2024-2025學(xué)年上海市黃浦區(qū)高三上10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一.填空題（本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分）1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={4,5},則A=2．函數(shù)的定義域?yàn)椋?．橢圓的焦距為．4.已知負(fù)實(shí)數(shù)a、b滿足ab=2,則a+b的最大值為.5．已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2，則該圓錐的側(cè)面積為．6.二項(xiàng)式x2?2x67．在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC＝3：5：7，則此三角形的最大內(nèi)角的度數(shù)等于．8.設(shè)向量a、b滿足a=1，2，b=3，4，則9．若曲線y＝e﹣x上點(diǎn)P處的切線平行于直線2x+y+1＝0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是．10．設(shè)a為實(shí)常數(shù)，y＝f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＝9x++7．若f（x）≥a+1對(duì)一切x≥0成立，則a的取值范圍為．11.設(shè)y=gx，x∈R是以1為周期的函數(shù)，fx=2x?gx則函數(shù)y=fx，x∈0,5的值域?yàn)?2．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝2n﹣1，記bm為{an}在區(qū)間[m，2m）（m∈N，m＞0）內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)，則使得不等式bm+1﹣bm＞2062成立的m的最小值為．二.選擇題（本大題共4題，第13、14題各4分，第15、16題各5分，共18分）13.“x>1”是1x<1”的().A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件14．已知m，n為實(shí)數(shù)，2+i（i為虛數(shù)單位）是關(guān)于x的方程x2﹣mx+n＝0的一個(gè)根，則m+n＝（）A．9B．7 C．5 D．415．已知函數(shù)f(x)=3sin2x+cos2x．若存在t1，t2∈?π,2π，使得A．π2B．πC．3π216．在平面直角坐標(biāo)系中，定義dA,B=maxx1?又設(shè)點(diǎn)P與直線l上任意一點(diǎn)Q，稱d(P,Q)的最小值為點(diǎn)P與直線l間的“切比雪夫距離”，記作dP,l給定下列兩個(gè)命題：①已知點(diǎn)P3,1，直線l:2x?y?1=0，則d(P,l)=43；②定點(diǎn)F動(dòng)點(diǎn)Px,y滿足dP,F1?dP,F2=2aA．命題①成立，命題②不成立B．命題①不成立，命題②成立C．命題①②都成立D．命題①②都不成立三.解答題（本大題共5題，共14+14+14+18+18=78分）17．如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M為BC的中點(diǎn)，PD＝DC＝1，直線PB與平面ABCD所成的角為．（1）求四棱錐P﹣ABCD的體積；（2）求異面直線AM與PC所成的角的大?。?8.(本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)已知函數(shù)f求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間；(2)若x∈0，19．為慶祝神舟十四號(hào)載人飛船返回艙成功著陸，某學(xué)校開(kāi)展了航天知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，共有100人參加了這次競(jìng)賽，已知所有參賽學(xué)生的成績(jī)均位于區(qū)間[50，100]，將他們的成績(jī)分成五組，依次為[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]，制成如圖所示的頻率分布直方圖．求出a的值，并用各區(qū)間的中間值估計(jì)這100人的競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)；（2）采用按比例分配的分層抽樣的方法，從競(jìng)賽成績(jī)?cè)赱80，100]（即第四、五組內(nèi)）的學(xué)生中抽取了12人作為航天知識(shí)宣講使者．現(xiàn)從這12名使者中隨機(jī)抽取1人作為組長(zhǎng)，求這名組長(zhǎng)的競(jìng)賽成績(jī)?cè)赱90，100]內(nèi)的概率．20．已知橢圓Γ:x2a2+y2b2=1與橢圓Γ交于不同的兩點(diǎn)A、B，△AF1B的周長(zhǎng)為12.