…………○…………內…………○…………裝…………○…………內…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年外研版高三數學上冊月考試卷13考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五六總分得分評卷人得分一、選擇題(共7題，共14分)1、已知，是夾角為60°的兩個單位向量，則=2+與=-3+2的夾角的正弦值是（）A.B.-C.D.-2、將函數的圖象向右移個單位所得函數解析式是（）A.y=cos2xB.y=sin2xC.D.3、已知數列{an}中，a1=1，，猜想an的值為（）A.B.C.D.4、函數的反函數是（）A.y=e2x+1-1（x＞0）B.y=e2x+1+1（x＞0）C.y=e2x+1-1（x∈R）D.y=e2x+1+1（x∈R）5、已知，則f（3）為（）A.2B.3C.4D.56、【題文】定義平面向量之間的一種運算“☉”如下:對任意的a=(m,n),b=(p,q),令a☉b=mq-np.下面說法錯誤的是()A.若a與b共線,則a☉b=0B.a☉b=b☉aC.對任意的λ∈R,有(λa)☉b=λ(a☉b)D.(a☉b)2+(a·b)2=|a|2|b|27、【題文】已知等差數列{an}的前n項和為Sn，S4＝40，＝210，＝130，則n＝().A.12B.14C.16D.18評卷人得分二、填空題(共5題，共10分)8、已知函數f（x）=x2+bx+c滿足f（x+1）=x2+x+1，則b+c=____．9、若橢圓的一個頂點是圓x2+y2-10x+21=0的圓心，且短軸長為圓的直徑，則該橢圓的離心率為____．10、已知P為橢圓C：上的任意一點，F為橢圓C的右焦點，M的坐標為（1，3），則|PM|+|PF|的最小值為____．11、函數y=sin2x+cos4x的值域是____．12、【題文】方程的解集是____．評卷人得分三、判斷題(共5題，共10分)13、判斷集合A是否為集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．14、函數y=sinx，x∈[0，2π]是奇函數．____（判斷對錯）15、判斷集合A是否為集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．16、函數y=sinx，x∈[0，2π]是奇函數．____（判斷對錯）17、任一集合必有兩個或兩個以上子集．____．評卷人得分四、證明題(共3題，共21分)18、已知數列{an}的前n項和Sn=3n+t（n∈N*），求證：t=-1是{an}為等比數列的充要條件．19、已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，△ABC為邊長為1的正三角形，且AA1=2，D為AA1上的點，且A1D=；F為AB的中點．

（1）求證：B1D⊥A1C；

（2）求直線A1C1與平面A1CF所成交的正弦值．20、依次計算a1=2×（1-），a2=2×（1-）（1-），a3=2×（1-）（1-）（1-），a4=2×（1-）（1-）（1-）（1-），猜想an=2×（1-）（1-）（1-）（1-）結果并用數學歸納法證明你的結論．評卷人得分五、解答題(共2題，共20分)21、在平面直角坐標系中已知點A（3，0），P是圓x2+y2=1上一個動點，且∠AOP的平分線交PA于Q點，求Q點的軌跡的極坐標方程．22、過圓外一點P作圓的切線PA（A為切點），再作割線PBC與圓交于B，C．若PA=6，AC=8，BC=9，則AB=______．評卷人得分六、綜合題(共1題，共4分)23、已知點A（-1，0），F（1，0），動點P滿足?=2||．

（1）求動點P的軌跡C的方程；

（2）直線l過F交曲線C于A、B兩點，若線段AB的長為6，求l的方程．參考答案一、選擇題(共7題，共14分)1、A【分析】【分析】利用數量積的定義和性質即可得出．【解析】【解答】解：∵，是夾角為60°的兩個單位向量，∴=1，=．

