5

3.（2024?山東?二模）《蝶戀花?春景》是北宋大文豪蘇軾所寫的一首詞作.其下闕為：“墻里秋千墻外道，

墻外行人，墻里佳人笑，笑漸不聞聲漸悄，多情卻被無情惱”.如圖所示，假如將墻看作一個平面，墻外的道

路、秋千繩、秋千板看作是直線.那么道路和墻面線面平行，秋千靜止時(shí)，秋千板與墻面線面垂直，秋千繩

與墻面線面平行.那么當(dāng)佳人在蕩秋千的過程中，下列說法錯誤的是（）

A.秋千繩與墻面始終平行

B.秋千繩與道路始終垂直

C.秋千板與墻面始終垂直

D.秋千板與道路始終垂直

4.已知平面。，力和直線加，〃,若加ua,nca,則“m//尸,〃〃尸”是“a〃夕”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測）如圖，正三棱柱43C-A4G的底面邊長是2,側(cè)棱長是2百，M為4G

的中點(diǎn)，N是側(cè)面BCC4內(nèi)的動點(diǎn)，且〃平面A8G，則點(diǎn)N的軌跡的長度為（）

G

A.V6B.2C.72D.4

6.（2024?貴州黔東南?二模）平面a過直三棱柱ABC-A4G的頂點(diǎn)用，平面。//平面ABC-平面々

平面即GC=，，且招二相;如，AB±BC,則A?與/所成角的正弦值為（）

A.@B.變C.-D.B

2223

7.（2024?內(nèi)蒙古?三模）設(shè)a,夕是兩個不同的平面，m,/是兩條不同的直線，且a用=/貝「機(jī)/〃”

是“優(yōu)///且〃2//”的（）

A.充分不必要條件B.充分必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

8.（2024?江西?二模）已知正方體ABCD-的棱長為4,點(diǎn)M滿足C.M=3MC，若在正方形A與GR

內(nèi)有一動點(diǎn)尸滿足BP〃平面AM2,則動點(diǎn)尸的軌跡長為（）

A.4B.V17C.5D.4A/2

9.（多選題）（2024嘖州貴陽?二模）設(shè)a,6,7是三個不同的平面，友c是兩條不同的直線,在命題“ap=b,

cuy,且__________.則b〃c”中的橫線處填入下列四組條件中的一組，使該命題為真命題，則可以填入

的條件有（）

A.a//B.b//Y,c//P

C.c〃/3,buyD.a//Y，c//p

10.（多選題）（2024?河南新鄉(xiāng)?三模）已知明"，/為空間中三條不同的直線，a,p,7為空間中三個

不同的平面，則下列說法中正確的是（）

A.若=則

B.若加ua,〃（za,則加與"為異面直線

C.若acB=l,/3cy=ca=n,且/m=P,貝

D,若加」〃7,則夕//[

11.（多選題）（2024?全國?模擬預(yù)測）在四棱錐尸-ABCD中，已知底面A8CD為正方形，平面R4B、

平面尸AD都與平面ABCD垂直，P4=2AB=2,點(diǎn)S,T分別為PAP。的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱尸C上，貝U（）

A.四邊形BCTS為等腰梯形

B.不存在點(diǎn)E,使得SE〃平面比）7

C.存在點(diǎn)E,使得AOE

D.點(diǎn)石到5。兩點(diǎn)的距離和的最小值為我

6

12.（2024?西藏拉薩?二模）如圖，正四棱錐尸-ABCD的所有棱長都為2,E為尸C的中點(diǎn)，/是底面ABCZJ

內(nèi)（包括邊界）的動點(diǎn)，且EM〃平面E4B,則長度的取值范圍是.

p

￡

A

13.（2024?浙江?模擬預(yù)測）三棱錐A-3co的所有棱長均為2,E,尸分別為線段BC與的中點(diǎn)，M,

N分別為線段AE與CF上的動點(diǎn)，若MN//平面A8O,則線段長度的最小值為

14.（2024?浙江寧波?一模）在棱長均相等的四面體ABCD中，尸為棱AD（不含端點(diǎn)）上的動點(diǎn)，過點(diǎn)

A的平面&與平面PBC平行.若平面a與平面平面A8的交線分別為以"，則列〃所成角的正弦值

的最大值為.

