2.1兩條直線的位置關系

第二章

相交線與平行線

第1課時

垂線學習目標1.理解兩直線位置關系中垂直的含義，會用符號表示兩直線垂直。（重點）2.能借助三角板、直尺和方格紙畫垂線；通過折紙、動手操作等活動探究歸納垂直的有關性質。（難點）（重點）課時導入同一平面上的兩條直線有哪些位置關系?復習回顧ab相交ab平行觀察下面圖形，你能找出其中相交的直線嗎？他們有什么特殊的位置關系？知識講解知識點

垂線及其性質梯子像之前那樣的圖形中，我們發現兩條相交的直線形成了90°的角。你還在生活中見過這樣的相交線嗎？十字路口垂線、垂足的定義：兩條直線相交成四個角，如果有一個角是直角，那么稱這兩條直互相垂直，其中的一條直線叫作另一條直線的垂線，它們的交點叫作垂足。通常用符號“⊥””表示兩條直線互相垂直。如下圖，直線AB與直線CD垂直，記作AB⊥CD；直線l與直線m垂直，記作l⊥m，其中，點O是垂足。ODCBAlmO思考·交流如圖，O為直線AB上的一點。（1）如果∠AOC=∠BOC，那么OC與AB垂直嗎?為什么?解：垂直。理由如下：因為∠AOC=∠BOC,且∠AOC+∠BOC=180°，所以∠AOC=∠BOC=90°，所以OC⊥AB。思考·交流如圖，O為直線AB上的一點。（2）以下是小穎的思考過程，她的想法正確嗎?你知道她每一步的依據嗎?由∠AOC=∠BOC,且∠AOC+∠BOC=180°，可得∠AOC=∠BOC=90°，所以OC⊥AB。互補的兩個角的和為180°。兩條直線相交成直角的兩條直線互相垂直。（1）你能用折疊的方法折出互相垂直的直線嗎？試試看吧！嘗試·思考（2）如果只用直尺，你能在右圖方格紙上畫出兩條互相垂直的直線嗎？嘗試·思考如何過一點作已知直線的垂線呢？1.利用三角尺。（1）一靠。（靠近已知直線）（2）二過。（過定點）（3）三畫。（畫垂線）2.利用量角器畫。3.可用折疊法。（1）如下圖，點A在直線l上，你能用三角尺過點A畫直線l的垂線嗎?你能畫出多少條？如果點A在直線l外呢?你是怎樣做的?嘗試·交流lA只能畫一條。lA也是只能畫一條。根據上面的問題，你發現了什么？同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。垂線的性質：直線外或直線上。存在性。唯一性。（2）如下圖，點P是直線l外一點，PO⊥l，點O是垂足。點A，B，C在直線l上，比較線段PO，PA，PB，PC的長短，你發現了什么？嘗試·交流lPABOC線段PO的長度最短。lAB直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短。如左圖，過點A作直線l的垂線，垂足為B，線段AB的長度叫作點A到直線l的距離。

知識點1

垂直的定義1.

（鏈接教材）如圖，直線AB，CD相交于點O.

（1）若∠AOC＝90°，則AB

⊥

CD；（2）若AB⊥CD，則∠AOC＝

∠BOC

＝

∠BOD

＝

∠AOD

＝

90

°.

⊥

∠BOC

∠BOD

∠AOD

90

課

堂

檢

測2.

如圖，CO⊥AB于點O，若∠COD＝52°，則∠BOD的度數是

（A

）A.38°B.128°C.142°D.150°A3.

（2024·北京）如圖，直線AB和CD相交于點O，OE⊥OC.

若

∠AOC＝58°，則∠EOB的度數為（B

）A.29°B.32°C.45°D.58°B4.

如圖，若CD⊥EF，∠1＝∠2，則AB⊥EF，請說明理由（補全解

題過程）.解：因為CD⊥EF，所以∠1＝

90

°（垂直的定義），所以∠2＝∠1＝

90

°，所以AB

⊥

EF（垂直的定義）.90

90

⊥

5.

