5.3.2組合數及其性質問題1：組合的概念的要點是什么？

問題2：兩個組合是相同組合的充要條件是什么？只要兩個組合中的元素完全相同，不管順序如何，這兩個組合就是相同的組合.1.理解組合數的概念，能利用計數原理推導組合數公式.2.能運用組合數公式進行簡單計算.3.通過對實際問題的分析，掌握組合數的兩個性質.概念講解 從n個不同元素中取出m(m≤n且m,n∈N+)個元素的所有組合的個數，叫作從n個不同元素中取出m(m≤n且m,n∈N+)個元素的一個組合數.記作

.例如，從3個不同元素中取出2個元素的組合數表示為從4個不同元素中取出3個元素的組合數表示為問題3：從a,b,c,d這4個不同元素中取出2個元素，有多少種排法？多少種取法？第2步，將取出的2個元素進行排列，共有種排法.第1步，從a,b,c,d這4個不同元素中取出2個元素，共有種取法;因此，根據分步乘法計數原理，

從而思考：類似的，說一說計算組合數的一般化表示.該排列問題可以分解成以下2個步驟：

一般地，考慮與的關系：把“從n個不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)個元素進行排列”這件事，可以分解成以下2個步驟：第1步，從n個不同元素中取出m個元素，共有種取法;第2步，將取出的m個元素進行排列，共有種排法.因此，根據分步乘法計數原理，我們得到“從n個不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)個元素進行排列”共有種排法，即.概念生成規定

從n個不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)個元素的組合數為上述這個公式叫作組合數公式.例1：計算：(1)

；(2)

.(2)解：(1)

分析：在具體計算時，應用組合數的連乘公式計算.思考：通過例1和例2，可以發現三組相等的組合數：他們之間有什么共同特點？你能得出什么結論？共同特點：(1)兩個組合數的下標相同；

(2)兩個上標的和等于下標.猜想：

滿足2個特征的組合數

思考：試證明證明：因此組合數性質1：(1)反映了組合數的對稱性；(2)在計算組合數時，當

時，將計算

轉化為計算

會更加簡便.概念生成問題4：從10名普通戰士和1名班長中選出5名參加軍事比武大賽.（1）共有多少種方案？（2）班長被選中的方案有幾種？（3）班長沒被選中的方案有幾種？解：（1）選擇方案共有種.（2）班長被選中的選擇方案共有種.（3）班長沒被選中的選擇方案共有種.思考：在整個選派過程中，班長要么被選中，要么不被選中，對比（1）你發現了什么？你能猜想得出一般性的結論嗎？發現：

猜想：通過構造下面的情境來說明猜想：猜想的左邊表示：從(n+1)個不同的小球中取出m個小球的組合數.現將這(n+1)個小球看成n個紅球和1個黑球，從中取出m個球.所有取法可以分成以下2類：第1類，不取黑球，從n個紅球中，取出m個球，方法數為;第2類，取出1個黑球和(m-1)個紅球，因此，取出的方法數相當于從n個紅球中，取出(m-1)個球，方法數為

.因此，根據分類加法計數原理，共有

種取法.由此，我們得到：組合數性質2：注：(1)體現了“含”與“不含”的分類思想；(2)下標相同而上標差1的兩個組合數之和，等于下標比原下標多1而上標與大的相同的一個組合數.概念生成2.若

,求n的值.解：因為

,即

,所以n+1=7+8,即n=14.練一練

解：由