“將軍飲馬”模型

“將軍飲馬”問題是指動點在直線上運動，線段和差的一類最值問題，往往通過對稱進行等量代換，轉化成兩

點之間的距離或點到直線的距離，或利用三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求得最值。解決這類

問題要用到兩個基本知識點：“兩點之間線段最短”和“垂線段最短”.

【類型一兩定一動基本型】

1.同側、異側兩線段之和最小

問題:在直線1上求一點P,使PA+PB值最小.

做法:連接AB,與1交點即為P,PA+PB的最小值為AB.

問題:在直線1上求一點P,使PA+PB值最小.

做法:作A關于1的對稱點A',連AB,與1交點即為P,PA+PB的最小值為A'B.

2.同側、異側兩線段之差最大、最小

問題：在直線1上求一點P,使\PA-PB|的值最小.

做法：連接AB，作AB的中垂線，與直線1的交點即為P,此時\PA-PS|=O.

問題：在直線1上求一點P,使|P4-P用的值最大.

做法：作直線AB,與直線1的交點即為P根據三角形任意兩邊之差小于第三邊，\PA-PB\<AB,\PA-PB\

的最大值=人3.

問題:在直線1上求一點P,使IPA-PBI的值最大.

做法:作B關于1的對稱點B：作直線AB1,與1交點即為P.|PA-PB|SABLPA-PB曲最大值=人8：

*B，?§

p"、

A

【例1】已知銳角小ABC中,BC=4V2,ZABC=45°,點D在BC邊上,且BD=2.BE是/ABC的角平分線，點P

為BE上的一個動點，則PC+PD的最小值為

【簡答】作點C關于BE的對稱點C,VBE是/ABC的角平分線，落在AB上,連接CD,CP,則PC+PD=P

C'+PD>C'D,當P,C,D三點共線時,PC+PD取得最小值,

過C，作C'HJ_BC于H,：BC=BC=4a,NABC=45。，，BH=C'H=4,：BD=2,；.DH=2,在RTACDH中，由勾股

定理可求得CD=2V5,PC+PD的最小值為2遍.

【例2】如圖，在RTAABC中.ZACB=90°,AC=BC=4,點D是邊BC的中點，點E是AC上的點,且滿足受=

1，點P為邊AB上的動點，當點P在AB上移動時，四邊形PDCE周長的最小值為

【簡答】作點D關于AB的對稱點D1,連接D'E,則D,H=1,EH=4,D,E=V17,VPD+PE=PD'+PE>D'E=VT7,：

CD=2,CE=3,.?.四邊形PDCE周長的最小值為V17+5.

［例3］如圖,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,連接AC,0是AC的中點,M是AD上一點且MD=1,P是BC上一

動點則PM-PO的最大值為

【解答】:,在矩形ABCD中,AD=4,MD=1,AM=3,

連接MO并延長交BC于P,貝妣時,PM-PO的值最大,且PM-PO的最大值=0M,

VAM//CP,AZMAO=ZPCO,VZAOM=ZCOP,AO=CO,

/.△AOM^ACOP(ASA),.\AM=CP=3,OM=OP,PB=1,

過M作MN_LBC于N,..四邊形MNCD是矩形,MN=CD,CN=DM,

PN=4-1-1=2,MP=V32+22=OM=手.

PC+PD

【例4］如圖,在菱形ABCD中,AB=6,/A=135。,點P是菱形內部一點,且滿足SPCD=2sg…，則

6囪衽ABCD

【解答】如圖，在BC上取一點E，使得EC=\BC=2,作EF〃AB,交AD于F,則P在線段EF上運動，作點C

關于EF的對稱點C,CC交EF于G,連接DC交EF于P,連接PC,此時SPCD=rPC+PD的值最小,最小

6彼港ABCD

值為DC的長，：四邊形ABCD是菱形，ZA=135°,AZCEG=ZB=45°,

ZCGE=90°,NECG=45°,：NBCD=135°,ZC'CD=90°,

EC=2,CC=2V2,-??CD=6,.-.DC=2VH,PC+P。的最小值是2VT1.

