立體幾何常見重要題型歸納

題型一點到面的距離

常見技巧：等體積法

例1：如圖所示，在直四棱柱A8CO-AiBCid中，底面ABC。為等援梯形，AB//CD,AB

=4,BC=CD=2,AAt=2,E,當分別是棱A。，441的中點.

、D

（1）設F是棱A3的中點，證明：直線EEi〃平面FCG;

（2）證明：平面Oi4C_L平面BBCC；

（3）求點。到平面。1AC的距離.

解析：(1)???CO//A8,C￡)=-48,A/7=-AB,..C￡)//AF,CO=Af'

22

四邊形Afro為平行四邊形

/.CF//AD又?.4/)<=面八￡>44，。尸二面4￡)口入

??.C尸〃面AO.A2分

在直四棱柱中，CCJ/DQ,又,.?〃￡)<=面AOAA，。產0面4OAA

CCJ/面AORA3分

又CC、cCF=C,CC[,CFu而CC[F/.面CC、F〃面ADD^

又EE；u面面CC75分

(2)-BC=CD=-AB=2平行四邊形A尸CO是菱形

2

..DF±AC，易知3C//D產:.ACA.BC7分

在直四棱柱中，ABCD

CC(1ffi

又BCcCG=C..AC_L面8CG49分

又ACu面D|AC.?.而RACJ.而BCG41。分

(3)易知力=%-ADCII分

設力到面AAC的距離為d,則

(山.4年久小，又山平?=厲,￡皿="。口=214分

.-.J=—,即。到面RAC的距離為2且.16分

515

變式1：如圖所示，在四棱錐尸-A8C。中，PCJ_底面48c。，底面A8C。是矩形,

BC=PC,E是PA的中點.

(1)求證：尸3_1平面。。后；

(2)已知點M是A。的中點，點N是AC上一點，且平面PDN〃平面BEM.若

BC=2AB=4,求點N到平面CDE1的距離.

解析：(1)證明：取F6的中點為尸，連接CW和￡及，

???石是24的中點，???石/〃陽〃0(3,

:.平面C0E與平面CDE尸為同一平面，

???「。_1底面48。力，底面ABCD是矩形，

/.DCLPC.DCA.BC,即OC_L平面尸8C,/.DCLPB.

VBC=PC,:.CF_LPB,?;CDC\CF=C,，_L平面CDE.

(2)過。作。G〃BM交BC于G,連接PG,

是4。的中點，???EM〃PD,

???PonOG=。，??平面P￡>6〃平面BEM,

???當N是AC與。G的交點時，平面PDV〃平面BEM,

「NC'Ci1

在矩形A5CD中，求得上L==

ANAD2

**BC=2AB=4,，^ADCE~夜?

/.S30V=-SgcG=§2

E到平面A3CD的距離為2,設點N到平面CDE的距離為d,

由匕得;x20d=；x2xg,解得"=半.

變式2：在直三棱柱ABC—A.4G中，AB=AC=\fNB4C=90°,且異面直線與

用G所成的角等于60°,設44,=〃.

（1）求。的值；

（2）求直線用。1到平面ABC的距離.

解析：（1）VBCIIB.C,,

???NABC就是異面直線AB與4G所成的角,

即N4BC=60°,

又連接AC,AB=AC,則=

A為等邊三角形，

由AB=AC=1,ZBAC=90°=>BC=V2,

:.AB=V2=J1+儲=y/2=4=1.

（2）易知qc〃平面ABC,又。是上的任意一點，所以點。到平面48。的距離

等于點用到平面ABC的距離.

設其為d,連接BC，

則由三棱錐用-A.BC的體積等于三棱錐C-4,34的體積，求d,

的面積S=；,AA8C的面積S'=冬由=冬

又C4_LAA,C4_LAB,???CA_L平面4/C，

—,即到平面的距離等于且

所以1?S?AC=』?S?dnd=MG48C

3333

變式3：如圖所示，是OO的直徑，點。是。O上的動點，小垂直于所在的平面

ABC.

（I）證明：Q4CJ?平面?8C；

（II）設94=6,AC=1,求三棱錐4一mC的高.

解析：證明：（1）???4?是0O的直徑，點C是。O上的動點，

，NACB=90。，即BC_LAC.

又丁E4垂直于OO所在平面，BCu平面（DO

???PA±BC.

???PAC\AC^A

：.6CJL平面PAC.

又BCu平面尸C8,

???平面以C_L平面PBC.

（2）由⑴的結論平面B4CJ_平面?8C,平面RACn平面尸8C=尸C,

???過A點作PC的垂線，垂足為0,

在RtZ\A8C中，PA=y13,AC=\,APC=2,

由ADxPC=P4xAC,

?SPAXACixV575

??AD=-----------=---------=——，

PC22

???A點到平面PCB的距離為且.

2

變式4：在三棱錐尸一ABC中，底面ABC為直角三角形，AB=BC,Q4J_平面ABC.

c

(1)證明：BC上PB；

(2)若。為AC的中點，且尸A=4,A3=2應，求點O到平面PBC的距離.

