相交線與平行線的判定

知識梳理

1.對頂角

(1)兩條直線相交成四個角，其中不相鄰的兩個角叫作對頂角.

(2)性質：對頂角相等；相鄰的兩角互補；相鄰兩角的平分線互相垂直.

2.垂直

(1)兩直線相交所得的角中有一個角為直角時，這兩條直線互相垂直.

⑵過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

(3)垂線段最短.

3.平行線

(1)定義：在同一個平面中，不相交的兩條直線叫作平行線.

(2)表示方法:用符號“〃”表示.如直線AB和CD平行，記作AB〃CD(或CD〃AB),讀作“AB平行于CD”(或者CD

平行于AB).

(3)平行的傳遞性：如在同一平面內，兩條直線分別與同一條直線平行，則這兩條直線也互相平行.

4.平行線的判定(區別平行線與相交線)

⑴由角證明：證明兩直線平行時，常通過添加輔助線，將已知圖形轉化為“三線八角”的基本圖形再利用以下

角的關系，來判斷是否平行：①同位角相等，兩直線平行；②內錯角相等，兩直線平行；③同旁內角互補，兩直

線平行.

⑵由兩直線位置關系的確定：在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行.

典型例題

例1

如圖14-1所示，直線/1,以13交于點o,圖中出現了幾對對頂角，若n條直線相交呢?分析識別圖中的對頂角

應從這個較復雜的圖形中分解出三個基本圖形(即定義圖形),如圖14-2所示,即直線AB,CD相交于點O;直線AB,E

F相交于點O;直線CD,EF相交于點O.由于兩條直線相交組成對頂角，所以上述圖中共有6對對頂角.

解如圖14-2所示.圖中共有6對對頂角，它們是:/AOC和/BOD,NAOD和NBOC,/AOF和/BOE,/AOE

和ZBOF,ZCOF和ZDOE,ZCOE和ZDOF.

因為兩條直線相交于一點，會出現2x(2-1)=2對對頂角，

三條直線相交于一點，會出現3x(3-l)=6對對頂角，

四條直線相交于一點，會出現4x(4-l)=12對對頂角，

所以依此類推，n條直線相交于一點有nx(n-l)對對頂角.

例2

如圖14-3所示,ACLBC于點C,CD±AB于點D,DE，BC于點E,試比較四條線段DE,DC,AC,AB的大小.

分析分別根據垂線段最短依次進行判斷，然后按照從小到大的順序排列即可.

解因為AC±BC,

所以AC<AB,

因為CDXAB,

所以DC<AC,

因為DE_LBC,

所以DE<DC,

所以DE<DC<AC<AB.

例3

如圖14-4所示，直線AB,CD被直線EF所截，請添加一個條件，使AB〃CD.

分析根據平行線的判定定理：當滿足同位角相等或內錯角相等或同旁內角互補的條件時兩直線平行，可得答

案，故此題答案不唯一.

解Zl=Z2;Z4=Z3;Z4+Z2=180°

圖14-4

例4

如圖14-5所示,已知:/ABE+/BED+/EDC=360。,求證:AB〃CD.

分析要證明兩條直線平行，就要尋找第三條直線與這兩條相交，如果沒有就添加輔助線.

方法一利用角的關系確定：

如圖14-6所示，連接BD.尋找/ABD與/BDC之間的關系.

方法二利用直線位置關系確定：

圖14-6圖14-7

如圖14-7所示，作EF〃AB,尋找EF與DC之間的關系.

解方法一連接BD,

由三角形內角和可得/EBD+/BED+NEDB=180。，

因為ZABE+ZBED+ZEDC=360°

所以NABD+/BDC=180°

所以AB//CD.

方法二作EF〃AB

由EF〃AB彳導,NABE+NBEF=180。，

又因為/ABE+/BED+/EDC=360。，

所以NFED+/EDC=180。，

所以EF〃DC

所以DC〃AB

雙基訓練

1.兩條直線相交所成的四個角中，下列說法正確的是（）.

A.一定有一個銳角B.一定有一個鈍角

C.一定有一個直角D.一定有一個不是鈍角

2.平面內三條直線的交點個數可能有（）.

A.1個，或3個B.2個，或3個

C.1個或2個或3個D.0個，或1個，或2個，或3個

3.如圖14-8所示，下列判斷中錯誤的是（）.

