第2章誤差及分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計處理本章所要解決的問題：對分析結(jié)果進(jìn)行評價，判斷誤差產(chǎn)生的原因，盡量采取措施減少誤差。2/5/20251NWNU-DepartmentofChenistry2.1

定量分析中的誤差誤差客觀存在定量分析數(shù)據(jù)的歸納和取舍（有效數(shù)字）計算誤差，評估和表達(dá)結(jié)果的可靠性和精密度了解原因和規(guī)律，減小誤差，測量結(jié)果→真值(truevalue)2/5/20252NWNU-DepartmentofChenistry2.1.1誤差與準(zhǔn)確度1.準(zhǔn)確度

(accuracy)測定值(xi)與真實值(xT)符合的程度反映測定的正確性。2.表示方法

誤差1)絕對誤差(absoluteerror-E)E=

測定值－真實值＝x-xT2/5/20253NWNU-DepartmentofChenistry2)相對誤差（relativeError）表示誤差在真實值中所占的百分率，分析結(jié)果的準(zhǔn)確度常用相對誤差表示。

如：對于1000kg和10kg，絕對誤差相同(±1kg)，但產(chǎn)生的相對誤差卻不同。絕對誤差和相對誤差都有正負(fù)之分。2/5/20254NWNU-DepartmentofChenistry2.1.2

精密度與偏差1.精密度(precision)

多次測量值(xi)之間相互接近的程度。反映測定的再現(xiàn)性。2.表示方法

偏差(deviation)1)算術(shù)平均值對同一種試樣，在同樣條件下重復(fù)測定n次，結(jié)果分別為：x1,x2,

xn2/5/20255NWNU-DepartmentofChenistry2)偏差(deviation)單次測量值與平均值之差

絕對偏差。將各次測量的偏差加起來：單次測量結(jié)果的偏差之和等于零。2/5/20256NWNU-DepartmentofChenistry3.算術(shù)平均偏差(meandeviation)通常以單次測量偏差的絕對值的算術(shù)平均值即平均偏差來表示精密度。4.相對平均偏差(relativemenadeviation)

注意：不計正負(fù)號，dr則有正負(fù)之分。2/5/20257NWNU-DepartmentofChenistry例1：測定鋼樣中鉻的百分含量，得如下結(jié)果：1.11,1.16,1.12,1.15和1.12。計算此結(jié)果的平均偏差及相對平均偏差。解：2/5/20258NWNU-DepartmentofChenistry用表示精密度比較簡單。該法的不足之處是不能充分反映大偏差對精密度的影響。2/5/20259NWNU-DepartmentofChenistry例2：用碘量法測定某銅合金中銅的百分含量，得到兩批數(shù)據(jù)，每批有10個。測定的平均值為10.0%。各次測量的偏差分別為：第一批di：+0.3,-0.2,-0.4*,+0.2,+0.1,+0.4*,

0.0,-0.3,+0.2,-0.3第二批di：

0.0,+0.1,-0.7*,+0.2,-0.1,-0.2,+0.5*,-0.2,+0.3,+0.1試以平均偏差表示兩批數(shù)據(jù)的精密度。2/5/202510NWNU-DepartmentofChenistry解：

兩批數(shù)據(jù)平均偏差相同,但第二批數(shù)據(jù)明顯比第一批數(shù)據(jù)分散。第一批較大偏差-0.4

+0.4第二批較大偏差-0.7

+0.52/5/202511NWNU-DepartmentofChenistry5標(biāo)準(zhǔn)偏差(standarddeviation)測量次數(shù)為多次時，用標(biāo)準(zhǔn)偏差來衡量數(shù)據(jù)的精密度。f=n-1，自由度：n個測定數(shù)據(jù)能相互獨(dú)立比較的是n-1個。引入n-1是為了校正以樣本平均值代替總體平均值引起的誤差。2/5/202512NWNU-DepartmentofChenistry6.相對標(biāo)準(zhǔn)偏差