15.（2024?四川達(dá)州?二模）如圖，在直角梯形中，AD//BC,AB^BC,AB=3,BC=2AD=4,把

梯形ABCD繞AB旋轉(zhuǎn)至ABCR,E,F分別為AB,CC,中點(diǎn).

⑴證明:所〃平面C7AA；

7T

⑵若ZDADt=-,求點(diǎn)3到平面CDD￡的距離.

16.（2024?內(nèi)蒙古赤峰?三模）如圖，在三棱臺中，和VABC都為等邊三角形,

且邊長分別為2和4,CG=2,NACG=N8Ca=90o,G為線段AC的中點(diǎn)，H為線段3c上的點(diǎn),

\BH平面GGH

(1)求證：點(diǎn)X為線段BC的中點(diǎn);

(2)求三棱錐3-A1A〃的體積.

17.(2024?西藏拉薩?二模)如圖，在四棱臺A8CD-44GR中，平面ABCA,兩底面均為正方

形，AB=D1D=4,AiB1=2,點(diǎn)E在線段8。上，且上=3￡?.

(1)證明：RE//平面ABC；

(2)求點(diǎn)用到平面ABq的距離.

18.(2024?陜西榆林?二模)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面四邊形是邊長為亞的正方形,

AC與BD交于點(diǎn)O,底面ABC。，側(cè)棱與底面所成角的余弦值為巫.

⑴求。到側(cè)面的距離；

(2)若E為BC的中點(diǎn)，尸為尸。的中點(diǎn)，證明：跖//平面A2P.

㈤3

I1真題實(shí)戰(zhàn)練\\

1.(2024年北京高考數(shù)學(xué)真題)如圖，在四棱錐尸-ABCO中，BC//AD,AB=BC=\,A￡>=3,點(diǎn)E在

A少上，且PE=DE=2.

(1)若歹為線段PE中點(diǎn)，求證：8尸〃平面PCD.

2.（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）如圖，ABI/CD,CD//EF,AB=DE=EF=CF=2,

CD=4,AD=BC=y/lO,AE=2百，"為8的中點(diǎn).

(1)證明：EN//平面3C廠;

⑵求點(diǎn)V到AT比的距離.

3.（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）如圖，在以A,B,C,D,E,尸為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形

ABC。與四邊形ADEF均為等腰梯形，EF//AD,BC//AD,AD=4,AB=3C=EP=2,ED=M,FB=2?,

M為AD的中點(diǎn).

（1）證明：氏W//平面C￡）E；

4.（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知四棱柱ABCD-4月G2中，底面ABCD為梯形，AB//CD,44,平

面ABCZ),ADJ.AB,其中AB=A4,=2,AD=DC=1.N是4G的中點(diǎn)，/是D"的中點(diǎn).

（1）求證AN〃平面C4M；

5.（2024年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題）如圖，四棱錐尸-ABCD中，底面ABC。，PA=AC=2,

BC=I,AB=6.

p

(1)證明：￡F〃平面ADO；

8.(2023年天津高考數(shù)學(xué)真題)如圖，在三棱臺ABC-44G中，平面

ABC,AB±AC,AB=AC=A^=1,^=1,〃■為3C中點(diǎn).，N為A2的中點(diǎn),

(1)求證：4N//平面AMG；

(3)求點(diǎn)C到平面AMG的距離.

9.(2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題)如圖，尸。是三棱錐尸-ABC的高，PA=PB,AB工AC,E是PB

的中點(diǎn).

⑴證明：OE7/平面PAC；

10.（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動，設(shè)計(jì)了一個封閉的包裝盒，包

裝盒如圖所示：底面A3CD是邊長為8（單位：cm）的正方形，EAB^FBC,GCD,HDA均為正三角形，

且它們所在的平面都與平面A5co垂直.

（1）證明：跖〃平面AB8；

（2）求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）.