【針對練習1］

1.如圖,已知正方形ABCD的邊長為4,對角線相交于點O,M為CO的中點,N在邊BC上.且CN=1,點P為BD

上的一個動點，則PM+PN的最小值是—.

B

2.已知如圖,一次函數y=-2x+4與y軸、x軸分別交于A、B兩點點C是AB的中點點P是直線x=-l上的一

個動點，則PC+PB取得最小值時，點P的坐標為—.

3.如圖，已知△ABC為等腰直角三角形,AC=BC=4,ZBCD=15°,P為CD上的動點,則|PA-PB由勺最大值是

4.如圖,在小ABC中,AB=AC,BC=4,面積是16,AC的垂直平分線EF分別交AC,AB邊于E,F點，若點D為B

C邊的中點，點M為線段EF上一動點，則4CDM周長的最小值為.

5.如圖,在矩形ABCD中,AB-AD=4,動點P滿足SPAB=”矩形ABCD令AD=x,△PAB面積為y,貝Uy與x的

6.如圖,在小ABC中,AB=AC,AB的垂直平分線交BC于點N,交AB于點M,△ACN的周長為19,BC=12,若點

P在直線MN上,則IPC-PB由勺最大值為.

C

BN

【類型二兩次對稱型】

【類型二問題：在直線kb上分別求點M、N,使小PMN的周長最小.

做法:分別作點P關于兩直線的對稱點P和P”,連接P'P”,與兩直線交點即為M,N.PM+MN+PN的最小值為線段

PP”的長.

問題：在直線1L上分別求點M、N,使四邊形PQNM的周長最小.

做法：分別作點P、Q關于直線的對稱點P'和Q',連Q'P,與兩直線交點即為M,N.四邊形PQNM周長的

最小值為Pg+PQ的值.

Q'

［例1］如圖.ZAOB=30°,ZAOB內有一定點P,且OP=10,在OA上有一點Q,OB上有一點R,則仆PQR周長

得最小值為一.

【解答】分別作P關于OA、OB的對稱點E、F,交OA、OB于M、N兩點連接EF與OA相交于Q,與OB

相交于R,再連接PQ,PR,則4PQR即為周長最短的三角形.

VOA是PE的垂直平分線，，EQ=QP;同理0B是PF的垂直平分線，FR=RP,.-.APQR的周長=EF.

,/OE=OF=OP=10,且NEOF=/EOP+NPOF=2NAOB=60。，.二△EOF是正三角形，；.EF=10,

即在保持OP=10的條件下小POR的最小周長為10

［例2］如圖,在四邊形ABCD中,484。=110。,NB=功=90。.在BC,CD上分別找一點M,N,使△AMN周

長最小，則此時/AMN+/ANM的度數為

G

【解答】如圖，作點A關于BC的對稱點A：關于CD的對稱點A',連接.44與BC、CD的交點即為所求的點

M、N,?.,ZBAD=U0°,ZB=ZD=90°,ZA'+ZA'=180°-l10°=70°,

由軸對稱的性質得:ZA'=ZA'AM,ZA'=ZA'AN,ZAMN+ZANM=2(ZA'+ZA')=2x70o=140°.

［例3］如圖”已知矩形ABCD中，乙4BD=70°,AD=4,E、F是對角線BD上的兩個動點，6是BC上的動點.

連接CE、EG、GF,則(CE+EG+GFF的最小值是____.

【簡答】作C關于BD的對稱點C,作線段BD關于BC的對稱線段BD1,F關于BC的對稱點F；則CE=C,E,GF

=GF',*.?NABD=70°,NCBD=2O°,ZC'BH=60°,

°=4xf=2V3.

過C作CH1BD'于H,則（CE+EG+GFCE+EG+GF>CH2b，故CE+EG+GF的最小值是2痘.

