第08講一元一次不等式（組）及其應用

目錄

題型05一元一次不等式整數解問

一、考情分析

題

二、知識建構

題型06根據含參數不等式解集的

考點一不等式及不等式的基本性質

情況求參數的取值范圍

題型01不等式的概念及意義

題型07與一元一次不等式有關的

題型02列不等式

新定義問題

題型03取值是否滿足不等式

題型08含絕對值的一元一次不等

題型04利用不等式的性質判斷式

式

子正負

題型09不等式與方程組綜合求參

題型05根據點在數軸位置判斷式

數的取值范圍

子正負

考點三一元一次不等式組

題型06利用不等式的性質比較大

題型01一元一次不等式組定義

小

題型02解不等式組

題型07利用不等式的性質證明（不）

題型03求不等式組整數解

等式

題型04由不等式組整數解求字母

題型08利用不等式的性質確定參

取值范圍

數的取值范圍

題型05由不等式組的解集求參數

題型09不等式性質的應用

題型06與不等式組有關的新定義

考點二一元一次不等式

問題

題型01判斷一元一次不等式

題型07根據程序圖解不等式組

題型02根據一元一次不等式求參

題型08不等式組與方程的綜合

數值

考點四不等式（組）的實際應用

題型03求一元一次不等式解集

題型oi利用一元一次不等式解決

題型04利用數軸表示一元一次不

實際問題

等式解集

題型02利用一元一次不等式組解

決實際問題

考點要求新課標要求命題預測

不等式及不等式的>結合具體問題，了解不等式的意義，探中考數學中，一元一次不等式（組）的

基本性質索不等式的基本性質解法及應用題時有考察.其中不等式性

一元一次不等式>能解數字系數的一元一次不等式，并能

質、解一元一次不等式（組），通常是以選

在數軸上表示出解集

擇題或填空題的形式出現，難度不大.而不

一元一次不等式組>會用數軸確定兩個一元一次不等式組成

等式（組）相關的應用題常會和其它考點

的不等式組的解集.

（如二元一次方程組、二次函數等）結合考

察，常以解答題形式出現，此時難度上升,

不等式（組）的實

需要小心應對.對于一元一次不等式（組）

際應用>能根據具體問題中的數量關系，列出一

元一次不等式，解決簡單的問題.中含參數問題，難度偏大，但是考察幾率

并不大，為避免丟分，學生應在復習過程

中扎實掌握.

不等式的定義：用不等

號”＞，，，￡，，"＜，，，，M,，，￥，，表示不等關系的式

子，叫做不等式.

不等式的解：使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解.

不

題型不等式的概念及意義

等不等式的解集：一個含有未知數的不等式的所有解，組成這個01

題型列不等式

式不等式的解集.02

題型03取值是否滿足不等式

及

不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用數軸表示.題型04利用不等式的性質判斷式子正負

不

題型05根據點在數軸位置判斷式子正負

等解不等式的概念：求不等式的解集的過程，叫做解不等式.

題型06利用不等式的性質比較大小

式若a>b,貝［Ja±c>b±c題型07利用不等式的性質證明（不）等式

的題型08利用不等式的性質確定參數的取值范圍

若a<b,則a士c<b±c

基★題型09不等式性質的應用

本若4>b,c>0,則（或且>2）

性cc

質

若心瓦cvO,則…（或段）（易錯）

不等式的左右兩邊都是整式

特征只含有一個未知數題型01判斷一元一次不等式

題型02根據一元一次不等式求參數值

元未知數的最高次數是

1題型03求一元一次不等式解集

一題型04利用數軸表示一元一次不等式解集

去分母不等式性質2、3題型05一元一次不等式整數解問題

次

去括號分配律去括號法則題型06根據含參數不等式解集的情況求參數的

不取值范圍

步驟移項不等式性質1

等題型07與一元一次不等式有關的新定義問題

題型08含絕對值的一元一次不等式

式合并同類項合并同類項法則

題型09不等式與方程組綜合求參數的取值范圍

1系數化為1不等式性質2、3

組

}

概念：一般地，關于同一未知數的幾個一元一次不等式合在一起,

及組成一元一次不等式組.