第03講直線、平面平行的判定與性質(zhì)

目錄

01模擬基礎(chǔ)練..................................................................2

題型一：平行的判定.............................................................2

題型二：線面平行構(gòu)造之三角形中位線法...........................................3

題型三：線面平行構(gòu)造之平行四邊形法.............................................4

題型四：利用面面平行證明線面平行...............................................5

題型五：利用線面平行的性質(zhì)證明線線平行.........................................6

題型六：面面平行的證明.........................................................8

題型七：面面平行的性質(zhì).........................................................9

題型八：平行關(guān)系的綜合應(yīng)用....................................................10

02重難創(chuàng)新練.................................................................11

03真題實(shí)戰(zhàn)練.................................................................16

題型一：平行的判定

1.（多選題）（2024?遼寧?模擬預(yù)測）已知a,月是兩個不同的平面，/,根是兩條不同的直線，則（

A.若Iua,inu/3,a〃/3,則/〃機(jī)B.若m〃l,m〃a,laa,貝

C.若則D.若ILa,m〃/,mu0,則a_L￡

【答案】BD

【解析】對于A項(xiàng)，若lua,mu/3,a〃/3,貝心〃根或/與機(jī)異面，A項(xiàng)錯誤；

對于B項(xiàng)，因?yàn)椤ā?6z,則maue,7〃〃a,且7找〃/,可得

又因?yàn)閍ua,/<za,所以/〃ar,B項(xiàng)正確；

對于C項(xiàng)，當(dāng)tz_L/?,〃zua時(shí)，加_1■尸或機(jī)//月或〃zu6或機(jī)與尸相交，C項(xiàng)錯誤；

對于D項(xiàng)，若1La,m〃I,則〃?J_a,又mu0,所以a_L6，D項(xiàng)正確.

故選：BD.

2.（多選題）如圖，在長方體ABCO-A8IG2中，點(diǎn)M，N,E,尸分別在棱A耳，ADi-B￡,G，上,

且平面AAW〃平面EFDB,下列結(jié)論正確的是（）

A.MN\\EFB.EF//BD

C.AN//DFD.跖〃平面4VW

【答案】ABD

【解析】因?yàn)槠矫鍭MN〃平面￡7加8,

平面ABCQi與平面EFDB和平面41W的都相交，MMEF是交線，

所以MNEF,故A正確；

因?yàn)殚L方體ABCO-AQGR,

所以平面ABGR〃平面ABCD,而平面EEDB與這兩個平行平面的都相交,

EF,BD是交線,所以所〃①），故B正確，

如圖，連接此時(shí)平面與平面ABiGA和平面A3CZ）的都相交,

D4,MF是交線，所以ZM〃MF,

而DA〃2A，=Z）［A,

所以MF〃AA，

又因?yàn)椤ㄊāˋ，

所以四邊形26明是平行四邊形，

所以板=RA，MF=DA,

所以四邊形DM是平行四邊形，

所以3尸〃AM,

因?yàn)锳MAN=A,

所以⑷V與。P不平行，

故C錯誤；

如圖，連接AE,由長方體性質(zhì)得面BCC內(nèi)〃面A4,，，

此時(shí)平面NEBA與這兩個平面的都相交，NA,EB是交線,

所以BE〃AN,

又因?yàn)锳Nu面AMN,BEU面AMN,

所以BE〃平面AMN,

故D正確.

故選：ABD

3.（多選題）已知直線平面名￡,則下列說法錯誤的是（）

A.mlll,llla,則

B.I/1B，m/1B，luajnua,則C〃夕

C.IUm,lua,mu。，貝[]a//?

D.I/1/3jn//）3,1ua,mua,lm=M,則a〃夕

【答案】ABC

【解析】選項(xiàng)A中，機(jī)可能在a內(nèi)，也可能與。平行，故A錯誤；

選項(xiàng)B中，0與夕也可能相交，故B錯誤；

選項(xiàng)C中，a與夕也可能相交，故C錯誤；

選項(xiàng)D中，依據(jù)面面平行的判定定理可知a//月，故D正確.

故選：ABC.

