中點模型專項練習

1二次函數和圓中點模型求最大值（初三）

如圖，拋物線y=#-4與x軸交于A、B兩點P是以點C（0,3）為圓心,2為半徑的圓上的動點，Q是線段PA

的中點，連接OQ,則線段OQ的最大值是（）

A.3C.1D.4

2直角頂點在圓上斜邊上的中線中點模型（初三）如圖,OM的半徑為2,圓心M的坐標為（3,4）,點P是。M上的任

意一點PALPB,且PA、PB與x軸分別交于A、B兩點，若點A、點B關于原點O對稱廁AB的最小值為（）

3平行四邊形的延長類中線求線段的值中點模型（初二）如圖,在口ABCD中,AB=5,BC=8.E是邊BC的中點,F是。

ABCD內一點,且/BFC=90。.連接AF并延長,交CD于點G.若EF〃AB,則DG的長為（）

53

X.-B,-C.3D.2

22

4正方形中多個中點中點模型三角形中位線（初二）

如圖，在邊長為2立的正方形ABCD中，點E,F分別是邊AB,BC的中點,連接EC,FD,點G,H分別是EC,FD的中

點,連接GH,則GH的長度為一.

5動點構造三角形中位線求最值中點模型（初二）

如圖,在邊長為2的正方形ABCD中,E,F分別是BC,CD上的動點,M,N分別是EF,AF的中點,則MN的最大值

為.

6動點構造三角形中位線求最值中點模型（初三）

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-x與雙曲線y=紋于A,B兩點,P是以點C（2,2）為圓心，半徑長為1的

圓上一動點，連接AP,Q為AP的中點.若線段OQ長度的最大值為2,則k的值為一.

7矩形延長類中線求線段的值中點模型（初三）

如圖,在矩形ABCD中,E,F分別為邊AB,AD的中點,BF與EC、ED分別交于點M,N.已知AB=4,BC=6?則

MN的長為—.

8梯子滑動型最值問題取斜邊上的中線（初二）

已知：如圖,Rt△ABC中，乙4BC=90°,AB=4,BC=3,兩直角頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上滑動，點

C在第一象限，連接OC,則OC長的最大值是—.

9等邊三角形和中點有關的基本輔助線（初二）

如圖，平行四邊形力BCD的頂點C在等邊，△BEF的邊BF上，點E在AB的延長線上,G為DE的中點，連接CG.若

AD=3,AB=CF=2,則CG的長為.

10利用三角形中位線定理求線段的長（初二）

如圖,矩形紙片ABCD,AB=6cm,BC=8cm?E為邊CD上一點.將△沿BE所在的直線折疊，點C恰好落在

AD邊上的點F處，過點F作尸M，BE,垂足為點M,取AF的中點N,連接MN,則MN=cm.

11利用三角形中位線定理求線段的長中點模型（初二）

如圖，已知點E在正方形ABCD的邊AB上，以BE為邊向正方形ABCD外部作正方形BEFG,連接DF,M、N分

別是DC、DF的中點,連接MN.若AB=7,BE=5,則MN=.

12構造三角形中位線中點模型求線段的長（初二）

如圖，在△ABC中，乙4cB=60°,AC=1,D是邊AB的中點,E是邊BC上一點.若DE平分AABC的周長，則DE的

長是—.

ADB

13中點模型倍長類中線有全等巧用勾股定理（初二）如圖，在Rt△4BC中，點D為AC的中點,DE1DF,DE交AB

于E,DF交BC于F,若AE=2百,EF=4廁FC的長是—.

14三角形的重心、三角形的中位線、三角形相似（初三）三角形三條邊上的中線交于一點，這個點叫三角形的重心.

如圖G是△2BC的重心.求證:AD=3GD.

15菱形有中點構造三角形中位線（初二）如圖，在四邊形ABCD中,AB\\CD,AB=AD,AC平分/.BAD.

（1）求證:四邊形ABCD是菱形：

⑵若菱形ABCD的邊長為13,對角線AC=24點E、F分別是邊CD、BC的中點，連接EF并延長，與AB的延

長線相交于點G,求EG的長.

16中點模型倍長中線構造全等三角形（初二）

若AABC^W△AED均為等腰三角形,且.NB2C=^.EAD=90°.

（1）如圖⑴，點B是DE的中點,判定四邊形BEAC的形狀,并說明理由;

⑵如圖⑵，若點G是EC的中點,連接GB并延長至點F,使（CF=CD.

求證:①EB=DC,?ZEBG=ZBFC.

