第二講代數式

專項一列代數式

知識清單

代數式：用把數和表示數的字母連接起來的式子叫做代數式.注意代數式不含等號，單

獨一個數或一個字母也是代數式.

考點例析

入y例如圖,正方體的每條棱上放置相同數目的小球，設每條棱上的小球數為

0711m,

下列代數式表示正方體上小球的總數，則表達錯誤的是()

A.12(m-1)B.4m+8(m-2)C.12(m-2)+8D.12m-16

分析：正方體有12條棱，每條棱上的小球數為m,則有12m個小球，而每個頂點處的小球

算了3次，多計算2次，則正方體棱長上的所有小球個數為12m-8x2=12m-16.將各選項化簡即

可.

解：

1

1

?

第1個圖第1個圖第3個圖第J個圖

IS：例2（2021?模考海南）海南黎錦有著悠久的歷

史，已被列入世界非物質文化遺產名錄.如圖2是黎錦上的圖案，每個圖案都是由相同菱形構成的,

若按照第1個圖至第4個圖中的規律編織圖案，則第5個圖中有個菱形，第n個圖中

有個菱形（用含n的代數式表示）.

分析：根據已知圖形可得，圖形中菱形的個數為序數的平方與序數減1的平方的和，據此求解

可得.

解：

歸納：在一些實際問題中，有時表示數量的代數式有單位，如果代數式是和或差的形式，則必

須先把代數式用括號括起來，單位寫在式子后面.

跟蹤訓練

ab

1.（2021?模考重慶）已知a+b=4,則代數式1+萬+，的值為（）

A.3B.1C.0D.-1

2.長春市凈月潭國家森林公園門票的價格為成人票每張30元，兒童票每張15元.若購買m

張成人票和n張兒童票，共需花費元.

3.（2021?模考雞西）如圖是由同樣大小的圓按一定規律排列所組成的，其中第1個圖形中

一共有4個圓，第2個圖形中一共有8個圓，第3個圖形中一共有14個圓，第4個圖形中一共有

2

22個圓……依此規律排列下去，第9個圖形中圓的個數是個.

第1個圖形第1個圖片第3個圖形第3唱3個

第3題圖

專項二整式

知識清單

一、整式的加減

1.與統稱為整式（注意整式的分母中不含有字母）.

2.同類項：所含_______相同，并且相同字母的________也相同的項叫做同類項.

3.合并同類項法則：同類項的相加，所得的結果作為字母和字母的

_________保持不變.

4.整式的加減運算：先去括號，再合并同類項（當括號前面是"+"時，把括號和它前面的

"去掉，括號內各項都符號；當括號前面是時，把括號和它前面的去掉,

括號內各項都符號）.

二、幕的運算

同底數幕的乘法：（都是正整數）;

1.am-an=m,n

3

2.幕的乘方：(am)n=(m,n都是正整數);

3.積的乘方:(ab)n=(n是正整數)；

4.同底數幕的除法：am+an=(awO,m,n為正整數).

三、整式的乘法

1.單項式乘以單項式：把它們的分別相乘,對于只在一個單項式里出

現的字母,則連同它的作為積的一個因式.

2.單項式乘以多項式:a(a+b+c)=a2+ab+ac.

3.多項式乘以多項式:(a+b)(b+c)=ab+b2+ac+bc.

4.乘法公式:①平方差公式(a+bIa-b)=②完全平方公式(a±b力=.

四、整式的除法

1.單項式相除，把分別相除作為商的一個因式，對于只在被除式里出

現的字母，則連同它的作為商的一個因式.

2.多項式除以單項式，先把這個多項式的除以這個單項式，再把所得的商

考點例析

4

例1（2021?模考鄂爾多斯）下列計算錯誤的是（）

A.(-3ab2)2=9a2b4B.-6a3b+3ab=-2a2

C.(a2)3-(-as)2=0D.(x+1)2=X2+1

分析：（X+1）2=X2+2X+1是完全平方式，故選項D錯誤.

解：

例2已知3m=4,32m-4n=2,若9n=x,則x的值為（）

A.8B.42V2D.點

分析：先逆用幕的乘方及同底數幕的除法法則將32m-4n=2變形為（3m）2+（3n）4,再將9n

變形為（3n）2,代入求得n的值.再開平方求得X的值，注意X在本題中應為正數.

解：

歸納：幕的運算首先要分清運算法則，再選擇相應法則進行計算.在解答利用幕的運算性質求值

類的題目時，需注意幕的運算的逆向運用.