4.設(shè)口、月是兩個平面，相、“是兩條直線，且e/3=m.下列四個命題：

①若7或〃“，則〃〃dr或"〃②若〃zJ_7z,則"J_a,nV/3

③若且〃〃/，貝！]〃〃/“④若"與。和￡所成的角相等，則相_!_〃

其中所有真命題的編號是（）

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

【答案】A

【解析】對于①：若"ua,因?yàn)橄唷ā埃皕u，，貝I」九〃/7,

若nu0,因?yàn)?找〃〃，mua,貝5],

若〃不在a也不在戶內(nèi)，因?yàn)橄唷ā埃琺ua,mcz/3,

所以M/c且〃〃夕，故①正確；

對于②：若根，〃，貝產(chǎn)與a,￡不一定垂直，也有可能相交但不垂直，故②錯誤;

對于③：過直線〃分別作平面，與夕分別相交于直線“，直線b,

因?yàn)椤?/e,過直線〃的平面與平面a相交于直線a,所以〃//a,

同理可得“//》，所以。//b,

因?yàn)閍ua,buB,則a〃夕，因?yàn)閍ua,a\\P=m,則〃//加,

又因?yàn)椤?/a,則加〃〃，故③正確；

對于④：“與a和夕所成的角相等，則加和〃不一定垂直，比如:

正方體ABCD-4與G2中，平面ABCD，平面ADD^=AD,

DBi與平面所成角為/BQB,

DB,與平面ADD^所成角為/片圖，

tan/B\DB=tan.-=——■,

所以/瓦02=/用必，但。耳與仞不垂直，故④錯誤;

綜上只有①③正確.

故選：A.

題型二：線面平行構(gòu)造之三角形中位線法

5.（2024?新疆昌吉?高三校考學(xué)業(yè)考試）如圖，在正方體ABCD-A4GA中，E是棱。口的中點(diǎn).

（1）證明：BR//平面AEC；

（2）若正方體棱長為2,求三棱錐D-AEC的體積.

【解析】（1）連接3。交AC于O,連接OE,如圖,

因?yàn)樵谡襟wA3C。-A旦中，底面ABCD是正方形，則。是3D的中點(diǎn),

又E是。2的中點(diǎn)，則OE是的中位線，故OEI!BD\,

又OEu面A￡C,■BAZ面A￡C,所以8口〃平面A￡C.

(2)因?yàn)檎襟wABCD-AqG2中，平面DCG2，

所以%.的=匕-啊=京阻-4)=卜3義0以8"0=卜3以2'2=|.

6.(2024?黑龍江大慶?統(tǒng)考二模)如圖所示，在正四棱錐P-ABCD中，底面A8CD的中心為O,PD邊

上的垂線BE交線段P。于點(diǎn)RPF=2FO.

(1)證明：石。〃平面尸5G

【解析】(1)證明：如圖，延長尸。至點(diǎn)“，使FO=OM,連接MO,

'??底面ABC。的中心為。，???尸01平面458,APO±BD,

'：BO=OD,ZFOB=ZDOM,

:?_FOBWDOM,

.PFPE

:.ZFBO=ZMDO:,FB〃DM,AEF//DM,

f''FM-ED

而PF=2尸O=FM,：.PE=ED,：.EO//PB,

???尸5u平面P5C,石。0平面尸5C,.I石。//平面尸BC；

M

7.如圖，四棱錐P—ABCD中，四邊形ABC。為梯形，AB//CD,ADJ.AB,AB=AP=2DC=4,

PB=2AD=4五,PD=2瓜M,N分別是尸。，P5的中點(diǎn).

D

c

(1)求證：直線MN//平面ABC。；

【解析】(1)連接3，M,N分別是尸。，尸5的中點(diǎn).

/.MN//BD,

又二肱V(Z平面ABCD,BDU平面ABCD

「?直線MN//平面ABCD

題型三：線面平行構(gòu)造之平行四邊形法

8.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)專著，書中將底面為直角三角形，側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“墊堵”.如

圖，在墊堵ABC-AAG中，已知AC=3C,且點(diǎn)M,N,P分別是AB,AG,BC邊的中點(diǎn).