【針對練習2]

1.如圖,NMON=40°,P為NMON內一定點，A為OM上的點，B為ON上的點，當△P4B的周長取最小值

時：

(1)找到人、B點，保留作圖痕跡；

(2)求此時.41PB等于多少度；如果4MON=仇乙4PB又等于多少度？

M

2.如圖，在x軸上找一點C,在y軸上找一點D，使.AD+CD+BC最小，并求直線CD的解析式及點C、D

的坐標。

3.如圖,ZMON=20°,A,B分別為射線OM、ON上兩定點，且。4=2,OB=4,,點P、Q分別為射線OM、O

N兩動點,當P、Q運動時,線段.AQ+PQ+PB的最小值是

M

4

BN

4.如圖，在RTA&BC中,NB"=90。,4。=3,4B=2"。點D、E在BC邊上,BD=CE=1,點G、F分別是

邊AB、AC上的兩個動點，則四邊形DEFG周長的最小值是.

5.如圖，乙4OB=20。,點M、N分別是邊OA、OB上的定點，點P、Q分別是邊OB、OA上的動點記NMPQ=

a/PQN=°,當MP+PQ+QN最小時，則￡一a的值為.

6.如圖,已知矩形ABCD中,AB=12,4。=3,E、F分別為AB、DC上的兩個動點,則AF+FE+EC的最小值

為一

EB

【類型三平移型】

問題:在直線1上求兩點M、N(M在左)，使MN=a,并使AM+MN+NB的值最小.

做法：將點A向右平移a個長度單位得A1,作A，關于1的對稱點艇,連接A”B.交直線1于點N,將N點向左平

移a個單位得M.AM+MN+BN的最小值為A"B+MN.

【例1】如圖，某中學教學區與住宿區被公路隔開，為了保障師生安全，學校準備在公路上建設一座過街天橋

CD(公路兩邊互相平行，且要求天橋與公路垂直).已知該校教學樓A到公路一邊的距離AE=20m,宿舍樓B到公路

一邊的距離BF=25m,公路寬度為35m,教學樓A與宿舍樓B的直線距離AB-lOOm，則修建的天橋CD若保證從

教學樓A與宿舍樓B的距離(即AC+CD+DB)最短，則這個最短距離是_m.

【解答】如圖，將點A豎直向下平移到點使AA，等于公路的寬度，連接AB,與公路b交于點D,過點

D作CD，公路a于于C,連接AC、BD.

則天橋建在CD處能使由A經過天橋走到B的路程最短，最短路線的長：AC+CD+DB=A,B+CD,在RtAAB

H中,由題意,.AB=1OO.AH=80,BH=V1002-802=60,

在Rt△中,BA'=yjBH2+HA'2=V802+452=5V337,這個最短距離為35+5V337m.

［例2］如圖，已知四邊形ABCD四個頂點的坐標為A(l,3),B(m,0),C(m+2,0),D(5,1),當四邊形ABCD的周

長最小時,m的值為__.

【解答】將C點向左平移2單位與B重合，點D向左平移2單位到D1(3,1),作D關于x軸的對稱點D",則

點D”(3,-l),

HLn”雨上從如切舊1

.,?直線4。”的解析式為y=-2%+5,當y=0時,x=|,即B(|，0),TH=|.

【針對練習3]

1.如圖,長為1的線段AB在x軸上移動C(0,l)、D(0,2),則.AC+BD的最小值是—；當.AC+BD取得最小值時

2.在平面直角坐標系中，矩形OACB的頂點O在坐標原點，頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，A(3,

0),B(0,4),D為邊OB的中點。

⑴若E為邊OA上的一個動點，求△CDE的周長最小值；

⑵若&F為邊OA上的兩個動點,且EF=1,當四邊形CDEF的周長最小時，求點E、F的坐標。

3.如圖,△力BC中,AC=BC=2,乙4cB=90。,線段MN在邊AB上運動，MN=V2,D是BC的中點,則DM+C

4.如圖.已知A（3,l）與B（1,O）,PQ是直線y=x上的一條動線段且y=xPQ=a（Q在P的下方），當AP+PQ+

QB最小時，Q點坐標為（）

5.已知某護城河拐角如圖所示,ACB是護城河外的一條小路，乙4cB=90°,AC=852米,

BC=652米，護城河寬52米，從A到B需經過MM和NN兩座橋（橋的方向均與河岸垂直）,那么應該將橋造在何

處，才能使從A到B的路程最短?在備用圖中畫出MM，和NN的位置,并求出A到B的最短路程。

備用圖

【類型四點到直線垂線段最短】

問題:點P在銳角ZAOB內部,在OB邊上求作一點D,在OA邊上求作一點C.使PD+CD最小.

