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文檔簡介
第03講直線、平面平行的判定與性質(zhì)
目錄
01模擬基礎(chǔ)練..................................................................2
題型一:平行的判定.............................................................2
題型二:線面平行構(gòu)造之三角形中位線法...........................................3
題型三:線面平行構(gòu)造之平行四邊形法.............................................4
題型四:利用面面平行證明線面平行...............................................5
題型五:利用線面平行的性質(zhì)證明線線平行.........................................6
題型六:面面平行的證明.........................................................8
題型七:面面平行的性質(zhì).........................................................9
題型八:平行關(guān)系的綜合應(yīng)用....................................................10
02重難創(chuàng)新練.................................................................11
03真題實(shí)戰(zhàn)練.................................................................16
題型一:平行的判定
1.(多選題)(2024?遼寧?模擬預(yù)測)己知名月是兩個不同的平面,/,根是兩條不同的直線,則()
A.若lua,mu/3,a//J3,則〃B.若m〃l,m〃a,laa,貝!|/〃
C.若a_L尸,,"ua,則m_1_尸D.若ILa,m〃l,mu0,則a_L/7
2.(多選題)如圖,在長方體ABC。-中,點(diǎn)M,N,E,尸分別在棱A4,A.,B£,GR上,
且平面AACV〃平面EEDB,下列結(jié)論正確的是()
DiF
'C
A.MNEFB.EF//BD
C.AN//DFD.BE〃平面AAW
3.(多選題)已知直線/,加,平面。,尸,則下列說法錯誤的是()
A.mlH,Hla,則帆//or
B.Z///?.m///?,Z<=a,m<=<z,則(Z〃,
C.II0,則a///
D.111fl,mlIf!,lua,mua,l\rn=M,貝[]a〃4
4.設(shè)a、夕是兩個平面,m、”是兩條直線,且=下列四個命題:
①若〃z//〃,則〃〃<z或〃〃尸②若〃zJ_w,貝1|"_Lor,"J_夕
③若"〃a,且〃〃乃,貝!]④若"與a和4所成的角相等,貝隊(duì)"_1_"
其中所有真命題的編號是()
A.①③B.②④C.①②③D.①③④
題型二:線面平行構(gòu)造之三角形中位線法
5.(2024?新疆昌吉?高三校考學(xué)業(yè)考試)如圖,在正方體中,E是棱。。的中點(diǎn).
(1)證明:平面A£C;
(2)若正方體棱長為2,求三棱錐。-AEC的體積.
6.(2024?黑龍江大慶?統(tǒng)考二模)如圖所示,在正四棱錐尸-ABCD中,底面的中心為O,PD邊
上的垂線BE交線段尸。于點(diǎn)區(qū)PF=2FO.
(1)證明:EO〃平面PBC;
7.如圖,四棱錐尸—ABCO中,四邊形ABC。為梯形,AB//CD,ADJ.AB,AB=AP=2DC=4,
PB=2AD=4垃,PD=2娓,M,N分別是PD,尸2的中點(diǎn).
(1)求證:直線MN//平面ABC£);
題型三:線面平行構(gòu)造之平行四邊形法
8.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)專著,書中將底面為直角三角形,側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“墊堵”.如
圖,在墊堵A3C—A31G中,已知AC=3C,且點(diǎn)Af,N,尸分別是A3,AG,5c邊的中點(diǎn).
⑴求證:C/〃平面肱VC;
9.(2024?天津?yàn)I海新?高三校考期中)如圖,四棱錐尸-ABCD的底面是菱形,平面上底面AB8,
E,尸分別是AB,PC的中點(diǎn),AB=6,DP=AP=5,ABAD=60°.
(1)求證:E尸〃平面PA。;
TT
10.如圖,四棱臺ABCD-E尸GH的底面是菱形,且ZBAO=§,DH_L平面ABCD,EH=2,0/7=3,AD=4.
(1)求證:AE〃平面5DG;
(2)求三棱錐尸-BZX7的體積.
題型四:利用面面平行證明線面平行
11.(2024?全國?模擬預(yù)測)如圖,在多面體ABCDMP中,四邊形A38是菱形,且有NDAB=60。,
AB=DM=1,尸3=2,尸3_1_平面ABCZ>,PB//DM.
(1)求證:A"http://平面尸BC;
12.(2024?江西贛州?統(tǒng)考模擬預(yù)測)如圖,在三棱柱ABC-4局G中,側(cè)面的。。是矩形,側(cè)面
是菱形,ZB,BC=60,D、E分別為棱43、8£的中點(diǎn),下為線段QE的中點(diǎn).