(relativestandarddeviation-RSD)又稱變異系數(shù)(coefficientofvariation-CV)2/5/202513NWNU-DepartmentofChenistry例3:重鉻酸鉀法測得中鐵的百分含量為：20.03%,20.04%,20.02%,20.05%和20.06%。計算分析結(jié)果的平均值，標(biāo)準(zhǔn)偏差和相對標(biāo)準(zhǔn)偏差。2/5/202514NWNU-DepartmentofChenistry解：標(biāo)準(zhǔn)偏差2/5/202515NWNU-DepartmentofChenistry7、重復(fù)性8、再現(xiàn)性2/5/202516NWNU-DepartmentofChenistry準(zhǔn)確度(accutacy)：測量值與真實值相接近的程度。用誤差來評估。精密度(precision)：各個測量值之間相互接近的程度。用偏差來評估。實際工作中并不知道真實值，又不刻意區(qū)分誤差和偏差,習(xí)慣把偏差稱做誤差。但實際含義是不同的。系統(tǒng)誤差是分析誤差的主要來源，影響結(jié)果的準(zhǔn)確度偶然誤差影響結(jié)果的精密度2.1.3

準(zhǔn)確度和精密度的關(guān)系2/5/202517NWNU-DepartmentofChenistry甲

乙

丙

丁

分析結(jié)果準(zhǔn)確度高，要求精密度一定要高。分析結(jié)果精密度高，準(zhǔn)確度不一定高。精密度好，準(zhǔn)確度不好，系統(tǒng)誤差大準(zhǔn)確度、精密度都好，系統(tǒng)誤差、偶然誤差小精密度較差，接近真值是因為正負(fù)誤差彼此抵銷精密度、準(zhǔn)確度差。系統(tǒng)誤差、偶然誤差大真值例如，甲、乙、丙、丁四人同時測定銅合中Cu的百分含量，各分析6次。設(shè)真值=10.00%，結(jié)果如下：2/5/202518NWNU-DepartmentofChenistry誤差是分析結(jié)果與真實值之差。根據(jù)性質(zhì)和產(chǎn)生的原因可分為三類：系統(tǒng)誤差偶然誤差過失誤差2.1.4

誤差分類及減免誤差的方法2/5/202519NWNU-DepartmentofChenistry由一些固定的原因所產(chǎn)生，其大小、正負(fù)有重現(xiàn)性，也叫可測誤差。1.方法誤差

分析方法本身所造成的誤差。2.儀器和試劑誤差3.操作誤差

4.主觀誤差1.系統(tǒng)誤差(systematicerror)2/5/202520NWNU-DepartmentofChenistry系統(tǒng)誤差的性質(zhì)可歸納為如下三點(diǎn)：1）重現(xiàn)性2）單向性3）數(shù)值基本恒定系統(tǒng)誤差可以校正。2/5/202521NWNU-DepartmentofChenistry

系統(tǒng)誤差消除1.對照試驗

(contrasttest)

檢驗系統(tǒng)誤差的有效方法（標(biāo)準(zhǔn)方法、標(biāo)準(zhǔn)樣品、標(biāo)準(zhǔn)加入—回收率）2.空白試驗(blanktest)

消除由于試劑、蒸餾水、實驗器皿和環(huán)境帶入的雜質(zhì)引起的系統(tǒng)誤差。3.校準(zhǔn)儀器(calibrationinstrument)

在準(zhǔn)確度要求高的分析，所用儀器必須進(jìn)行校準(zhǔn)。4.校正方法

(correctionresult)

用其它方法校正某些分析方法的系統(tǒng)誤差。2/5/202522NWNU-DepartmentofChenistry隨機(jī)誤差由偶然因素引起的誤差,所以又稱偶然誤差如，同一坩堝稱重(同一天平，砝碼)，得到以下克數(shù)：

29.3465，29.3463，29.3464，29.34662隨機(jī)誤差(randomerror)對于天秤稱量，原因可能有以下幾種：1)天平本身有一點(diǎn)變動性2)天平箱內(nèi)溫度有微小變化3)坩堝和砝碼上吸附著微量水分的變化4)空氣中塵埃降落速度的不恒定2/5/202523NWNU-DepartmentofChenistry偶然誤差的性質(zhì)：誤差的大小、正負(fù)都是不固定的。偶然誤差