做法：作點P關于直線0B的對稱點P1,向直線0A作垂線，與0B的交點為所求點D,垂足即為點C.根據

“垂線段最短”，可知PD+CD的最小值為P'C的長度.

［例1］如圖.在菱形ABCD中,AB=6,ZB=60°,點G是邊CD邊的中點,點E、F分別是AG、AD上的兩個動

點，則EF+ED的最小值是___.

【解答】如圖作DH±AC垂足為H與AG交于點E,：四邊形ABCD是菱形，：AB=AD=CD=BC=6,：NB=6

0。，.?.NADC=NB=60。，.二△ADC是等邊三角形，：AG是中線，；.NGAD=/GAC,.?.點H關于AG的對稱點F在A

D上,此時EF+ED最小=DH,；.EF+DE的最小值=DH=3V3.

［例2］如圖矩形ABCD中,AD=5,AB=12,點M在AC上點N在AB上廁BM+MN的最小值為

［例3］如圖,已知NAOB=30。,點M在NAOB的角平分線上OM=6,點E在射線OB上，點F在射線OA上,

則ME+EF的最小值是_____

【簡答】作M關于OB的對稱點M',過M，作OA的垂線,交OB于E,交OA于F,此時ME+EF最小,?.0

M'^OM=6/M0F=45M'F=3近.

【針對練習4］

1.如圖,在RtAABC中,NACB=90。,AC=6,BC=8,AD是NBAC的平分線。若P,Q分別是AD和AC上的動

點，則PC+PQ的最小值是___.

A------------------------------------B

2.如圖,在正方形ABCD中,AB=4,E是BC邊的中點,F是CD邊上的一點,且DF=1,若M、N分別是線段A

D、AE上的動點,則MN+MF的最小值為.

”_D

N\

BEC

3.如圖,菱形ABCD中,AB=2,ZA=120°,點P,Q,K分別為線段BC,CD,BD上任意一點,則PK+QK最小值為

Q

B

4.如圖,在^ABC中,AB=AC=6,ZA=120°,D為BC上一動點,E為AC上一動點,則AD+DE的最小值為.

5.如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=28，點E是對角線AC上一點,過點E作EF//BC,交AB于點F,則BE

+BF的最小值為.

6.如圖，邊長為2近的等邊AABC面積是2舊點D,E,F分別是邊AC,AB,BC上的一個動點,則DE+DF的最小

值是____.

【類型五三動點“將軍飲馬”問題】

［例1］已知如圖，〃=300,BC=4,SABC=16,點D、E、F分別是AB、BC、AC邊上的動點，則△DEF

的周長的最小值是

BECBEHC

【簡答】分別作E點關于AB、AC的對稱點E；E”,連接分別交AB、AC于D、F兩點,易得/EAE=6

0°,AE'=AE"=AE=此時△DEF的周長=EE'=AE,

.??當AE最小時,△DEF的周長最小。

過A作AHLBC于H,；BC=4,SAABC=16,；.AH=8,：E是BC上的動點，.?.當AELBC時,AE取得最八nrn.從

田上從里小結日.0

【例2]已知如圖,AB=6,AC=3V2,ZX=45。,而所對的圓心角為90。,分別在相線段AB和AC上選

取點P、E、F,求PE+EF+FP的最小值.

【簡答】設BC所在圓的圓心為O,連接AP,OP,分別作出P關于AB的對稱點為Pi,P關于AC的對稱點為

P2,連接P』2,交AB于點E,交AC于點F,連接PE、PF,

AP±=AP=AP?,易彳導乙PjAPz=90°,APR=<2AP.

PE=P]E,PF=P2F,

■.PE+EF+PFPrE+EF+P2F=P1P2=五AP,

；?當AP最小時.P[E+EF+P?F可取得最小值，

???AP+OP>OA,

AP>OA-OP,即點P在OA上時，AP可取得最小值，

過點C作（CM1于M,連接BC,易證^ABC=45。,乙4cB=90°,

???BC=AC=3V2,OB=QC/BOC=90。，1OB=3

易得NAB。=90AO=7AB2+BO2=V62+32=3乘,

VOP=OB=3,.*.AP=OA-OP=3遍-3,/.PE+EF+PF=P1P2-V2AP=3V10-3V2.