(1)證明:A尸〃平面AQE;
13.(2024?上海?模擬預(yù)測)直四棱柱A8CD-44G2,ABDC,AB±AD,48=2,AD=3,DC=
題型五:利用線面平行的性質(zhì)證明線線平行
14.(2024?廣東?三模)如圖,邊長為4的兩個正三角形ABC,BCD所在平面互相垂直,E,尸分別為3C,
C。的中點(diǎn),點(diǎn)G在棱AD上,AG=2GD,直線43與平面EFG相交于點(diǎn)H.
⑴證明:BD//GH;
15.如圖,在三棱柱ABC-44G中,AC=BC,AC=AB,側(cè)面BBCC為矩形.
(1)記平面Aj8G與平面A8C交線為/,證明:AC//Z;
16.如圖,在四棱錐尸—ABCO中,AB=BD=BP=下,PA=PD=^2,NAP£>=90。,E、尸分別是棱
PA,AD的中點(diǎn),且8Er〃平面尸CD.證明:BF//CD.
17.如圖,空間六面體ABCDEFGH中,AD//BC,EH//FG,平面ABCD〃平面£FGH,C£)HG為正方形,
求證:AE//BF;
題型六:面面平行的證明
18.(2024?江西鷹潭?模擬預(yù)測)如圖,在四棱錐尸-ABCD中,PA=3,AB=2,四邊形ABCD為菱形,
JT.
ZABC=-,以,平面ABC。,E,F,。分別是8C,PC,的中點(diǎn).
(1)證明:平面跖0//平面尸.;
19.(2024?陜西安康?模擬預(yù)測)如圖,在圓臺。。中,AAB均為軸截面,AB=2A4=4,NAA8=6。,C
為下底面圓周上一點(diǎn),斤為下底面圓。內(nèi)一點(diǎn),AE垂直下底面圓。于點(diǎn)E,/COF=/ER9.
(1)求證:平面Q0C〃平面AEF;
20.如圖,在六面體A5cDE廠中,DE//CF,四邊形ABCD是平行四邊形,DE=2CF.
(1)證明:平面ADE//平面BCF.
(2)若G是棱3c的中點(diǎn),證明:AE//FG.
21.如圖,在正方體中,M,N分別是A3,A。的中點(diǎn),AB=2.
(1)若4/中點(diǎn)為。,求證:平面MNQ〃平面AAD;
⑵求點(diǎn)C到平面ABD的距離.
題型七:面面平行的性質(zhì)
22.如圖,在正方體中,作截面E/G/7(如圖)交G。,A.B,,AB,8分別于E,F,
G,H,則四邊形E尸GH的形狀為()
A.平行四邊形B.菱形C.矩形D.梯形
23.(2024?全國?模擬預(yù)測)設(shè)機(jī),〃是兩條相交直線,。,乃是兩個互相平行的平面,且"〃夕,貝廣加//"
是“加//尸”的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
24.已知正方體平面MC與平面的交線為/,貝U()
A.1〃ADB.1//B.Dc.I〃C\DD.I〃DQ
題型八:平行關(guān)系的綜合應(yīng)用
25.如圖所示,在棱長為1的正方體ABC。-A百GR中,點(diǎn)耳尸分別是棱BC,CG的中點(diǎn),尸是側(cè)面水夕瓦
內(nèi)一點(diǎn),若AP〃平面AE尸,則線段AP長度的取值范圍是()
3A/2叵D.[/,君]
4FC.
26.(2024?貴州?模擬預(yù)測)在三棱錐中,AC_L平面88,尸是43上一點(diǎn),且3AB=43尸,連
接CP與D尸,。為。尸中點(diǎn).
⑴過。點(diǎn)的平面平行于平面皿且與交于點(diǎn)M,求需
27.(2024?湖南長沙?三模)如圖,在四棱錐尸-ABCD中,X4JL平面ABCD,24=2,底面ABCD為
直角梯形,ABAD=90°,AB=2,CD=AD=X,N是尸8的中點(diǎn),點(diǎn)V,。分別在線段尸£)與”上,且
DM=AMP.AQ=juQP.
(1)若平面粉V。〃平面ABC?,求;I、M的值;
2
⑵若MQ〃平面P8C,求匕的最小值.
A
28.如圖,在四棱錐尸-ABCD中,底面ABC。是矩形,點(diǎn)分別在棱AB,尸。上,其中E是A3的中點(diǎn),
連接ME.
(1)若M為PC的中點(diǎn),求證:ME//平面PAD;
⑵若ME〃平面B4D,求點(diǎn)〃的位置.
