第04講數(shù)列的通項(xiàng)公式

目錄

01模擬基礎(chǔ)練..................................................................2

題型一：觀察法.................................................................2

題型二：疊加法.................................................................2

題型三：疊乘法.................................................................3

題型四：形如an+1=pan+q型的遞推式............................................3

題型五：形如an+i=pan+kn+b型的遞推式........................................4

題型六：形如an+i=pan+rq11型的遞推式...........................................4

題型七：形如an+i=pa^P>0,an>0）型的遞推式...................................5

題型八：形如an+i=4型的遞推式...............................................5

題型九：形如a.2=pan+1+qan型的遞推式.........................................5

題型十：形如a.1=吧就型的遞推式..............................................6

pan+q

題型十一：已知通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)的和S"關(guān)系求通項(xiàng)問題..........................6

題型十二：周期數(shù)列.............................................................7

題型十三：前〃項(xiàng)積型...........................................................8

題型十四：“和”型求通項(xiàng).........................................................8

題型十五：正負(fù)相間討論'奇偶討論型.............................................9

題型十六：因式分解型求通項(xiàng)....................................................10

題型十七：雙數(shù)列問題..........................................................10

題型十八：通過遞推關(guān)系求通項(xiàng)..................................................11

02重難創(chuàng)新練.................................................................12

03真題實(shí)戰(zhàn)練.................................................................62

//

題型一：觀察法

1.（2024?高三.河北唐山?期中）若數(shù)列也,｝的前6項(xiàng)為1,-g,|,3，-：，則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式可以為

C.(-1)"—D.(-1嚴(yán)」一

2〃一12n-l

2.數(shù)列0.3,0.33,0.333,0.3333,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是％=()

3.數(shù)列｛g｝的前4項(xiàng)為：則它的一個(gè)通項(xiàng)公式是（）

A.—1―B.C.D.

2n—l2n+l3n-l3〃+1

4.如圖所示是一個(gè)類似楊輝三角的遞推式，則第，，行的首尾兩個(gè)數(shù)均為（）

33

565

711117

91822189

A.2nB.2〃一1C.2〃+2D.In+1

題型二：疊加法

5.己知數(shù)列｛4｝滿足％=2,a“+]-a“=2〃+2,〃eN*,則?！?.

6.畢達(dá)哥拉斯學(xué)派是古希臘哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯及其信徒組成的學(xué)派，他們把美學(xué)視為自然科學(xué)的一個(gè)組成

部分.美表現(xiàn)在數(shù)量比例上的對(duì)稱與和諧，和諧起于差異的對(duì)立，美的本質(zhì)在于和諧.他們常把數(shù)描繪成

沙堆上的沙粒或小石子，并由它們排列而成的形狀對(duì)自然數(shù)進(jìn)行研究.如圖所示，圖形的點(diǎn)數(shù)分別為1，5,

12,22____枚結(jié)規(guī)律并以此類推下去，第10個(gè)圖形對(duì)應(yīng)的點(diǎn)數(shù)為,若這些數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列｛4｝，

記數(shù)歹I[—1-7]的前〃項(xiàng)和為臬,貝IS2023=_____________.

&+i-aTj-

7.已知數(shù)列｛4｝滿足為+「氏=32("6?4*),4=3,則4=

題型三：疊乘法

8.已知數(shù)列｛4"｝中，4=1，nan+l=2(^+a2++a?)(neN*),則數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)為

9.設(shè)｛?！埃鞘醉?xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且(〃+2)““+:-"/2+2°什陷“=0(〃eN*),求通項(xiàng)公式?！?

10.(2024.四川成都?二模)在數(shù)列｛4｝中，％=1,a,T(〃22,〃eN"),則數(shù)列｛叁｝的前〃項(xiàng)和

題型四：形如每+1=pan+q型的遞推式

11.已知數(shù)列｛?！埃凉M足4=1。，%+1=3?！?2.

(1)求｛g｝的通項(xiàng)公式；

.4Z—1，、1

(2)若0=g；2吊,記數(shù)列也｝的前“項(xiàng)和為求證：

12.數(shù)列｛4｝滿足4=4%_I+3(〃N2)且4=0,則數(shù)列｛。“｝的通項(xiàng)公式是.

13.已知首項(xiàng)為2的數(shù)列｛%｝對(duì)V〃eN*滿足4+1=3為+4,則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式?！?.

14.已知數(shù)列｛為｝滿足4=1,2an+I=3an+l.

