破解相似三角形中的一線三等角模型

解題秘籍

運用“一線三等角”型相似三角形解決問題的關鍵就是通過“找等角，定直線，搭框架”，從圖中分解或構造出

“一線三等角”這一基本圖形.

典型例題

在△ABC中,/B=45o,/C=3(T,D是BC上一點，連接AD,過點A作AGJ_AD,在AG上取點F,連接DE延長DA

至點E,使AE=AF,分別連接EG,DG,且GE=DF.

圖3-1圖3-2

(1)如圖3-1所示，當點G在AC上時,求證:BD=|CG;

(2)如圖3-2所示，當點G在AC的垂直平分線上時，求第勺值.

思路分析

⑴找等角：通過證明仆ADG是等腰直角三角形找到兩個等角乙4DG=NB=45。；；定直線：通過兩個等角/

ADG和/B的頂點B,D確定直線BC；搭框架：有了上述基礎，很容易構造出“一線三等角”的基本圖形.

第⑵問類似第⑴問，找等角：通過證明.A4DG是等腰直角三角形找到兩個等角ZXDG=LB=45°;；定直

線：通過兩個等角乙4DG和NB的頂點B、D確定直線BC；搭框架：有了上述基礎，很容易構造出“一線三等角

的基本圖形.通過證明.AADB△DGCGC獲得第勺值，再通過解4DGC獲得第勺值，從而求得爭勺值.

UC(JCLu

G

A

B

圖3-4

嘗試解答

解后反思

本題主要考查相似三角形的判定定理與性質定理，全等三角形的判定定理和性質定理，直角三角形30。角性

質，線段垂直平分線的性質等知識.解答本題第⑴問的關鍵是構造輔助線GN,之所以想到這樣構造輔助線，主要

是考慮圖中出現了兩個等角.乙4DG/B以及角的頂點所在直線BC,具備了“一線三等角”的圖形框架，因此想到了

通過構造“一線三等角”的相似模型來解決問題.

實戰演練

1.如圖所示，在等腰直角三角形BAC和等腰直角三角形DAE中，^BAC=Z.DAE=90。,,且點D在BC±,DE

與AC交于點F,AB=1,BD=爭求FC的長.

（第1題）

2.如圖所示，在△4BC中,AB=4C,,點E為邊BC的中點，點D是邊AB上一動點，點F是線段CA延長線上

一點，且滿足ADEF=NB.求證:FE平分乙DFC.

人

BEC

(第2題)

3.如圖所示，點E為正方形ABCD中邊AD上的一個動點,AB=16,以BE為邊作正方形BEFG,邊EF與邊C

D交于點H.

(1)當E為邊AD的中點時.求DH的長；

(2)當tanNABE=汨寸，連接CF,求CF的長；

(3)分別連接CE,CF,求△CEF面積的最小值.

AB

(第3題)

4.在△ABC中，D為BC上一點，E為AC上一點,且^ADE=ZB.

⑴如圖1所示，若AB=AC,求證:處=7

(2)如圖2所示，若AD=口,求證：布=器;

⑶在⑵的條件下，若L.DAC=90。,且CE=4,sin^BAD=個,求線段AB的長.

圖1圖2圖3

(第4題)

5.在△ABC中,ZBC=90。.

⑴如圖1所示，分別過A,C兩點作經過點B的直線的垂線，垂足分別為M,N,求證:△ABMO△BCN;

⑵如圖2所示,P是邊BC上一點,NB4P=ZC,tan^PAC=等，求tanC的值；

⑶如圖3所示,D是邊CA延長線上一點,AE=AB,乙DEB=90°,smZ-BAC==|,求tan/CEB的值.

（第5題）

VAG±AD,AZDAF=ZEAG=90°.

在RtADAF和RtAGAE中，『:=

iL/r=GE,

：.ADAF^AGAE(HL).AAD=AG.

又4G1AD,???AADG=AAGD=45券=cos^ADG=y

ZADN=ZADG+ZGDN,ZADN=ZBAD+ZB,ZADG=ZB=45°,/.ZGDN=ZDAB.

,/ZGND=ZB=45°,△ADBADGN.

BDADV2日口V2

—=—=—BPBDD=—NG.

NGDG22

在RtAGMC中，色=sinzGCM=

GC2

在RtAGMN中.黑=Sin乙GNM=學

GN=V2GM=V2x|GC=yGC.

BD=^GN=—x—GC=-CG.

2222

⑵解如答圖3-2所示，過點A作AHLBC,垂足為H,過點G作GPLAC,垂足為P.

答圖3-2

因為點G在AC的垂直平分線上,AG=CG./GAP=/GCP,AP=CP=|AC.

在RtAAHC中,N4CH=30°,：.AHAC,AHAC=60°,AH=AP.

由⑴同理可得△DAFs/\GAE,故AD=AG.

在RtAAHD和RtAAPG中,{AH=AP,

△AHDHAPG(HL).ZDAH=ZGAP.

1

ADAG=90°,^HAC=60°,^LDAH=^GAP=^GCP=j^DAG-AHAC)=15°,

ZBAD=ZBAH-ZDAH=3O°,ZGCD=ZACB+ZGCA=45°,ZB=ZGCD.

由⑴同理可得△ABD^ADCG.S^ZGDC=ZDAB=30O..\AADB^ADGC,

DCDG-

亨，即AB=^-DC.

在4DGC中,如答圖3-3所示，過點G作GQLDC,垂足為Q.

BDHQ

,?NGCD=45。,在RtACGQ中,CQ=GQ=學GC,；.AG=CG=&GQ答圖3-3

在等腰直角三角形ADG中，DG=y[2AG=2GQ,

在RtADGQ中,DQ=y/DG2-DQ2=V3GQ=yGC,

DC=DQ+CQ=

...AB=%C=&XGC=』C.