1.(2024?四川?模擬預(yù)測)設(shè)《能為兩條不同的直線,%,%為兩個不同的平面,下列說法正確的是()
A.若4〃4,lj/ax,則/"/4
B.若,1,,2與生所成的角相等,則4//,2
Z//,2
C.若名2a2,則4,
D.若%_L_L,4,%,則/1,,2
2.(2024?四川樂山?三模)在三棱柱A5C-44G中,點(diǎn)。在棱3片上,且與旦=3a),點(diǎn)"在棱AC上,
NB
且M為AG的中點(diǎn),點(diǎn)N在直線5片上,若MN〃平面ADG,則徜=()
IV鳥
A.2B.3C.4D.5
3.(2024?山東?二模)《蝶戀花?春景》是北宋大文豪蘇軾所寫的一首詞作.其下闕為:“墻里秋千墻外道,
墻外行人,墻里佳人笑,笑漸不聞聲漸悄,多情卻被無情惱”.如圖所示,假如將墻看作一個平面,墻外的道
路、秋千繩、秋千板看作是直線.那么道路和墻面線面平行,秋千靜止時(shí),秋千板與墻面線面垂直,秋千繩
與墻面線面平行.那么當(dāng)佳人在蕩秋千的過程中,下列說法錯誤的是()
A.秋千繩與墻面始終平行
B.秋千繩與道路始終垂直
C.秋千板與墻面始終垂直
D.秋千板與道路始終垂直
4.已知平面。,力和直線加,〃,若加ua,nca,則“m//尸,〃〃尸”是“a〃夕”的()
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
5.(2024?陜西商洛?模擬預(yù)測)如圖,正三棱柱43C-A4G的底面邊長是2,側(cè)棱長是2百,M為4G
的中點(diǎn),N是側(cè)面BCC4內(nèi)的動點(diǎn),且〃平面A8G,則點(diǎn)N的軌跡的長度為()
G
A.V6B.2C.72D.4
6.(2024?貴州黔東南?二模)平面a過直三棱柱ABC-A4G的頂點(diǎn)用,平面。//平面ABC-平面々
平面即GC=,,且招二相;如,AB±BC,則A?與/所成角的正弦值為()
A.@B.變C.-D.B
2223
7.(2024?內(nèi)蒙古?三模)設(shè)a,夕是兩個不同的平面,m,/是兩條不同的直線,且a用=/貝「機(jī)/〃”
是“優(yōu)///且〃2//”的()
A.充分不必要條件B.充分必要條件
C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件
8.(2024?江西?二模)已知正方體ABCD-的棱長為4,點(diǎn)M滿足C.M=3MC,若在正方形A與GR
內(nèi)有一動點(diǎn)尸滿足BP〃平面AM2,則動點(diǎn)尸的軌跡長為()
A.4B.V17C.5D.4A/2
9.(多選題)(2024嘖州貴陽?二模)設(shè)a,6,7是三個不同的平面,友c是兩條不同的直線,在命題“ap=b,
cuy,且__________.則b〃c”中的橫線處填入下列四組條件中的一組,使該命題為真命題,則可以填入
的條件有()
A.a//B.b//Y,c//P
C.c〃/3,buyD.a//Y,c//p
10.(多選題)(2024?河南新鄉(xiāng)?三模)已知明",/為空間中三條不同的直線,a,p,7為空間中三個
不同的平面,則下列說法中正確的是()
A.若=則
B.若加ua,〃(za,則加與"為異面直線
C.若acB=l,/3cy=ca=n,且/m=P,貝
D,若加」〃7,則夕//[
11.(多選題)(2024?全國?模擬預(yù)測)在四棱錐尸-ABCD中,已知底面A8CD為正方形,平面R4B、
平面尸AD都與平面ABCD垂直,P4=2AB=2,點(diǎn)S,T分別為PAP。的中點(diǎn),點(diǎn)E在棱尸C上,貝U()
A.四邊形BCTS為等腰梯形
B.不存在點(diǎn)E,使得SE〃平面比)7
C.存在點(diǎn)E,使得AOE
D.點(diǎn)石到5。兩點(diǎn)的距離和的最小值為我
6
12.(2024?西藏拉薩?二模)如圖,正四棱錐尸-ABCD的所有棱長都為2,E為尸C的中點(diǎn),/是底面ABCZJ
內(nèi)(包括邊界)的動點(diǎn),且EM〃平面E4B,則長度的取值范圍是.
p
£
A
13.(2024?浙江?模擬預(yù)測)三棱錐A-3co的所有棱長均為2,E,尸分別為線段BC與的中點(diǎn),M,
N分別為線段AE與CF上的動點(diǎn),若MN//平面A8O,則線段長度的最小值為
14.(2024?浙江寧波?一模)在棱長均相等的四面體ABCD中,尸為棱AD(不含端點(diǎn))上的動點(diǎn),過點(diǎn)
A的平面&與平面PBC平行.若平面a與平面平面A8的交線分別為以",則列〃所成角的正弦值
的最大值為.
15.(2024?四川達(dá)州?二模)如圖,在直角梯形中,AD//BC,AB^BC,AB=3,BC=2AD=4,把
梯形ABCD繞AB旋轉(zhuǎn)至ABCR,E,F分別為AB,CC,中點(diǎn).
⑴證明:所〃平面C7AA;
7T
⑵若ZDADt=-,求點(diǎn)3到平面CDD£的距離.