A.^A+/-ADC=180°=>XB||CDB.N1=N2今AD〃BC

C.ZABC+ZC=180°=>AB/7CDD.N3=/43AD〃BC

圖14-8圖14-9

4.如圖14-9所示，直線AB與直線CD相交于點0,點E是/AOD內一點，已知OE，AB,/BOD=45oW/COE

的度數是（）.

A.125°B.135°C.145°D.1550

5.如圖14-10所示,NA=135o,NB=45。在下面的說法中，一定正確的是（）.

A.AD〃BCB.AB〃CD

C.ZC=135°,ZD=45°D.ZC=45°,ZD=135°

圖14-10

6.如圖14-11所示CALBE于點A,AD±BF于點D,下列說法正確的是（）.

A.a的余角只有/BB.a的鄰補角是/DAC

C./ACF是a的余角D.a與/ACF互補

7.下列說法正確的個數有（）.

①AB=BC則點B是線段AC的中點；

②過兩點有且只有一條直線；

③同一平面內，過一點有一條而且僅有一條直線垂直于已知直線；

④連接兩點的線段叫作這兩點之間的距離.

A.1個B.2個C.3個D.4個

8.如圖14-12所示，點E是AB上一點，點F是DC上一點點G是BC延長線上一點若/AEF=NEFC,/A=/BC

D,則可得到的平行結論是（）.

A.AD〃EF,AB〃CD

B.AB〃CD,EF〃BG

C.AD〃EF,BC〃EF

D.AD〃BG,AB〃CD

圖

9.平面內，如果ABL,ACL,且點A在直線1上.則下列結論成立的是（）.14-12

A.AC〃ABB.點B,C在1同側

C.點B,C在1兩側D.點B,C在同一直線上

10.如圖14-13所示點P在直線1外點A,B,C,D在直線1上,PCL于點C,則點P到直線1的距離為（）.

A.線段PA的長B.線段PB的長

C.線段PC的長D.線段PD的長

1L如圖14-14所示，直線AB,CD,EF交于點O.

⑴ZCOE的對頂角是____.

(2)ZAOF的對頂角是.

(3)ZBOF的鄰補角是.

(4)ZBOE的鄰補角是.

12.如圖14-15所示:

(1)如果已知/1=/E,那么可判斷AC〃理由是

⑵如果已知/2=/A,那么可判斷AB〃，理由是一

⑶如果已知/B=N3.那么可判斷—//—，理由是—

13.如圖14-16所示，已知AB,CD,EF相交于點O,EF，AB,OG為/COF的平分線QH為NDOG的平分線，若/A

OC:/COG=4:7廁/GOH=.

圖14-15圖14-17

14.如圖14-17所示，點E在直線DF上點B在直線AC上若NEHF=/AGB,/DBC=NDEH,則/A=/F,請

說明理由.

解:因為/EFH=/AGB(.

ZAGB=Z(對頂角相等)，

所以NEFH=NDGF,

所以BD//CE,

所以/DBC+/C=180。兩直線平行，同旁內角互補.

又因為/DBC=NDEH(已知)，

所以NDEH+/=180。，

所以//—(同旁內角互補，兩直線平行),

所以NA=NF.

15.如圖14-18所示AD〃BC,NBAD=/BCD,那么直線AB與CD平行嗎？請說明理由.

圖14-18

16.如圖14-19所示,/1=47。,/2=47。,/口=47。,那么BC與DE平行嗎？AB與CD呢?為什么?

圖14-19

17.如圖14-20所示,AB〃CD,NB+/D=180。廁BC與DE平行嗎？為什么?

18.如圖14-21所示,△ABC中,AB=4C,點D是CA延長線上的一點，且乙B=/DAM.求證:AM〃BC.

圖14-21

19如圖14-22所示,/1=NC,N2+ND=90°,BE±FD于點G.試證明:|CD

圖14-22

20.如圖14-23所示，觀察圖并回答問題：若使AD〃:BC,需添加什么條件(要求：至少找5個條件).

能力提升

21.下列說法正確的有().