∴=（2+）（-3+2）==-6+2+=-．

==，===．

∴設=2+與=-3+2的夾角為θ；

則cosθ===-．

∴sinθ==．

故選：A．2、B【分析】【分析】根據函數y=Asin（ωx+?）的圖象變換規律得出結論．【解析】【解答】解：根據函數y=Asin（ωx+?）的圖象變換規律，將函數的圖象向右移個單位所得函數解析式

是=sin2x；

故選B．3、B【分析】【分析】由a1=1，，可以求得a2=，把n=1和n=2，代入an，進行一一驗證，從而求解；【解析】【解答】解：∵數列{an}中，a1=1，，可得a2=；

A、a1==；故A錯誤；

C、a1==2cos≠1；故C錯誤；

D、a2==2sin；故D錯誤；

對于B，驗證a1=1，a2==；

故選B；4、D【分析】【分析】從條件中中反解出x，再將x，y互換，最后通過求原函數的值域的方法求反函數的定義域，即可求得反函數．【解析】【解答】解：由原函數解得

x=e2y+1+1；

∴f-1（x）=e2x+1+1；

又x＞1；∴x-1＞0；

∴ln（x-1）∈R∴在反函數中x∈R；

故選D．5、A【分析】【分析】本題考查的分段函數的函數值，由函數解析式，我們可以先計算f（5）、f（7）的值，然后經過轉換，由此可以得到f（3）值．【解析】【解答】解：由題意得：

f（3）=f（5）=f（7）

∵7≥6；

∴f（7）=7-5=2．

故選A．6、B【分析】【解析】若a與b共線,有a☉b=mq-np=0,故選項A正確;

∵b☉a=pn-qm,

而a☉b=mq-np,

∴a☉b≠b☉a,故選項B錯誤;

∵(λa)☉b=λmq-λnp=λ(mq-np)=λ(a☉b),故選項C正確;

∵(a☉b)2+(a·b)2=(mq-np)2+(mp+nq)2=(m2+n2)(p2+q2)=|a|2|b|2,故選項D正確.【解析】【答案】B7、B【分析】【解析】

試題分析：由題意，得則

則得

考點：等差數列的性質與求和公式.【解析】【答案】B二、填空題(共5題，共10分)8、略

【分析】【分析】由f（x）的解析式求得f（x+1）=x2+（b+2）x+c+1+b，再根據已知f（x+1）=x2+x+1，可得b+c的值．【解析】【解答】解：由于函數f（x）=x2+bx+c，則f（x+1）=（x+1）2+b（x+1）+c=x2+（b+2）x+c+1+b．

再根據f（x+1）=x2+x+1，則，∴b+c=0；

故答案為：0．9、略

【分析】【分析】由圓x2+y2-10x+21=0得（x-5）2+y2=4，即可得圓心為及半徑r，進而得到a，b，再利用即可得出．【解析】【解答】解：由圓x2+y2-10x+21=0得（x-5）2+y2=4，得圓心為（5，0），半徑r=2；

∴a=5，2b=4，即b=2．

∴=．

故答案為．10、5．【分析】【分析】先作出圖形來，再根據橢圓的定義得出|PM|+|PF|=2a-（|PF1|-|PM|），將|PM|+|PF|的最小值轉化為求|PF1|-|PM|的最大值，最后找到取得最值的狀態求解．【解析】【解答】解：設橢圓的左焦點為：F1

根據橢圓的第一定義|PM|+|PF|=|PM|+2a-|PF1|=2a-（|PF1|-|PM|）；

∴|PM|+|PF|取得最小值時，即|PF1|-|PM|最大；

如圖所示：|PF1|-|PM|≤|MF1|=5；

當P，M，F1共線且P在MF1的延長線上時；取得這個最大值．

∴|PA|+|PF1|的最小值為：10-5=5．

故答案為：5．11、略

【分析】

∵y=cos4x-cos2x+1

令t=cos2x∈[0；1]