(1)求橢圓Γ的方程；(2)求△A與坐標(biāo)軸都不垂直的直線l與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，在x軸上是否存在一定點(diǎn)P，使PF2恰為21．對(duì)于函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)y'＝f'（x），若在其定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x0和t，使得f（x0+t）＝（t+1）?f'（x0）成立，則稱y＝f（x）是“躍點(diǎn)”函數(shù)，并稱x0是函數(shù)y＝f（x）的“t躍點(diǎn)”．（1）若函數(shù)y＝sinx﹣m（x∈R）是“躍點(diǎn)”函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若函數(shù)y＝x2﹣ax+1是定義在（﹣1，3）上的“1躍點(diǎn)”函數(shù)，且在定義域內(nèi)存在兩個(gè)不同的“1躍點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若函數(shù)y＝ex+bx（x∈R）是“1躍點(diǎn)”函數(shù)，且在定義域內(nèi)恰存在一個(gè)“1躍點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．2024-2025學(xué)年上海市黃浦區(qū)高三上10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一.填空題（本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分）1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={4,5},則A=1，2，32．函數(shù)的定義域?yàn)椋ī?，2）．【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義得到關(guān)于x的不等式，解不等式即可求出函數(shù)的定義域．【詳解】由題意得：＞0，解得：﹣3＜x＜2，故函數(shù)的定義域是（﹣3，2），故（﹣3，2）．【點(diǎn)晴】本題考查了求函數(shù)的定義域問(wèn)題，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．3．橢圓的焦距為．【分析】根據(jù)橢圓的基本性質(zhì)計(jì)算可得．【詳解】因?yàn)闄E圓方程可化為，所以a2＝11，b2＝3，則c2＝a2﹣b2＝8，所以，則焦距為．故．【點(diǎn)晴】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．4.已知負(fù)實(shí)數(shù)a、b滿足ab=2,則a+b的最大值為-22.5．已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2，則該圓錐的側(cè)面積為2π．【分析】利用圓錐的結(jié)構(gòu)特征和側(cè)面積公式直接求解．【詳解】∵圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2，∴該圓錐的側(cè)面積為S＝πrl＝π×1×2＝2π．故2π．【點(diǎn)晴】本題考查圓錐的結(jié)構(gòu)特征和側(cè)面積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．6.二項(xiàng)式x2?2x【詳解】二項(xiàng)式x2?2x6的通項(xiàng)公式為Tr+1則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為C67．在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC＝3：5：7，則此三角形的最大內(nèi)角的度數(shù)等于．【分析】直接利用正弦定理，轉(zhuǎn)化角為邊的關(guān)系，利用大邊對(duì)大角，余弦定理可求cosC的值，結(jié)合C的范圍即可得解．【詳解】∵sinA：sinB：sinC＝3：5：7，∴由正弦定理可得：a：b：c＝3：5：7，∴C為最大角，a＝，b＝，∴由余弦定理可得：cosC＝＝＝﹣，∵C∈（0，π），∴C＝．故．【點(diǎn)晴】本題考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了三角形的解法，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8.設(shè)向量a、b滿足a=1，2，b=3，4，則a在b方向上的投影向量是9．若曲線y＝e﹣x上點(diǎn)P處的切線平行于直線2x+y+1＝0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（﹣ln2，2）．【分析】先設(shè)P（x，y），由求導(dǎo)公式求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由在點(diǎn)P處的切線與直線2x+y+1＝0平行，求出x并代入解析式求出y．