2222

.AB_1+V3

,,—■

CG2

★實戰演練

1.解:在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中,NBAC=NDAE=90。,

???ZB=ZC=ZE=ZADE=45°.

NADC=NB+NBAD,NADC=NADE+NFDC,'ZBAD=ZFDC.

?.*ZB=ZC=45°.AAABD^ADCF.

tAB_DC

"BD-CF'

VAB=lfBC=VTTl=V2.

r廠返

BD=—,CD=BC-BD=—,—/=■=

22V2CF

2

CF=

2

2.證明：TAB=AC,JZB=ZC.

ZDEC=ZB+ZBDE,ZDEC=ZDEF+ZCEF,

又NDEF=NB,???ZBDE=ZCEF.

.,.△BDE^ACEF.

.-B-E=_-D-E.

CFEF

點E是BC的中點.BE=CE..-.=登.

CFEF

,：ZDEF=ZB=ZC,.\△DEFS/\ECF".ZDFE=ZEFC.

；.FE平分/DFC.

3.⑴解如答圖1所示在正方形ABCD和正方形BGFE中,〃=ZBEF=9

O°,AB=AD.

ZAEF=ZAEB+ZBEF,ZAEF=ZHDE+ZDHE,

ZAEB=ZDHE.

（第3翅答圖1）

△EDH^>ABAE.

DH_DE

AE-AB'

E為邊AD的中點,.DE=AE=\AD=IAB=8..-.詈=.

DH=4.

⑵解:如答圖2所示，過點F作FNLDC,垂足為N,作FM_LAD交AD的延長線于點M在RtAABE中,tanNdBE

AF22

=—=-AB=16,??.AE=-AB=12./.DE=4.

AB4t4

ZAEF=ZAEB+ZBEF,ZAEF=ZEMF+ZMFE,ZBEF=ZEMF=90°,

ZMEF=ZABE.

在正方形BEFG中,EF=BE.

Z-A=zM=90°,

在^BEA和^EFM中.乙ABE=乙MEF,

、BE=EFf

：.ABEA^AEFM(AAS).（第3題答圖2）

AB=ME=16,EA=FM=12.

ADM=ME-DE=16-4=12.

???DM=MF,而NM=NMDN=NFND=90。.

???四邊形DNFM是正方形.

???FN=DN=DM=12.

???CN=DC-DN=16-12=4.

??.FC=yjFN2+CN2=4V10.

(3)由答圖2知SaFF=SaaF+SGlE/CH.FN+三CH.DE=^CH(FN+DE)=1CH-ME.由(2)知ME=AB=16

i

SCF=^CH-ME=8cH.

VAEDH^ABAE,

.DE_DH

"AB~AE"

設AE=xJJ!jDE=16-x,：.DH=崇AE=^(-x2+16%)=-8)2+4<4,

?/CH=DC-DH=16-DH>12,SACEF=8CH>96,BPACEF面積的最小值是96.

4.⑴證明:?；AB=AC,；.ZB=ZC.

?/ZADC=ZB+ZDAB,ZADC=ZADE+ZEDC,ZADE=ZB,.\ZDAB=ZEDC.

.?.△ABD^ADCE,

.BD_AB日口CE_BD

**CE~OC間DC-AB'

.八八CEBD

,*,AB=AC,—DC=—AC.

⑵證明如答圖1所示，過點C作CH〃AD交DE的延長線于點H.

VAD=AE,AZADE=ZAED.

（第4題答圖1）

???AD〃CH,???NH=NADE.

ZAED=ZCEH,.\NH=NCEH.???CE二CH.

ZADE=ZB,ZADE=ZH,ZB=ZH.

ZADC=ZB+ZDAB,ZADC=ZADE+ZHDC,ZADE=ZB,AZBAD=ZHDC.

AD

BADHDC.—=

DC

???CE=CH,AD=AE,

.BDAE日CEBD

CE-C。'CD-AE

⑶解：如答圖2所示，過點C作CH〃AD交DE的延長線于點H,過點C作（CG1EH,,垂足為G.

,/ZDAC=90°,AD=AE,

ZADE=ZAED=ZH=ZCEH=45°.

EC=CH=4,ZECH=90°.

???CG1EH,???EH=4版,EG=CG=GH=2夜.

（第4題答圖2）

由(1)知/.BAD=乙CDE,：.sin/LBAD=sinzCOE=|^=y.

CD=2V10,DG=VC￡>2-CG2=4A/2.DE=DG-EG=2V2,DH=6V2,/.AD=AE=2.

AD,AB_2

???BADCHDC,：.—

DC，?,6V2-2V10'

AB=笫

5.(1)證明:：AM_LMN,CN_LMN,ZAMB=ZBNC=90°.AZBAM+ZABM=90°.

ZABC=90°,.\ZABM+ZCBN=90°..\ZBAM=ZCBN.

VZAMB=ZBNC,.*.AABM^ABCN.

⑵解:如答圖1所示，過點P作PE±AP交AC于點E,過點E作EHLBC.垂足為H.

A

在RtAAPE中,tan"4C=黑=誓,故而設AP=V5a,PE=2a,由勾股定理得

AE=7Ap2+PE2=3a.BPHC

根據(1)的證明方法可得4ABP^APHE,(第5題答圖1)

“CLCAnPHPE2V5

???乙HPE=乙BAP,—=—=—,

ABAP5

ZBAP=ZC,AZHPE=ZC.PE=CE=2a.

???乙EHC=NB=90E/L4B.?；2=空='=:即BH=-CH.

BHAE