其

一元一次不等式組的解集：幾個一元一次不等式的解集的公共部

題型01一元一次不等式組定義

應

分，叫做由它們所組成的不等式組的解集.題型02解不等式組

用

數軸法取公共部分題型03求不等式組整數解

題型04由不等式組整數解求字母取值范圍

不等式組解集的確定有兩種方法大大取大題型05由不等式組的解集求參數

小小取小題型06與不等式組有關的新定義問題

口訣法題型07根據程序圖解不等式組

大小、小大中間找題型08不等式組與方程的綜合

大大、小小取不了

解一元一次不等式組的一般步驟

題型01利用一元一次不等式解決實

?元一次不等式（組）的應用題的關鍵語句際問題

不等式（組）的實際應用用一元一次不等式（組）解決實際問題的步驟題型02利用一元一次不等式組解決

實際問題

考點一不等式及不等式的基本性質

■夯基-必備基礎知識梳理

一、不等式的相關概念

不等式的定義：用不等號“>"、2"、“<”、"W”或“尹’表示不等關系的式子，叫做不等式.

不等式的解：使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解.

不等式的解集：一個含有未知數的不等式的所有解，組成這個不等式的解集.

不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用數軸表示.

不等式■示>>ax<?x^asCa

數“集示￡"*二A-K1?

aoaa

解不等式的概念：求不等式的解集的過程，叫做解不等式.

二、不等式的性質

基本性質1若cob,則a±c>b±c

若a<b,則a±c<b±c

基本性質2若a>b,c>0,則ac>bc（或，>g）

基本性質3若a>b,c<0,貝！］ac<bc（或/<?）

易混易錯

1.方程與不等式的區別：方程表示的是相等關系，不等式表示的是不等關系.

2.常見的不等號有：r,>,2,<,4五種.

3.用數軸表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等號畫實心圓點，無等號畫空心圓點.

4.不等式的解與不等式的解集的區別與聯系：

1）不等式的解是指滿足這個不等式的未知數的某個值.

2）不等式的解集是指滿足這個不等式的未知數的所有的值.

3）不等式的所有解組成了這個不等式的解集，不等式的解集中包括這個不等式的每一個解.

5.在列不等式時，要注意抓住問題中的一些關鍵詞語，如：不小于，至少，大于、不高于、不低于等.

同時要根據關鍵詞準確地選用不等號.另外，對一些實際問題的提示還要注意結合實際.

6.運用不等式的性質的注意事項：

1）不等式兩邊都要參與運算，并且是作同一種運算.

提升-必考題型歸納

題型01不等式的概念及意義

［例1］以下表達式：①4%+3yW0；②a>3；③/+孫；④。？+抑=02；⑤乂力5.其中不等式有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】B

【提示】根據不等式的定義進行判斷即可.

【詳解】解：a+6、a>3.xK5是不等式，x2+xy和a?+及=02不是不等式，

即不等式有3個，故B正確.

故選：B.

【點撥】本題主要考查了不等式的定義，熟知用不等號連接的式子是不等式是解本題的關鍵.

【變式1-1］（2023湖里區模擬）某養生鈣奶飲料中的包裝瓶上標注“每100克內含鈣>150毫克”，它的含

義是指（）

A.每100克內含鈣150毫克

B.每100克內含鈣不低于150毫克

C.每100克內含鈣高于150毫克

D.每100克內含鈣不超過150毫克

【答案】C

【提示】“>”就是大于，在本題中也就是“高于”的意思.

【詳解】解：根據〉的含義，“每100克內含鈣>150毫克”，就是“每100克內含鈣高于150毫克”，

故選：C.

【點撥】本題主要考查不等號的含義，是需要熟練記憶的內容.

