突破03函數問題過程性學習探究型

W中考解密

函數過程性學習是一種以學生為中心設計執行函數過程性學習方法.函數過程性學習要求學生從真實世界

的基本問題出發，圍繞復雜的、來自真實情境的主題，在精心設計任務、活動的基礎上，以小組方式進行

開放性探究，并將學習結果以作品的形式表現出來，最終達到知識建構與自身能力提高.這個也是落實課

程標準中的活動建議，函數過程性學習更能有效提高學生發現問題、分析問題和解決問題的能力，此類題

可以是純函數性質探究，也可以結合幾何動點探究函數性質，屬于創新題.

田重點考向

選擇題

1.（2023?青海）生物興趣小組探究酒精對某種魚類的心率是否有影響，實驗得出心率與酒精濃度的關系如

B.酒精對這種魚類的心率沒有影響

C.當酒精濃度是10%時，心率是168次/分

D.心率與酒精濃度是反比例函數關系

2.（2021?蘭州）如圖，小明探究課本“綜合與實踐”板塊“制作視力表”的相關內容：當測試距離為時,

標準視力表中最大的“E”字高度為72.7加利，當測試距離為3機時，最大的“E”字高度為（）

----3---?

<-------5-------?

A.121.17mmB.43.62mmC.29.08mmD.4.36mm

3.（2023?晉城模擬）觀察式子：V4X9=V36=6-V4XV9=2X3=6；=J需喙，

義聆4*1■嗡；而25X604Wo.01=0.1，Vo.25XA/O.04=0.5X0.2=0.1，由

此猜想J而=4-Vb（生0,feO）.上述探究過程蘊含的思想方法是（）

A.特殊與一般B.整體

C.轉化D.分類討論

4.（2023?遷安市二模）如圖1和圖2是在數學課上甲組和乙組在探究用不同方法：過直線外一點P作直

線/的平行線，用尺規作圖保留痕跡，關于兩組的作法下列說法正確的是（）

A.甲組作法正確，乙組作法不正確

B.甲組作法不正確，乙組作法正確

C.甲組和乙組作法都不正確

D.甲組和乙組作法都正確

5.（2022?百色）活動探究：我們知道，己知兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等.如

已知AABC中，ZA=30°,AC=3,/A所對的邊為百，滿足已知條件的三角形有兩個（我們發現其中

如圖的AABC是一個直角三角形），則滿足已知條件的三角形的第三邊長為（）

6.（2023?山西模擬）數學中，常對同一個量（圖形的面積、點的個數等）用兩種不同的方法計算，從而建

立相等關系.我們把這種思想叫“算兩次”“算兩次"也稱作富比尼原理，是一種重要的數學思想.由它可

以推導出很多重要的公式.如圖，兩個直角邊分別為。，6的直角三角形和一個兩條直角邊都是c的直角

三角形拼成一個梯形，用“算兩次”的方法，探究a,b,C之間的數量關系，可以驗證的是（）

A.勾股定理B.平方差公式

C.完全平方公式D.比例的性質

7.（2023?金昌）如圖1,漢代初期的《淮南萬畢術》是中國古代有關物理、化學的重要文獻，書中記載了

我國古代學者在科學領域做過的一些探索及成就.其中所記載的“取大鏡高懸，置水盆于其下，則見四鄰

矣”，是古人利用光的反射定律改變光路的方法，即“反射光線與入射光線、法線在同一平面上；反射光

線和入射光線位于法線的兩側；反射角等于入射角”.為了探清一口深井的底部情況，運用此原理，如圖

在井口放置一面平面鏡可改變光路，當太陽光線A8與地面所成夾角NABC=50。時，要使太陽光線

經反射后剛好垂直于地面射入深井底部，則需要調整平面鏡EF與地面的夾角/E8C=（）

淮

工

卡

南

皿

板

苒

W旱

8.（2022?無錫）雪花、風車……展示著中心對稱的美，利用中心對稱，可以探索并證明圖形的性質.請思

考在下列圖形中，是中心對稱圖形但不一定是軸對稱圖形的為（）

A.扇形B.平行四邊形

C.等邊三角形D.矩形

9.（2023?德陽）在“點燃我的夢想，數學皆有可能”數學創新設計活動中，“智多星”小強設計了一個數學探

究活動；對依次排列的兩個整式相，〃按如下規律進行操作：

第1次操作后得到整式中如n,n-m；

第2次操作后得到整式中m,n,n-m,-機；

第3次操作后……

其操作規則為：每次操作增加的項，都是用上一次操作得到的最末項減去其前一項的差，小強將這個活

動命名為“回頭差”游戲.