⑴求數(shù)列｛%,｝的通項(xiàng)公式；

11115

(2)證明：-+—+—+

axa2a3an2

題型五：形如每+i=pan+kn+b型的遞推式

15.記數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和為S“，若q=1,且%+1=2。"+2〃.

(1)求證：數(shù)列｛q+2〃+1｝為等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S“的表達(dá)式.

16.(2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè))在數(shù)列｛4｝中，已知4,=2。1-2〃+4(”22),。1=4.

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列｛2"/"-4"｝的前”項(xiàng)和.

題型六：形如用+1=pan+『或型的遞推式

n+2

17.已知數(shù)列｛4｝滿足：an+l=2an+2,且6=2.求凡；

18.(2024?高三?河北張家口?開學(xué)考試)已知數(shù)列｛%｝滿足％=5,且a向=3%-2"(“wN*).

求數(shù)列｛?｝的通項(xiàng)公式；

題型七：形如每+i=pa?(p>0,an>0)型的遞推式

19.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列｛g｝滿足4=1,a?=2<1(?>2),求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式.

題型八：形如每+】二熟型的遞推式

20.數(shù)列｛(/”｝中，。"+|=1￡,4=2,貝ij%=

21.已知數(shù)列｛為｝滿足4=1，g+1貝!I數(shù)歹■的前8項(xiàng)和a=

〃〃+2

22.已知數(shù)例J4=l，%+i=三:，則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式見=

題型九：形如冊(cè)+2-Pan+1+qa”型的遞推式

23.已知數(shù)列｛?！埃凉M足。?=1,a2=5,an+2=5an+1—6an.

(1)證明：｛q+「2叫是等比數(shù)列；

⑵求4.

24.已知數(shù)列｛%｝滿足4=3,a2=6,an+2=2anU+3an,求a,

題型十：形如冊(cè)+1=整型的遞推式

Mn+q

3g—4(x

25.已知％=3,an+l=——,則｛4｝的通項(xiàng)公式為___.

〃〃一,

26.在數(shù)列｛?！埃?，4=2,且。用=煞，，求其通項(xiàng)公式應(yīng).

27.已知數(shù)列｛?｝滿足4=2,。用=*弓，則%=____.

%十一

題型十一：已知通項(xiàng)公式即與前n項(xiàng)的和S”關(guān)系求通項(xiàng)問題

28.已知數(shù)列｛%｝的前w項(xiàng)和為S“，且5”="一12”.

⑴求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)令4=--------，求數(shù)列｛a｝的前11項(xiàng)和3.

4A+i

29.記數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和S"，S“=(〃+1)%-〃(〃+1).

⑴求｛凡｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)數(shù)歹!j—的前〃項(xiàng)和為.，證明：!玨＜；.

〔44+J84

30.已知數(shù)列｛為｝的前“項(xiàng)和為S,，且滿足S“=2%+2〃-l.

(1)求證:數(shù)列｛%-2｝為等比數(shù)列；

(2)已知/=吟@，求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和.

31.已知在數(shù)列｛%｝中,3=1,前“項(xiàng)和S”=

（1）求出、“3；

（2）求數(shù)列｛〃“｝的通項(xiàng)公式；

（3）設(shè)數(shù)列｛'｝的前〃項(xiàng)和為北,求人

32.（2024.浙江紹興三模）已知數(shù)列｛g｝的前w項(xiàng)和為S,,且4=2,Sn=-^-an+1,設(shè)么=盤.

n+2n

⑴求證：數(shù)列也｝為等比數(shù)列；

⑵求數(shù)列｛r｝的前"項(xiàng)和T,.

33.已知數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和為S“，且4s“=（2〃+l）a“+l.

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵已知上eN*,集合｛〃豚-l<q,<2"+l,〃eN*｝中元素個(gè)數(shù)為4,求2+仇++bk.

題型十二：周期數(shù)列

34.（2024.內(nèi)蒙古包頭.一模）已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，q=2,出=3,an+2=an+l-an,則%=.

35.（2024?上海浦東新?模擬預(yù)測(cè)）已知4=1,%=2,且a“+2=a“+i-a“（〃為正整數(shù)）,則a2023H.