不可測誤差。在消除系統(tǒng)誤差后，在同樣條件下多次測定，可發(fā)現(xiàn)偶然誤差服從統(tǒng)計規(guī)律。2/5/202524NWNU-DepartmentofChenistry隨機(jī)誤差統(tǒng)計規(guī)律1)大小相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會相等。2)小誤差出現(xiàn)的機(jī)會多，大誤差出現(xiàn)的機(jī)會少。隨測定次數(shù)的增加，偶然誤差的算術(shù)平均值將逐漸接近于零(正、負(fù)抵銷)。2/5/202525NWNU-DepartmentofChenistry3過失誤差由于操作人員粗心大意、過度疲勞、精神不集中等引起的。其表現(xiàn)是出現(xiàn)離群值，極端值。綜上所述系統(tǒng)誤差

可校正偶然誤差

可控制過失誤差

可避免2/5/202526NWNU-DepartmentofChenistry系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的比較項目系統(tǒng)誤差隨機(jī)誤差產(chǎn)生原因固定的因素不定的因素分類方法誤差、儀器與試劑誤差、主觀誤差性質(zhì)重現(xiàn)性、單向性（或周期性）、可測性服從概率統(tǒng)計規(guī)律、不可測性影響準(zhǔn)確度精密度消除或減小的方法校正增加測定的次數(shù)2/5/202527NWNU-DepartmentofChenistry減免誤差提高分析結(jié)果準(zhǔn)確度的方法選擇恰當(dāng)分析方法（靈敏度與準(zhǔn)確度）減小測量誤差（誤差要求與取樣量）減小偶然誤差（多次測量，至少3次以上）消除系統(tǒng)誤差對照實驗：標(biāo)準(zhǔn)方法、標(biāo)準(zhǔn)樣品、標(biāo)準(zhǔn)加入空白實驗校準(zhǔn)儀器校正分析結(jié)果2/5/202528NWNU-DepartmentofChenistry怎樣選擇合適的分析方法？分析化學(xué)是研究分析方法的科學(xué)，一個完整具體的分析方法包括測定方法和測定對象兩部分。①測定的具體要求，待測組分的含量范圍；②待測組分的性質(zhì)；③共存組分的影響；④對測定準(zhǔn)確度、靈敏度及完成時間的要求；⑤實驗室的條件。2/5/202529NWNU-DepartmentofChenistry2減小測量誤差稱量分析天平的絕對誤差Ei=0.0001g一次稱量Ea=0.0002g常量分析Er<0.1%,滴定體積讀數(shù)Ei=0.01mL一次滴定Ea=0.02mL常量分析Er<0.1%,2/5/202530NWNU-DepartmentofChenistry例題用滴定法測定某酸，為了保證測定的準(zhǔn)確度，即相對誤差小于±0.1%，則需要消耗堿滴定液至少多少毫升？答：

需要堿的體積至少為20mL，因為滴定管讀數(shù)一次誤差為±

0.01mL一般至少讀數(shù)兩次，則誤差為±

0.02mL為使相對誤差小于±

0.1%，則

Er=±0.02/X﹤±0.1%X=202/5/202531NWNU-DepartmentofChenistry3減小偶然誤差根據(jù)偶然誤差的統(tǒng)計規(guī)律,增加平行測定次數(shù)減小偶然誤差，提高分析結(jié)果的精密度。一般化學(xué)分析中平行測定2-4次即可。2/5/202532NWNU-DepartmentofChenistry2.1.5

公差(commondifference)生產(chǎn)部門不強(qiáng)調(diào)誤差和偏差概念，均稱誤差。用公差范圍表示允許誤差大小如分析結(jié)果超出公差范圍稱超差。例工業(yè)分析中待測物質(zhì)量分?jǐn)?shù)/%90804051.0公差（dr）/%±0.3±0.4±0.6±1.6±5.02/5/202533NWNU-DepartmentofChenistry系統(tǒng)誤差：可校正消除隨機(jī)誤差：不可測量，無法避免，可用統(tǒng)計方法研究1隨機(jī)誤差的正態(tài)分布測量值的頻數(shù)分布頻數(shù)，相對頻數(shù)，騎墻現(xiàn)象分組細(xì)化

測量值的正態(tài)分布2/5/202534NWNU-DepartmentofChenistrys:

總體標(biāo)準(zhǔn)偏差

隨機(jī)誤差的正態(tài)分布

m離散特性：各數(shù)據(jù)是分散的，波動的集中趨勢：有向某個值集中的趨勢m:總體平均值d:

總體平均偏差d=0.797s2/5/202535NWNU-DepartmentofChenistryN→∞:隨機(jī)誤差符合正態(tài)分布（高斯分布） （，）n有限:t分布和s代替，x2有限次測量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計處理t分布曲線曲線下一定區(qū)間的積分面積，即為該區(qū)間內(nèi)隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率

f→∞時，t分布→正態(tài)分布2/5/202536NWNU-DepartmentofChenistry置信度與置信區(qū)間1.置信度(置信概率或置信水平)：與置信區(qū)間相對應(yīng)的概率，以P表示。2.置信區(qū)間：一定置信度時，以測定值或樣本平均值為中心，包括總體平均值在內(nèi)的可靠性范圍。2/5/202537NWNU-DepartmentofChenistry某一區(qū)間包含真值（總體平均值）的概率（可能性）一定置信度（概率）下，以平均值為中心，能夠包含真值的區(qū)間（范圍）。置信度越高，置信區(qū)間越大。在分析化學(xué)中，一般置信度定為95%或90%。平均值的置信區(qū)間2/5/202538NWNU-DepartmentofChenistry分析礦石中鐵的百分含量，在一定條件下平行測定了5次，其結(jié)果分別為：39.10,39.12,39.19,39.17和39.22。求置信度為95%時平均值的置信區(qū)間。解：

=39.16,S=0.05

n=4

查表P14P=95%n=4t=2.782/5/202539NWNU-DepartmentofChenistry2-2分析化學(xué)中的

數(shù)據(jù)處理2/5/202540NWNU-DepartmentofChenistry

定量分析數(shù)據(jù)的評價－－－解決兩類問題:(1)可疑數(shù)據(jù)的取舍

過失誤差的判斷方法:格魯布斯(Grubbs)檢驗法、Q值檢驗法確定某個數(shù)據(jù)是否可用。(2)分析方法的準(zhǔn)確性系統(tǒng)誤差及偶然誤差的判斷

顯著性檢驗：利用統(tǒng)計學(xué)的方法，檢驗被處理的問題是否存在統(tǒng)計上的顯著性差異。方法：t檢驗法和F檢驗法確定某種方法是否可用,判斷實驗室測定結(jié)果準(zhǔn)確性2/5/202541NWNU-DepartmentofChenistry格魯布斯(Grubbs)檢驗法

（4）由測定次數(shù)和要求的置信度，查G

表（5）比較若G計算>G

表，棄去可疑值，反之保留。

由于格魯布斯(Grubbs)檢驗法引入了標(biāo)準(zhǔn)偏差，故準(zhǔn)確性比Q檢驗法高?；静襟E：（1）排序：Ｘ1,

Ｘ2,Ｘ3,Ｘ4……（2）求平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差s（3）計算G值：2-2-1

可疑數(shù)據(jù)的取舍過失誤差的判斷2/5/202542NWNU-DepartmentofChenistry例有一組測定值為73.5,69.5,69.0,69.5,67.0,67.0,63.5,69.5,70.0,70.5。問可疑值63.5和73.5是否應(yīng)該舍去？置信度95%。解：2/5/202543NWNU-DepartmentofChenistry2/5/202544NWNU-DepartmentofChenistryQ檢驗法

步驟：（1）數(shù)據(jù)排列X1

X2……Xn

（2）求極差Xn-X1

（3）求可疑數(shù)據(jù)與相鄰數(shù)據(jù)之差

Xn-Xn-1或X2-X1

（4）計算：2/5/202545NWNU-DepartmentofChenistry（5）根據(jù)測定次數(shù)和要求的置信度，(如90%)查表：

不同置信度下，舍棄可疑數(shù)據(jù)的Q值表

測定次數(shù)Q90

Q95

Q99

3

0.940.980.994

0.760.850.93

8

0.470.540.63

（6）將Q與QX

（如Q90

）相比，若Q>QX

舍棄該數(shù)據(jù),（過失誤差造成）若Q<QX

保留該數(shù)據(jù),（偶然誤差所致）當(dāng)數(shù)據(jù)較少時舍去一個后，應(yīng)補(bǔ)加一個數(shù)據(jù)。2/5/202546NWNU-DepartmentofChenistry該方法的優(yōu)點(diǎn)：Q檢驗法符合數(shù)理統(tǒng)計原理，具有直觀性，計算方法簡單。其缺點(diǎn)是分母是xn-x1，數(shù)據(jù)離散性越大，可疑數(shù)據(jù)越不能舍去。Q檢驗法準(zhǔn)確度較差。如果