X

例3（2021?模考郴州）如圖①，將邊長為x的大正方形剪去一個邊

長為1的小正方形（陰影部分），并將剩余部分沿虛線剪開，得到兩個長方形，再將這兩個長方形

5

拼成圖②所示的長方形.這兩個圖能解釋的等式是()

A.x2-2x+l=(X-1)2B.x2-1=(x+1)(x-1)

C.X2+2X+1=(x+1)2D.x2-X=X(X-1)

分析：左邊兩個長方形面積等于大正方形的面積減去陰影正方形的面積，即X2-1,右邊大長

方形的面積可以表示為(X+l)(X-l),根據空白部分面積相等列等式.

解：

例4已知5X2-X-1=0,求代數式(3x+2)(3x-2)+x(x-2)的值.

分析：直接利用乘法公式以及單項式乘多項式運算法則化簡，這里不要著急求解x的值，可以

將條件式變形，整體代入求得.

解：

歸納:整式的運算主要是整式的加減運算和乘除運算.進行加減運算時要注意去括號時的符號問

題；進行乘法運算時，首先要觀察是否可以運用乘法公式，其次運算時注意不要重復或遺漏.

跟蹤訓練

1.(2021?模考日照)單項式-3ab的系數是()

A.3B.-3C.3aD.-3a

6

2.（2021?模考濟南）下列運算正確的是（）

A.（-2a3）2=4a6B.a2?a3=a6

C.3a+a2=3a3D.（a-b）2=a2-ba

3.（2021?模考河北）墨跡覆蓋了等式"X3U>x=X2（xwO丫中的運算符號，則覆蓋的是（）

A.+B.-C.xD.一

4.（2021?模考淮安）如果一個數等于兩個連續奇數的平方差，那么我們稱這個數為"幸福

數”.下列數中為“幸福數”的是（）

A.205B.250C.502D.520

5.（2021?模考綿陽）若多項式xy|m-n|+（n-2）x2y2+l是關于x,y的三次多項式，則

mn=

6.化簡:（x+y）2-x（x+2y）.

7.（2021?模考襄陽）先化簡,再求值：（2x+3y）2-（2x+y）（2x-y）-2y（3x+5y）,

叵

其中乂=也,y=2-1.

專項三因式分解

知識清單

7

1.因式分解：把一個多項式化為幾個整式的的形式，像這樣的式子變形叫做把這個

多項式因式分解.

2.因式分解的基本方法：

(1)提公因式法：ma+mb+mc=.

(2)公式法：①平方差公式:a2-b2=.

②完全平方公式：a2±2ab+b2=.

考點例析

例1(2021?模考西藏)下列分解因式正確的是()

A.X2-9=(x+3)(x-3)B.2xy+4x=2(xy+2x)

C.x2-2x-1=(x-1)2D.x2+y2=(x+y)2

分析：2xy+4x=2x(y+2),選項B提公因式不徹底；選項C,D不是完全平方公式，不能用

公式法因式分解.

解：

歸納：判斷因式分解是否正確，一看等式右邊是否是整式的積的形式，二看左右兩邊是否相等.

例2(2021?模考自貢)分解因式：3a2-6ab+3b2=

8

分析：先提取公因式3,再對余下的多項式利用完全平方公式繼續分解.

解：

歸納：一個多項式有公因式先提取公因式，再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底,

直到不能分解為止.多項式是二項式優先考慮平方差公式分解，三項式優先考慮完全平方公式分解.

跟蹤訓練

1.（2021?模考河北）若----i-------=8x10x12,則k的值是（）

A.12B.10C.8D.6

11

2.（2021?模考眉山）已知a2+[b2=2a-b-2,則3a-&b的值為（）

A.4B.2C.-2D.-4

（模考鹽城）因式分解：

3.2021?x2-y2=

（模考營口）

4.2021?ax2-2axy+ay2=

（模考深圳）分解因式：

5.2021?m3-m=.

（模考常德）【閱讀理解】對于（）這類特殊的代數式可以按下面的

6.2021?x3-n2+lx+n

方法分解因式：

9

x3-(n2+l)x+n=x3-n2x-x+n=x(x2-n2)-(x-n)=x(x-n)(x+n)-(x-n)=

(x-n)(x2+nx-1).

【理解運用】如果X3-(n2+l)x+n=O，那么(x-n)(x2+nx-1)=0，即有x-n=0或X2+nx

-1=0,

因此，方程x-n=0和x2+nx-1=0的所有解就是方程x3-(n2+l)x+n=0的解.

［解決問題］求方程X3-5x+2=0的解是_______________________.

專項四分式

知識清單

一、分式的相關概念

A

1.定義：用A,B(B/0)表示兩個整式，A+B就可以表示成百.如果B中含有

A

式子互叫做分式.

2.分式有意義、值為0的條件：分式的分母分式有意義；分式的

不為0為0時，分式的值為0.

二、分式的基本性質

分式的分子與分母都乘(或除以)同一個________的整式，分式的值不變.