36.（2024?上海普陀.模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛4｝滿足a,“用?%+,=-3，卬=-2,4=；，則數(shù)列｛4｝的前，

項(xiàng)積的最大值為

37.(2024?河北?模擬預(yù)測(cè))若數(shù)列｛?｝滿足q=si吟，=an_x-1(zi>2,MGN*),則為023

題型十三：前"項(xiàng)積型

一21,

38.(2024.福建廈門?高三廈門外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期末)7；為數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)積，且一+書=1

an4

(1)證明：數(shù)列｛4+1｝是等比數(shù)列；

(2)求｛4｝的通項(xiàng)公式.

2

39.已知數(shù)列｛4｝的前”項(xiàng)之積為2,且/+赍+…+今=2=(〃。*).

求數(shù)列加和｛叫的通項(xiàng)公式;

40.已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)積Tn=2"口⑵.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵記bn=log2an,數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)為S,,求S,的最小值.

題型十四：“和”型求通項(xiàng)

2

41.(2024?南明區(qū)校級(jí)月考)若數(shù)列他”｝滿足a“+a,貝凡=

"+1J〃+2+4n

42.（2024?青海西寧?二模）已知S"為數(shù)列｛?｝的前及項(xiàng)和，%=1,。用+2S“=2”+1,貝I]S?。?？=（

A.2020B.2021C.2022D.2024

43.已知數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和為S.，若S“M+S〃=2"2（"eN*）,且a戶0,即）=28,則%的值為（）

A.-8B.6C.-5D.4

44.數(shù)列｛4,｝滿足：Oi=0,a?+1+a?=2,求通項(xiàng).

題型十五：正負(fù)相間討論、奇偶討論型

45.已知數(shù)列｛%｝滿足：4=3”.“用=1]07€可），求此數(shù)列的通項(xiàng)公式.

an+2,〃為奇數(shù)

46.（2024?山東?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛?｝滿足q=-2,a?

+12a“+2,w為偶數(shù).

（1）求｛。2n｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列｛瑪｝的前幾項(xiàng)和為S“，且S”>25。，求"的最小值.

2a”,〃是偶數(shù),

47.（2024?湖南長(zhǎng)沙?長(zhǎng)郡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛。“｝滿足4=3,且凡十】

an-1,"是奇數(shù).

⑴設(shè)N=的“，求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)數(shù)列｛。/的前w項(xiàng)和為S”,求使得不等式S“>2023成立的n的最小值.

題型十六：因式分解型求通項(xiàng)

48.（2024?四川模擬）己知數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足（九+1）%-2?-〃=0.

（1）求4,出及｛4｝的通項(xiàng)公式;

（2）求數(shù)列｛2冊(cè)｝的前〃項(xiàng)和S..

題型十七：雙數(shù)列問題

49.已知數(shù)列｛4｝和也｝滿足q=2,伉=1,an+bn=bn+l,區(qū)出+%]=4a..則^.

“1008

117

an+l=2a"+2^"

50.（2024.上海奉賢.二模）數(shù)列｛?｝,｛或｝滿足《11111%>0,4>0.

+

4+12an2bn

（1）求證：｛巴?〃｝是常數(shù)列；

（2）若｛%｝是遞減數(shù)列，求由與4的關(guān)系;

14〃=3〃++4

51.（2024.高三.遼寧?期中）已知數(shù)列｛。"｝、也』滿足弓=2,4=1,且"-（?>2）

[4或=%+3%+4

⑴令-2,證明:匕｝是等差數(shù)列，｛4｝是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列｛?！埃鸵病沟耐?xiàng)公式；

（3）求數(shù)列｛%｝和也,｝的前"項(xiàng)和公式.

題型十八：通過遞推關(guān)系求通項(xiàng)

52.某校高一學(xué)生1000人，每周一次同時(shí)在兩個(gè)可容納600人的會(huì)議室，開設(shè)“音樂欣賞”與“美術(shù)鑒賞”的

校本課程.要求每個(gè)學(xué)生都參加，要求第一次聽“音樂欣賞”課的人數(shù)為機(jī)(400＜機(jī)＜600),其余的人聽“美術(shù)

鑒賞”課；從第二次起，學(xué)生可從兩個(gè)課中自由選擇.據(jù)往屆經(jīng)驗(yàn)，凡是這一次選擇“音樂欣賞”的學(xué)生，下一

次會(huì)有20%改選“美術(shù)鑒賞”，而選“美術(shù)鑒賞”的學(xué)生，下次會(huì)有30%改選“音樂欣賞”，用明,或分別表示

在第〃次選“音樂欣賞”課的人數(shù)和選“美術(shù)鑒賞”課的人數(shù).