16.(2024?內(nèi)蒙古赤峰?三模)如圖,在三棱臺中,和VABC都為等邊三角形,
且邊長分別為2和4,CG=2,NACG=N8Ca=90o,G為線段AC的中點(diǎn),H為線段3c上的點(diǎn),
\BH平面GGH
(1)求證:點(diǎn)X為線段BC的中點(diǎn);
(2)求三棱錐3-A1A〃的體積.
17.(2024?西藏拉薩?二模)如圖,在四棱臺A8CD-44GR中,平面ABCA,兩底面均為正方
形,AB=D1D=4,AiB1=2,點(diǎn)E在線段8。上,且上=3£?.
(1)證明:RE//平面ABC;
(2)求點(diǎn)用到平面ABq的距離.
18.(2024?陜西榆林?二模)如圖,在四棱錐尸-ABCD中,底面四邊形是邊長為亞的正方形,
AC與BD交于點(diǎn)O,底面ABC。,側(cè)棱與底面所成角的余弦值為巫.
⑴求。到側(cè)面的距離;
(2)若E為BC的中點(diǎn),尸為尸。的中點(diǎn),證明:跖//平面A2P.
㈤3
I1真題實(shí)戰(zhàn)練\\
1.(2024年北京高考數(shù)學(xué)真題)如圖,在四棱錐尸-ABCO中,BC//AD,AB=BC=\,A£>=3,點(diǎn)E在
A少上,且PE=DE=2.
(1)若歹為線段PE中點(diǎn),求證:8尸〃平面PCD.
2.(2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(文)真題)如圖,ABI/CD,CD//EF,AB=DE=EF=CF=2,
CD=4,AD=BC=y/lO,AE=2百,"為8的中點(diǎn).
(1)證明:EN//平面3C廠;
⑵求點(diǎn)V到AT比的距離.
3.(2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)如圖,在以A,B,C,D,E,尸為頂點(diǎn)的五面體中,四邊形
ABC。與四邊形ADEF均為等腰梯形,EF//AD,BC//AD,AD=4,AB=3C=EP=2,ED=M,FB=2?,
M為AD的中點(diǎn).
(1)證明:氏W//平面C£)E;
4.(2024年天津高考數(shù)學(xué)真題)已知四棱柱ABCD-4月G2中,底面ABCD為梯形,AB//CD,44,平
面ABCZ),ADJ.AB,其中AB=A4,=2,AD=DC=1.N是4G的中點(diǎn),/是D"的中點(diǎn).
(1)求證AN〃平面C4M;
5.(2024年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題)如圖,四棱錐尸-ABCD中,底面ABC。,PA=AC=2,
BC=I,AB=6.
p
(1)證明:£F〃平面ADO;
8.(2023年天津高考數(shù)學(xué)真題)如圖,在三棱臺ABC-44G中,平面
ABC,AB±AC,AB=AC=A^=1,^=1,〃■為3C中點(diǎn).,N為A2的中點(diǎn),
(1)求證:4N//平面AMG;
(3)求點(diǎn)C到平面AMG的距離.
9.(2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題)如圖,尸。是三棱錐尸-ABC的高,PA=PB,AB工AC,E是PB
的中點(diǎn).
⑴證明:OE7/平面PAC;
10.(2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(文)真題)小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動,設(shè)計(jì)了一個封閉的包裝盒,包
裝盒如圖所示:底面A3CD是邊長為8(單位:cm)的正方形,EAB^FBC,GCD,HDA均為正三角形,
且它們所在的平面都與平面A5co垂直.
(1)證明:跖〃平面AB8;
(2)求該包裝盒的容積(不計(jì)包裝盒材料的厚度).
第03講直線、平面平行的判定與性質(zhì)
目錄
01模擬基礎(chǔ)練..................................................................2
題型一:平行的判定.............................................................2
題型二:線面平行構(gòu)造之三角形中位線法...........................................3
題型三:線面平行構(gòu)造之平行四邊形法.............................................4
題型四:利用面面平行證明線面平行...............................................5
題型五:利用線面平行的性質(zhì)證明線線平行.........................................6
題型六:面面平行的證明.........................................................8
題型七:面面平行的性質(zhì).........................................................9
題型八:平行關(guān)系的綜合應(yīng)用....................................................10
02重難創(chuàng)新練.................................................................11
03真題實(shí)戰(zhàn)練.................................................................16
題型一:平行的判定
1.(多選題)(2024?遼寧?模擬預(yù)測)已知a,月是兩個不同的平面,/,根是兩條不同的直線,則(
A.若Iua,inu/3,a〃/3,則/〃機(jī)B.若m〃l,m〃a,laa,貝
C.若則D.若ILa,m〃/,mu0,則a_L£
【答案】BD
【解析】對于A項(xiàng),若lua,mu/3,a〃/3,貝心〃根或/與機(jī)異面,A項(xiàng)錯誤;
對于B項(xiàng),因?yàn)椤ā?6z,則maue,7〃〃a,且7找〃/,可得
又因?yàn)閍ua,/<za,所以/〃ar,B項(xiàng)正確;
對于C項(xiàng),當(dāng)tz_L/?,〃zua時(shí),加_1■尸或機(jī)//月或〃zu6或機(jī)與尸相交,C項(xiàng)錯誤;
對于D項(xiàng),若1La,m〃I,則〃?J_a,又mu0,所以a_L6,D項(xiàng)正確.
