2021屆新高考“8+4+4”小題狂練（5）一、單項選擇題：1.已知復數滿足，則()A. B. C. D.2.已知集合，，則()A. B. C. D.3.空氣質量指數簡稱，是定量描述空氣質量的指數，空氣質量指數小于50表示空氣質量為優.下圖是某市一周的空氣質量指數趨勢圖，則下列說法錯誤的是()A.該市這周有4天的空氣質量指數為優 B.該市這周空氣質量指數的中位數是31C.該市這周空氣質量指數的極差是65 D.該市這周空氣質量指數的平均數是534.函數的部分圖象大致是()A. B.C. D.5.已知，，若是充分不必要條件，則的取值范圍為()A. B. C. D.6.已知，，且，則最小值是()A.6 B.8 C.12 D.167.踢毽子是中國民間傳統的運動項目之一，起源于漢朝，至今已有兩千多年的歷史，是一項簡便易行的健身活動.某單位組織踢毽子比賽，把10人平均分成甲、乙兩組，其中甲組每人在1分鐘內踢毽子的數目分別為26，29，32，45，51；乙組每人在1分鐘內踢毽子的數目分別為28，31，38，42，49.從甲、乙兩組中各隨機抽取1人，則這兩人踢毽子的數目之和為奇數的概率是()A. B. C. D.8.已知是函數的導數，且，當時，，則不等式的解集是()A. B. C. D.二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分）9.下圖是2010—2020年這11年我國考研人數統計圖，則關于這11年考研人數下列說法錯誤的是（）.A.2010年以來我國考研報名人數逐年增多B.這11年來考研報名人數的極差超過260萬人C.2015年是這11年來報考人數最少的一年D.2015年的報錄比最低10.關于雙曲線與雙曲線，下列說法正確是（）.A.它們有相同的漸近線 B.它們有相同的頂點C.它們的離心率不相等 D.它們的焦距相等11.下列命題中正確的為（）.A.在中，若，則B.在空間中，若直線、、滿足：，，則C.的圖像的對稱中心為D.已知過拋物線的焦點的直線交拋物線于、兩點，則12.如圖，已知函數（其中，，）的圖象與軸交于點，，與軸交于點，，，，.則下列說法正確的有（）.A.的最小正周期為12 B.C.的最大值為 D.在區間上單調遞增三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知向量，，則向量在方向上投影為________.14.的展開式中，所有項的系數和為________，項的系數為________.15.2020年春，新型冠狀病毒引發的疫情牽動著億萬人的心，八方馳援戰疫情，眾志成城克時難，社會各界紛紛支援湖北，共抗新型冠狀病毒肺炎.某醫院派出了5名醫生和3名護士共8人前往武漢參加救治工作.現將這8人分成兩組分配到兩所醫院去，若要求每組至多5人，且護士所在組必須有醫生，則不同的分配方案共有________種（用數字作答）.16.我國古代數學名著《九章算術》中記載，斜解立方為“塹堵”，即底面是直角三角形的直三棱柱（直三棱柱為側棱垂直于底面的三棱柱）.如圖，棱柱為一個“塹堵”，底面的三邊中的最長邊與最短邊分別為，，且，，點在棱上，且，則當的面積取最小值時，異面直線與所成的角的余弦值為________.2021屆新高考“8+4+4”小題狂練（1）一、單項選擇題：1.已知復數滿足，則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知可求出，結合復數的除法運算對其進行整理得，從而可求出共軛復數.【詳解】解：由題意可得：，則.故選:C.【點睛】本題考查了復數的除法運算，考查了共軛復數的求解.本題的關鍵是對進行整理變形.2.已知集合，，則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先解不等式得集合A,B，再根據交集概念求結果.【詳解】由題意得，中，則.故選：D【點睛】本題考查集合交集運算、一元二次不等式解集，考查基本分析求解能力，屬基礎題.3.空氣質量指數簡稱，是定量描述空氣質量的指數，空氣質量指數小于50表示空氣質量為優.下圖是某市一周的空氣質量指數趨勢圖，則下列說法錯誤的是()A.該市這周有4天的空氣質量指數為優 B.該市這周空氣質量指數的中位數是31C.該市這周空氣質量指數的極差是65 D.該市這周空氣質量指數的平均數是53【答案】B【解析】【分析】由圖可知該市這周空氣質量指數，從而可計算平均數，中位數，極差，即可選出正確答案.