破解相似三角形中的共邊共角模型

解題秘籍

運(yùn)用共邊共角型相似三角形解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握其特征：⑴具有公共角；⑵具有公共邊；⑶有兩邊共線;

⑷公共邊是兩共線邊的比例中項(xiàng)，并能從圖中分解或構(gòu)造出共邊共角型相似三角形.

典型例題

在4ABC中,P為邊AB上一點(diǎn).

⑴如圖2-1所示，若/ACP=/B,求證:AC2=AP-AB-,

(2)如圖2-2所示，若M為CP的中點(diǎn),/PBM=NACP,AC=2,AB=3,求BP的長(zhǎng).

圖2-1圖2-2

思路分析

(1)由相似三角形的判定定理即可證明；

(2)如圖2~3所示，綜合已知條件和要解決的問(wèn)題中涉及的線段和角，從圖中抽象出了圖2-4,注意到線段A

B、BP共線，滿足共邊共角型相似三角形的特征，我們發(fā)現(xiàn)只需平移AC或BM,即可構(gòu)造出共邊共角型相似三角

形，由此我們得到兩種解題思路.

思路一：取AP的中點(diǎn)G,連接MG,可構(gòu)造共邊共角型相似三角形⑦PGMs/XMGB),從而通過(guò)設(shè)AG=x，借

助比例線段，構(gòu)造方程來(lái)求解.

思路二：過(guò)點(diǎn)C作(CQIIBM交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,可構(gòu)造共邊共角型相似三角形((△AQCO△4CP),從而通

過(guò)設(shè)BP=x,,借助比例線段，構(gòu)造方程來(lái)求解.

嘗試解答

解后反思

本題考查了相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理，平行線分線段成比例定理，三角形的中位線的性質(zhì)等知識(shí).解

答本題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造出共邊共角型相似三角形，之所以想到這樣構(gòu)造輔助線，主要是考慮到題設(shè)條件

和要解決的問(wèn)題中涉及的線段符合共邊共角型相似三角形的特征.

實(shí)戰(zhàn)演練

1.如圖所示，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，延長(zhǎng)AD,BC相交于點(diǎn)E,點(diǎn)F是BD的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且DE平分

ZCDF.

(1)求證:AB=AC-

(2)若4c=3cm,AD=2cm”求DE的長(zhǎng).

（第1題）

2.如圖所示,AD是△A8C的外接圓。0的直徑，點(diǎn)P在BC延長(zhǎng)線上，目滿足.NP4C=Z.B.

⑴求證:PA是。O的切線；

（2）弦CE1AD交AB于點(diǎn)F,若,AF-AB=12,,求AC的長(zhǎng).

（第2題）

3.已知:如圖所示,AB,AC是。O的兩條弦，且.AB=AC,D是AO延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接BD并延長(zhǎng)交。O于點(diǎn)

E,連接CD并延長(zhǎng)交。O于點(diǎn)F.

(1)求證:BD=CD-,

(2)如果AB2=A0?AD,,求證：四邊形ABDC是菱形.

(第3題)

4.如圖所示,AABC為等邊三角形，以BC為邊在△2BC外作正方形BCDE,延長(zhǎng)AB分別交CE,DE的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)F,N,^(CH1垂足為H,EM14凡垂足為M,連接AE.

(1)判斷△和△8ME是否全等，并說(shuō)明理由；

(2)求證:AE2=AC-AF.

(第4題)

5.如圖所示,AB為。O的直徑CD與。O相切于點(diǎn)C,H(0D1BC,垂足為F,OD交。O于點(diǎn)E.

(1)證明:4D=AAEC;

⑵若。O的半徑為5,BC=8,求△CDE的面積

(第5題)

6如圖所示,AABC內(nèi)接于OO,AB為直徑，弦(CE128,,垂足為F,C是2D的中點(diǎn)，連接BD并延長(zhǎng)交EC的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接AD,分別交CE.BC于點(diǎn)P,Q.

⑴求證:P是△4CQ的外心；

(2)若tan乙4BC=|,CF=8,求CQ的長(zhǎng).

(第6題)

7.在矩形ABCD中,M為邊AD上一點(diǎn),MB平分^AMC.

⑴如圖1所示，求證:.BC=MC.

⑵如圖2所示,G為BM的中點(diǎn)，連接AG,DG,過(guò)點(diǎn)M作MN||AB交DG于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)N.

①求證:AG1DG;

②當(dāng)DG?GE=13時(shí)，求BM的長(zhǎng).

圖1圖2

（第7題）

★典型例題

⑴證明:：ZACP=ZB,ZA=ZA,.\AACP^AABC..*.AP=AC.

AC2=AP-AB.

⑵方法一：如答圖2-1所示，取AP的中點(diǎn)G,連接MG.

設(shè)AG=PG=x,貝!]BG=3-x.

因?yàn)镸是PC的中點(diǎn)，AC=2,.-.MG//AC.GM=^AC=1.

答圖2-1

.\ZPMG=ZACP.

??ZACP=ZPBM,.\ZPMG=ZMBG.

ZPGM=ZMGB,.\APGM^>AMGB.

那第嚷w?解得戶竽

AB=3>AP=2x,：.x=AP=2x=3-回

：.PB=AB-APV5.

方法二：如答圖2-2所示，過(guò)點(diǎn)C作CQ//BM交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q.