17與中點有關的輔助線三角形中位線（初二）

如圖,在矩形ABCD中MB=4,4）=6,,點P、M、N分別在邊AB、AD、BC上運動，且線段MN始終經過矩形的

對稱中心，則△PMN周長的最小值為.

18構造三角形中位線中點模型（初二）

⑴如圖1,在四邊形ABCD中,AB=CD,E,F分別是AD.BC的中點,連接FE并延長，分別與BA,CD的延長線交于

點M,N.求證:乙BME=4CNE;

（2）如圖2,在AABC中,F是BC邊的中點,D是AC邊上一點,E是AD的中點直線FE交BA的延長線于點G,若

AB=DC=2,/.FEC=45。,求FE的長度.

圖1圖2

19倍長中線法遇見中點常見輔助線（初二）如圖,在4ABC中，點D為BC邊上任意一點.

⑴如圖1,若D為BC的中點.

①若AB=7,AC=5,則△ABD與AACD的周長之差為一;

②E是AD上一點,延長BE交AC于F,AF=EF,求證:AC=BE;

⑵如圖2,AD為/BAC的平分線.若AC+CD=AB,求證:ZC=2LB.

20遇見中點中線輔助線添加方法（初二）

【問題情境】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：

如圖①,AABC中,若,AB=12,AC=6,求BC邊上的中線AD的取值范圍.

小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD至點E,使DE=4D,連接BE.請根據小明的方法思

考：

A.SASB.SSSC.AASD.HL

⑵由“三角形的三邊關系”可求得AD的取值范圍是—.

解后反思：題目中出現“中點”、“中線”等條件，可考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的

結論集中到同一個三角形之中.

【初步運用】如圖②,AD是△4BC的中線,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.若EF=4,EC=3,.求線段BF的

長.

【靈活運用】如圖③，在△ABC中，乙4=90°,D為BC中點DE1DF,DE交AB于點E,DF交AC于點F,連接EF.

試猜想線段BE、CF、EF三者之間的數量關系，并證明你的結論.

1.解:連接BP,如圖.當y=0時,”-4=0,解得久1=4,K2=-4,則A(-4,0),B(4,0),：Q是線段PA的中點，OQ

為AABP的中位線,OQ=《BP,當BP最大時.OQ最大,而BP過圓心C時.PB最大,；BC=V32+42=5,

2.解:連接PO,VPA1PB,/.ZAPB=90°,VAO=BO,.*.AB=2PO,若要使AB取得最小值,則PO需取得最小值，連接

O、P、M三點共線時，PO最小,過點M作ME±y軸于點E,在RtAMOE中.0M=V42+32=5,此時PO最小值

為5-2=3,；.AB的最小值是6,故選:C.

3.解:如圖,延長BF交CD的延長線于H,

四邊形ABCD是平行四邊形,二AB=CD=5,AB〃CD,

/.ZH=ZABF,VEF/7AB,AEF^CD,

：E是邊BC的中點，；.EF是ABCH的中位線，

；.BF=FH,；NBFC=90。，；.CF_LBF,；.CF是BH的中垂線,；.BC=CH=8,，DH=CH-CD=3,

Z.ABF=4H

在AABF和AGHF中，BF=HF,

.^AFB=GFH

.二△ABF四△GFH(ASA),；.AB=GH=5,

；.DG=GH-DH=2.故選:D.

解法二:由梯形中位線可知:2EF=AB+CG,EF=4,；.2x4=5+CG,；.CG=3,；.DG=CD-CG=5-3=2

4.解:連接CH并延長交AD于P,連接PE,V四邊形ABCD是正方形，，ZA=90°,AD〃BC,AB=AD=BC=2Vx

VE,F分別是邊AB,BC的中點，.??TIE=CF=|X2V2=V2,

VAD/7BC,AZDPH=ZFCH,VZDHP=ZFHC,DH=FH,AAPDH^ACFH(AAS),.*.PD=CF=V2,?-.AP=AD-

PD=V2,.-.PE=VXP2+AE2=2,V點G,H分別是EC,CP的中點,GH=：PE=1;

5.解:如圖所示,連接AE,

1/M,N分別是EF,AF的中點，

；.MN是AAEF的中位線,MN=^AE,

.??當AE取最大值時，MN有最大值.

V四邊形ABCD是正方形,ZB=90°,

???AE=7AB2+BE2=y/22+BE2=y/4+BE2,

當BE最大時,AE最大此時MN最大，

:點E是BC上的動點，

當點E和點C重合時,BE最大,即BC的長度,

，此時AE=V4+22=2V2,

...MN=^AE=V2,.*.MN的最大值為V2.