(1)求證：GP//平面MVC；

【解析】連結(jié)MP,因?yàn)镸,P分別是4B,BC的中點(diǎn),

所以MP〃AC,^.MP=-AC,

2

因?yàn)辄c(diǎn)N是AG的中點(diǎn)，所以NCJ/AC,且NG=《AC,

所以NCJ/M尸，且NG=M尸，

所以四邊形MPGN是平行四邊形，

所以GP//MN,

且GPN平面MNC,跖Vu平面MNC,

所以GP〃平面MNC；

9.(2024?天津?yàn)I海新?高三校考期中)如圖，四棱錐P-ABCD的底面是菱形，平面底面ABCD,

E,F分別是AB,PC的中點(diǎn)，AB=6,DP=AP=5,ZR4D=60°.

(1)求證：EFH平面PAD；

【解析】(1)證明：取尸。中點(diǎn)G,連接46所，因?yàn)槭?3分別是「。,尸。的中點(diǎn)，所以尸6〃8,尸3=：。，

又因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，E是A3的中點(diǎn)，所以AE〃CD,AE=ga?,

所以尸G〃AE,bG=AE,所以四邊形的'G是平行四邊形，所以跖〃/G,

又EFZ平面PAD,AGu平面PAD,所以EF〃平面MD.

.…7T

10.如圖，四棱臺ABCD-5FGF/的底面是菱形，且/BAO=1,斯_L平面ABCD,EH=2,DH=3,AD=4.

(1)求證：A￡7/平面BOG；

(2)求三棱錐尸-血7的體積.

【解析】(1)連接AC交3。于點(diǎn)。，連接EG,GO,

?-幾何體ABCD-E尸GH為四棱臺，；.A,C,G,E四點(diǎn)共面，且EGu平面EFG",ACu平面ABCD,

平面EFGH//平面ABCD,EG//AC；

TT

一四邊形石/心”和A3co均為菱形，ZBAD=-,EH=2,AD=4,

:.EG=-AC=AO=Zr^3,；.四邊形AOGE為平行四邊形，/.AE//GO,

2

又GOu平面BPG,AE<Z平面BZ)G,；.AE〃平面80G.

(2)連接GE交FH于K,

Q￡>〃_!_平面ABCD,平面ABCD〃平面￡FG",:.DH_L平面EFGH,

又GEi平面跳G”,:.GE±DH,

GE工FH,DHcFH=H,DH,FHu平面BDHF,GEJ_平面3DHF；

四邊形ER3H為菱形，NFEH=NBAD=gEF=2,;.GK=B

^F-BDG~^G-BDF=§,BDF，GK=jX-x4x3xA/3=2A/3.

題型四：利用面面平行證明線面平行

11.（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖，在多面體ABCDMP中，四邊形A3CD是菱形，且有NZMB=60。,

AB=DM=1,PB=2,P8_L平面ABCD,PB//DM.

（1）求證：AM//平面PBC；

【解析】（1）因?yàn)樗倪呅蜛3CD是菱形，

所以AD〃BC,

又ADN平面P3C,3Cu平面尸3C,

所以AD〃平面P3C,

因?yàn)镴PB〃DM,Mu平面PBC,DMZ平面尸BC,

所以DM//平面P3C,

又因?yàn)锳DI=">,MDu平面,

所以平面ADA/〃平面PBC,

又AMu平面AMD,

所以A"http://平面P3C.

12.（2024?江西贛州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在三棱柱ABC-AAG中，側(cè)面441GC是矩形，側(cè)面3BCC

是菱形，ZB,BC=60,。、E分別為棱48、4G的中點(diǎn)，尸為線段GE的中點(diǎn).