解析：(1)???A48C為直角三角形，AB=BC,：,ABLBC,

???QA_L平面ABC,8。<=平面48。，???24,8。，8C_L平面B45,

???PBu平面ABCVPB.

(2)由A5=3C,PA=4,AB=2yfi,根據已知易得PB=2遍，

/.S"RC=-2B2C*PB=-x2>/2x2>/6=4>/3,

S&DBC=；S&、BC=$$26x2近=2,

[8

,,Vp_DBC=§S^BCXPN——?

設點。到平面PBC的距離為h，則vD_PBC=gSMSC=，

.._.._2G

,vVP-DBC-vVD-PBC***n——-?

變式5：如圖所示，在三棱柱ABC-A4G中，AA_L平面ABC,AB=A\=2,

AC=BBC=3,M,N分別為4G、A4的中點.

(1)求證：平面ABC；_L平面AAQC；

(2)求證：MN〃平面ABC1,并求M到平面的距離.

解析：證明：(1)?：AB2+AC2=BC2,：.ABLAC,

又平面ABC,AAA.LAB,又4。口叫=%，，ABJL平面A4.G。，

?.?4Bu平面ABC-???平面43。1，平面44。。.

(2)取BP1中點D,,??M為qG中點，???MD〃5G，

又N為A4中點，四邊形為平行四邊形，???rW//45,又MDp\DN=D,

???平面M/V。〃平面ABC一

???N到平面ABQ的距離即為M到平面ABC.的距離.

過N作NHJ.AG于“，???平面45G_L平面AAG。，???M/_L平面A8G，

12x7575

=-x-----

233

???點M到平面A6G的距離為乎.(或由等體積法可求)

變式6：如圖所示6,已知點C是圓心為。半徑為1的半圓弧上從點4數起的第一個三等分

點，是直徑，。。=1,直線CO_L平面ABC.

D

(1)證明：AC.LBD.

(2)在08上是否存在一點M,使得〃平面DAC,若存在，請確定點M的位置,

并證明之；若不存在，請說明理由；

(3)求點C到平面A3。的距離.

【答案】（1）見解析（2）中點（3）亙

7

【解析】

試題分析：注意空間垂直關系的轉化，線線垂直可由線面垂直而得，注意是否存在類問題的

解法，可由先確定點的位置.，之后再證明，對于第三問，可由等級法來確定.

試題解析：（1）證明：平面ABC,ACu平面ABC,

：.CD±AC.（1分）

???點C在圓。上，A8是直徑，

/.ACA.BC.（2分）

又???。力口8。=。，.??4。_1平面5。。.（3分）

又，：BD平面5c￡>,：.ACBD.（4分）

（2）當M為棱08中點時，0M〃平面A4C.（5分）

證明：???M,O分別為中點，???OM〃AO,（6分）

又AZ）u平面D4C,平面D4C,工OM〃平面D4c.（7分）

（3）???點。是圓心為。半徑為1的半圓弧上從點A數起的第一個三等分點，

???ZAOC=60。，而3=00=1,于是，AC=1,（8分）

???48是直徑，???從。_13。，于是，BC=>jAB2-AC2=V22-12=73.

???直線CD_L平面ABC,所以，CD_LAC,CDtBC,

AD=ylAC2+CD2=V12+12=V2,BD=dBC?+Clf=歷1=2.（9分）

*/AB=2=BD>

設點片是A。的中點，連接8石，則座J.AD

:.BE=\IAB2-AE2=丹-（仞2）2=7772,,（10分）

s卡”哈白久癢日，

（11分）

SMBD=；ADBE=：xyfixG=,.

（12分）

?^C-ABD=^D-ABC'（13分）

設點C到平面A3。的距離為〃，則有』5必9?〃=,5必818,即立/="xl,

M1M1

/.//=—,即點。到平面A8O的距離為二一.（14分）

77

題型二線面角

常見技巧：1、定義法；2、等體積法

例2：如圖所示，在四棱維P—A3CD中，底面A3CD是平行四邊形，

NAZ)C=45°,AO=AC=1,。為月C的中點，。01_平面43。。，PO=2,M為8。的

中點.

(1)證明：AD_L平面PAC；

(2)求直線40與平面A3C。所成角的正切值.

解析：證明：(1)vAD=AC,:.ZACD=ZADC=45ZD4C=90,

又PO_L平面ABCD,尸O_LAO,又POP)AC=O,/.AD_L平面PAC.

連結。。，取。。中點N,連結MN-PO.L平面ABCD,;.MN上平面

ABCD,NM4N為所求線面角，

?/AN=-D0=—,MN=-P0=l/.tan/MAN=.

222f5

變式1：在四棱錐P—ABC力中，底面ABC。為矩形，叢，面488,PA=AD=4,

AB=2,以AC為直徑的球面交尸。于M點.

(1)求證：面旗加工面。。：

(2)求CO與面ACM所成角的正弦值.