(1)若“=500,分別求出第二次，第三次選“音樂欣賞”課的人數(shù)的,?3；

⑵①證明數(shù)歹式q-600｝是等比數(shù)列，并用〃表示?！?；

②若要求前十次參加“音樂欣賞”課的學(xué)生的總?cè)舜尾怀^5800,求m的取值范圍.

53.某區(qū)域市場(chǎng)中5G智能終端產(chǎn)品的制造全部由甲、乙兩公司提供技術(shù)支持.據(jù)市場(chǎng)調(diào)研及預(yù)測(cè)，5G商用

初期，該區(qū)域市場(chǎng)中采用的甲公司與乙公司技術(shù)的智能終端產(chǎn)品各占一半，假設(shè)兩家公司的技術(shù)更新周期

一致，且隨著技術(shù)優(yōu)勢(shì)的體現(xiàn)，每次技術(shù)更新后，上一周期采用乙公司技術(shù)的產(chǎn)品中有15%轉(zhuǎn)而采用甲公

司技術(shù)，采用甲公司技術(shù)的產(chǎn)品中有10%轉(zhuǎn)而采用乙公司技術(shù).設(shè)第"次技術(shù)更新后，該區(qū)域市場(chǎng)中采用

甲公司與乙公司技術(shù)的智能終端產(chǎn)品占比分別為凡和“，不考慮其他因素的影響.

⑴用%表示。向，并求使數(shù)列｛氏-可是等比數(shù)列的實(shí)數(shù)4.

(2)經(jīng)過若干次技術(shù)更新后，該區(qū)域市場(chǎng)采用甲公司技術(shù)的智能終端產(chǎn)品的占比能否達(dá)到60%以上？若能，

則至少需要經(jīng)過幾次技術(shù)更新；若不能，請(qǐng)說明理由.

54.某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn).該企業(yè)第一年年初有資金2000萬(wàn)元，將其投入生產(chǎn),

到當(dāng)年年底資金增長(zhǎng)了50%.預(yù)計(jì)以后每年年增長(zhǎng)率與第一年的相同，公司要求企業(yè)從第一年開始，每年

年底上繳資金d萬(wàn)元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn).設(shè)第〃年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為?！叭f(wàn)

元.

(1)用d表示為與〃2，并寫出%+i與〃”的關(guān)系式；

⑵求證：當(dāng)dwlOOO時(shí)，數(shù)列｛氏-2力為等比數(shù)列，并說明d＜1000的現(xiàn)實(shí)意義；

(3)若公司希望經(jīng)過5年使企業(yè)的剩余資金為4000萬(wàn)元，試確定企業(yè)每年上繳資金d的近似值(d取整數(shù)).

55.某電視頻道在一天內(nèi)有尤次插播廣告的時(shí)段，一共播放了y條廣告，第一次播放了1條以及余下的>-1

條的：，第2次播放了2條以及余下的第3次播放了3條以及余下的：，以后每次按此規(guī)律插播廣告,

OOO

在第M%>i)次播放了余下的x條.

⑴設(shè)第上次播放后余下軟條，這里a0=y,勺=。，求知與的遞推關(guān)系式.

(2)求這家電視臺(tái)這一天播放廣告的時(shí)段x與廣告的條數(shù)y.

56.治理垃圾是A地改善環(huán)境的重要舉措.去年A地產(chǎn)生的垃圾量為200萬(wàn)噸，通過擴(kuò)大宣傳、環(huán)保處理

等一系列措施，預(yù)計(jì)從今年開始，連續(xù)5年，每年的垃圾排放量比上一年減少20萬(wàn)噸，從第6年開始，每

年的垃圾排放量為上一年的75%.

(1)寫出A地的年垃圾排放量與治理年數(shù)的表達(dá)式；

(2)設(shè)4為從今年開始〃年內(nèi)的年半凈垃圾排放量，證明數(shù)列｛4｝為遞減數(shù)列；

(3)通過至少幾年的治理，A地的年平均垃圾排放量能夠低于100萬(wàn)噸？

1.(2024?西藏?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛%｝對(duì)任意％eN*滿足以9+1=2。則今出必=()

A.21012B.21013C.22024D.22025

2.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)歹(]｛“〃｝的前〃項(xiàng)和為—〃Q〃+2(〃￡N*),則工二()

A.190B.210C.380D.420

3.（2024江蘇鹽城?模擬預(yù)測(cè)）若數(shù)列｛?！埃凉M足2"%+2"-&+--+2%=4",｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，則（）