【詳解】設(shè)P（x，y），由題意得y＝e﹣x，∵y′＝﹣e﹣x在點(diǎn)P處的切線與直線2x+y+1＝0平行，∴﹣e﹣x＝﹣2，解得x＝﹣ln2，∴y＝e﹣x＝2，故P（﹣ln2，2）．故（﹣ln2，2）．【點(diǎn)晴】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即點(diǎn)P處的切線的斜率是該點(diǎn)出的導(dǎo)數(shù)值，以及切點(diǎn)在曲線上和切線上的應(yīng)用．10．設(shè)a為實(shí)常數(shù)，y＝f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＝9x++7．若f（x）≥a+1對(duì)一切x≥0成立，則a的取值范圍為．【分析】先利用y＝f（x）是定義在R上的奇函數(shù)求出x≥0時(shí)函數(shù)的解析式，將f（x）≥a+1對(duì)一切x≥0成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值≥a+1，利用基本不等式求出f（x）的最小值，解不等式求出a的范圍．【詳解】因?yàn)閥＝f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以當(dāng)x＝0時(shí)，f（x）＝0；當(dāng)x＞0時(shí)，則﹣x＜0，所以f（﹣x）＝﹣9x﹣+7，因?yàn)閥＝f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（x）＝9x+﹣7；因?yàn)閒（x）≥a+1對(duì)一切x≥0成立，所以當(dāng)x＝0時(shí)，0≥a+1成立，所以a≤﹣1；當(dāng)x＞0時(shí)，9x+﹣7≥a+1成立，只需要9x+﹣7的最小值≥a+1，因?yàn)?x+﹣7≥2＝6|a|﹣7，所以6|a|﹣7≥a+1，解得，所以．故．【點(diǎn)晴】本題考查函數(shù)解析式的求法；考查解決不等式恒成立轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值；利用基本不等式求函數(shù)的最值．11.設(shè)y=gx，x∈R是以1為周期的函數(shù)，fx=2x?gx則函數(shù)y=fx，x∈0，11．14,16.【分析】設(shè)x∈1,2，則x+1∈2,3，推導(dǎo)出fx+1同理可求得函數(shù)fx在0,1、3,4、4,5上的值域，綜合可得函數(shù)fx在【詳解】設(shè)x∈1,2，則x+1∈2,3，所以，fx∈12,2，故函數(shù)fx在1,2上的值域?yàn)?2,2，同理，fx為2,8，fx在4,5上的值域?yàn)?,16.因此，函數(shù)y=fx，x∈0,5的值域?yàn)?12．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝2n﹣1，記bm為{an}在區(qū)間[m，2m）（m∈N，m＞0）內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)，則使得不等式bm+1﹣bm＞2062成立的m的最小值為13．【分析】（1）根據(jù)m≤2n﹣1＜2m，得，代入即可得解；（2）根據(jù)m≤2n﹣1＜2m，得，對(duì)m分奇偶討論即可得解．【詳解】令m≤2n﹣1＜2m，得，當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，，即2m﹣1＞2063，因?yàn)?11＜2063＜212，所以m﹣1≥12，即m≥13，因?yàn)閙為奇數(shù)，所以m的最小值為13；當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，，因?yàn)?11＜2062＜212，所以m﹣1≥12，即m≥13，因?yàn)閙為偶數(shù)，所以m的最小值為14．綜上所述，m的最小值為13．故13．【點(diǎn)晴】本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．二.選擇題（本大題共4題，第13、14題各4分，第15、16題各5分，共18分）13.“x>1”是1x<1”的((A)充分非必要條件(B)必要非充分條件(C)充要條件(D)既非充分也非必要條件14．已知m，n為實(shí)數(shù)，2+i（i為虛數(shù)單位）是關(guān)于x的方程x2﹣mx+n＝0的一個(gè)根，則m+n＝（）A．9 B．7 C．5 D．4【分析】根據(jù)實(shí)系數(shù)方程虛根必共軛，求出另外一個(gè)根，利用韋達(dá)定理進(jìn)行求解即可．【詳解】∵2+i（i為虛數(shù)單位）是關(guān)于x的方程x2﹣mx+n＝0的一個(gè)根，∴2﹣i（i為虛數(shù)單位）也是關(guān)于x的方程x2﹣mx+n＝0的一個(gè)根，則m＝2+i+2﹣i＝4，n＝（2+i）（2﹣i）＝4+1＝5，則m+n＝4+5＝9，故選：A．【點(diǎn)晴】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，利用實(shí)系數(shù)一元二次方程的根任然滿足韋達(dá)定理進(jìn)行判斷是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．