一線三等角模型

知識聚焦

以A,B為頂點的N1,Z2有一邊在同一直線AB上,另一邊在直線的同側，點P在直線AB上，以P為頂

點作N3,其兩邊所在的直線與Nl,N2的另一邊所在直線交于點C,D,且/1=N2=N3.

1.當點P在線段AB上,且/3兩邊在AB同側時.

⑴如圖1,若/I=90。,則有△ACP^ABPD.

圖1

注：此圖也叫做一線三垂直模型.

(2)如圖2若/I為銳角，則有△ACP-ABPD.

APB

圖2

證明:?；NDPB=180°—N3-NCPA,NC=18O°-N1-NCPA,N1=N3,

/.ZC=ZDPB.

VZ1=Z2,AACP^ABPD.

(3)如圖3,若/I為鈍角，則有△ACP-ABPD.

圖3

2.當點P在AB的延長線上，且/3兩邊在AB同側時.

如圖4,則有△ACP^ABPD.

D

圖4

證明：4DPB=180°-Z3-zCP4,ZC=180°-Zl-ZCPA,Zl=Z3,

NC=/DPB.

?/N1=N2=ZPBD,AACP^ABPD.

3.當點P在BA的延長線上，且/3兩邊在AB異側時.

如圖5,則有△ACP^ABPD.

圖5

證明:,.,/C=Nl-NCPB,NBPD=/3-/CPB,Nl=N3,

ZC=ZBPD.

VZ1=Z2,

ZPAC=ZDBP,△ACP^ABPD.

注：在上述圖形中，若PC=PD，則有△ACP^ABPD.

典例精講

例1如圖在APMN中,PM=PN,PMUN,點P在y軸上，點M在x軸上,N(2,—2)廁點M的坐標是()

2.(-2&,0)B.(-2V3-0)

C.(-2V5-0)D.(-4,0)

分析過點N作NDLy軸于點D,證明△MOP^APDN,由全等三角形的性質求得OM的長度，即可得出答

案.

解答如圖，過點N作ND±y軸于點D,

VN(2,-2),

.?.OD=2,DN=2.

VPMXPN,

，ZMPN=90°,即ZMPO+ZDPN=90°.

ZDPN+ZPND=90°,

.\ZMPO=ZPND.

又：ZMOP=ZPDN=90°,PM=PN,

.,.AMOP^APDN,

/.OP=DN=2,

.?.OM=PD=OP+OD=4,

.\M(-4,0).

故選D.

例2如圖，點A的坐標為(0,2),點B是x軸正半軸上的一點,將線段AB繞點A按逆時針方向旋轉60。得到

線段AC.若點C的坐標為(m,3),則m的值為()

分析延長AC至點D,使CD=AC,連結BC,BD,作DE±x軸于點ABC為等邊三角形,/ABD=90。點D的

坐標為(2m,4).由4DEBs^BOA,求出BE和OB的長，即可得出m的值.

解答如圖，延長AC至點D,使CD=AC,連結BC,BD,作DELx軸于點E,

:點A的坐標為(0,2),點C的坐標為(m,3),

.??點D的坐標為(2m,4).

由旋轉彳導AB=AC,/BAC=60。，

.".△ABC是等邊三角形，

BC=AC=CD,ZACB=ZABC=60°,

ZCBD=ZCDB=30°,

ZABD=90°.

ZDEB=ZBOA=90°,ZDBE=^BAO=90°-乙ABO,

ADEB^ABOA,

...絲=處=即上=里=a,

OBOABAOB2

：.0B=竽,BE=2V3,

._4V3,_10V3

??Z/71——-------rZv3——---------,

33

5A/3

.?.m=——.

3

故選c.

例3如圖在△ABC中，點P是邊BC的中點，點D,E分別在邊AB,AC上.若NB=/C=ZDPE=45°,BC=4V2,C

E=3,求DE的長.

分析根據△BDP-ACPE得出比例式求出BD的長，在等腰直角三角形ABC中求得AC=AB=4;再在直角小A

DE中用勾股定理求出DE的長.

解答?/ZDPC=ZBDP+ZB,ZB=ZC=ZDPE=45°,

.*.45°+ZEPC=ZBDP+45°,

ZEPC=ZBDP.

,/ZB=ZC,

ABDP^ACPE,

BD_BP

?'CP-CE"

:點P是邊BC的中點，

BP=CP=2V2.

VCE=3,

.?.隼=型，則BD=±

2V233

NB=NC=45。，

???NA=180°一乙B—〃：=90。，

二?AC=AB=4,

4

/.AD=AB-BD=-AE=AC-CE=1.

3f

在RtAADE中,DE=yjAD2+AE2=

例4【基礎鞏固】

⑴如圖l,NABC=NACD=NCED=ot,求證:△ABC^>ACED.

【嘗試應用】

(2)如圖2,在菱形ABCD中,NA=60。點E,F分別為邊AD,AB上兩點，將菱形ABCD沿EF翻折，點A恰好落在對

角線DB上的點P處.若PD=2PB,求拗勺值.

AF

【拓展提高】

⑶如圖3,在矩形ABCD中，點P是AD邊上一點，連結PB,PC.若PA=2,PD=4,/BPC=120。,求AB的長.