如圖，直線AB與CD交于點O，MO⊥AB，垂足為O，ON平分

∠AOD.

若∠COM＝50°，求∠AON的度數.

知識點2

垂線的畫法6.

過點P作直線l的垂線CD，下面三角尺的擺放正確的是（A

）A7.

（教材P38隨堂練習T1變式）如圖，已知∠AOB，點D在射線OA上.（1）畫直線DE⊥OA；解：（1）如圖所示，直線DE即為所求.（2）畫直線DF⊥OB，垂足為F.

解：（2）如圖所示，直線DF即為所求.知識點3

垂線的性質及點到直線的距離8.

如圖，已知OA⊥m，OB⊥m，所以OA與OB重合，其理由是

（D

）A.

經過兩點有且只有一條直線B.

同一平面內，一條直線只有一條垂線C.

兩點之間，線段最短D.

同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直D9.

（2024·西安期中）如圖，小胡同學的家在點P處，他在行走速度相

同的情況下，想盡快到達公路邊AC，他選擇沿線段PB去公路邊，他這

一選擇用到的數學知識是（B

）A.

經過一點，有無數條直線B.

直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短C.

兩點確定一條直線D.

兩點之間，線段最短B10.

如圖，點A，B，C在直線l上，PB⊥l.若PA＝6

cm，PB＝5

cm，PC＝7

cm，則點P到直線l的距離是

5

cm.5

易錯點

無圖求角度問題時，因考慮不全導致漏解11.

已知直線AB與直線CD相交于點O，∠BOD＝40°.若過點O作

OE⊥AB，則∠EOC的度數為（D

）A.50°B.130°C.50°或140°D.50°或130°D

12.

P為直線MN外一點，A，B，C為直線MN上三點，PA＝5

cm，

PB＝4

cm，PC＝2

cm，則點P到直線MN的距離（D

）A.

等于4

cmB.

等于2

cmC.

小于2

cmD.

不大于2

cmD13.

【新趨勢·跨學科】如圖，平面鏡MN放置在水平地面CD上，墻面

PD⊥CD于點D，一束光線AO照射到鏡面MN上，反射光線為OB，點

B在PD上，已知∠AOC＝∠BOD.

若∠AOC＝35°，則∠OBD的度

數為（C

）A.35°B.45°C.55°D.65°C14.

如圖，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝4

cm，AC＝3

cm，AB＝5

cm.（1）點B到AC的距離是

4

cm；點A到BC的距離是

3

cm.（2）作出表示點C到AB的距離的線段，并求這個距離.

4

3

15.

（2024·西安長安區期中）如圖，已知O為直線AB上一點，∠BOC

＝110°，OC⊥OD，垂足為O，OM平分∠AOC，∠BOP＝∠DOM.

（1）求∠AOD的度數.解：（1）因為O為直線AB上一點，∠BOC＝110°，所以∠AOC＝180°－∠BOC＝70°.因為OC⊥OD，所以∠COD＝90°，所以∠AOD＝∠COD－∠AOC＝90°－70°＝20°.（2）試說明OP平分∠BOC.

15.

（2024·西安長安區期中）如圖，已知O為直線AB上一點，∠BOC

＝110°，OC⊥OD，垂足為O，OM平分∠AOC，∠BOP＝∠DOM.

（3）若改變∠BOC的度數，其余條件不變，設∠BOC＝α（90°＜α＜

180°），（2）中的結論是否依然成立？若成立，請說明理由；若不成

立，請用含α的式子表示∠COP.

15.

（2024·西安長安區期中）如圖，已知O為直線AB上一點，∠BOC

＝110°，OC⊥OD，垂足為O，OM平分∠AOC，∠BOP＝∠DOM.

小結1.垂線、垂足的定義：兩條直線相交成四個角，如果有一個角是直角，那么這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫作另一條直線的垂線。它們的交點叫作