15．已知函數(shù)f(x)=3sin2x+cos2x．若存在t1，t2∈?π,2π，使得A．π2B．πC．3π215．D【分析】由題意可知ft1=2，ft2=2或者ft1=?2，ft2=?2，即可求解.【詳解】由f(x)=32x+π6=2kπ?π2，分別得到x=kπ+π6，x=k得t1?t16．在平面直角坐標(biāo)系中，定義dA,B=maxx1?又設(shè)點(diǎn)P與直線l上任意一點(diǎn)Q，稱d(P,Q)的最小值為點(diǎn)P與直線l間的“切比雪夫距離”，記作dP,l給定下列兩個(gè)命題：①已知點(diǎn)P3,1，直線l:2x?y?1=0，則d(P,l)=43；②定點(diǎn)F動(dòng)點(diǎn)Px,y滿足dP,F1?dP,F2=2aA．命題①成立，命題②不成立B．命題①不成立，命題②成立C．命題①②都成立D．命題①②都不成立16．C【分析】對(duì)于①，設(shè)點(diǎn)Q是直線l:2x?y?1=0上一點(diǎn)，且Qx,2x?1，可得d討論x?3與2x?2的大小，可得距離d，再由函數(shù)的性質(zhì)，可得最小值；對(duì)于②，根據(jù)定義得maxx+c【詳解】對(duì)于①，設(shè)點(diǎn)Q是直線l:2x?y?1=0上一點(diǎn)，且Qx,2x?1，可得d由x?3≥2x?2，解得?1≤x≤53，即有d(P,Q)=x?3，當(dāng)x=5解得x>53或x<?1，即有d(P,Q)=2x?2，d(P,Q)綜上可得，P，Q兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”的最小值為43.故①正確；對(duì)于②，定點(diǎn)F1(?c,0)、F滿足dP,F1曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故不妨設(shè)x≥0，y≥0；當(dāng)x+c≥yx?c≥y時(shí)，有x+c?x?c=2a，得：x=a0≤y≤a?c；當(dāng)有x+c?y=2a，a<x；則點(diǎn)P的軌跡是如圖所示的以原點(diǎn)為中心的兩支折線.結(jié)合圖像可知，點(diǎn)P的軌跡與直線y=k（k為常數(shù)）有且僅有2個(gè)公共點(diǎn)，因此②正確，故選：C.“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問(wèn)題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解，對(duì)于此題中的新概念，對(duì)閱讀理解能力有一定的要求.但是，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說(shuō)“新題”不一定是“難題”，掌握好基礎(chǔ)知識(shí)，以不變應(yīng)萬(wàn)變才是制勝法寶.三.解答題（本大題共5題，共14+14+14+18+18=78分）17．如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M為BC的中點(diǎn)，PD＝DC＝1，直線PB與平面ABCD所成的角為．（1）求四棱錐P﹣ABCD的體積；（2）求異面直線AM與PC所成的角的大?。痉治觥浚?）根據(jù)線面角的定義，錐體的體積公式即可求解；（2）將兩異面直線平移成相交直線，再結(jié)合解三角形知識(shí)即可求解．【詳解】（1）∵PD⊥底面ABCD，∴直線PB與平面ABCD所成的角為∠PBD＝，又PD＝1，∴DB＝，又底面ABCD是矩形，且DC＝1，∴BC＝，∴四棱錐P﹣ABCD的體積為；（2）取AD的中點(diǎn)N，連接NC，NP，又M為BC中點(diǎn)，∴AN＝DN＝MC＝，且AN∥MC，∴四邊形AMCN為平行四邊形，∴AM∥NC，∴直線AM與PC所成的角即為NC與PC所成的角，即直線AM與PC所成的角為∠PCN＝θ或其補(bǔ)角，又NP＝NC＝，又PC＝，∴cosθ＝，∴θ＝arccos，∴異面直線AM與PC所成的角的大小為arccos．【點(diǎn)晴】本題考查線面角的定義，錐體的體積公式，兩異面直線所成角，屬基礎(chǔ)題．18.(本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)已知函數(shù)f求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間；(2)若x∈0，【詳解】（1）=sin2x+3cos2x=2sin由π2+2kπ≤2x+π（2）因?yàn)閤∈0，π2，19．為慶祝神舟十四號(hào)載人飛船返回艙成功著陸，某學(xué)校開(kāi)展了航天知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，共有100人參加了這次競(jìng)賽，已知所有參賽學(xué)生的成績(jī)均位于區(qū)間[50，100]，將他們的成績(jī)分成五組，依次為[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]，制成如圖所示的頻率分布直方圖．