A

（1）證明：AF〃平面

【解析】（1）證明：取AG的中點(diǎn)〃，連接AM、EM、FM,

因?yàn)檎?/24且9=84,故四邊形為平行四邊形，所以，AB//A旦且AB=4月，

因?yàn)椤?3的中點(diǎn)，則AD〃A與且=與，

因?yàn)椤啊分別為4G、的中點(diǎn)，所以，EM//4用且￡70=^44,

所以，AD〃硯T且AD=EM,故四邊形ADEM為平行四邊形，所以，AM!IDE,

因?yàn)槠矫妫珼Eu平面AQE,所以，AM〃平面4。石，

因?yàn)椤啊⑹謩e為4G、GE的中點(diǎn)，所以，F(xiàn)M//A.E,

因?yàn)槠矫鍭DE,AEU平面A。后,所以，F(xiàn)M〃平面

因?yàn)?AM,HV/u平面A?,所以，平面〃平面

因?yàn)锳Fu平面A/加，故AF〃平面

13.（2024?上海?模擬預(yù)測）直四棱柱A3CD-ABC。］,ABDC,ABLAD,AB=2,AD=3,DC=4

（1）求證：AB〃面DCCQ；

【解析】（1）由題意得A4/RD，AB//CD,

4442<2平面。。。，。0,0）匚平面20）,

AtA//平面DXCD,ABH平面DXCD

而4AAB=A,，平面AA8〃平面2cO,

又?，43u平面AAB,.?.AB〃平面DCCQ

題型五：利用線面平行的性質(zhì)證明線線平行

14.（2024?廣東?三模）如圖，邊長為4的兩個正三角形A3C,38所在平面互相垂直，E,P分別為

BC,。的中點(diǎn)，點(diǎn)G在棱AD上，AG=2GD,直線AB與平面ERG相交于點(diǎn)H.

⑴證明：BDHGH；

【解析】（1）因?yàn)镋、P分別為BC、。的中點(diǎn)，所以EF//BD,

又500平面￡FG,EFu平面￡FG,則BD〃平面跳6,

又BDu平面平面ABDc平面EBG=GH,所以BD//GH.

15.如圖，在三棱柱ABC-44G中，AC=BC,AiC=AlB,側(cè)面8片C。為矩形.

（1）記平面與平面A3c交線為/,證明：AC//1；

【解析】（1）因?yàn)樵谌庵鵄BC-430]中，AC//AQ,

由于AC<z平面ABC，4Gu平面A^G，

所以AC//平面ABC1，

又因?yàn)锳Cu平面A3C,平面ABC,平面ABC|=/,

所以ACV〃

16.如圖，在四棱錐尸—ABCD中，AB=BD=BP=5PA=PD=y[i,ZAPD=90°,E、/分別是棱外,

AZ）的中點(diǎn)，且BE〃平面PCD.證明：BF//CD.

【解析】連接。，如圖,

.；E、產(chǎn)分別是24、AD中點(diǎn)，

，￡產(chǎn)為△”口中位線，EFIIPD.

￡歹O平面PDC,PDu平面PDC,：.EFH平面PCD.

又：3￡7/平面PCD,BEEF=E,BE,EFu平面EFB,

二平面EFBH平面PCD.

又,/平面ABCD1平面EFB=BF,平面ABC。「平面PCD=CD,：.BF//CD.

17.如圖，空間六面體ABCDEFG〃中，AD//BC,EH//FG,平面ABC。//平面EFG〃,COHG為正方形,

求證：AEHBF；

B

【解析】因?yàn)锳D//3cAOu平面BCGfBCu平面BCGb,

所以AD//平面3CGF.

又因?yàn)镃DHG為正方形，則HD//CG,

且HDa平面BCGF,CGu平面BCGF,可得HD//平面BCGF.

ADc/TO=D,ADu平面AOHE,m)u平面ADHE,

所以平面ADHE11平面BCGF.

且平面ADHEc平面ABFE=AE,平面3CG/c平面ABFE=3廠,

所以AE//郎.

題型六：面面平行的證明

18.（2024?江西鷹潭?模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，"1=3,AB=1,四邊形488為菱形,

TT

ZABC=-,PA^^ABCD,E,F,Q分別是BC,PC,尸。的中點(diǎn).