(1)兩直線被第三直線所截，若同位角相等，則同旁內角相等

⑵兩直線被第三直線所截，若內錯角的角平分線平行，則這兩直線平行

(3)兩直線被第三直線所截，若同旁內角不互補，則內錯角也不相等

(4)在同一平面內，兩直線同時垂直同一條直線，則這兩直線也互相垂直

A.1個B.2個C.3個D.4個

22點P為互相垂直的直線a,b外一點，過點P分別畫直線城,使c〃a,dJ_a，那么下列判斷中正確的是().

A.c〃bB.c〃dC.bXcD.b±d

23.如圖14-24所示點D在AC上點E在AB上，且BDLCE,垂足為點M.下列說法:①BM的長是點B到CE的

距離;②CE的長是點C到AB的距離;③BD的長是點B到AC的距離；④CM的長是點C到BD的距離.其中正確

的是—（填序號）.

24.如圖14-25所示,NABC=13（F,AB，MN于點F,Na=40。..請你判斷直線MN與1的位置關系并證明你的結

論.直線MN與1的位置關系是—.

25.如圖14-26所示若Z1:Z2:Z3=2:3:4,zXFF=60°,ABDE=120。廁圖中平行的直線有.

26.如圖14-27所示,AB〃CD,/l=/2,/3=N4,試說明.4D||BE.

圖14-27

27.如圖14-28所示，已知zl+N2=180°,Z.B=NDEF,,求證:DE\\BC.

圖14-28

28.如圖14-29所示，已知DF\\AC,乙C=KD,判斷CE與BD的位置關系并說明理由.

圖14-29

29.如圖14-30所示AB〃CD,N1=/2,BE與CF平行嗎？為什么?

圖14-30

30.如圖14-31所示,已知點A,D,B在同一直線上,Nl=42,N3=NE,求證：DE〃BC.

圖14-31

拓展資源

31.如圖14-32所示，點D在AC上點F.G分別在AC,BC的延長線上,CE平分乙ACB交BD于點O,且乙E0D+

乙OBF=180。,NF=NG.DG;和CE平行嗎?請說明理由.

圖14-32

32.如圖14-33所示，在書寫藝術字時，常常運用畫平行線段這種基本作圖方法，此圖是在書寫字母“M”：

(1)請從正面，上面，右側三個不同方向上各找出一組平行線段，并用字母表示出來.

(2)EF與4夕有何位置關系？CC'與DH有何位置關系？

圖14-33

33.(1)如圖14-34(a)所示，如果zS+zF+ZD=360。,,那么AB,CD有怎樣的關系?為什么?

(a)(b)

圖14-34

解:過點E作EF//AB①，如圖14-34(b)所示，

貝!!/ABE+/BEF=18(F,()

因為乙ABE4-乙BED+乙EDC=360°()

所以NFED+NEDC=(等式的性質)

所以FE〃CD(2)()

由①，②得AB//CD().

⑵如圖14-35⑹所示當滿足條件時，有AB〃CD.

⑶如圖14-35(d)所示，當NB,NE,/F,ND滿足條件___時有AB〃CD.

圖14-35

34.四邊形ABCD中,/B=/D=9(T,AE,CF分別是/BAD和4CB的內角平分線和外角平分線，

(1)如圖14-36(a),(b),(c)所示,請分別寫出各圖中的AE與CF的位置關系；

圖14-36

⑵選擇其中一個圖形，證明你得出的結論.

35.實踐與操作：在課堂上，李老師和同學們探究了與三角形面積相關的問題.如圖14-37所示，已知點A,B

同在直線a上，點G,在直線a的同一側.

(1)過點Q畫GM128,垂足為點M,過點金畫C2N148,,垂足為點N;

(2)用圓規比較QM,C?N的大小；

(3)試問三角形GAB面積和三角形C2aB面積是否相等?為什么？

(4)連接C42,問AB與是否互相平行?(用直尺和三角板畫平行線的方法加以校驗)

(5)在與點Ci,C?的同一側，畫三角形的人民三角形C1&B,并使三角形。34艮三角形C4AB面積都與三角形

CMB面積相等；通過以上畫圖，問點。3,同在直線QC2上嗎？

(6)當三角形有一個頂點在直線的。2上運動時，它和點A,B一起構成的三角形面積是否有變化？

圖14-37

1.D2.D3.D4.B5.A6.D7.B8.D9.D10.C

11.ZDOF,ZBOE,ZAOF和NBOE,NAOE和NBOF.