故選:BD.
2.(多選題)如圖,在長方體ABCO-A8IG2中,點(diǎn)M,N,E,尸分別在棱A耳,ADi-B£,G,上,
且平面AAW〃平面EFDB,下列結(jié)論正確的是()
A.MN\\EFB.EF//BD
C.AN//DFD.跖〃平面4VW
【答案】ABD
【解析】因?yàn)槠矫鍭MN〃平面£7加8,
平面ABCQi與平面EFDB和平面41W的都相交,MMEF是交線,
所以MNEF,故A正確;
因?yàn)殚L方體ABCO-AQGR,
所以平面ABGR〃平面ABCD,而平面EEDB與這兩個平行平面的都相交,
EF,BD是交線,所以所〃①),故B正確,
如圖,連接此時(shí)平面與平面ABiGA和平面A3CZ)的都相交,
D4,MF是交線,所以ZM〃MF,
而DA〃2A,=Z)[A,
所以MF〃AA,
又因?yàn)椤ㄊāˋ,
所以四邊形26明是平行四邊形,
所以板=RA,MF=DA,
所以四邊形DM是平行四邊形,
所以3尸〃AM,
因?yàn)锳MAN=A,
所以⑷V與。P不平行,
故C錯誤;
如圖,連接AE,由長方體性質(zhì)得面BCC內(nèi)〃面A4,,,
此時(shí)平面NEBA與這兩個平面的都相交,NA,EB是交線,
所以BE〃AN,
又因?yàn)锳Nu面AMN,BEU面AMN,
所以BE〃平面AMN,
故D正確.
故選:ABD
3.(多選題)已知直線平面名£,則下列說法錯誤的是()
A.mlll,llla,則
B.I/1B,m/1B,luajnua,則C〃夕
C.IUm,lua,mu。,貝[]a//?
D.I/1/3jn//)3,1ua,mua,lm=M,則a〃夕
【答案】ABC
【解析】選項(xiàng)A中,機(jī)可能在a內(nèi),也可能與。平行,故A錯誤;
選項(xiàng)B中,0與夕也可能相交,故B錯誤;
選項(xiàng)C中,a與夕也可能相交,故C錯誤;
選項(xiàng)D中,依據(jù)面面平行的判定定理可知a//月,故D正確.
故選:ABC.
4.設(shè)口、月是兩個平面,相、“是兩條直線,且e/3=m.下列四個命題:
①若7或〃“,則〃〃dr或"〃②若〃zJ_7z,則"J_a,nV/3
③若且〃〃/,貝!]〃〃/“④若"與。和£所成的角相等,則相_!_〃
其中所有真命題的編號是()
A.①③B.②④C.①②③D.①③④
【答案】A
【解析】對于①:若"ua,因?yàn)橄唷ā埃皕u,,貝I」九〃/7,
若nu0,因?yàn)?找〃〃,mua,貝5],
若〃不在a也不在戶內(nèi),因?yàn)橄唷ā埃琺ua,mcz/3,
所以M/c且〃〃夕,故①正確;
對于②:若根,〃,貝產(chǎn)與a,£不一定垂直,也有可能相交但不垂直,故②錯誤;
對于③:過直線〃分別作平面,與夕分別相交于直線“,直線b,
因?yàn)椤?/e,過直線〃的平面與平面a相交于直線a,所以〃//a,
同理可得“//》,所以。//b,
因?yàn)閍ua,buB,則a〃夕,因?yàn)閍ua,a\\P=m,則〃//加,
又因?yàn)椤?/a,則加〃〃,故③正確;
對于④:“與a和夕所成的角相等,則加和〃不一定垂直,比如:
正方體ABCD-4與G2中,平面ABCD,平面ADD^=AD,
DBi與平面所成角為/BQB,
DB,與平面ADD^所成角為/片圖,
tan/B\DB=tan.-=——■,
所以/瓦02=/用必,但。耳與仞不垂直,故④錯誤;
綜上只有①③正確.
故選:A.
題型二:線面平行構(gòu)造之三角形中位線法
5.(2024?新疆昌吉?高三校考學(xué)業(yè)考試)如圖,在正方體ABCD-A4GA中,E是棱。口的中點(diǎn).