題型02列不等式

【例2】（2020.河北統考模擬預測）下面列出的不等式中，正確的是（）

A.“租不是負數”表示為TH>0B.“TH不大于5”表示為TH<5

C.與4的差是正數”表示為九-4>0D.“幾不等于4”表示為幾>4

【答案】C

【提示】根據題意列出不等式即可判斷.

【詳解】A,初不是負數，

-，-m>0,A選項錯誤；

B.".'m不大于5,

.,.m<5,B選項錯誤；

C：?”與4的差是正數，

?,.n-4>0,C選項正確；

D./??不等于4,

''n<4或〃>4,D選項錯誤.

故選：C.

【點撥】本題考查了由題目信息抽象出一元一次不等式，逐一提示四個選項的正誤是解題的關鍵.

【變式2-D2023?甘肅隴南?統考二模閆鞘嶺是隴中高原和河西走廊的天然分界，主峰海拔超過3500米若

用x（米）表示烏鞘嶺主峰的海拔高度，貝k滿足的關系為（）

A.%<3500B.%<3500C.x>3500D.%>3500

【答案】D

【提示】根據題意列出不等式即可求解.

【詳解】解：,.?烏鞘嶺主主峰海拔超過3500米.

/.X>3500,

故選：D.

【點撥】本題考查了不等式的定義，理解題意是解題的關鍵.

【變式2-2]（2023南寧市模擬）”是非負數的表達式是（）

A.a>0B.|a|>0C.a<0D.a>0

【答案】D

【提示】非負數就是正數和零，即大于等于零的數是非負數判斷即可.

【詳解】?一是非負數,

:.a>0,

故選：D.

【點撥】本題考查了非負數，熟練掌握定義是解題的關鍵，易錯點是忽略零而導致錯誤.

題型03取值是否滿足不等式

[例3]（2023.河北保定.統考二模）在-或，-2,1,-3四個數中，滿足不等式廣-2的有（）

A.-2B.-3C.-V2D.1

【答案】B

【提示】根據各數的大小即可做出判斷.

【詳解】在一VX—2,1,—3四個數中，一/>—2,—2=—2,1>—2,—3<—2,

故滿足不等式X<-2的有-3,

故選：B

【點撥】此題考查了不等式的解集，熟練掌握不等式解集的定義是解題的關鍵.

【變式3-1]（2021?四川南充?統考中考真題）滿足％<3的最大整數x是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【提示】逐項提示，求出滿足題意的最大整數即可.

【詳解】A選項，1<3,但不是滿足比<3的最大整數，故該選項不符合題意，

B選項，2<3,但不是滿足久<3的最大整數，故該選項不符合題意，

C選項，3=3,滿足x<3的最大整數，故該選項符合題意，

D選項，4〉3,不滿足x<3,故該選項不符合題意，

故選：c.

【點撥】本題較為簡單，主要是對不等式的理解和最大整數的理解.

【變式3-2]（2023?廣東東莞?東莞市厚街海月學校校考模擬預測）當久=4時，不等式成立的是（）

A.%+1<4B.-x>2C.2%+1<5D.3%-2>9

【答案】D

【提示】將％=4分別代入四個選項中，看不等式是否成立即可.

【詳解】A選項：當久=4時，x+1=5>4,不符合題意；

B選項：當久=4時，（x=2,不符合題意；

C選項：當x=4時，2%+1=9>5,不符合題意；

D選項：當久=4時，3x-2=10>9,符合題意；

故選D.

【點撥】本題考查了代數式求值，熟練掌握上述知識點是解答本題的關鍵.

方法技巧

要判斷某個未知數的值是不是不等式的解可直接將該值代入不等式的左、右兩邊，看不等式是否成

W共成立皿1星差皿|木星

題型04利用不等式的性質判斷式子正負

[例4]（2023?湖南長沙?長沙市開福區青竹湖湘一外國語學校校考模擬預測）如果x<-3,那么下列不

等式成立的是（）

A.x2>-3xB.x2>-3xC.x2<-3%D.x2<—3x

【答案】A

【提示】根據不等式的性質判斷即可.