【詳解】解：由圖可知該市這周空氣質量指數為，則平均數為，有4天的空氣質量指數小于50，按大小排列為，則中位數為，極差為故選:B.【點睛】本題考查了數據分析，考查了平均數的求解，考查了中位數的求解，考查了極差的求解.4.函數的部分圖象大致是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由的圖象關于直線對稱，排除C、D；當時，，所以，排除B.【詳解】設，因為，所以的圖象關于軸對稱.所以的圖象關于直線對稱，排除C、D；當時，，所以，排除B，故選：A【點睛】解決本類題時，通常是利用函數的單調性、奇偶性、函數值等排除選項.5.已知，，若是的充分不必要條件，則的取值范圍為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解絕對值不等式和分式不等式對命題進行化簡，依據二者的關系可得，即可求出的取值范圍.【詳解】解：因為，所以.即，因為，所以，即.因為是的充分不必要條件，所以，解得.故選:A.【點睛】本題考查了已知命題關系求參數的取值范圍，考查了絕對值不等式的求解，考查了分式不等式的求解.本題的關鍵是對命題進行化簡.6.已知，，且，則的最小值是()A.6 B.8 C.12 D.16【答案】B【解析】【分析】先化簡條件得，再利用1的代換以及基本不等式求最值即可.【詳解】因為，，，所以，所以（當且僅當時取等號）.故選：B【點睛】本題考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，屬基礎題.7.踢毽子是中國民間傳統的運動項目之一，起源于漢朝，至今已有兩千多年的歷史，是一項簡便易行的健身活動.某單位組織踢毽子比賽，把10人平均分成甲、乙兩組，其中甲組每人在1分鐘內踢毽子的數目分別為26，29，32，45，51；乙組每人在1分鐘內踢毽子的數目分別為28，31，38，42，49.從甲、乙兩組中各隨機抽取1人，則這兩人踢毽子的數目之和為奇數的概率是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先確定從甲、乙兩組中各隨機抽取1人總事件數，再確定抽取兩人踢毽子的數目之和為奇數所包含事件數，最后根據古典概型概率公式求解.【詳解】從甲、乙兩組中各隨機抽取1人有種取法；其中抽取兩人踢毽子的數目之和為奇數有種取法；從而所抽兩人踢毽子的數目之和為奇數的概率是故選：C【點睛】本題考查古典概型概率，考查基本分析求解能力，屬基礎題.8.已知是函數的導數，且，當時，，則不等式的解集是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】構造函數，根據條件確定其單調性與奇偶性，化簡不等式為，再根據單調性與奇偶性轉化不等式為，解得結果.【詳解】設，則.因為當時，，所以當時，，即在上單調遞增.因為，所以是偶函數.因為，所以，即，,則，解得.故選：D【點睛】本題考查函數單調性、奇偶性、利用單調性與奇偶性解不等式，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分）9.下圖是2010—2020年這11年我國考研人數統計圖，則關于這11年考研人數下列說法錯誤的是（）.A.2010年以來我國考研報名人數逐年增多B.這11年來考研報名人數的極差超過260萬人C.2015年是這11年來報考人數最少的一年D.2015年的報錄比最低【答案】ABC【解析】【分析】根據人數統計圖判斷ABC，由報錄比判斷D．【詳解】由統計圖表，2015年比2014年考研報名人數少，A錯；考研人數最大是330萬，最小是145萬左右，極差估計是185萬，B錯；報考人數最少是2010年，C錯；從報錄比圖看2015年報錄比最低，D正確．故選：ABC．【點睛】本題考查統計圖表，正確認識統計圖表是解題關鍵．10.關于雙曲線與雙曲線，下列說法正確的是（）.A.它們有相同的漸近線 B.它們有相同的頂點C.它們的離心率不相等 D.它們的焦距相等【答案】CD【解析】【分析】求解兩個雙曲線的頂點坐標，漸近線方程，離心率，焦距判斷選項即可．【詳解】解：雙曲線的頂點坐標，漸近線方程：，離心率為：，焦距為10．雙曲線，即：，它的頂點坐標，漸近線方程：，離心率為：，焦距為10．