2,H=1

A.S“=《4"-4-4"T+5

Bf=3

[3心2

C.S〃=空D.S.4

〃3〃3

4.（2024.湖北黃岡?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)％=：,且滿足％=三」,^-+—+-+-+—<1000,

則滿足條件的最大整數(shù)〃=（）

A.8B.9C.10D.11

5.已知數(shù)列｛〃〃｝滿足，nan+l-(2n+2M，則-()

+CL?+^^4++^^100

A50n51-50n51

A.----B.----C.—D.—

1011019999

設(shè)正數(shù)數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為s“，且S“=g，+：｝〃eN*）,則（）

6.（2024?安徽阜陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）

A.｛4｝是等差數(shù)列B.｛S“｝是等差數(shù)列C.｛%｝單調(diào)遞增D.｛S“｝單調(diào)遞增

7.（2024?北京朝陽(yáng)?二模）北宋科學(xué)家沈括在《夢(mèng)溪筆談》中記載了“隙積術(shù)”，提出長(zhǎng)方臺(tái)形垛積的一般求

和公式.如圖，由大小相同的小球堆成的一個(gè)長(zhǎng)方臺(tái)形垛積的第一層有曲個(gè)小球，第二層有（。+1）修+1）個(gè)

小球，第三層有（a+22+2）個(gè)小球……依此類推，最底層有cd個(gè)小球，共有〃層，由“隙積術(shù)”可得這些

小球的總個(gè)數(shù)為［（2"d）a+（2d+-c+（c-a）］〃若由小球堆成的某個(gè)長(zhǎng)方臺(tái)形垛積共&層,小球

6

總個(gè)數(shù)為240,則該垛積的第一層的小球個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

8.（2024?山西?三模）已知數(shù)列｛%｝,｛bn｝對(duì)任意〃eN*均有an+x=an+bn,或包=2+2.若％=a=3,則%,=（）

A.530B.531C.578D.579

9.（多選題）（2024.四川內(nèi)江.模擬預(yù)測(cè)）甲、乙、丙、丁、戊、己6名同學(xué)相互做傳接球訓(xùn)練，球從甲

手中開始，等可能地隨機(jī)傳向另外5人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向另外5人中的1人,

如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能被接住.記第〃次傳球之后球在乙手中的概率為%.則下列正確的有

B.為等比數(shù)列

C.設(shè)第"次傳球后球在甲手中的概率為2,九<%。

10.（多選題）（2024?山東?模擬預(yù)測(cè)）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣

的一列數(shù)：1,1,2,3,5,8,13,21,....該數(shù)列的特點(diǎn)如下：前兩個(gè)數(shù)均為1,從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)

數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和.人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，若用歹表示斐

波那契數(shù)列的第"項(xiàng)，則數(shù)列｛/（〃）｝滿足：F（1）=F（2）=1,網(wǎng)"+2）=尸（〃+1）+網(wǎng)〃）.則下列說法正確的

是（）

A.F（10）=34

B.3F（n）=F（n-2）+F（n+2）（n>3）

C.F（l）+F（2）+---+F（2023）=F（2025）-l

D.[F（l）]2+[F（2）]2+---+[F（2023）]2=F（2023）-F（2024）

+b

11.（多選題）（2024.重慶?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛4｝,｛bn｝,記雹=4a2a3,。"，5“=々+仇+4+?-

11,,1

+—=］且〃=則下列說法正確的是（

Ta

nnTJ?+l

A.Tl2=12B.數(shù)列｛4｝中的最大項(xiàng)為2

C,D.S?<|

12.（2024?陜西銅川?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛?｝的前三項(xiàng)依次為2,2,3,｛%｝的前〃項(xiàng)和5"=。/+/+乙則

°2024=-

13.（2024?內(nèi)蒙古.三模）假設(shè)在某種細(xì)菌培養(yǎng)過程中，正常細(xì)菌每小時(shí)分裂1次（1個(gè)正常細(xì)菌分裂成2

個(gè)正常細(xì)菌和1個(gè)非正常細(xì)菌），非正常細(xì)菌每小時(shí)分裂1次（1個(gè)非正常細(xì)菌分裂成2個(gè)非正常細(xì)菌）.

若1個(gè)正常細(xì)菌經(jīng)過14小時(shí)的培養(yǎng)，則可分裂成的細(xì)菌的個(gè)數(shù)為.