故答案為：V2.

6解:連接BP,點O是AB的中點，則OQ是AABP的中位線，貝1]0Q=之BP,當B、C、P三點共線時.PB最大，則OQ

有最大值.而0Q的最大值為2,故BP的最大值為4,則BC=BP-PC=4-1=3,設點B(m,-m),：C(2,2)

則BC2=(m—2)2+(—m—2)2=3?,解得：m2=.1.k=m(—m)=—m2=—/故答案為—

7.解:如圖1,延長CE、DA交于Q,：四邊形ABCD是矩形,BC=6,NBAD=90°,AD=BC=6,AD〃BC,；F為AD

中點...AF=DF=3,

在RtABAF中，由勾股定理得:BF=y/AB2+AF2=5,：AD〃BC,；.ZQ=ZECB,

(Z.QEA=乙BEC

TE為AB的中點,AB=4,???AE=BE=2,在^QAE和^CBE中，NQ=乙ECBQAE=CBE(AAS),AQ=BC=6,即

.AE=BE

QF=6+3=9,

Q

VAD//BC,.,.△QMF^ACMB,.,.FM=OFC=-,

6

如圖2,延長BF和CD,交于W,同理AB=DW=4,CW=8,BF=FW=5,VAB^CD,ABNE^AWND,

；.MN=BN-BM=段-2=］，故答案為：!

8解:取AB中點P,連接OP、CP廁OP=BP=1AB=2,由勾股定理得，CP=y/BC2+AP2=利用三角形兩

邊之和大于點三邊可知：OCWOP+PC=2+VI。,即當O、P、C三點共線時0C有最大值,OC的長的最大值為2+

而，故答案為：2+

9解：：四邊形ABCD是平行四邊形，.^.AD=BC,CD=AB,DC〃AB,^.^AD=3,AB=CF=2,

CD=2,BC=3,BF=BC+CF=5,：ABEF是等邊三角形,G為DE的中點，BF=BE=5,DG=EG延長CG交BE于

點H,VDC//AB,/./CDG=NHEG,在ADCG和AEHG中，乙H巴..DCGwEHG(ASA),；.DC=EH,

(DG=EG=Z-EGH

CG=HG,：CD=2,BE=5,

.\HE=2,BH=3,VZCBH=60°,BC=BH=3,

ACBH是等邊三角形，CH=BC=3,

解法二:延長DC交FE于點M,則CGBADEM的中位線，則CD=3ME=|.

10.解:連接AC,MC.由翻折的性質可知,BE垂直平分線段CF,VFMXBE,/.F.M,C共線,FM=MC,「AN=FN,

MN=|AC,V四邊形ABCD是矩形,zXBC=90AC=+BC2=10(cm),MN=^AC=5(cm),故答案

223.解:連接CF,

,正方形ABCD和正方形BEFG中,AB=7,BE=5,.\GF=GB=5,BC=7,.\GC=GB+BC=5+7=12,.,.CF=^GF2+GC2=13.

：M、N分別是DC、DF的中點，麗=|6=多故答案為：y.

H.解:延長BC至M,使CM=CA,連接AM,作CN_LAM于N,：DE平分AABC的周長，；.ME=EB,又：AD=DB,；.

DE是AABM的中位線,(DE=^AM,DE//AM,VZACB=60°,AZACM=120°,

：CM=CA,；.NACN=60。，AN=MN,ZNAC=30°

:CN=-AC=AN=V3CN=AMV3

22’2

??.DE=與故答案為：當

何卜

12.解:如圖,過點C作CG〃AB交ED的延長線于點G,連接FG,\,點D是AB的中點，JAD=CD；AB〃GC,二Z

B=ZBCG=90°,

\LADE=ACDG

在△ADE和4CDG中,AD=CD,???ADE=ACDG(ASA),EF=FG,EA=GC,FG2=FC2+GG2,AEF2=AE2+

Z-DAE=Z-DCG

C尸在RtABEF中,FC=y/EF2-AE2=2,故答案為:2.

13.證明:連接DE,

:點G是AABC的重心，.?.點E和點D分別是AB和BC的中點；.DE是AABC的中位線；.DE〃AC且。E=

“'，?.?nSACG,喋=濟；濟*打皿=3DG,即AD=3GD.

14.解:(1)：AC平分/BAD,AB〃CD,

，ZDAC=ZBAC,ZDCA=ZBAC,

NDAC=/DCA,；.AD=DC,又；AB〃CD,AB=AD,

AB〃CD且AB=CD,.?.四邊形ABCD是平行四邊形,

VAB=AD,四邊形ABCD是菱形.