Q計=QP時，最好再補(bǔ)測1－2次，或用中位值作為測定結(jié)果。該方法由Dean和Dixon提出，適用于3－10次測定值的檢驗。2/5/202547NWNU-DepartmentofChenistry2-2-2顯著性檢驗--分析方法準(zhǔn)確性的檢驗

b.由要求的置信度和測定次數(shù),查表,得:t表

c.比較

t計>

t表,

表示有顯著性差異,存在系統(tǒng)誤差,被檢驗方法需要改進(jìn)

t計<

t表,

表示無顯著性差異，被檢驗方法可以采用。t

檢驗法---系統(tǒng)誤差的檢測（方法準(zhǔn)確度檢查）

（1）平均值與標(biāo)準(zhǔn)值(

)的比較

a.計算t值2/5/202548NWNU-DepartmentofChenistry例用某種新方法測定基準(zhǔn)明礬中鋁的百分含量，得到下列9個分析結(jié)果：10.74,10.77,10.77,10.77,10.81,10.82,10.73,10.86,10.81。已知明礬中鋁的標(biāo)準(zhǔn)值(以理論值代替)為10.77。試問采用新方法后是否引起系統(tǒng)誤差(置信度為95%)？解：n=9,f

=n-1=8

2/5/202549NWNU-DepartmentofChenistryｃ查表（自由度f＝f

1＋f

2＝n1＋n2－2）,

比較：t計>

t表,表示有顯著性差異（2）兩組數(shù)據(jù)的平均值比較（同一試樣）

ｂ計算ｔ值：新方法--經(jīng)典方法（標(biāo)準(zhǔn)方法）兩個分析人員測定的兩組數(shù)據(jù)兩個實驗室測定的兩組數(shù)據(jù)

a求合并的標(biāo)準(zhǔn)偏差：

合并標(biāo)準(zhǔn)偏差的前提：兩組數(shù)據(jù)先用F檢驗法，是否符合要求？2/5/202550NWNU-DepartmentofChenistryＦ檢驗法－兩組數(shù)據(jù)間偶然誤差的檢測ｂ按照置信度和自由度查表（Ｆ表），比較F計算和F表ａ計算Ｆ值：2/5/202551NWNU-DepartmentofChenistry試問兩種方法之間是否有顯著性差異(置信度為95%)？2/5/202552NWNU-DepartmentofChenistry統(tǒng)計檢驗的正確順序：可疑數(shù)據(jù)取舍---過失誤差的檢測F檢驗---偶然誤差的檢測t檢驗---系統(tǒng)誤差的檢測2/5/202553NWNU-DepartmentofChenistry分析結(jié)果的表示方法報告分析結(jié)果時，應(yīng)明確表示一定置信度下真值的置信區(qū)間。置信區(qū)間越窄，準(zhǔn)確度越高(區(qū)間與測定次數(shù)和S有關(guān))。報告分析結(jié)果時應(yīng)給出平均值、精密度、準(zhǔn)確度和測定次數(shù)等幾個必不可少的參數(shù)。2/5/202554NWNU-DepartmentofChenistry§2-3誤差的傳遞

§2-3-1

系統(tǒng)誤差的傳遞1．加減法計算2．乘除法計算2/5/202555NWNU-DepartmentofChenistry§2-3-2偶然誤差的傳遞

1．加減法計算2．乘除法計算2/5/202556NWNU-DepartmentofChenistry設(shè)天平稱量時的標(biāo)準(zhǔn)偏差s=0.10mg，求稱量試樣時的標(biāo)準(zhǔn)偏差sm

。解：例：允許差是兩次平行測定的數(shù)值之差不允許超過的規(guī)定值，該規(guī)定值就是隨機(jī)誤差傳遞的存在而定，一般用重復(fù)性表示。在置信度為95%時，2/5/202557NWNU-DepartmentofChenistry用移液管移取NaOH溶液25.00mL,以0.1000mol/L的HCl溶液滴定之，用去30.00mL，已知用移液管移取溶液的標(biāo)準(zhǔn)差s1=0.02mL,每次讀取滴定管讀數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差s2=0.01mL，假設(shè)HCl溶液的濃度是準(zhǔn)確的，計算標(biāo)定NaOH溶液的標(biāo)準(zhǔn)偏差？解：例2/5/202558NWNU-DepartmentofChenistry常用：極值誤差--------最大可能誤差系統(tǒng)誤差