10

三、分式的運算

1.最簡分式：分子與分母沒有的分式，叫做最簡分式.

2.分式的約分、通分:把分式的分子與分母的約去，叫做約分才巴幾個

的分式分別化為與原來的分式相等的的分式，叫做通分.

3.分式的乘法運算法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分母的積作為積的

ac

即.

4.分式的除法運算法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后,與被除式相乘，即

5.分式的乘方：分式的乘方等于分子的乘方除以分母的乘方，即I引=.

6.分式的加減運算法則：同分母的分式相加減不變，把_________相加減；異

分母分式相加減，先通分，化為分式，然后再按同分母分式的加減法則進行運算.

考點例析

例1（2021?模考河北）若a/b,則下列分式化簡正確的是（

a—2a

A.i+2B-C.濟

11

分析：根據分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變來判斷.選

項A,B是同加或同減，不是同乘除，不符合分式的基本性質；選項C中，分子、分母同乘的整式

不相同，也不符合分式的基本性質；選項D中，分式的分子與分母同乘2,分式的值不變.

解：

歸納：根據分式的基本性質對分式變形，要注意：①分子與分母必須同乘（或除以）同一個整

式；②該整式不等于0.

X2-]

例2（2021?模考雅安）若分式二=0,則x的值是（）

A.1B.-1C.±1D.0

分析：根據分式的值為0的條件，得X2-l=0且X+1W0.

解：

歸納：判斷分式值等于0時,要從兩方面來考慮:一是分子等于0,二是分母不等于0.

（m2訊）m

例3（2021?模考婁底）先化簡廠爐X,然后從-3,0,1,3中選一個合適的

數代入求值.

分析：本題可以先將括號中的兩項通分，再利用除法法則變形，約分得到最簡結果，最后把m

的值代入計算.還可以先把除法變為乘法，利用乘法分配律計算化簡時可以根據題目選擇最簡便的

方法

12

解：

歸納：分式化簡的最后結果,一定是最簡分式或整式，求值所選數值要使原分式有意義.

跟蹤訓練

1

1.（2021?模考衡陽）要使分式口有意義，則x的取值范圍是（）

A.x>1B.XRIC.x=lD.xwO

x+5

2.（2021?模考金華）分式口的值是零,則x的值為（）

A.2B.5C.-2D.-5

22

口"十M2aba+d2ab

3.（2021?模考淄博）化簡不了+力不丁+半勺結果是（）

2

（*+小）g+b）（-一“（a-b）

A.a+bB.a-bC?a—ba-bD?a+Aa+b

21

4.（2021?模考隨州）口一”石的計算結果為（）

A.22元2

B.772C.口D.了（芯+2）

5.（2021?模考阜新）先化簡，再求值：J+KWl，其中x=%-1.

13

芫十1fl卜十1",

6.(2021?模考自貢)先化簡,再求值：—1》+),其中X是不等式組15-2彳>3的整

數解.

專項五二次根式

知識清單

1.二次根式：形如(a>0)的式子叫做二次根式.

2.最簡二次根式:(1)被開方數不含_______；(2)被開方數中不含能的因數或因

式.同時滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.

2[_______(。叫，

3.二次根式的性質:(1)網=(a>0);(2)廂=間=[(a<o)：

(3)笈=(a>0,b>0);(4)=(a>0,b>0).

4.二次根式的運算

(1)二次根式的乘法：G存=(a>0,b>0);

(2)二次根式的除法：=(a>0,b>0);

(3)二次根式的加減：先把每個二次根式化成再把相同的二次根式

進行合并.

14

考點例析

2

例1若代數式后？在實數范圍內有意義，則X的取值范圍是______________.

分析：根據二次根式有意義的條件和分母不為零的性質，可得2x-6>0,求解即可.

解：

歸納:二次根式有意義的條件是被開方數是非負數，若二次根式在分母上，則被開方數不能為

0,由此可確定字母的取值范圍.

例2（2021?模考攀枝花）實數a,b在數軸上的位置如圖所示，化簡

+正了-而-媛的結果是（）

A.-2B.0C.-2aD.2b

a?b

-1~-2,-1~01'23^

分析：根據數軸，知-2<a<-1,l<b<2,故a+l<0,b-l>0,a-b<0,原式可轉化

為-（a+1）+b-1+（a-b）,去括號合并即可.

解：

例3（2021?模考包頭）計算：/+口|/-":=

15

分析：本題可以把原式化為［（言+也］|后-我小后一6］,再將中括號內的部分利用平方差公式

計算，運算更簡便.

解：

歸納:進行二次根式的混合運算,應注意先化簡,后合并,還要注意乘法公式的靈活應用.

