與面積有關的模型復習講義

模型一等（同）底等（同）高的三角形面積相等

場景:如圖,AD是4ABC的中線.

作輔助線方法:作AGLBC,交BC于點G.

結論：SABD—^ADC-

拓展:如圖公ABC的三條中線AD,BE,CF交于點O.

結論：（可結合刖面的重心定理模型得到）.

SaBD—Save=^aE=^alE=^alF~^aFF=^OS43

精選例題

例如圖在平行四邊形ABCD中,/BAC=9（r,AB=AC,過點A作邊BC的垂線AF交DC的延長線于點E,

點F是垂足，連接BE,DF,DF交AC于點0,則下列結論:①四邊形ABEC是正方形;②CO:BE=1:3;（3）DE=V2BC;

④S可逆*.=SN。。其中正確的個數是（）.

A.1B.2

C.3D.4

解析

由正方形的判定定理可判定結論①的正誤；應用“8字”相似模型可得到OC：AC的值，

AC=BE,可判斷結論②的正誤；通過判斷4AED是否是等腰直角三角形可得到③的結論；由“等底等高的三角形面

積相等”得到SMCE=S4m由等底等高得到SMCF=SDCF,SA0F=SBX，然后通過面積關系可判斷結論④是否正確.

解；AB=AC,AF_LBC,；.BF=CF.：四邊形ABCD是平行四邊開么AB〃CD".ZABF=ZECF,ZBAF=ZCEF.

AABF^AECF,AB=EC.四邊形ABEC是平行四邊形.又：AB=AC,ZBAC=90°,.\四邊形ABEC是正方形，故

結論①正確.

:四邊形ABCD是平行四邊形，,AD=BC.ADBC.：.^^^=，.?.C0:4C=1:3,vAC=BE,：.CO-.BE=1:

3,故結論②正確.

四邊形ABEC是正方形,ZAEC=ZECF=45°.VAD^BC,.".ZADC=45°./.AAED是等腰直角三角形.DE

V2AD.VAD=BC,DE=應8C,故結論③正確.

--AB=CE,AB=CD,CE=CD.SaE=S?（等底等高的三角形面積相等）.「SAFC=S^c（等底等高的三角

=s

形面積相等）,SAFC_SFNC=SDFC—SFNC，即^AOF=^COD^ACE_S40F=SACD—S。。,即--v?.故結論

④正確.

a

B

綜上所述，①②③④均正確，故選D.

精選練習

1.在平行四邊形ABCD中，乙4=30°,AD=4W,BD=4,則平行四邊形ABCD的面積等于.

模型二等積轉化法

利用圖形變換（旋轉、平移、軸對稱）和割補的方法，通過等面積轉化，把求不規則圖形的面積轉化為求規則圖

形的面積來進行計算.

模型2-1直接轉化法

5i?"

APoBAPo

S用必=S用形sm影=S中影OBC

模型2-2平移轉化法

DFCDFc

\

AEBAEB

SpjKi=S正力jgHCFE

模型2-3旋轉轉化法

ADrAD

萼7°

BM\/CBM\/C

=

Sm彭SjEy/Krt-QE

模型2-4對稱轉化法

4A

四f四

DCDC

CBCBA0BA0B

S刖影=S用心"”-SA/UDSpj彭=SPAC'D

ADAD

s甘

BCBC

年一0用步CDE

模型三和差法

把不規則圖形的面積看成是一些規則圖形組合的一部分，然后根據圖形特點，用圖形組合的整體面積減去多余

的面積，或者是用幾個規則圖形的面積相加，然后進行計算.

AA

，陰影=S平行四邊形AMD-S4flfE-S期形Q\E

模型四割補法

把不規則圖形的面積通過分割或補充，化為幾個規則圖形的組合，然后再利用和差法求不規則部分的面積即可.

S陰影=S琳影a陽+S△ao-S用形

精選例題

例1.如圖，在半徑為6的。。中，點A,B,C都在。。上,四邊形OABC是平行四邊形則圖中陰影部分的面積為（

).

A.6兀B.3V37T

C.2V3TTD.2K

解析

通過0C=。幽導到四邊形OABC是菱形，進一步得到.△OZB是等邊三角形，可通過菱形的性質，把求陰影

部分的面積轉化為求扇形的面積.

解如圖，連接OB.

??.四邊形OABC是平行四邊形，

AB=0C.

AB=0A=0B,

??.△AOB是等邊三角形，..??^AOB=60°.

??.OC\\AB,

，?SAOB=SABC，

?c_C_60?7TX36_A

,?—J扁影“用2g0bT.