【詳解】解:因為久<-3,

所以久2>-3%（不等式的兩邊同時乘同一個負數，不等號的方向改變）.

故選：A.

【點撥】本題考查不等式的基本性質:（1）不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數或同一個式子，

不等號的方向不變；（2）不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；（3）不等式的

兩邊同時乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變.

【變式4-1］（2023.湖南常德.統考模擬預測）已知a>b,則下列不等式變形不正確的是（）

A.CL-2>b—2B.—2a）—2bC.a+2>b+2D.

【答案】B

【提示】①不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變；②

不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；③不等式的兩邊同時乘以（或除以）

同一個負數，不等號的方向改變.根據不等式的性質進行提示即可.

【詳解】解：A.a>6,不等式的性質1，。-2>b-2,故A正確，不符合題意；

B.a>b,不等式的性質3,-2a<-2b,故B錯誤，符合題意；

C.a>b,不等式的性質1,a+2>b+2,故C正確，不符合題意；

D.a>b,不等式的性質2,T>，故D正確，不符合題意；

故選：B.

【點撥】本題主要考查了不等式的性質，解題關鍵是要注意不等式的兩邊都乘以或除以同一個負數，不等

號的方向改變.

【變式4-2］（2023?浙江嘉興統考二模）已知a,b,c,d是實數,S.a-b>c-d，下列說法一定正確的是（）

A.若b=d.,貝！］a>cB.若a=c，則

C.若b>d，則a>cD.若a〉c，則

【答案】A

【提示】根據不等式的性質，逐項提示判斷即可求解.

【詳解】解：A.若b=d,a-b>c-d,貝！］a>c,故該選項正確，符合題意；

B.若a=￡?,61-6><?-￡?,則6<6（,故該選項不正確，不符合題意；

C.若6>d,則a>c不一定成立，例如a-2,c-1,2>l;b=2,d=l,b>d,則a一b=c-d,故該選

項不正確，不符合題意；

D.同C選項，可得，若a>c,則6>d不一定成立，故該選項不正確，不符合題意；

故選：A.

【點撥】本題考查了不等式的基本性質，熟練掌握不等式的基本性質是解題的關鍵.不等式的性質：不等

式的基本性質1:不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數（或式子），不等號的方向不變；不等式的基本

性質2：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；不等式的基本性質3：不等式

的兩邊都乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變.

【變式4-3]（2023?浙江杭州?杭州市豐潭中學校考三模）設》,y,c為實數，貝U（）

A.若x>y,貝！J%+3c>y—2cB.若%>y,貝!>yc

C.若1>y,貝he2>yc2D.若2>W,貝！R>y

【答案】D

【提示】根據不等式的性質進行運算辨別即可.

【詳解】解：若x>y,%+5c>y不一定成立，即x+3c>y-2c不一定成立，

故選項A不符合題意；

若%>y,c=0時,xc=yc,

故選項B不符合題意；

若x>y,c=0時，貝！]xc2=yc2,

故選項C不符合題意；

若.>~i'則c?>0,故x>y,

故選項D符合題意.

故選：D.

【點撥】此題考查了不等式性質的應用能力，關鍵是能根據不等式的變化正確選擇對應的性質.

題型05根據點在數軸位置判斷式子正負

[例5]（2023?黑龍江大慶?統考一模）實數a,b,c在數軸上對應的點如圖所示，則下列式子中正確的是

（）

cb0a

A.—a—c>—b—cB.ac>beC.\a-b\=a—bD.a<—b<—c

【答案】C

【提示】借助數軸上實數的位置關系結合相反數和絕對值的知識點，判斷大小，逐一驗證.