求出a的值，并用各區(qū)間的中間值估計(jì)這100人的競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)；（2）采用按比例分配的分層抽樣的方法，從競(jìng)賽成績(jī)?cè)赱80，100]（即第四、五組內(nèi)）的學(xué)生中抽取了12人作為航天知識(shí)宣講使者．現(xiàn)從這12名使者中隨機(jī)抽取1人作為組長(zhǎng)，求這名組長(zhǎng)的競(jìng)賽成績(jī)?cè)赱90，100]內(nèi)的概率．【分析】（1）由頻率之和為解a，由頻率分布直方圖中平均數(shù)的估計(jì)方法求解平均數(shù)，即可得出答案；（2）先由分層抽樣的方法確定每層的人數(shù)，然后由古典概率公式計(jì)算概率，即可得出答案．【詳解】（1）由題意得（0.015+a+0.035+0.025+0.005）×10＝1，解得a＝0.02，這100人的競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)估計(jì)為55×0.15+65×0.2+75×0.35+85×0.25+95×0.05＝73.5；（2）成績(jī)?cè)赱80，90]的頻率為0.25，成績(jī)?cè)赱90，100]的頻率為0.05，則競(jìng)賽成績(jī)?cè)赱80，90]，[90，100]兩個(gè)組的人數(shù)之比為5：1，采用分層抽樣的方法從中抽取12人，則成績(jī)?cè)赱80，90]抽得的人數(shù)為人，成績(jī)?cè)赱90，100]抽得的人數(shù)為人．現(xiàn)從這12名使者中隨機(jī)抽取1人作為組長(zhǎng)，則這名組長(zhǎng)的競(jìng)賽成績(jī)?cè)赱90，100]內(nèi)的概率為．【點(diǎn)晴】本題考查頻數(shù)分布直方圖，考查轉(zhuǎn)化思想，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．20．已知橢圓Γ:x2a2+y2b2=1與橢圓Γ交于不同的兩點(diǎn)A、B，△AF1B的周長(zhǎng)為12.(1)求橢圓Γ的方程；(2)求△A與坐標(biāo)軸都不垂直的直線l與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，在x軸上是否存在一定點(diǎn)P，使PF2恰為20．(1)x29+y28=1；(2)48217；(3)存在.【分析】（1）由題意可得4a=12，可得a=3，由離心率可求c=1，結(jié)合a2=可得S△ABF1（3）設(shè)Mx1,y1,Nx2,y2，設(shè)l:y=k又橢圓Γ的離心率為13，即ca=13，所以c=1,c2=1，又（2）由（1）得F1?1,0,F21,0，則直線l的方程為由x29+y2所以y1因?yàn)镾△ABF1=S△AF（3）設(shè)Mx1,y1,Nx所以x1+x2=18k所以y1x1即2x1x2?即在x軸上存在一定點(diǎn)P9,0，使PF2注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．21．對(duì)于函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)y'＝f'（x），若在其定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x0和t，使得f（x0+t）＝（t+1）?f'（x0）成立，則稱y＝f（x）是“躍點(diǎn)”函數(shù)，并稱x0是函數(shù)y＝f（x）的“t躍點(diǎn)”．（1）若函數(shù)y＝sinx﹣m（x∈R）是“躍點(diǎn)”函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若函數(shù)y＝x2﹣ax+1是定義在（﹣1，3）上的“1躍點(diǎn)”函數(shù)，且在定義域內(nèi)存在兩個(gè)不同的“1躍點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若函數(shù)y＝ex+bx（x∈R）是“1躍點(diǎn)”函數(shù)，且在定義域內(nèi)恰存在一個(gè)“1躍點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．【分析】（1）求出給定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再由“躍點(diǎn)”函數(shù)的定義結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求得實(shí)數(shù)m的范圍即可；（2）根據(jù)“1躍點(diǎn)”函數(shù)的定義，列出方程，求出該方程在（﹣1，3）上有兩個(gè)不同的解的實(shí)數(shù)a的范圍即可；（3）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程ex+1+b（x+1）＝2（ex+b），即﹣b＝有一個(gè)實(shí)數(shù)解，再構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)求解作答．【詳解】（1