(1)證明:BR//平面AEC;
(2)若正方體棱長為2,求三棱錐D-AEC的體積.
【解析】(1)連接3。交AC于O,連接OE,如圖,
因?yàn)樵谡襟wA3C。-A旦中,底面ABCD是正方形,則。是3D的中點(diǎn),
又E是。2的中點(diǎn),則OE是的中位線,故OEI!BD\,
又OEu面A£C,■BAZ面A£C,所以8口〃平面A£C.
(2)因?yàn)檎襟wABCD-AqG2中,平面DCG2,
所以%.的=匕-啊=京阻-4)=卜3義0以8"0=卜3以2'2=|.
6.(2024?黑龍江大慶?統(tǒng)考二模)如圖所示,在正四棱錐P-ABCD中,底面A8CD的中心為O,PD邊
上的垂線BE交線段P。于點(diǎn)RPF=2FO.
(1)證明:石。〃平面尸5G
【解析】(1)證明:如圖,延長尸。至點(diǎn)“,使FO=OM,連接MO,
'??底面ABC。的中心為。,???尸01平面458,APO±BD,
':BO=OD,ZFOB=ZDOM,
:?_FOBWDOM,
.PFPE
:.ZFBO=ZMDO:,FB〃DM,AEF//DM,
f''FM-ED
而PF=2尸O=FM,:.PE=ED,:.EO//PB,
???尸5u平面P5C,石。0平面尸5C,.I石。//平面尸BC;
M
7.如圖,四棱錐P—ABCD中,四邊形ABC。為梯形,AB//CD,ADJ.AB,AB=AP=2DC=4,
PB=2AD=4五,PD=2瓜M,N分別是尸。,P5的中點(diǎn).
D
c
(1)求證:直線MN//平面ABC。;
【解析】(1)連接3,M,N分別是尸。,尸5的中點(diǎn).
/.MN//BD,
又二肱V(Z平面ABCD,BDU平面ABCD
「?直線MN//平面ABCD
題型三:線面平行構(gòu)造之平行四邊形法
8.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)專著,書中將底面為直角三角形,側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“墊堵”.如
圖,在墊堵ABC-AAG中,已知AC=3C,且點(diǎn)M,N,P分別是AB,AG,BC邊的中點(diǎn).
(1)求證:GP//平面MVC;
【解析】連結(jié)MP,因?yàn)镸,P分別是4B,BC的中點(diǎn),
所以MP〃AC,^.MP=-AC,
2
因?yàn)辄c(diǎn)N是AG的中點(diǎn),所以NCJ/AC,且NG=《AC,
所以NCJ/M尸,且NG=M尸,
所以四邊形MPGN是平行四邊形,
所以GP//MN,
且GPN平面MNC,跖Vu平面MNC,
所以GP〃平面MNC;
9.(2024?天津?yàn)I海新?高三校考期中)如圖,四棱錐P-ABCD的底面是菱形,平面底面ABCD,
E,F分別是AB,PC的中點(diǎn),AB=6,DP=AP=5,ZR4D=60°.
(1)求證:EFH平面PAD;
【解析】(1)證明:取尸。中點(diǎn)G,連接46所,因?yàn)槭?3分別是「。,尸。的中點(diǎn),所以尸6〃8,尸3=:。,
又因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形,E是A3的中點(diǎn),所以AE〃CD,AE=ga?,
所以尸G〃AE,bG=AE,所以四邊形的'G是平行四邊形,所以跖〃/G,
又EFZ平面PAD,AGu平面PAD,所以EF〃平面MD.
.…7T
10.如圖,四棱臺ABCD-5FGF/的底面是菱形,且/BAO=1,斯_L平面ABCD,EH=2,DH=3,AD=4.
(1)求證:A£7/平面BOG;
(2)求三棱錐尸-血7的體積.
【解析】(1)連接AC交3。于點(diǎn)。,連接EG,GO,
?-幾何體ABCD-E尸GH為四棱臺,;.A,C,G,E四點(diǎn)共面,且EGu平面EFG",ACu平面ABCD,
平面EFGH//平面ABCD,EG//AC;
TT
一四邊形石/心”和A3co均為菱形,ZBAD=-,EH=2,AD=4,
:.EG=-AC=AO=Zr^3,;.四邊形AOGE為平行四邊形,/.AE//GO,
2
又GOu平面BPG,AE<Z平面BZ)G,;.AE〃平面80G.
(2)連接GE交FH于K,
Q£>〃_!_平面ABCD,平面ABCD〃平面£FG",:.DH_L平面EFGH,
又GEi平面跳G”,:.GE±DH,
GE工FH,DHcFH=H,DH,FHu平面BDHF,GEJ_平面3DHF;
四邊形ER3H為菱形,NFEH=NBAD=gEF=2,;.GK=B
^F-BDG~^G-BDF=§,BDF,GK=jX-x4x3xA/3=2A/3.