∴

結合二次函數的性質可知，當t=時，函數有最小值

當t=0或1時函數有最大值1

故答案為：

【解析】【答案】由題意可得y=cos4x-cos2x+1，令t=cos2x∈[0，1]，則結合二次函數的性質可求．

12、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】____三、判斷題(共5題，共10分)13、√【分析】【分析】根據子集的概念，判斷A的所有元素是否為B的元素，是便說明A是B的子集，否則A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5?B，∴A不是B的子集；

（3）B=?；∴A不是B的子集；

（4）A；B兩集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案為：√，×，×，√．14、×【分析】【分析】根據奇函數的定義進行判斷即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定義域不關于原點對稱；

故函數y=sinx不是奇函數；

故答案為：×15、√【分析】【分析】根據子集的概念，判斷A的所有元素是否為B的元素，是便說明A是B的子集，否則A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5?B，∴A不是B的子集；

（3）B=?；∴A不是B的子集；

（4）A；B兩集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案為：√，×，×，√．16、×【分析】【分析】根據奇函數的定義進行判斷即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定義域不關于原點對稱；

故函數y=sinx不是奇函數；

故答案為：×17、×【分析】【分析】特殊集合?只有一個子集，故任一集合必有兩個或兩個以上子集錯誤．【解析】【解答】解：?表示不含任何元素；?只有本身一個子集，故錯誤．

故答案為：×．四、證明題(共3題，共21分)18、略

【分析】【分析】由等比數列通項公式和前n項和公式的關系，分充分性和必要性兩方面來證明可得．【解析】【解答】證明：（1）充分性：

當t=-1時，a1=S1=3-1=2．

當n≥2時，an=Sn-Sn-1=2×3n-1．

上式當n=1時也成立，∴==3；

即數列{an}為等比數列．

（2）必要性：當n=1時，a1=S1=3+t．

當n≥2時，an=Sn-Sn-1=3n-1．

∴==3

∵{an}為等比數列；

∴==3；

∴t=-1．

綜上所述，數列{an]為等比數列的充要條件是t=-1．19、略

【分析】【分析】（1）可取A1B1的中點E，并連接FE，根據條件可知FB，FE，FC三直線兩兩垂直，從而分別以這三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，然后可求出圖形上一些點的坐標，從而得出，的坐標，容易得出，從而證出B1D⊥A1C；

（2）可以求出向量的坐標，可設平面A1CF的法向量為，根據即可求出法向量的坐標，可設直線A1C1與平面A1CF所成角為θ，從而根據即可求出sinθ的值．【解析】【解答】解：（1）證明：取A1B1的中點E；連接EF，則：FB，FE，FC三直線兩兩垂直，分別以這三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則：

F（0，0，0），，，；

∴；

∴；

∴；

∴B1D⊥A1C；

（2），=；

設平面A1CF的法向量為；則：

；

取y=1，則x=4，z=0，∴；

設直線A1C1和平面A1CF所成角為θ；則：

=；

即直線A1C1和平面A1CF所成角的正弦值為．20、略

【分析】【分析】先計算、猜想，再利用數學歸納法進行證明．【解析】【解答】解：a1=2×（1-）=，a2=2×（1-）（1-）=，a3=2×（1-）（1-）（1-）=，a4=2×（1-）（1-）（1-）（1-）=；

猜想：an=

證明：（1）當n=1時；顯然成立；

（2）假設當n=k（k∈N+）命題成立，即ak=

則當n=k+1時，ak+1=ak?[1-]=

∴命題成立。

由（1）（2）可知，an=對n∈N+成立．五、解答題(共2題，共20分)21、略

【分析】【分析】利用角平分線的性質和三角形的面積公式即可得出．【解析】【解答】解：以O為極點；x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設Q（ρ，θ），則P（1，2θ）．

∵S△OPQ+S△OQA=S△OAP；

∴=．

化為．22、略

【分析】解：∵PA是圓的切線；PBC是圓的割線；

∴∠PAB=∠PCA；

又