R=A+B-C

ER=|EA|+|EB|+|EC|R＝AB/C

ER/R=|EA/A|+|EB/B|+|EC/C|例：分析天平絕對誤差為±0.1mg，那么極值誤差為0.2mg。2/5/202559NWNU-DepartmentofChenistry例題滴定管的初讀數(shù)為（0.05±0.01)mL,末讀數(shù)為（22.10±0.01)mL,問滴定劑的體積可能在多大范圍內(nèi)波動？解：極值誤差

V=0.01+0.01=0.02

滴定劑體積為：

（22.10-0.05）

0.02mL=22.05

0.02mL

2/5/202560NWNU-DepartmentofChenistry2.4

有效數(shù)字及其運(yùn)算規(guī)則2/5/202561NWNU-DepartmentofChenistry2.4

有效數(shù)字及其運(yùn)算規(guī)則2.4.1.有效數(shù)字(significantfigure)在科學(xué)試驗中，對于任一物理量的測定其準(zhǔn)確度都是有一定限度的。例如，滴定管讀數(shù)甲21.08ml乙21.09ml丙21.10ml2/5/202562NWNU-DepartmentofChenistry有效數(shù)字前三位是準(zhǔn)確的，最后一位是估計的，不甚準(zhǔn)確，但它不是臆造的。記錄時應(yīng)保留這一位。這四位都是有效數(shù)字。有效數(shù)字

實際上能測到的數(shù)字(只有一位不準(zhǔn)確，稱為可疑數(shù)字)。2/5/202563NWNU-DepartmentofChenistry可疑數(shù)字的誤差

滴定管：

0.01ml臺秤：

0.1g分析天平：

0.0001g2/5/202564NWNU-DepartmentofChenistry有效數(shù)字的位數(shù)1.0008431.81五位有效數(shù)字0.100010.98%四位有效數(shù)字0.03821.98×10-10三位有效數(shù)字0.540.00040二位有效數(shù)字3600100有效數(shù)字位數(shù)含糊應(yīng)根據(jù)實際有效數(shù)字位數(shù)寫成：

3.6×1032位

1.0×1023.60×1033位“0”的作用“0”只起定位作用

0.0040

數(shù)字前面的“0”只定位，后

面的“0”是有效數(shù)字

2/5/202565NWNU-DepartmentofChenistry有效數(shù)字的位數(shù)pH,pOH,logC

等對數(shù)的有效數(shù)字取決于對數(shù)的尾數(shù)

pH=11.20

兩位有效數(shù)字

[H+]=6.3×10-12mol

L-1

常數(shù)

、e

等位數(shù)無限制，根據(jù)需要取。有效數(shù)字的位數(shù)直接與測量的相對誤差有關(guān)。2/5/202566NWNU-DepartmentofChenistry例如，分析天平的稱量誤差為

0.0001g必須按儀器精度記錄有效數(shù)字2/5/202567NWNU-DepartmentofChenistry2.4.2

有效數(shù)字修約、運(yùn)算規(guī)則1.處理位數(shù)的規(guī)則1)

記錄時只保留一位可疑數(shù)字2)

修約規(guī)則

“四舍六入，五后有數(shù)就進(jìn)一，五后沒數(shù)看單雙”修約

舍棄多余的有效數(shù)字例：將下列數(shù)字修約為兩位有效數(shù)字2/5/202568NWNU-DepartmentofChenistry處理位數(shù)的規(guī)則只允許一次修約到要求位數(shù)，不能多次修約。

修約后3.1483.17.39767.42.4512.583.50084如13.4565

13.456

13.46

13.5

14(錯)2/5/202569NWNU-DepartmentofChenistry處理位數(shù)的規(guī)則3)

數(shù)據(jù)首位數(shù)大于或等于8時，則有效數(shù)字可多算一位。4)

在大量運(yùn)算中，對參加運(yùn)算的所有數(shù)據(jù)可多保留一位可疑數(shù)字，最