14.（2024?上海.模擬預(yù)測(cè)）已知無窮數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S“，不等式電<0對(duì)任意不等于2的正整數(shù)”

恒成立，且6s“=&+1乂q+2）,那么這樣的數(shù)列有個(gè).

15.（2024?吉林?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且％=1,2S“=3凡+機(jī).

（1）求實(shí)數(shù)加的值和數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式;

(2)若耳=Jog3aX，求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和Tn.

16.(2024?江西宜春?模擬預(yù)測(cè))數(shù)列｛%｝滿足q+爭(zhēng)爭(zhēng)+...+券=2”.

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式;

,n

(2)若〃=一,求出｝的前〃項(xiàng)和

an

17.(2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè))記S,為數(shù)列｛4｝的前w項(xiàng)和，已知％=1,"S同-5+l)S"="+〃.

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

n

⑵若bn=+[(-D+1]2\求數(shù)列｛%｝的前In項(xiàng)和4”.

18.(2024?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測(cè))己知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛%｝前〃項(xiàng)和為S?,且2S“=an(??+1).

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

111c

⑵證明：—+—++—<2

32

19.(2024?福建泉州?模擬預(yù)測(cè))將足夠多的一批規(guī)格相同、質(zhì)地均勻的長(zhǎng)方體薄鐵塊疊放于水平桌面上，

每個(gè)鐵塊總比其下層鐵塊向外伸出一定的長(zhǎng)度，如下圖，那么最上層的鐵塊最多可向桌緣外伸出多遠(yuǎn)而不

掉下呢？這就是著名的“里拉斜塔”問題.將鐵塊從上往下依次標(biāo)記為第1塊、第2塊、第3塊......第“

塊，將前詆=1,2,3,…/)塊鐵塊視為整體，若這部分的重心在第7+1塊的上方，且全部鐵塊整體的重心在桌

面的上方，整批鐵塊就保持不倒.設(shè)這批鐵塊的長(zhǎng)度均為1,若記第“塊比第”+1塊向桌緣外多伸出的部分

(II)砥T=.(用%表示)

2.（2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）記S1,為數(shù)列｛瑪｝的前"項(xiàng)和，己知4s“=3%+4.

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式；

1

⑵設(shè)%=（-1）-nan,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和T”.

3.（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)S“為數(shù)列｛a“｝的前”項(xiàng)和，已知出=1，2S“=〃4.

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式;

anl

（2）求數(shù)列+的前"項(xiàng)和

2"

4.（2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）記S,為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，已知是公差為g的等差數(shù)

列.

⑴求也“｝的通項(xiàng)公式；

111c

（2）證明：一+—++—<2.

a

ax%n

5.（2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）記為數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和，2為數(shù)列｛Sj的前"項(xiàng)積，已

21?

知1T=2.

S,bn

（1）證明：數(shù)列他｝是等差數(shù)列;

（2）求｛%｝的通項(xiàng)公式.

6.(2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷)6知數(shù)列｛即｝，｛加卜｛，〃｝中,%="=q=tcn=an+i-an,cn+i=—^-^(neN*).

“〃+2

(I)若數(shù)列｛6〃｝為等比數(shù)列，且公比4>0,且々+3=64,求q與伍〃｝的通項(xiàng)公式；

(II)若數(shù)列｛加｝為等差數(shù)列，且公差d>0,證明：q+q++q,<l+；(〃eN*)

7.(2018年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(江蘇卷))設(shè)/eN*,對(duì)1,2,n的一個(gè)排列牡4,

如果當(dāng)SV時(shí)，有［>"貝U稱@,匕)是排列咕，"的一個(gè)逆序，排列注％的所有逆序的總個(gè)數(shù)稱為其逆序

數(shù).例如:對(duì)1,2,3的一個(gè)排列231,只有兩個(gè)逆序(2,1),(3,1),則排列231的逆序數(shù)為2.記力例為

1,2,…，〃的所有排列中逆序數(shù)為4的全部排列的個(gè)數(shù).

(1)求力(2),%(2)的值；

(2)求力(2)(〃25)的表達(dá)式(用”表示).

8.(2018年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)(新課標(biāo)I卷))已知數(shù)列｛《｝滿足。1=1,

S+I=2(〃+1)4,,設(shè)r=%.

n

(1)求々，打，4；

(2)判斷數(shù)列物/是否為等比數(shù)列，并說明理由；

(3)求｛%｝的通項(xiàng)公式.