則該“回頭差”游戲第2023次操作后得到的整式串各項之和是（）

A.m+nB.mC.n-mD.In

10.（2023?東湖區校級二模）數學小組將兩塊全等的含30。角的三角尺按較長的直角邊重合的方式擺放，

并通過平移對特殊四邊形進行探究.如圖1,其中NAOB=/C8O=30。，ZABD=ZBDC=9Q°,AB=

CD=3,將RtABCD沿射線DB方向平移，得到R38C。，分別連接AS,0c（如圖2所示），下列

有關四邊形ABC。的說法正確的是（）

A.先是平行四邊形，平移逐個單位長度后是菱形

B.先是平行四邊形，平移?個單位長度后是矩形，再平移個單位長度后是菱形

C.先是平行四邊形，平移我個單位長度后是矩形，再平移3?個單位長度后是正方形

D.在RtABCD平移的過程中，依次出現平行四邊形、矩形、菱形、正方形

填空題

11.（2023?福山區一模）3月28日電28日，我國首單以人民幣結算的進口液化天然氣（LNG）采購交易

達成，標志著我國在油氣貿易領域的跨境人民幣結算交易探索邁出實質性一步，數據顯示，2022年上海

石油天然氣交易中心天然氣雙邊交易量達到928.58億立方米.928.58億用科學記數法表示

為.

12.（2023?杭州）在“探索一次函數了=丘+6的系數％,b與圖象的關系”活動中，老師給出了直角坐標系中

的三個點：A（0,2）,8（2,3）,C（3,1）.同學們畫出了經過這三個點中每兩個點的一次函數的

圖象，并得到對應的函數表達式yi=Aix+6i，72=kxx+bj.,yi—k^x+bj,.分別計算％i+%，kz+b”后+例的值，

其中最大的值等于.

13.（2023?杏花嶺區校級模擬）我省積極探索保障糧食安全，做強精品糧油，始終堅持“藏糧于地、藏糧于

技”戰略，穩定糧食面積，提升基礎保障能力，增強科技支撐能力，牢牢把飯碗端在自己手中，某農科所

在相同條件下做某種作物種子發芽率的試驗，結果如表所示：

種子個數n10001500250040008000150002000030000

發芽種子個數m8991365224536447272136801816027300

發芽種子頻率螞08990.9100.8980.9110.9090.9120.9080.910

n

則該作物種子發芽的概率約勺.（結果保留兩位小數）

14.（2023?榆樹市校級模擬）在“探索函數>=加+笈+。的系數a,b,c與圖象的關系“活動中，師給出了直

角坐標系中的四個點A（0,2）,B（1,0）,C（3,1）,D（2,3）.同學們探索了經過這四個點中

的三個點的二次函數圖象，發現運些圖象對應的函數表達式各不相同，其中?的最大值

為.

15.（2020?安徽）在數學探究活動中，敏敏進行了如下操作：如圖，將四邊形紙片ABC。沿過點A的直線

折疊，使得點B落在CD上的點Q處.折痕為AP-,再將APC。AADQ分別沿PQ,AQ折疊，此時點C,

。落在AP上的同一點R處.請完成下列探究：

（1）的大小為°；

（2）當四邊形APCZ）是平行四邊形時，地的值為

QR

16.（2023?臨淄區一模）華羅庚說過：“復雜的問題要善于'退'，足夠地，退"‘退，到最原始而不失重要性的

地方，是學好數學的一個訣竅.”可見，復雜的問題有時要“退”到本質上去研究.如圖，已知拋物線y=

-/+2x-1的圖象與/的圖象關于直線y=x對稱，我們把探索線的變化規律“退”到探索點的變化規律上

去研究，可以得到圖象/所對應的關于x與y的關系式為x=-V+2y-1.若拋物線>=-爐+2彳-i與g

17.（2022?鋼城區）利用圖形的分、和、移、補探索圖形關系，是我國傳統數學的一種重要方法.如圖1,

BD是矩形ABCD的對角線，將△BCD分割成兩對全等的直角三角形和一個正方形，然后按圖2重新擺

放，觀察兩圖，若。=4,b=2,則矩形ABC。的面積是.