題型四:利用面面平行證明線面平行
11.(2024?全國?模擬預(yù)測)如圖,在多面體ABCDMP中,四邊形A3CD是菱形,且有NZMB=60。,
AB=DM=1,PB=2,P8_L平面ABCD,PB//DM.
(1)求證:AM//平面PBC;
【解析】(1)因?yàn)樗倪呅蜛3CD是菱形,
所以AD〃BC,
又ADN平面P3C,3Cu平面尸3C,
所以AD〃平面P3C,
因?yàn)镴PB〃DM,Mu平面PBC,DMZ平面尸BC,
所以DM//平面P3C,
又因?yàn)锳DI=">,MDu平面,
所以平面ADA/〃平面PBC,
又AMu平面AMD,
所以A"http://平面P3C.
12.(2024?江西贛州?統(tǒng)考模擬預(yù)測)如圖,在三棱柱ABC-AAG中,側(cè)面441GC是矩形,側(cè)面3BCC
是菱形,ZB,BC=60,。、E分別為棱48、4G的中點(diǎn),尸為線段GE的中點(diǎn).
A
(1)證明:AF〃平面
【解析】(1)證明:取AG的中點(diǎn)〃,連接AM、EM、FM,
因?yàn)檎?/24且9=84,故四邊形為平行四邊形,所以,AB//A旦且AB=4月,
因?yàn)椤?3的中點(diǎn),則AD〃A與且=與,
因?yàn)椤啊分別為4G、的中點(diǎn),所以,EM//4用且£70=^44,
所以,AD〃硯T且AD=EM,故四邊形ADEM為平行四邊形,所以,AM!IDE,
因?yàn)槠矫妫珼Eu平面AQE,所以,AM〃平面4。石,
因?yàn)椤啊⑹謩e為4G、GE的中點(diǎn),所以,F(xiàn)M//A.E,
因?yàn)槠矫鍭DE,AEU平面A。后,所以,F(xiàn)M〃平面
因?yàn)?AM,HV/u平面A?,所以,平面〃平面
因?yàn)锳Fu平面A/加,故AF〃平面
13.(2024?上海?模擬預(yù)測)直四棱柱A3CD-ABC。],ABDC,ABLAD,AB=2,AD=3,DC=4
(1)求證:AB〃面DCCQ;
【解析】(1)由題意得A4/RD,AB//CD,
4442<2平面。。。,。0,0)匚平面20),
AtA//平面DXCD,ABH平面DXCD
而4AAB=A,,平面AA8〃平面2cO,
又?,43u平面AAB,.?.AB〃平面DCCQ
題型五:利用線面平行的性質(zhì)證明線線平行
14.(2024?廣東?三模)如圖,邊長為4的兩個正三角形A3C,38所在平面互相垂直,E,P分別為
BC,。的中點(diǎn),點(diǎn)G在棱AD上,AG=2GD,直線AB與平面ERG相交于點(diǎn)H.
⑴證明:BDHGH;
【解析】(1)因?yàn)镋、P分別為BC、。的中點(diǎn),所以EF//BD,
又500平面£FG,EFu平面£FG,則BD〃平面跳6,
又BDu平面平面ABDc平面EBG=GH,所以BD//GH.
15.如圖,在三棱柱ABC-44G中,AC=BC,AiC=AlB,側(cè)面8片C。為矩形.
(1)記平面與平面A3c交線為/,證明:AC//1;
【解析】(1)因?yàn)樵谌庵鵄BC-430]中,AC//AQ,
由于AC<z平面ABC,4Gu平面A^G,
所以AC//平面ABC1,
又因?yàn)锳Cu平面A3C,平面ABC,平面ABC|=/,
所以ACV〃
16.如圖,在四棱錐尸—ABCD中,AB=BD=BP=5PA=PD=y[i,ZAPD=90°,E、/分別是棱外,
AZ)的中點(diǎn),且BE〃平面PCD.證明:BF//CD.
【解析】連接。,如圖,
.;E、產(chǎn)分別是24、AD中點(diǎn),
,£產(chǎn)為△”口中位線,EFIIPD.
£歹O平面PDC,PDu平面PDC,:.EFH平面PCD.
又:3£7/平面PCD,BEEF=E,BE,EFu平面EFB,
二平面EFBH平面PCD.
又,/平面ABCD1平面EFB=BF,平面ABC。「平面PCD=CD,:.BF//CD.
17.如圖,空間六面體ABCDEFG〃中,AD//BC,EH//FG,平面ABC。//平面EFG〃,COHG為正方形,
求證:AEHBF;
B
【解析】因?yàn)锳D//3cAOu平面BCGfBCu平面BCGb,
所以AD//平面3CGF.
又因?yàn)镃DHG為正方形,則HD//CG,
且HDa平面BCGF,CGu平面BCGF,可得HD//平面BCGF.