故選A.

例2.如圖.正六邊形ABCDEF的邊長為1,以點A為圓心、AB的長為半徑,作扇形ABF，則圖中陰影部分的面

積為（結果保留根號和兀）.

解析

正六邊形的中心與各頂點的連線，把正六邊形分割為6個全等的等邊三角形，通過求等邊三角形的面積求出正

六邊形的面積，然后利用扇形面積公式求出扇形ABF的面積，結合圖形，利用割補法計算即可.

解正六邊形的中心為點O,如圖，連接OD,OE,作(0G1DE于點G.

???乙DOE=理一=60。，,OD=OE=DE=1,OG=—.

62

c1V3,3V3

***S.=-x41x—x6=—,

正方形ABCDEF222

2

，人(6-2)x180°.oc1207TX1it

Z-A=---------------------=IzU"?5=-------------=

6稀子常數MF3603

C3A/37T

故答案為手-今

精選練習

1.如圖，在△ABC中，已知/ABC=900,/BAC=300,BC=1^AABC繞點A按逆時針方向旋轉90。后得到△AB'C,

則圖中陰影部分面積為（).

A.匹/4

2

2如圖在RtAABC中，AABC=900,AB=2V3,BC=2,,以AB的中點O為圓心、OA的長為半徑作半圓交

AC于點D,則圖中陰影部分的面積為（）.

71.---5.-+-C,2V3-7TD.4V3--

42422

3.如圖,在半徑為10的扇形AOB中,/AOB=9（T,C為而上一點?口，0人《￡，08,垂足分別為口,￡.若^^口￡=3

6。,則圖中陰影部分的面積為（）.

A.IOKB.9兀C.8兀D.6兀

4.如圖，點O是半圓的圓心,BE是半圓的直徑，點A,D在半圓上，且AD〃BO,NABO=6（T,AB=8,過點D作DC

±BE于點C,則陰影部分的面積是_________.

E

BOC

精選練習

模型一

1.解析：根據平行四邊形的性質，得到AE=根據相似三角形的性質，得到霽=喋=；等量代換得到AF

3BCCE3

=/。，于是得到褰=今故結論①正確根據相似三角形的性質，得到SABCE=36,故結論②正確根據三角形的面積

3FD2

公式，得到SABE=12,故結論③正確.由于△AEF與小ADC只有一個角相等，于是得到4AEF與4ACD不一定相

似，故結論④錯誤.

解:：在口ABCD中，AO="C,點E是OA的中點,；.AE=|CE.,?AD//BC,△AFE^ACBE.

,故結論①正確.

—CB=—CE—3AD=BC,AF-3-AD.尸02'"1

-SAEF=4,醇=償)2=?,.?.SE=36,故結論②正確.

EF_AE

3；?泮=M?二SABE=12,故結論③正確.

BE-CE3^ABE3

???BF不平行于CD,.?.△AEF與△ADC只有一個角相等..?.△AEF與^ACD不一定相似，故結論④錯誤.

故選D.

2.解:①如圖過點D作DELA

在RtAADE中，

ZA=30°,A

AD=4V3,

DE=^AD=2y/3,AE=^-AD=6.

在RtABDE中二，BD=4,

???BE=y/BD2-DE2=心-(2V3)2=2.

/.AB=AE+EB=8.

???SjABCD=4B-DE=8X2V3=16V3.

②如圖，過點B作BELAD于點E.

設BE=x.VZA=30AE=V3x,vAD=473,DE=4A/3-屆又?:BD=4,.-.BE2+DE2=即

22

x+(4V3—V3x)2

=42.整理得x-6x+8=0.解得%!=2,X2=4(舍去).即BE=2,二SdABCD=BE?AD=2X

4百=8V3

綜上所述，答案為16舊或8模型二

1,解:在RtAABC中,?：/BAC=3O°,

；.AC=2BC=2.

AB=y/AC2-BC2=V3.

VAABC繞點A按逆時針方向旋轉90。后得到△ABC,

???AB=AB'=43,BC=B'C=1,^CAC=90°.

.-./.CAB'=60°.

2

.90K?22

S磯影—SjnjBctrSdwcS琳形w*=—2gQ—一工*A/3x1—6。加(8)_兀-S

2360-2,

故選B.

2.解:如圖，在RtAABC中，連接OD.VZABC=90°,AB=2<3,BC=2NA=3()o,NDOB=60。.過點D作

DE_LAB于點E,ZB=2v5,AO=OD=V3.*0?DE=—.S。】或