【詳解】解：A.由圖知：a>6,那么-a<-b,-a-c<-b-c,故選項錯誤，不符合題意；

B.由圖知：a>b,c<0,那么ac<cb,故選項錯誤，不符合題意；

C.由圖知：a>b,那么a-6>0,|a-6|=a-6,故選項正確，符合題意；

D.由圖知：|a|>聞，|a|>|c|,a>0,c<b<0,那么a>-c>-b,,故選項錯誤，不符合題意.

故選:C.

【點撥】本題考查了數軸，實數，絕對值，相反數的大小比較，注意符號的變化對數值的影響.

【變式5-1]（2023?上海徐匯?統考二模）如圖，數軸上的點A和點B分別在原點的左側和右側，點A.B對

應的實數分別是A6,下列結論一定成立的是（）

AB

------111------>>

a-0-------------b

A.a+6<0B.b—a<0C.-2a>—2bD.|a|>\b\

【答案】C

【提示】由數軸可得a<0<b,\a\<\b\,再結合有理數的加法與減法法則及不等式的性質，絕對值的含

義逐一提示即可.

【詳解】解：-a<0<b,\a\<\b\,故D不符合題意;

-'-a+b>0,b-a>0，故A,B不符合題意；

,/a<b,

2a>-2b,故C符合題意；

故選c.

【點撥】本題考查的是利用數軸比較實數的大小，有理數的加法與減法法則的應用，絕對值的含義，不等

式的性質，掌握基礎知識是解本題的關鍵.

【變式5-2]（2022.江蘇鎮江.統考中考真題）如圖，數軸上的點A和點B分別在原點的左側和右側，點A.B

對應的實數分別是A.b,下列結論一定成立的是（）

a0b

A.a+6<0B.b—a<0C.2a>2bD.

【答案】D

【提示】依據點在數軸上的位置，不等式的性質，絕對值的意義，有理數大小的比較法則對每個選項進行

逐一判斷即可得出結論.

【詳解】解:由題意得：a<O<b,且|a|<\b\,

--a+b>0,/.A選項的結論不成立；

b-a>0,/.B選項的結論不成立；

2a<2b,:.C選項的結論不成立；

a+2<b+2,.'.D選項的結論成立.

故選：D.

【點撥】本題主要考查了不等式的性質，有理數大小的比較法則，利用點在數軸上的位置確定出。，6的

取值范圍是解題的關鍵.

【變式5-3]（2023.福建福州.福建省福州延安中學校考三模）如圖所示，數軸上有。、A.B.C四點位置與各

點所表示的數，若數軸上有一點D,D點所表示的數為d,|d-5|=|d-c|,則。點的位置（）

AcB

IIII

-5c05

A.在A的左邊B.在4C之間C.在CO之間D.在O、8之間

【答案】D

【提示】結合絕對值的幾何意義進行求解即可.

【詳解】解：由題意，點B表示的數為5，點C表示的數為c,

-D點所表示的數為d,且|d-5|=|d-c|,

二根據絕對值的幾何意義得：D點到B點的距離等于D點到C點的距離，

二。點為BC的中點，則D點表示的數d=等，

由題意，—5<c<0,則。<<|,

??-0<d<］即。點的位置在0、B之間，

故選：D.

【點撥】本題考查絕對值的幾何意義，以及不等式的性質等，理解并熟練運用絕對值的幾何意義是解題關

鍵.

【變式5-4］（2023?河北石家莊?石家莊市第四十一中學校考模擬預測）m,〃在數軸上對應的點如圖所示,

下列各式正確的是（）

-------1----------1--------1------------?

mn0

A.x<x—n<x—mB.x—n<x<x—m

C.x—m<x—n<xD.…_

【答案】A

【提示】數軸上右邊點表示的數比左邊點表示的數大，運用不等式的基本性質求解.

【詳解】如圖，6<71<。

/.0<—n<—m

.,.x<x—n<x—m

故選A.

【點撥】本題考查利用數軸比較實數的大小、不等式的基本性質；注意不等式兩邊同乘一個負數，不等號

反向.