跟蹤訓練

1.（2021?模考廣東）若式子也…4在實數范圍內有意義，則X的取值范圍是（）

A.x/2B.x>2C.x<2D.xw-2

2.（2021?模考濟寧）下列各式是最簡二次根式的是（）

D.5

A.713B.712c.◎

3.（2021?模考南通）下列運算結果正確的是（）

4.#1-上=圾B.3+點=30C.屈?a=3D.ax友=2出

4.（2021?模考朝陽）計算配一統xg的結果是（）

1

A.0B.gC.3抬D.2

16

5.（2021?模考荊州）若x為實數，在"（萬+1）二的"口"中填入一種運算符號（在"+,

-,x,一"中選擇）后，其運算的結果為有理數，則x不可能是（）

A.g+1B.萬-1C.2gD.1-萬

6.（2021?模考益陽）若計算而m的結果為正整數，則無理數m的值可以是（寫

一個）.

7.（2021?模考河北）已知糜-點=a/-調=b,/2,貝Uab=.

8.（2021?模考株洲|）計算石*（遂+線1的結果是

專項六代數式中的數學思想

1.整體思想

整體思想是指在解決某些問題時，把一些組合式子作為一個"整體"，并把這個“整體"直接

代入另一個式子,避免局部運算煩瑣的方法.在分解因式、求代數式的值時，恰當使用整體思想，可

以提高解題效率，減少復雜的計算.

例1（2021?模考臨沂）若a+b=l,則a2-b2+2b-2=

分析：把a+b看做一個整體，由于a+b=l，將a?-b2+2b-2變形為含有a+b的形式，整

體代入計算即可求解.

解：

17

歸納：在代數式的化簡與求值過程中，如果不能確定整式中字母的具體值，可以考慮將該整式

看做一個整體代入求值.

2.數形結合思想

數形結合就是把抽象難懂的數學語言、數量關系與直觀形象的幾何圖形、位置關系結合起來，

通過“以形助數"或"以數解形"，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化,從而起到優化解題途徑

的目的.

例2（2021?模考呼倫貝爾）已知實數a在數軸上對應點的位置如圖所示，則化簡|a-1|-

而的結果是（）

A.3-2aB.-1C.1D.2a-3

a

分析：先根殿軸上a的位置，確定絕對值符號內式子的正負,然后再用去絕對值符號的方法

進行化簡.

解：

歸納：實數與數軸上的點之間具有一一對應關系，平面上的點與有序實數對之間具有一一對應

關系，這些都是"數"和"形"轉化的橋梁

3.歸納推理思想

18

由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征，或者由個別

事實概括出一般的結論.

例3（2021?模考青海）觀察下列各式的規律：

①1x3-22=3-4=-1;②2x4-32=8-9=-1;③3x5-42=15-16=-1.

請按以上規律寫出第4個算式：,用含有字母的式子表示第n個算

式：

分析：觀察發現，和算式序號相等的數與比序號大2的數的積減去比序號大1的數的平方,等

于-1,根據此規律寫出即可.

解：

跟蹤訓練

1.（2021?模考棗莊）圖①是一個長為2a,寬為2b（a>b）的長方形，用剪刀沿圖中虛線（對

稱軸）剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形,然后按圖②所示拼成一個正方形,則中

間空余部分的面積是（）

（）（）

A.abB.a+b2C.a-b2D.a2-b2

19

第1題圖第5題圖

2.（2021?模考西藏）觀察下列兩行數：

1,3,5,7,9,11,13,15,17,...

1,4,7,10,13,16,19,22,25,

探究發現：第1個相同的數是1,第2個相同的數是7,…，若第n個相同的數是103,則n

的值是（）

A.18B.19C.20D.21

3.（2021?模考十堰）已知x+2y=3,貝l+2x+4y=

模考雅安）若（,則

4.（2021?x2+y2）2-5（x2+y2）-6=0x?+y2=

5.（2021?模考赤峰）一個電子跳蚤在數軸上做跳躍運動.設原點處為O,第一次從點。起

跳，落點為，點表示的數為;第二次從點起跳，落點為的中點第三次從

A1A11A1OA］A2,A2

點起跳,落點為QA2的中點如此跳躍下去,最后落點為。”的中點則點

A3;...;OA2A2020,A2020

表示的數為

參考答案

專項一列代數式

考點例析：例例

1A241（2n2-2n+l）

20

跟蹤訓練:1.A2.(30m+15n)3.92

專項二整式

考點例析：例1D例2c例3B

例4原式=9x2-4+X2-2x=10x2-2x4

因為5X2-X-1=0,所以5x2-x=l.所以原式=2(5x2-x)-4=2xl-4=-2.

跟蹤訓練：LB2.A3.D4.D5.0或8

6.解:原式=X2+2