ADc/TO=D,ADu平面AOHE,m)u平面ADHE,
所以平面ADHE11平面BCGF.
且平面ADHEc平面ABFE=AE,平面3CG/c平面ABFE=3廠,
所以AE//郎.
題型六:面面平行的證明
18.(2024?江西鷹潭?模擬預(yù)測)如圖,在四棱錐尸-ABCD中,"1=3,AB=1,四邊形488為菱形,
TT
ZABC=-,PA^^ABCD,E,F,Q分別是BC,PC,尸。的中點(diǎn).
P
⑴證明:平面EF。//平面aB;
【解析】(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,所以AB〃CD,
又E,F,。分別是8C,PC,PO的中點(diǎn),
所以FQ//CD,EF//PB,故網(wǎng)2//AB,
因?yàn)镋FO平面上4B,PBu平面上4B,
所以所〃平面同理可得尸Q〃平面
因?yàn)椤闒cbQ=F,EF,尸Qu平面EF。,
所以平面EF。〃平面R4B.
19.(2024?陜西安康?模擬預(yù)測)如圖,在圓臺。。中,AAB瓦為軸截面,AB=2A4=4,,AA8=60,C
為下底面圓周上一點(diǎn),斤為下底面圓。內(nèi)一點(diǎn),4E垂直下底面圓。于點(diǎn)E,NCOF=/ER9.
C
(1)求證:平面O0C//平面A]EF;
【解析】(1)證明:由于&E垂直下底面圓。,
故AE〃OQ,AE=OQ,
OO]U平面O0C,4后<2平面0[0<^,所以AE〃平面OQC
又ZCOF=ZEFO,所以O(shè)C//EF,
OCu平面O0C,平面O0C,所以FEV/平面O0C
AEAEF=E,AE,EFu平面A,EF,所以平面O0C//平面AE尸
20.如圖,在六面體ABCDE戶中,DE//CF,四邊形ABCD是平行四邊形,DE=2CF.
(1)證明:平面ADE//平面尸.
(2)若G是棱BC的中點(diǎn),證明:AE//FG.
【解析】(1)由,ABCD,得3C/MD,而ADu平面AED,BCu平面平面AED,則BC〃平面ABD,
由DE//CF,。尸。平面AED,DEu平面AED,得CF〃平面AED,
又BCcCF=C,BC,CFu平面BCF,所以平面ADE//平面BCF.
(2)延長所,AG與0c的延長線分別交于點(diǎn)a,
由DE//CF,DE=2.CF,得CO]=CD,由,G是棱8C的中點(diǎn),C02=CD,
因此點(diǎn)。”。2重合,記為O,顯然平面AOEc平面=平面AOEc平面3c尸=FG,
由(1)知,平面ADE//平面3c/,所以AE7/尸G.
21.如圖,在正方體ABCD-A4CQ1中,M,N分別是AB,AC的中點(diǎn),AB=2.
(1)若中點(diǎn)為Q,求證:平面MNQ〃平面A|A£);
(2)求點(diǎn)C到平面48。的距離.
【解析】(1)為AB的中點(diǎn),〃是A3的中點(diǎn),...M。〃的,
又MQC平面4AO,A4tu平面AAO,,知。〃平面AA。,
:N是AC的中點(diǎn),。為A田的中點(diǎn),.?."〃"?,
,?BC//AD,QN//AD,
???QNC平面A,AD,Mu平面AA。,二。"〃平面AA。,
QN,MQl平面MNQ,NQMQ=Q,.?.平面MAQ〃平面
(2)根據(jù)題意可得AQ=BD=A3=2直,
???S摩=;x2&x20x*=2。
SBCD=-X2X2=2,
設(shè)C點(diǎn)到面的距離為無,
根據(jù)等體積法匕一ABD=%TS可得;SBDAi-h=^SBCD'M,
:.-x2y/3h=-x2x2,解得〃=亞,
333
.?.點(diǎn)C到平面\BD的距離為2叵
3
題型七:面面平行的性質(zhì)
22.如圖,在正方體ABC。-AAG2中,作截面(如圖)交CQ,A4,AB,CD分別于E,F,G,
H,則四邊形E產(chǎn)的形狀為()
DiEC,
A.平行四邊形B.菱形C.矩形D.梯形
【答案】A
【解析】在正方體中,可得平面ABCD〃平面A]B1G2,
且平面EFGH1平面ABCD=GH,平面EFGH1平面A4CQ=EF,
所以EF//GH,同理可證:EH//FG,
所以四邊形EFG”的形狀一定為平行四邊形.
故選:A.
23.(2024?全國?模擬預(yù)測)設(shè)%"是兩條相交直線,名夕是兩個互相平行的平面,且九〃夕,貝「加〃0”
是“加//月”的()
A.充分不必要條件
溫馨提示
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