題型06利用不等式的性質比較大小

［例6］（2022?浙江麗水?統考一模）數m,m+1,-m-2（m>0）的大小順序是（）

A.—m—2<m<m+lB.—m—2<m+l<m

C.m<m+1<—m—2D.m<—m—2<m+1

【答案】A

【提示】根據m>0,判斷出其余各數的大小關系.

【詳解】m>0

???—m<0

???—m—2<—2

???m+1>m

故選：A.

【點撥】本題考查了有理數的比較大小，解題的關鍵在于通過小>0,判斷出各個數的范圍大小.

【變式6-1](2022.浙江杭州.統考一模)已知M=x2-2x+4,N=x2-4x+4,請比較M和N的大小.

以下是小明的解答：

-：M=(%-I)2+3>3,Af=(%-2)2>0,

：.M>N.

小明的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，請寫出正確的解答.

【答案】有錯；久>0時，M>N；x=0時，M=N；尤<0時，M<N；

【提示】先求出加與N的差，根據不等式的性質對M與N的差進行分類討論即可求解.

【詳解】解：有錯，正確解答如下.

'.'M=%2-2%+4,=%2-4%+4,

.'.M—N=%2—2%+4—(x2—4x+4)=2萬.

.?.當尤>0時，2x>0,即M—N>0,此時M>N；當x=0時，2x=0,即M—N=0,此時M=N；當x<0時，

2x<0,即M-N<0,此時M<N.

.-.X>0時，M>N；x=0時，M=N；x<0時，M<N.

【點撥】本題考查作差法比較大小，不等式的性質，正確應用分類討論思想是解題關鍵.

40.(2021.江蘇南京.南師附中樹人學校校考一模)閱讀：

(1)若。<6,則2a-3<26-3,簡述理由:

小明的解法：,.Z<b,

??-2a<2/7,(不等式性質2:),

-'-2a-3<2Z;-3,(不等式性質1).

小亮的解法：令y=2x-3,

'.'k=2>0,

隨x的增大而增大.

.,a<b,

：2a■3<2Z?■3.

小敏的解法：

■-a<b,觀察函數y=2x-3的圖象可知，圖象上點(a,2a-3)在點(b,26-3)的左邊，而圖象由左往

右呈上升趨勢，

:2a-3<2Z?-3.

(2)若a<6<0,請用兩種不同的方法比較-:與-捐勺大小.

(3)若。<6<0,比較(a+2)2+1與(b+2)2+1的大小，簡述理由.

(4)若a<6<0,且W-2,厚-2,直接寫出-”與-怒的大小關系.

【答案】(1)不等式兩邊同時乘以一個正數，不等號方向不變；(2)見解析，-2<：；(3)見解析；(4)

ab

2a+l2匕+1、［/c,八2a+l2匕+1

當-2<a<Z?<0和4<。<-2時,一罰"百；當“<-2<八0時，-

【提示】(1)根據不等式的性質回答即可；

(2)方法一：利用作差法比較；方法二：利用反比例函數的性質比較；

(3)利用二次函數的性質比較；

(4)利用作差法比較即可.

【詳解】解：(1)不等式兩邊同時乘以一個正數，不等號方向不變；

/c、-14—、+12,2、2222_2a2b

(2)方法1：—展_(_/=_/+3=3

aabab

2-)

ab

'.'a<b<0,

.,.ab>0,a-b<0,

「.2(〃-Z?)<0,

■,^-^1<0

方法2:令y=-￡

'.'k=-2<0,

二在第二象限內，y隨x的增大而增大.

'.'a<Z?<0,

;

ab

(3)令廣。+2)2+1,則該二次函數圖象的對稱軸是x=-2且開口向上.

二當x<-2時，y隨著A-的增大而減小；當x>-2時，y隨著x增大而增大.