第04講數(shù)列的通項(xiàng)公式

目錄

01模擬基礎(chǔ)練..................................................................2

題型一：觀察法.................................................................2

題型二：疊加法.................................................................2

題型三：疊乘法.................................................................3

題型四：形如an+1=pan+q型的遞推式...........................................3

題型五：形如an+1=pan+kn+b型的遞推式.......................................4

11

題型六：形如an+i=pan+rq型的遞推式..........................................4

題型七：形如an+i=pa,(p>0,an>0)型的遞推式..................................5

題型八：形如an+i=號(hào)型的遞推式..............................................5

pan+q

題型九：形如a.2=pan+1+qan型的遞推式.........................................5

題型十：形如a*1=3型的遞推式..............................................6

pan+q

題型十一：已知通項(xiàng)公式a?與前n項(xiàng)的和S"關(guān)系求通項(xiàng)問題..........................6

題型十二：周期數(shù)列.............................................................7

題型十三：前〃項(xiàng)積型...........................................................8

題型十四：“和”型求通項(xiàng).........................................................8

題型十五：正負(fù)相間討論、奇偶討論型.............................................9

題型十六：因式分解型求通項(xiàng)....................................................10

題型十七：雙數(shù)列問題..........................................................10

題型十八：通過遞推關(guān)系求通項(xiàng)..................................................11

02重難創(chuàng)新練.................................................................12

03真題實(shí)戰(zhàn)練.................................................................62

//

題型一：觀察法

1.(2024?高三?河北唐山?期中)若數(shù)列｛《｝的前6項(xiàng)為-：宗-白，則數(shù)列｛。.｝的通項(xiàng)公式可以為

%=()

C.(-1/--^-D.(-1嚴(yán)?乙

2M-12n-l

【答案】D

【解析】通過觀察數(shù)列｛例｝的前6項(xiàng)，可以發(fā)現(xiàn)有如下規(guī)律：

且奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，故用(-1)向表示各項(xiàng)的正負(fù)；

各項(xiàng)的絕對(duì)值為分?jǐn)?shù)，分子等于各自的序號(hào)數(shù)，

而分母是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，

故第"項(xiàng)的絕對(duì)值是義,

2/1-1

所以數(shù)列｛??｝的通項(xiàng)可為=(-1)向了；,

2n—l

故選：D

2.數(shù)列0.3,0.33,0.333,0.3333,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是%=()

【答案】C

【解析】數(shù)列9,99,999,9999,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是a=10"-1,則數(shù)列0.9,0.99,0.999,0.9999,

的一個(gè)通項(xiàng)公式是%=，x(10〃-1)=1-擊，則數(shù)列0.3,0.33,0.333,0.3333,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是

故選：c.

3.數(shù)列｛4｝的前4項(xiàng)為：則它的一個(gè)通項(xiàng)公式是（）

25o11

A?上1

B.-----D

2n+\-+

【答案】C

1111

【解析】將可以寫成

25o113xl-l，3x2-l，3x3-l，3x4-l'

所以｛4｝的通項(xiàng)公式為止P

故選:C

4.如圖所示是一個(gè)類似楊輝三角的遞推式，則第“行的首尾兩個(gè)數(shù)均為（）

33

565

711117

91822189

A.2nB.2n-lC.2〃+2D.2〃+1

【答案】B

【解析】依題意，每一行第一個(gè)數(shù)依次排成一列為：1,3,5,7,9,…，它們成等差數(shù)列，通項(xiàng)為2〃-1,

所以第，行的首尾兩個(gè)數(shù)均為2〃-1.

故選:B

題型二：疊加法

5.已知數(shù)列｛4｝滿足q=2,%+1-%=2附+2,九eN",則。“=.

【答案】n2+n

【解析】因q=2,%+1-%=2〃+2,"eN*,

aa

貝In=（。“—a”—1）+（”"一1一n-2）++（42—。］）+%=2+4+6+?+（2〃—2）+2n=--———-=n~+n.

故答案為：n2+n.