⑵連接BD,交AC于點O,（自行畫圖）

:菱形ABCD的邊長為13,對角線AC=24,.?.CD=13,AO=CO=12,：點E、F分別是邊CD、BC的中點,

；.EF〃BD（中位線），：AC、BD是菱形的對角線，

；.AC_LBD,OB=OD,又；AB〃CD,EF〃BD,

；.DE〃BG,BD〃EG,四邊形BDEG是平行四邊形，

；.BD=EG.在ACOD中.VOCXOD,CD=13,

C0=12.OB=OD=V132-122=5..-.EGBD=10.

15.解:(1)四邊形BEAC是平行四邊形，理由如下：

AAED為等腰三角形,/EAD=9(r,B是DE的中點，

ZE=ZBAE=45°,ZABE=90°,

「△ABC是等腰三角形，ZBAC=90°,

NABC=NBAE=45。，ZABE=ZBAC=90°,

；.BC〃AE,AC〃BE,四邊形BEAC是平行四邊形；

(2)@VAABC和AAED均為等腰直角三角形,/BAC=NEAD=90。，AE=AD,AB=AC,ZBAE=ZCAD,AAAEB

^△ADC(SAS),；.BE=CD;

D

B

②延長FG至點H,使GH=FG,VG是EC的中點，JEG=CG,又丁NEGH二NFGC,I.AEGH^ACGF(SAS),

???ZBFC=ZH,CF=EH,

VCF=CD,CD=BE,

???EH=BE,???NH=NEBG,???NEBG=NBFC.

16.解:取MP的中點Q,連接AQ,OQ,AO,.\AQ是RtAAPM斜邊上的中線,:.AQ=|PM又：線段MN始終經過矩

形的對稱中心，

O是MN的中點，；.OQ是AMPN的中位線，

???MO=ON=|"N,OQ=：PN,

：.CAPMN=PM+PN+MN=2AQ+2OQ+2ON

=2(AQ+OQ+ON)=2(AO+ON)

:點O是固定點，，AO是定值AO=V22+32=VH當ON取最小時,2(AO+ON)有最小值，即為所求AMPN周長的

最小值作OGLBC,垂足為G,此時OG=2即為ON的最小值,APMN周長的最小值為2V13+4.

故答案為：2可+4.

17.(1)證明:如圖1,連接BD,取DB的中點H,連接EH,FH,：E,H分別是AD,BD的中點.

；.EH是AABD的中位線EHAB,EH=

，ZBME=ZHEF,VF,H分別是BC,BD的中點，

；.FH是ABCD的中位線???FHCD,FH=\CD,

；.NCNE=/HFE,：AB=CD；.HE=FH,

ZHEF=ZHFE.\ZBME=ZCNE;

⑵如圖2,連接BD,取DB的中點H,連接EH,FH,VE,F分別是AD,BC的中點，EH是AABD的中位線,FH是

ABCD的中位線,EH=^AB,FH=|CD,FH〃AC,；./HFE=/FEC=45。，；AB=CD=2,；.HF=HE=1,；.ZHEF=Z

HFE=45。，；.AEFH是等腰直角三角形，EF=VWE2+HF2=V2.

18.解:①：D為BC的中點，.?.BD=CD,；.4ABD^^AACD的周長之差為(AB+AD+BD)(AC+AD+CD)=AB-AC.：

AB=7,AC=5,

/.AB-AC=2.故答案為:2.

②證明:如圖1,延長AD至G,使DG=AD,連接BG,VD是BC的中點，，BD=CD,

DG=AD

在ABDG和ACDA中,=/.CDA,

BD=CD

：.ABDG^ACDA(SAS),.1.ZG=ZCAD,BG=AC,

VAF=EF,.*.ZCAD=ZAEF,ZG=ZAEF=ZBEG,.,.BE=BG,.*.AC=BE;

(2)證明:如圖2.在AB上截取AE=AC,連接DE,：AD是/BAC的平分線，NBAD=/CAD,

AE=AC

在AEAD和ACAD中,卜84。=ACAD,

AD=AD

.?.AEAD^ACAD(SAS),.\ZAED=ZC,ED=CD,

VAC+CD=AB,@.AB=AE+EB,：.CD=ED=EB,：.ZB=ZBDE,/.ZAED=ZB+ZBDE=2ZB,gpZC=2ZB.

19.【問題情境】