'.'a<b<0t

.,.當a<b<-2時，3+2>+1>3+2產+1;

當-2<〃<b<0時，3+2>+1<(Z?+2)2+l；

當a<-2<b<0且|。+2|<族+2|時，(〃+2)?+1<(Z?+2)2+l.

3(b—a)

2(a+2)(匕+2)

'：a<b<0,

.b-a>0,

當-2<a<Z?<0時，..,〃+2>0,Z?+2>0，.二----->-----；

口，，'2a+42匕+4，

當a<-2<時，?.,〃+2<0，/?+2>0,-——<-;

b<02a+42。+4

、［/,-_Lc八1r\2(1+12匕+1

當a<6<-2n時,'.'o+2<0,Z?+2<0,----->-----；

2a+42b+4

綜上可知，當-2<a<b<0和a<6<-2時，-猊*裝；當.<一2<b<0時，一篇一瑞.

【點撥】本題考查了不等式的性質，分式的加減，一次函數的圖象與性質，反比例函數的圖象與性質，二

次函數的圖象與性質，作差法比較代數式的大小，以及分類討論的數學思想，熟練掌握函數的圖象與性質

是解答本題的關鍵.

方法技巧

根據不等式的基本性質，可知比較兩個數或式子的大小可以通過求它們的差來判斷.如果兩個數或

式子分別為機和〃，若m-n>Q,貝！]m>n；若m-n=O,貝！|；若m-n<Q,貝!]m<n.

題型07利用不等式的性質證明(不)等式

【例7】(2022?江蘇南京.南師附中樹人學校校考二模服據不等式的性質若％-y>0,則乂>y若x-y<0,

則％<y.利用上述方法證明：若踐<0,則蜉>三|.

【答案】見解析

【提示】先求出I-蘭=7一，根據”0，得出n-1<0，從而得出"5-1)>0,即7一>0,從

TL71—1?1Q71—1)1)

而證明結論.

【詳解】證明：匚-F

Tlit—1

(n—I)2—n(n—2)

n(n—1)

1

n(n—1)

.n<0,

?-72—1<0,

:.n(jt—1)>0,

.n-ln-2

,?-->---.

nn-l

【點撥】本題主要考查了分式加減運算的應用，不等式的性質，解題的關鍵是熟練掌握分式加減運算法則.

【變式7-1](2019上?江西贛州?九年級校考期中)學以致用：問題1:怎樣用長為12cm的鐵絲圍成一個面

積最大的矩形？

小學時我們就知道結論：圍成正方形時面積最大，即圍成邊長為3cM的正方形時面積最大為9cm2.請用你

所學的二次函數的知識解釋原因.

思考驗證：問題2：怎樣用鐵絲圍一個面積為97n2且周長最小的矩形?

小明猜測：圍成正方形時周長最小.

為了說明其中的道理，小明翻閱書籍，找到下面的材料：

結論：在a+6》2Vab(axb均為正實數)中，若為定值p,則a+b>25,當且僅當a=b時，a+b有

最小值2四.

a+b》2而(a,b均為正實數)的證明過程：

對于任意正實數a、b,(Va-迎)2>0,.,.a-2y/ab+b》0,

a+b>,當且僅當a=。時，等號成立.

解決問題：

(1)若久>0,貝次+:>—(當且僅當x=—時取“=”)；

(2)運用上述結論證明小明對問題2的猜測；

(3)當x>-1時，求y=詈的最小值.

【答案】(1)4,2；(2)見解析；(3)2

【提示】(1)根據題意，由a+b》24ab,當且僅當a=b時，等號成立；即可解決問題；

(2)設矩形的長、寬分別為x、y,由題意得xy=9,再根據公式證明當x=y時，x+y有最小值，進而得結

論；

(3)把丫=詈轉化為y=X+1+±-2的形式,再根據公式進行解答便可.

【詳解】解：(1)?.?x>0,

X>0,

:當％=:時，即％=2時，

-》2新!，即尤+5》4；

故答案為4；2.