圖3

分析⑴證NABC=NCED,NA=/ECD,即可得出4ABCs^CED;⑵證明△ABD為等邊三角形，由一線三等

角得△DPEs^BFP廁黑=票=笫設BP=a，則DP=2a,AE=PE=x,AF=PF=y，即等=鼠=今即可得出年的值；

⑶構造一線三等角模型求解.

解答⑴證明:ZABC=ZACD=a,ZACE=ZA+ZABC,

ZDCE+a=/A+%即ZA=ZECD.

,/ZABC=ZCED=a,

/.AABC^ACED.

(2)V四邊形ABCD為菱形,NA=60。，

.\AB=AD,AABD為等邊三角形，

ZEPF=ZA=ZADB=ZABD=60°.

由⑴彳導4DPES/\BFP,

.ED_PD_PE

"PB~BF~PF'

設BP=a,貝!]DP=2a,AE=PE=x,AF=PF=y,

貝!]DE=3a-x,BF=3a-y,

c3a-x2ax

L.---=----=

a3a-yy

3ay-xy=ax,3ax-xy=2ay,

3ay-3ax=ax-2ay,解得~=~>

??筆的值為*

(3)如圖，在AD上取點E,F,使/ABE=NDCF=30。，

???四邊形ABCD為矩形，

ZA=ZD=90°,

ZBEP=ZBPC=ZPFC=120°.

由(10得4BEP^APFC,

.BE_EP

PF-FC

??2m2m

設AB=CD=m,則-fln—2m<

解得m=VT1-百或m=-V3-VTi(舍去)，

AB=VTl-V3.

例5在小ABC中,/ABC=90。.

⑴如圖1,P是邊BC上一點NBAP=zC,tanzP71C=乎，求tanC的值.

A

B

圖1

⑵如圖2,D是邊CA延長線上一點,AE=AB,NDEB=90°,sinZBAC=|噌=|,求tanZCEB的值.

圖2

分析⑴過點P作PMXAP交AC于點M,PN_LAM于點N,可得MP=MC,由/PAC=/NPM和tanzPXC=當

得出普=高設MN=2m,PN=4m,用勾股定理求得PM的長，即可得出結論；⑵過點A作AGXBE于點G,過點C

作CHXBE交EB的延長線于點H,構造一線三等角模型求解.

解答⑴如圖1,過點P作PMXAP交AC于點M,PNJ.AM于點N,則/PAC=NNPM.

ZBAP+Z1=ZCPM+Z1=9O°,

/BAP=/CPM=NC,

AMP=MC.

2MN

??.tanZ-PAC=—

5~~V5~PN'

設MN=2m,PN=4m,則PM=VM7V2+PN2=3m=CM,

,cPNV5mV5

???tanc=—=-----=——.

CN5m5

(2)如圖2,過點A作AG±BE于點G,過點C作CH±BE交EB的延長線于點H,

在Rt△ABC在sinZ-BAC=第=|.

?.?ZDEB=90°,

???CH〃AG〃DE,

.GH_AC_5

''EG~AD~2

可證△ABG^ABCH,圖2

.BG_AG_AB_4

''CH~BH~BC~3

設BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n.

VAB=AE,AG±BE,

二?EG=BG=4m,GH=BG+BH=4m+3n,

4m+3n=I，即n=2m,

4m

EH=EG+GH=4m+4m+3n=14m,

.?.在RfCEH中tanMEC喧=^=高

綜合提升

1.如圖，在四邊形ABCD中,AD，AB,AC，BC,且AD=CD=AB=2,貝UBC的長為()

A.1B,-V5C.-D.—

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2.如圖QA，OB,OB=4,P是射線OA上一動點，連結BP,以B為直角頂點向上作等腰直角三角形，在OA上

取一點D，使/CDO=45。.當P在射線0A上自。向A運動時，PD的長度的變化()

C.先增大后減小D.保持不變

3.如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=V5.E為CD邊上一點，將△BCE沿BE折疊，使得C落到矩形內點F的位

置,連結AF.若tanzBTlF=劑CE=()

X.V5-2B.V5-1

5—A/55+-\/5

Lr.-----nD.-------

22

4.如圖.在矩形ABCD中,AB=2,AD=8,點E,F在BC上，點G是射線DC與射線AF的交點.若BE=1,ZEAF=45°,

則AG的長為.

G

5.如圖,a〃b〃3直線a與直線b之間的距離為次，直線c與直線b之間的距離為2次,，等邊△ABC的三個頂

點分別在直線a,直線b,直線c上，則等邊三角形的邊長是.

6.如圖,E是矩形ABCD邊AD上一點.若NBEC=45°,AE=1,ED=2,則tan/AEB的值是.

7.如圖在△ABC中,AB=AC,點D在BC邊上，點E在AC邊上，連結AD,DE.已知N1=/2,AD=DE.

(1)求證:△ABD^ADCE.

(2)若BD=3,CD=5,求AE的長.

8.如圖,四邊形ABCD中,AD〃BC,NB=/C=45o,AB=DC,P是BC邊上一點,△PAD的面積為［，設AB=x,AD=y.

⑴求y與x的函數關系式.

⑵若/APD=45。,當y=l時求PBPC的值.

9.如圖在△ABC中,/B=ZC=3(r,/DEF=30。,且點E為邊BC的中點將/DEF繞點E旋轉，在旋轉過程

中，射線E