6.畢達(dá)哥拉斯學(xué)派是古希臘哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯及其信徒組成的學(xué)派，他們把美學(xué)視為自然科學(xué)的一個(gè)組成

部分.美表現(xiàn)在數(shù)量比例上的對(duì)稱與和諧，和諧起于差異的對(duì)立，美的本質(zhì)在于和諧.他們常把數(shù)描繪成

沙堆上的沙粒或小石子，并由它們排列而成的形狀對(duì)自然數(shù)進(jìn)行研究.如圖所示，圖形的點(diǎn)數(shù)分別為1,5,

12,22,…，總結(jié)規(guī)律并以此類推下去，第10個(gè)圖形對(duì)應(yīng)的點(diǎn)數(shù)為，若這些數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列｛4｝,

]

記數(shù)列的前〃項(xiàng)和為s〃，則82023二

_〃T

【答案】

3036

【解析】由圖知％=1,%—q=4=l+3xl,%=1+3X2,%3=1+3X3,

4,-%T=1+3(“-1),累加得勺=1+4+7++[l+3(?-l)]=^(3n-l),

所以％0=145.

]2

因?yàn)?/p>

%一〃T3n(n+l)

所以邑儂=:“_;+g_;++盛-品帝-盛〉馥

2023

故答案為：145；

3036

7.已知數(shù)列｛4｝滿足a,+-%=3"\77eN*),4=3,則氏=

【答案】

2

【解析】因?yàn)閿?shù)列｛??｝滿足a?+l-an=3用(〃eN*),

23

所以%-4=3,a3-a2=3,...,a“一%,_]=3"?2),

當(dāng)時(shí)，a〃=q+(%_q)+(%—%)■!---H(%—a，7)=3+3?+3^H---F3〃=--——；

32-3

當(dāng)〃=1時(shí)，CL=---------=3,滿足上式.

“2

綜上所述，3^_

〃2

2〃+lQ

故答案為：

題型三：疊乘法

8.已知數(shù)列｛%｝中，％=1，〃a,+i=2(q+為++%)(〃eN*),則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)為

【答案】an=n(〃eN*)

【解析】nan+}=2(q+%+...+)(T^),

???當(dāng)〃22時(shí)，(〃-1)為=2(q+%+...+4柿)②，

①-②得：叼,+]-("-1)?！?2%，即：nall+1=(n+l)a?,

%”+1

,?，

ann

出y2n

???an=a\---…----=1.不…-----?=幾，當(dāng)〃=1時(shí)，結(jié)論也成立.

%an_x1n-i

an=n(neN*).

故答案為：an=n(neN*)

9.設(shè)｛〃〃｝是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且("+2)〃〃+12-"42+2〃用％=0(〃￡Z)，求通項(xiàng)公式?！岸?/p>

2

【答案】

n(n+l)

【解析】由(〃+2)為/一〃QJ+2%討%=0(〃￡N*),得[(〃+2)an+i-nan](an+l+%)=。，

an+ln

.?a?>0,?.?4+i+Q“〉0，???(〃+2)。用_〃。“=0，工---=-

an〃+2

%%為an,123n-2n-12._

=.....-=lx—x—x—x---x----x----=-------(n>2)x,

axa2a3an_x345nn+1n(n+1)

2

又3滿足上式，.?.%=而百.

2

故答案為:

幾2

10.(2024?四川成都?二模)在數(shù)列｛?｝中，at=l,ann>2,neN1),則數(shù)列的前〃項(xiàng)和

2〃

【答案】Q

九2

【解析】令2=3,顯然因?yàn)?=〃22,〃￡N*

n/_]4T

所以「

n>2,n€N),

b4，("T)2=En>2,

所以又4=*L

%1n+1

可得….殷崇.b.

由累乘法,

bn-X

,123n-12

=lx—X—X—XX-----二〃之2,〃wN“

345n+\

顯然，當(dāng)〃=1時(shí)，4=1滿足上式,

2

所以2=

〃（幾+1）

所以北二4+4+

2n

故答案為：

題型四：形如即+1=pan+q型的遞推式

11.已知數(shù)列｛%｝滿足4=1。，4"+1=3。“-2.

⑴求｛4｝的通項(xiàng)公式；

T4”—1（\1

（2）若％=（〃+2”,記數(shù)列｛2｝的前"項(xiàng)和為力求證：Tn<~.

【解析】（1）因?yàn)?+1=3。“一2,所以%+1-1=3（為一1）,又?！?=9,

所以馬吟=3,

所以｛?！?1｝是以9為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，

所以4-1=931=3用,所以％=3向+1

3〃+i3〃

（2）由（1）知2=

213"

111111111

~\------1c2

所以為=4+4+…+%+H—I]

2（3+132+12U2+133+12（3"+13向+1

111

,又>0

2482（3n+1+l）2（3n+1+l）

所以

O

12.數(shù)列｛4｝滿足為=4%_i+3（讓2