(2)設矩形的長、寬分別為符”、ym,由題意得盯=9,貝！］

x+y》2yfxy，即x+y》6,

當x-y=3時,x+y取最小值為6,

此時矩形的周長最小為：2(%+y)=12；

???尤=y時，矩形變為正方形，

二鐵絲圍一個面積為9n?且周長最小的矩形，所圍成正方形時周長最小；

/xX2+3(X+1—1)2+3(x+l)2—2(x4-1)+4..40

Jx+1x+1x+1x+1

X>—1,

4

.?.x+l>0,—>0,

y>2](x+1)?六—2,即y>2,

:當x+1=9?時，即比=1時，

y取最小值為：2.

【點撥】本題是一個閱讀材料題，主要考查了完全平方公式的應用，不等式的性質，二次函數的應用，關

鍵是讀懂題意，弄清解答的理論依據，學會對新知識進行拓展應用，難度較大，第(3)題關鍵是把求出

函數表達式轉化為兩個恰當的正實數的和形式，才能應用公式.

【變式7-2](2022.山東日照.日照市新營中學校考二模)2002年國際數學大會的會徽設計的基礎是公園3

世紀中四數學家趙爽為證明勾股定理繪制的弦圖(如圖1),該圖蘊含著豐富的不等關系，例如，正方形的

面積大于4個直角三角形的面積之和…

設直角三角形的邊長為a,b,則S正方形>4SRTA,(a2+b2)>4Qab^,即a?+b2>2ab；

當a=匕時，中間小正方形收縮為一個點，此時正方形的面積每于4個直角三角形的面積之和，即a?+匕2=

4Qab^=2ab,

綜上所述，a?+爐22ab,當且僅當a=匕時等號成立.

使用上述結論，“02+爐22ab,當且僅當a=b時等號成立”解決下列問題：

⑴證明：“若a,6為正實數，貝必+622<ab.當且僅當a=b時等號成立”.

（2）a/均為實數，若ab為定值4,則a+b有最小值________；若。+6為定值6，則ab有最大值__________.

⑶請結合函數圖象（圖2）研究y=%+［中函數值y的取值范圍.

（4攻口圖3，已知尸是反比例函數y=>0）圖象上任意一動點,0（0,0）,4（一1,a）,其中。是常數,a>0,

試求SAP%的最小面積（用a表示）.

【答案】（1）見解析

⑵當a>0,b>0時,a+6的最小值為4,當a<0,b<0時，a+。沒有最小值；9

（3）y>2或y<-2

⑷

【提示】（1）利用a?+22ab,當且僅當a=b時等號成立進行求解即可；

（2）利用（1）中的結論求解即可；

（3）分當%>0時，%+匕2口，當x<0時，（r）+222/（-*）?六,兩種情況討論求解即可；

%7%（-%）7（一%）

（4）如圖所示,過點P作軸于C,過點A作A3_Lx軸于B,設點P的坐標為［,|）,則點C的

坐標為（x,。），點8坐標為（-1,。），然后根據SAPOA=S燧#”口“—SAAOB一5心”建立關系式，再由（1）

中結論求解即可.

【詳解】（1）解：*2+6222ab,當且僅當a=b時等號成立,

」.（6）+（VF）>2y/~ab,

「.a+b>當且僅當返=VF即a=b時等號成立

（2）解：若仍為定值4時，

當a>0,b>。時，<a+b>2Vab,ab=4,

--Ct+bN4,

此時a+b的最小值為4,

當a<0zbV。時，「（一a）+（—b）>2J（—a）（—b）,

一（a+b）之4,

「.a+b4一4t

,此時a+6沒有最小值；

若a+b為定值6,則a"不可能都小于0,因此要使aM直最大，只需要討論當a、b都是正數的情況即可,

當當a>0,b>0時，:a+&>2Vab,a+b=6,

/.2Va&<6,

.'.ab<9,

一?ab的最大值為9；

(3)解：當%>。時tx+->2lx--,即％+->27

X\X