18.（2023?十堰）在某次數學探究活動中，小明將一張斜邊為4的等腰直角三角形ABC（ZA=90°）硬紙

片剪切成如圖所示的四塊（其中。，E,尸分別AB,AC,8c的中點，G,H分別為DE,8尸的中點），

小明將這四塊紙片重新組合拼成四邊形（相互不重疊，不留空隙），則所能拼成的四邊形中周長的最小

值為，最大值為.

19.（2021?大慶）已知，如圖①，若是AABC中N8AC的內角平分線，通過證明可得空=坨，同理，

ACCD

若AE是AABC中/BAC的外角平分線，通過探究也有類似的性質.請你根據上述信息，求解如下問題：

如圖②，在A48C中，BD=2,CD=3,AO是AABC的內角平分線，則的邊上的中線長/的取

值范圍是.

圖①圖②

三.解答題

20.(2023?廣西)【探究與證明】折紙，操作簡單，富有數學趣味，我們可以通過折紙開展數學探究，探

索數學奧秘.

【動手操作】如圖1，將矩形紙片ABC。對折，使與8C重合，展平紙片，得到折痕EF：折疊紙片，

使點8落在EF上，并使折痕經過點A,得到折痕AM,點8,E的對應點分別為"，￡展平紙片，連接

AB',BB',BE'.請完成：

(1)觀察圖1中/I,N2和/3,試猜想這三個角的大小關系；

(2)證明(1)中的猜想；

【類比操作】如圖2,N為矩形紙片A2C。的邊上的一點，連接BN,在AB上取一點P,折疊紙片，

使B,尸兩點重合，展平紙片，得到折痕跖；折疊紙片，使點2,P分別落在跖，BN上,得到折痕/,

點、B,尸的對應點分別為"，P',展平紙片，連接BE,Pb.請完成：

(3)證明是NNBC的一條三等分線.

（圖1）（圖2）

21.(2023?綿陽)如圖，拋物線經過AAO。的三個頂點，其中。為原點，A(2,4),D(6,0),點尸

在線段AD上運動，點G在直線AD上方的拋物線上，GF//AO,于點E,交A。于點/,A8平

分/。4。，C(-2,-4),AHLCH于點H,連接切.

(1)求拋物線的解析式及AA。。的面積；

(2)當點尸運動至拋物線的對稱軸上時，求AA切的面積;

(3)試探究段的值是否為定值？如果為定值，求出該定值；不為定值，請說明理由.

GI

22.(2023?甘孜州)如圖，在RtAABC中，AC=BC=3&，點。在AB邊上，連接C。，將CD繞點C逆時

針旋轉90。得到CE,連接BE,DE.

(1)求證：ACAD注ACBE；

(2)若AO=2時，求CE的長；

(3)點。在A8上運動時，試探究的值是否存在最小值，如果存在，求出這個最小值；如果

不存在，請說明理由.

c

23.（2023?淄博）在數學綜合與實踐活動課上，小紅以“矩形的旋轉”為主題開展探究活動.

（1）操作判斷

小紅將兩個完全相同的矩形紙片ABCD和CEFG拼成“L”形圖案，如圖①.試判斷：AACF的形狀

為.

（2）深入探究

小紅在保持矩形ABC。不動的條件下，將矩形CEfG繞點C旋轉，若AB=2,AD=4.

探究一：當點F恰好落在的延長線上時，設CG與。尸相交于點如圖②.求ACM/的面積.

探究二：連接AE,取AE的中點”，連接。H,如圖③.求線段。H長度的最大值和最小值.

24.（2023?青海）如圖，二次函數＞=-f+bx+c的圖象與x軸相交于點A和點C（1,0），交y軸于點2

(0,3).