12.（1）DE,同位角相等,兩直線平行；

（2）CD,內錯角相等，兩直線平行；

（3）AB//CD,同位角相等.兩直線平行.

13.72.5°

14.已知條件；ZDGF；同位角相等，兩直線平行；C；DF；AC；兩直線平行,內錯角相等.

15.直線AB與CD平行.理曲因為AD〃BC,所以NBAD=NEBC,因為/BAD=NBCD,所以NEBC=/BCD,所以

AB/7CD.

16.BC〃DE,AB〃CD.理曲因為Nl=47。,/2=47。,/D=47。,所以Nl=z2,z2=乙D,,所以BC〃DE,AB〃CD.

17.BC與DE能平行.理曲因為AB〃CD,所以/B=/C（兩直線平行，內錯角相等）.

又因為NB+/D=180。（已知），所以/C+ND=180。（等量代換），所以BC〃DE（同旁內角互補，兩直線平行）.

18.因為AB=AC,所以/B=NC,因為NB=NDAM,所以NC=/DAM,所以AM\\BC.

19.因為BEXFD于點G,所以Nl+ND=90。,因為N1=NC,所以/C+ND=90。,因為N2+/D=90。,所以NC=N2,

所以AB//CD.

20./ADB=/DBG,理由:內錯角相等,兩直線平行；

/HCB=NHDA,理由:同位角相等兩直線平行；

/DAC=/ACB,理由:內錯角相等,兩直線平行；

NEAD=NEBC,理由:同位角相等,兩直線平行；

NADG+NBCD=180。,理由:同旁內角互補.兩直線平行.

21.B22.C23.①④24.平行

25.AB〃DE,EF〃CB.

26.因為AB〃CD,所以/1=/6,因為/1=/2,/3=/4,所以/3+/6=/4+/2,因為/4=/5,所以N3+/6=/2+

N5,因為N2+N5+ND=180。,所以/3+N6+ND=180。,即/BCD+ND=180。,所以AD/7BE.

27.因為/2與/3是對頂角，所以N2=N3,因為/1+/2=180。,所以/1+/3=180。,所以BD〃EF,所以NB=NEFC,

因為/B=/DEF,所以NEFC=/DEF,所以DE〃BC.

28.CE〃:BD.理由:因為DF〃AC,所以/C=/CEF,因為/C=/D,所以/D=/CEF,所以CE/7BD.

29.平行.理由:因為AB〃CD（已知），所以/ABC=/BCD（兩直線平行，內錯角相等）:又/1=/2,所以NABC-/1=

NBCD-/2.即/EBC=NBCF,所以BE〃CF（內錯角相等，兩直線平行）.

30.因為/l=/2,/AOE=/COD（對頂角相等），所以在^AOE和小COD中,/CDO=/E（三角形內角和定理）;因

為/3=NE,所以/CDO=/3,所以DE〃:BC（內錯角相等，兩直線平行）.

31.DG和CE平行理由:因為NEOD=NBOC,NEOD+/OBF=180。,所以N80C+乙OBF=180。,所以EC〃BF,

所以NECD=NF.又因為CE平分/ACB,所以NECD=NECB.又因為/F=NG,所以NG=NECB.所以DG〃CE,即DG

和CE平行.

32.⑴正面:AB〃EF;上面:A'B'〃AB;右側:DD〃:HR.

(2)EF〃A，B',CC'_LDH.

33.(1)兩直線平行，同旁內角互補；已知；180。；同旁內角互補，兩直線平行；平行線的傳遞性.

(2)/l+N3=N2.(3)/B+/E+/F+/D=540°.

34.(1)如答圖14-l(a)所示，圖中AE//FC;

如答圖14-I(b)所示，圖中AE〃FC;

如答圖14-I(c)所示，圖中AE1FC.

答圖14-1

⑵如答圖141(a)所示:

因為NBAD+NBCD=Nl+N2+N3+N4=360O—(NB+ND)=360O—180o=180。,又因為AE,CF分別是/BAD和

ZDCB的內角平分線，

所以.Nl+N3=+亞8(70=[(NBAD+NBCD)=Tx180。=90°

又因為NB