所以它們的離心率不相等，它們的焦距相等．故選：．【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質的應用，是基本知識的考查．11.下列命題中正確的為（）.A.在中，若，則B.在空間中，若直線、、滿足：，，則C.的圖像的對稱中心為D.已知過拋物線的焦點的直線交拋物線于、兩點，則【答案】AC【解析】【分析】本題首先可通過正弦函數性質判斷出A正確；在空間中根據、無法證明判斷出B錯誤；再然后在函數上任取一點，求出點關于點的對稱點為，通過判斷點也在函數上得出C正確；最后通過取直線與軸平行這種情況即可判斷出D錯誤.【詳解】A項：因為，，，所以，故A正確；B項：在空間中，若、無法證明，故B錯誤；C項：在函數上任取一點，則點關于點的對稱點為，因為點也在函數上，所以函數的圖像的對稱中心為，故C正確；D項：拋物線的焦點的坐標為，若直線與軸平行，則直線方程為，此時交點坐標為、，，故D錯誤，故選：AC.【點睛】本題考查正弦函數性質以及線線平行的證明，考查函數對稱中心的判斷以及拋物線與直線相交的相關問題的求解，考查推理能力，體現了基礎性與綜合性，是中檔題.12.如圖，已知函數（其中，，）的圖象與軸交于點，，與軸交于點，，，，.則下列說法正確的有（）.A.的最小正周期為12 B.C.的最大值為 D.在區間上單調遞增【答案】ACD【解析】【分析】由題意可得：，，可得，，，的坐標，根據，可得方程，進而解出，，．判斷出結論．【詳解】解：由題意可得：，，，，，，．，，，，把代入上式可得：，．解得，，可得周期．，，解得．可知：不對．，，解得．函數，可知正確．時，，，可得：函數在單調遞增．綜上可得：ACD正確．故選：ACD．【點睛】本題考查了三角函數方程的解法、三角函數求值、三角函數的圖象與性質，考查了推理能力與計算能力，屬于較難題．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知向量，，則向量在方向上的投影為________.【答案】【解析】【分析】首先可以根據題意寫出，然后求出以及的值，再然后設向量與的夾角為，最后根據即可得出結果.【詳解】因為，，所以，，，設向量與的夾角為，則向量在方向上的投影，故答案為：.【點睛】本題考查向量在另一向量上的投影的相關計算，考查向量乘法的坐標表示，考查向量的模的相關計算，考查根據向量的數量積公式求向量在另一向量上的投影，考查計算能力，是中檔題.14.的展開式中，所有項的系數和為________，項的系數為________.【答案】(1).1(2).【解析】【分析】令可得所有項的系數和，把多項式化為二項式，然后由二項式定理可得的系數．【詳解】令，則展開式中所有項的系數和為，，展開式通項公式為，令，，∴的系數為．故答案為：1；－20．【點睛】本題考查二項式定理，考查賦值法求二項展開式中各項系數和，掌握二項展開式通項公式是解題基礎．15.2020年春，新型冠狀病毒引發的疫情牽動著億萬人的心，八方馳援戰疫情，眾志成城克時難，社會各界紛紛支援湖北，共抗新型冠狀病毒肺炎.某醫院派出了5名醫生和3名護士共8人前往武漢參加救治工作.現將這8人分成兩組分配到兩所醫院去，若要求每組至多5人，且護士所在組必須有醫生，則不同的分配方案共有________種（用數字作答）.【答案】180【解析】【分析】對所分配的醫生和護士分為5種情況，根據分類分步計數原理可得到結果．【詳解】由已知條件得將5名醫生和3名護士分配到兩所醫院的情況如下：①1所醫院4名醫生，另1所醫院1名醫生，3名護士，有種分配方案；②1所醫院3名醫生，1名護士，另1所醫院2名醫生，2名護士，有種分配方案；③1所醫院4名醫生，1名護士，另1所醫院1名醫生，2名護士，有種分配方案；④1所醫院3名醫生，2名護士，另1所醫院2名醫生，1名護士，有種分配方案；⑤1所醫院3名醫生，另1所醫院2名醫生，3名護士，有種分配方案；所以共有種分配方案，故答案為：180.【點睛】本題考查排列組合知識，考查學生分析解決問題的能力，進行合適的分類是本題的關鍵，屬于中檔題．16.我國古代數學名著《九章算術》中記載，斜解立方為“塹堵”，即底面是直角三角形的直三棱柱（直三棱柱為側棱垂直于底面的三棱柱）.如圖，棱柱為一個“塹堵”，底面的三邊中的最長邊與最短邊分別為，，且，，點在棱上，且，則當的面積取最小值時，異面直線與所成的角的余弦值為________.【答案】【解析】【分析】