PE+EF+PF的最小值為3VIU-3V2.

【針對練習5】

1.在AaBC中,AD是BC邊上的高,8。=3,CD=1,4D=2,P、Q、R分別是BC、AC邊上的動點則APQR

周長的最小值為—.

2.如圖,已知AD\\BC,AB=90°,ZC=60。,BC=2AD=4,點M為邊BC的中點,點E、F在邊AB、CD上運動,

點P在線段MC上運動,連接EF、EP、PF,則仆EFP的周長最小值為一.

3.如圖,扇形花壇AOB的半徑為20m,^AOB=45。.根據工程需要.現想在AB上選點P,在邊OA上選點E,

在邊OB上選點F,用裝飾燈帶在花壇內的地面上圍成一個△PEF,使晚上點亮時，花壇中的花卉依然賞心悅目.為

了既節省材料，又美觀大方，需使得燈帶PE+EF+FP的長度最短，并且用長度最短的燈帶圍成的△PEF為等腰

三角形.試求PE+EF+FP的值最小時的等腰△PEF的面積（安裝損耗忽略不計）

A

OB

【類型六相對運動思想的運用】

【例1】直線1外有一點D,點D到直線1的距離為5,AABC中乙4BC=90°,AB=6,tan^CAB=右邊AB在

直線1上滑動，則四邊形ABCD周長的最小值為一.

【簡答】要使四邊形ABCD周長最小，只需AD+CD最小，

將小ABC看做不動，點D相對于AC在直線m上運動,作C關于m的對稱點C,連接AC,則AD+CD的最小值

為AC=1O,則四邊形ABCD周長的最小值為AC'+AB+BC=18.

【例2】如圖，在RTAACB中,Z.BCA=90。/4=30°,AC=V3,點D在線段AB上運動，點E在線段AB

的延長線上,且BE=AD,則CE+CD的最小值是.

【簡答】：ZA=30°,AC=?：.AB=2,：BE=AD,DE=AB=2,將DE看做不動，點C相對于DE在直線1上

運動，作E關于1的對稱點E',連接DE,則CE+CD的最小值為DE，的長度，易求得EE=',DE=2,：.DE'=

手,CE+CD的最小值是手,

【針對練習6]

1.如圖在△ABC中.AB=AC=5,BC=6,點D為BC的中點.E、F分別為BC邊上兩個動點,且DE=FC廁△AEF

周長的最小值為—.

2.如圖.已知sinzMOAZ=芻點A在邊OM上,OA=5,B、C為邊ON上的兩個動點,且BC=2,則小ABC周長的最

小值為.

3.已知菱形ABCD中，ZABC=60°,對角線AC、BD相較于點O,點E、F是對角線BD上的兩個動點，且滿足B

E=OF,連接CE、CF,若CE+CF的值為7,則AC長的最大值為

4.如圖.在平面直角坐標系xOy中,點A(-2,0),B(0,1),C(0,4),將線段AB左右平移,在平移過程中IAC-BQ的最

大值是最小值是—.

5.在平面直角坐標系中,直線1：y=-x+5與x軸、y軸分別交于A、B兩點在直線上方作RTAABC,使得/ACB

=90。,且：=/現將△ABC沿著直線1滑動，則OB+OC的最小值為.

【思維拓展提升】

其實上面的這種思維方法適用于大多數多動點聯動回題，對于多個點運動并且是聯動的這類問題，我們都可

以采用相對運動法，可以讓這多個點靜止，讓原本的定點動起來，這樣就減少了動點的個數，使得問題簡單化。

(原則是：讓數量少的點動，讓數量多的點休息)如下面這道天津中考題的最后一問。

［例1］在平面直角坐標系中.四邊形AOBC是矩形，點O的坐標為(0,0),點A的坐標為(5,0),點B的坐標為(0,

3)以點A為中心，順時針旋轉矩形AOBC,得到矩形ADEF,點O,B,C的對應點分別為D,E,F.