?.^CQ〃BM,M為CP的中點(diǎn)，

PAzfpR

MCBQ=1，,^AQyC=^ABM

設(shè)BP=BQ=X^UAQ=3+x,AP=3-x.

ZAQC=ZPBM,ZPBM=ZACP,.\ZAQC=ZACP.

XZQAC=ZCAP,.*.AAQC^AACP.

除=隼，即AC2=AP-AQ.

22=(3--x)(3+x),解得.x=+V5.x>0,x=V5.

PB=V5.

★實(shí)戰(zhàn)演練

1.⑴證明:因?yàn)樗倪呅蜛BCD是圓的內(nèi)接四邊形/ABC=N2.

,.,Z3=Z1,Z4=Z3,.*.Z1=Z3=Z4.

因?yàn)镈E平分/CDF,；./2=/L；./ABC=/4.

/.AB=AC.

(2)M：VZ3=Z4=ZABC,ZDAB=ZBAE,.*.AABD^AAEB.

tAB_AD

??AE-AB'

AB=AC=3cm,AD=2cm,：?AE==-cm

AD2

：.DE=AE-AD=^-2=^(cm).

2.⑴證明:VAD是。O的直徑,，ZACD=90°.AZCAD+ZD=90°.

,?ZPAC=ZPBA,ZD=ZPBA,.*.ZPAC=ZD..\ZCAD+ZPAC=90°.

ZPAD=90°.APAJ_AD.所以PA是。O的切線.

(2)解:：CF_LAD,AD是直徑,.?.死=屈:.乙B=ZXCF.

,?ZBAC=ZCAF,A△ACF^△ABC.

AFACaAT-.AC

—=——:★AC2—AF?AB.

ACAB

???AFAB=12,???AC2=12.

AC=2V3.

3.⑴證明:如圖所示，分別連接BC,OB,OC.：AB=AC,OB=OC,所以點(diǎn)A,0

均在線段BC的垂直平分線上.所以AD垂直平分弦BC.

〈笫3題答圖）

，BD=CD.

⑵證明:???=A0-AD,案=笫

*.?ZBAO=ZDAB,.\AABO^AADB.AZOBA=ZBDA.

VOA=OB,.\ZOBA=ZOAB,.\ZOAB=ZBDA.AAB=BD.

：AB=AC,BD=CD,，AB=AC=BD=CD.所以四邊形ABDC是

菱形.

4.(1)結(jié)論:△CHBgZXBME,理由如下：

在正方形BCDE中,BC=BE,/CBE=90°,.\ZEBM+ZCBH=90°.

VCH±AF,EM±AF,/.NCHB=NBME=90°.ZBCH+ZCBH=90°..\ZHCB=ZMBE.

2CHB=Z.BME,

在小CHB和4BME中.卜/fCB=乙MBE,

,BC=EB,

：.ACHB經(jīng)ABME(AAS).

(2)證明:在等邊三角形ABC中,(CHI3AB,ABCH==30

在正方形BCDE中,/BCD=9(T,CE平分.2BCD,NBCE=j乙BCD=45°.

.,.ZHCF=75°..,.ZF=15°.

VAB=BC=BE,.*.ZEAB=ZAEB.

^ABE=/.ABC+ZC5F=150°,：-^AEB=j(1800-150°)=15°,^BEA=zF

又NEAB=NFAE,MABEs/\AEF.

—=竺，即AE2=AB-AF.

ABAE

又48=AC,???AE2=AC-AF.

5.(1)證明:如圖所示，連接OC.

因?yàn)镃D與。0相切于點(diǎn)C,；.NOCD=90。,即ZOCB+ZDCF=90°.

?.?OD_LBC,.\ZD+ZDCF=90°..\ZOCB=ZD.

VOB=OC,.\ZOCB=ZOBC.

,?ZOBC=ZAEC,.\ZD=ZAEC.

（第5題答圖）

(2)解:在RtAOCF中,OC=5,CF=2BC=4.

所以由勾股定理，得。F=VOC2-CF2=3.

VZCOF=ZDOC,ZOFC=ZOCD,.\RtAOCF^RtAODC.

ODOCppi八p.0c225n廠cncr125廣1。

—=—,BPOD=——=—,DE=OD-OE=5=—,

OCOFOF333

6.⑴證明:因?yàn)镃是AD的中點(diǎn),：.AC=CDZCXD=Z_A8C.因?yàn)锳B是。O的

直徑,，ZACB=90°..\ZCAD+ZAQC=90°.

又CE±AB,.\ZABC+ZPCQ=90°.AZAQC=ZPCQ./.PC=PQ.

,/CE_L直徑AB,；.AC=AE.；.AE=CD.；.ZCAD=ZACE..\PA=PC.；.PA=PC=PQ.

所以P是4ACQ外接圓圓心，即P是4ACQ的外心.

(2)解:因?yàn)镃EL直徑AB,垂足為F,所以在RtABCF中，由tanzXBC=^=f,CF=8得BF=手

所以在RtABCF中,由勾股定理得BC=VCF2+BF2=y.

因?yàn)锳B是。。的直徑，所以在RtAACB中油tan^ABC=^=^-=1,BC=；，得AC=10.

BCBF43

由⑴問(wèn)知NCBA=NCAQ,

ZACB=ZQCA=90°,/.RtAACB^RtAQCA.

AC_QC

“BC-AC'

??.AC2=CQ-BC.

「八AC215

???CQ=——=—.

yBC2

7.(1)證明:因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形,；.