P

⑴證明：平面EF。//平面aB；

【解析】（1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AB〃CD,

又E,F,。分別是8C,PC,PO的中點(diǎn)，

所以FQ//CD,EF//PB,故網(wǎng)2//AB,

因?yàn)镋FO平面上4B,PBu平面上4B,

所以所〃平面同理可得尸Q〃平面

因?yàn)椤闒cbQ=F,EF,尸Qu平面EF。，

所以平面EF。〃平面R4B.

19.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）如圖，在圓臺。。中，AAB瓦為軸截面，AB=2A4=4,，AA8=60,C

為下底面圓周上一點(diǎn)，斤為下底面圓。內(nèi)一點(diǎn)，4E垂直下底面圓。于點(diǎn)E,NCOF=/ER9.

C

（1）求證：平面O0C//平面A]EF；

【解析】（1）證明：由于&E垂直下底面圓。，

故AE〃OQ，AE=OQ,

OO]U平面O0C,4后<2平面0[0<^,所以AE〃平面OQC

又ZCOF=ZEFO,所以O(shè)C//EF,

OCu平面O0C,平面O0C,所以FEV/平面O0C

AEAEF=E，AE,EFu平面A,EF，所以平面O0C//平面AE尸

20.如圖，在六面體ABCDE戶中，DE//CF,四邊形ABCD是平行四邊形，DE=2CF.

(1)證明：平面ADE//平面尸.

(2)若G是棱BC的中點(diǎn)，證明：AE//FG.

【解析】(1)由，ABCD,得3C/MD,而ADu平面AED,BCu平面平面AED,則BC〃平面ABD,

由DE//CF,。尸。平面AED,DEu平面AED,得CF〃平面AED,

又BCcCF=C,BC,CFu平面BCF,所以平面ADE//平面BCF.

(2)延長所,AG與0c的延長線分別交于點(diǎn)a，

由DE//CF,DE=2.CF,得CO]=CD,由,G是棱8C的中點(diǎn)，C02=CD,

因此點(diǎn)。”。2重合，記為O,顯然平面AOEc平面=平面AOEc平面3c尸=FG,

由(1)知，平面ADE//平面3c/，所以AE7/尸G.

21.如圖，在正方體ABCD-A4CQ1中，M,N分別是AB,AC的中點(diǎn)，AB=2.

（1）若中點(diǎn)為Q,求證：平面MNQ〃平面A|A￡）；

（2）求點(diǎn)C到平面48。的距離.

【解析】（1）為AB的中點(diǎn)，〃是A3的中點(diǎn)，...M。〃的，

又MQC平面4AO,A4tu平面AAO,，知。〃平面AA。，

：N是AC的中點(diǎn)，。為A田的中點(diǎn)，.?."〃"？，

,?BC//AD,QN//AD,

???QNC平面A，AD,Mu平面AA。，二。"〃平面AA。，

QN,MQl平面MNQ,NQMQ=Q,.?.平面MAQ〃平面

（2）根據(jù)題意可得AQ=BD=A3=2直，

???S摩=；x2&x20x*=2。

SBCD=-X2X2=2,

設(shè)C點(diǎn)到面的距離為無，

根據(jù)等體積法匕一ABD=%TS可得;SBDAi-h=^SBCD'M，

：.-x2y/3h=-x2x2,解得〃=亞，

333

.?.點(diǎn)C到平面\BD的距離為2叵

3

題型七：面面平行的性質(zhì)

22.如圖，在正方體ABC。-AAG2中，作截面（如圖）交CQ,A4,AB,CD分別于E,F,G,

H,則四邊形E產(chǎn)的形狀為（）

DiEC,

A.平行四邊形B.菱形C.矩形D.梯形

【答案】A

【解析】在正方體中，可得平面ABCD〃平面A]B1G2，

且平面EFGH1平面ABCD=GH,平面EFGH1平面A4CQ=EF,

所以EF//GH,同理可證：EH//FG,

所以四邊形EFG”的形狀一定為平行四邊形.

故選：A.

23.（2024?全國?模擬預(yù)測）設(shè)%"是兩條相交直線，名夕是兩個互相平行的平面，且九〃夕，貝「加〃0”

是“加//月”的（）

A.充分不必要條件