(1)如圖1,當點D落在BC邊上時,求點D的坐標.

(2)如圖2,當點D落在線段BE上時,連接AB,AD與BC交于點H.

①求證:△ADB^AAOB;

②求點H的坐標.

⑶記K為矩形AOBC對角線的交點，S為4KDE的面積，求S的取值范圍(直接寫出結果即可).

【簡答】(1)VA(5,0),B(0,3),AOA=5,OB=3,

:四邊形AOBC是矩形，，AC=OB=3,OA=BC=5,ZOBC=ZC=90°,

,/矩形ADEF是由矩形AOBC旋轉得至！J,，AD=AO=5,

在RtAADC中,CD=YAD2+ACZ=4,；.BD=BC-CD=1,；.D(1,3).

(2)①由四邊形ADEF是矩形,得到/ADE=90。，：點D在線段BE±./.ZADB=90°,

由⑴可知,AD=AO,又AB=AB.ZAOB=90°,

RtAADB^RtAAOB.

②如圖b中,SAADB^AAOB,彳導至!JNBAD=NBAO,

又在矩形AOBC中,OA/7BC,AZCBA=ZOAB.ANBAD=NCBA,

.*.BH=AH,設AH=BH=m,貝！］HC=BC-BH=5-m,

在RtAAHC中，?：AH2=HC2+AC2,m2=32+(5-m)2,

m-BH=y,H(￡’3)

(3)要求AKDE面積的取值范圍，我們只要考慮K、D、E三個點的運動情況即可，由于D、E兩個點都在運

動，△KDE面積的取值范圍不好確定。

y

因此我們用相對運動的思想，固定D、E兩點不動，讓它們在初始位置，即O、B處，讓K點繞著A點運動

起來,運動軌跡為圓A如圖，當K位于給處時，△KB。,也就是△KDE的面積最小，位于七處時面積最大。易求

zB30-3V34/0,30+3回

【類型七先找“河”，再“飲馬”】

為了總結的完整性，這部分內容放在了這里，建議大家先學習后面的壓軸模型“主從聯動模型”，學習完以后

再來看這一類型，會更容易理解。

【例1】如圖，已知正方形ABCD的邊長為3,點E是AB邊上的一動點，連接ED,將ED繞點E順時針旋

轉90。到EF,連接DF、CF,貝!］DF+CF的最小值是.

【簡答】由主從聯動思想可知：點E和點F分別為主動點和從動點，點F可看作是點E繞著點D逆時針旋轉

45。再放大魚倍得到的，點E的軌跡為線段AB,將其繞著點D逆時針旋轉45。再放大魚倍就得到了F的軌跡，

如圖，點F的軌跡就是線段BG.

這就轉化為基本的兩定一動將軍飲馬問題，作點C關于BG的對稱點C,DF+CF的最小值就是DC的長，易

得DC=3V5.

［例2］如圖.△力BC是邊長為4的等邊三角形，點D在BC邊上，以AD為邊作等邊三角形ADE,F為AC

的中點,貝U.AE+FE的最小值為.

【簡答】將線段BC繞點A逆時針旋轉（60。得到線段CG,則點E在CG上運動，

作A關于CG的對稱點A',連接A'F,則AE+FE^A'E+FE>A'F,

過F作FH1BC于H,則FH=y/3,AH=5,A'F=2夕,AE+FE的最小值為2夕.

【針對練習7]

1.在平面直角坐標系中,已知A(3,0),B為y軸上一個動點,在AB上方作正方形ABCD,求(OC+4c的最小

2.已知x軸上一點A(l,0),B為y軸上的一動點,連接AB,以AB為邊作等邊△ABC如圖所示,已知點C隨著

點B的運動形成的圖形是一條直線，連接OC,4C+OC的最小值是.

3.如圖,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,點E是AD邊的中點，點F是線段AB上任一點，連接EF,以EF

為直角邊在AD下方作等腰直角△EFGFG為斜邊,連接DG,貝必DEG周長最小值為.

B