（1）求此二次函數的解析式；

（2）設二次函數圖象的頂點為P,對稱軸與x軸交于點。，求四邊形A08P的面積（請在圖1中探索）；

（3）二次函數圖象的對稱軸上是否存在點使得是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，請求

25.（2023?鹽城）綜合與實踐

【問題情境】

如圖1,小華將矩形紙片ABC。先沿對角線8。折疊，展開后再折疊，使點8落在對角線8。上，點8

的對應點記為〃，折痕與邊AD,8C分別交于點E,F.

【活動猜想】

（1）如圖2,當點夕與點。重合時，四邊形8即尸是哪種特殊的四邊形？答：.

【問題解決】

（2）如圖3,當AB=4,AD=S,8/=3時，求證：點4,B',C在同一條直線上.

【深入探究】

(3)如圖4,當AB與8C滿足什么關系時，始終有48與對角線AC平行？請說明理由.

(4)在(3)的情形下，設AC與B。，EF分別交于點。，P,試探究三條線段AP,B'D,所之間滿足

的等量關系，并說明理由.

26.(2023?呼和浩特)探究函數y=-2|肝+4國的圖象和性質，探究過程如下:

(1)自變量x的取值范圍是全體實數，尤與y的幾組對應值列表如下：

X-2_3_-10213.2§

2222~2~2

y_5_03.m3.03_23.0.5.

2222~22

其中，m=.根據如表數據,在圖1所示的平面直角坐標系中，通過描點畫出了函數圖象的一部分，

請畫出該函數圖象的另一部分.觀察圖象，寫出該函數的一條性質；

(2)點尸是函數y=-2|肝+4田圖象上的一動點，點A(2,0),點8(-2,0),當心用B=3時，請

直接寫出所有滿足條件的點F的坐標；

(3)在圖2中，當尤在一切實數范圍內時，拋物線y=-2爐+4無交x軸于。A兩點(點。在點A的左

邊)，點尸是點。(1,0)關于拋物線頂點的對稱點，不平行y軸的直線/分別交線段。P,AP(不含端

點）于M,N兩點.當直線/與拋物線只有一個公共點時，PM與PN的和是否為定值？若是，求出此定

27.（2023?樂山）在學習完《圖形的旋轉》后，劉老師帶領學生開展了一次數學探究活動.

【問題情境】

劉老師先引導學生回顧了華東師大版教材七年級下冊第121頁“探索”部分內容：

如圖1,將一個三角形紙板AABC繞點A逆時針旋轉0到達的位置△49。的位置，那么可以得到：

AB=AB',AC^AC,BC=B，C；

ZBAC=ZB'AC,ZABC=ZAB'C,ZACB=ZAC'B'.（）

劉老師進一步談到：圖形的旋轉蘊含于自然界的運動變化規律中，即“變”中蘊含著“不變”，這是我們解

決圖形旋轉的關鍵.故數學就是一門哲學.

【問題解決】

（1）上述問題情境中“（）”處應填理由：；

（2）如圖2,小王將一個半徑為4°相，圓心角為60。的扇形紙板A8C繞點。逆時針旋轉90。到達扇形紙

板的位置.

①請在圖中作出點。；

②如果Bir=6c",則在旋轉過程中，點3經過的路徑長為；

【問題拓展】

小李突發奇想，將與（2）中完全相同的兩個扇形紙板重疊，一個固定在墻上，使得一邊位于水平位置.另

一個在弧的中點處固定，然后放開紙板，使其擺動到豎直位置時靜止.此時，兩個紙板重疊部分的面積

是多少呢？如圖3所示，請你幫助小李解決這個問題.

圖1圖2圖3

28.（2023?淮安）綜合與實踐

定義：將寬與長的比值為（〃為正整數）的矩形稱為〃階奇妙矩形.

2n

（1）概念理解：

當〃=1時，這個矩形為1階奇妙矩形，如圖（1）,這就是我們學習過的黃金矩形，它的寬（AD）與長

（CD）的比值是.

（2）操作驗證：

用正方形紙片ABC。進行如下操作（如圖（2））：

第一步：對折正方形紙片，展開，折痕為EF連接CE;

第二步：折疊紙片使C￡＞落在CE上，點。的對應點為點H,展開，折痕為CG；

第三步：過