解析：(1)證明：???PA_L平面48CZ),ABu平面A8CQ,

???PA±AB,

又???A8J_AD,PAC\AD=A,

???48_1_平面抬。，/.AB.LPD,

由題意得N8MD=900,工PD工BM,

又???A3nBM=8,???2￡＞，平面鉆”，

又「力u平面PC。，???平面48WJ_平面尸CD.

根據題意，

(2)SZV^iMCL=2-AMCM=2y/6,S^DC=-2ADCD=4,

又匕"A8=%fG/，即,x4x2=1x2j^z，人=S=(其中/z為。到面4cM的

33。63

距離），

設CO與面ACM所成的角為a,

25/6

.h干娓

則milsma=——=—^―=——

CD23

變式2：如圖所示，在長方體45co—中，已知AQ=4A=1,AB=2,點E是

（1）求證："EJL4。；

（2）求直線8c與平面。所成角的大小.

解析：(1)連結A。，因為4A0R是正方形，所以AA_LA。，

又AE_1_面,4］。＜=面只。。［4，

所以AE_LA。，

又A9nAE=A，AO「4Eu平面ARE,

所以AO_L平面ARE,

而REu平面A￡＞］E,

所以0EJL4。.

(2)易證，四邊形4。。片是平行四邊形，所以4。//用。，

則直線B}C與平面DED1所成角就是直線4。與平面DED、所成角，

平面OER交AM于尸，過A作

易證：4〃_1平面。］。石廠，

幺DH就是直線A。與平面DED1所成角，

包

sinZA］DF=^-=^=~,

A。&2

所以直線3。與平面DED,所成角的大小為30°.

變式3；如下圖，已知四棱錐P八6CZ)中，底面八BCD為菱形，P4_L平面八B8,

ZA3c=60°,E,產分別是BC,PC的中點.

(1)證明：4石_1平面~4。；

(//)取AB=2,在線段PO上是否存在點”，使得EH與平面PAO所成最大角的正切

值為空，若存在，請求出“點的位置；若不存在，請說明理由.

2

證明：由四邊形ABC。為菱形，ZABC=60,可得AA3C為正三角形,

因為￡為3。的中點，所以AE_L6c.

又BCUAD,因此AEJ_AO.

因為PA_L平面A3CD,/1后匚平面48。。，

所以。4_LA￡.

而RAu平面PAO,AQu平面PAO,PA[\AD=A.

所以AE,平面PAD.

(〃)解：設線段尸力上存在一點〃，連接AH,EH.

由(/)知，4￡，平面24￡),

則NEHA為EH與平面尸4。所戌的角.

在孜AE4//中，AE=6

所以當AH最短時，即當AHJLPD時，NE//A最大，

止匕時口11/￡：月4=任=3=如，因此=

AHAH2

所以，線段尸。上存在點”，

當OH=應時，使得EH與平面24。所成最大角的正切值為逅.

2

變式4：如圖所示，四棱錐P—ABCD,底面ABCD是NABC=60的菱形，側面PAD是

邊長為2的正三角形，。是A。的中點，M為PC的中點.

(1)求證：PC1AD；

(2)若尸。與底面ABC。垂直，求直線DW與平面PAC所成的角的正弦值.

解析：(1)連接OC,AC,

由題意可知APAD,AACD均為正三角形.

所以OC_LAD,OP±AD.

又OCC|OP=O,OCu平面POC,OPu平面POC,

所以ADJ_平面POC,

又PCu平面POC,

所以PC_LAD.

(2)又PO_L平面ABCD.即PO為三棱錐P-ACD的高.

在RtAPOC中，PO=OC=6，PC=#

在APAC中，PA=AC=2,PC=x/6,

x/io

邊PC上的高AM二VPA2-PM:

—

所以APAC的面積SAPAC=BPCAM=」XJ^X，^=巫.

設點D到平面PAC的距離為從由VD_PAC=VP_ACD得，

§S&PAC,，=§,^AACD,P。，

又3=扣百=百，

所以_Lx@5x〃=」xGxjj,解得叵.

3235

故點D到平面PAC的距離為之叵.

5

設直線DM與平面PAC所成的角為。

2小

則sinO='-=4^=亞：

DMV105

F

2[7

所以直線DM與平面PAC所成的角的正弦值為詈.

變式5：已知等腰直角三角形RBC,其中/期C=90。，RB=BC=2.點A、。分別

是RB、RC

的中點，現將△RAD沿著邊AZ)折起到△PAD位置,使PA_LA8,連結P9、PC.

(I)求證：BCVPB

(II)求PC與平面48co所成角的余弦值

解析：(【)證明：???4、。分別是RB、RC的中點;

：,AD//BC.NMD=NRAD=NRBC=90°；

???B4_LA￡>,PALBC；

又BC上AB,

平面％8；

丁尸6(-平面MB；

：.BCA.PBi

(II)由M±AD,B4_LAB,AD(\AB=Ai

.??B4_L平面ABC。；

連接AC,則NPC4是直線PC與平面ABC。所成的角；

VAB=1,BC=2,：,AC=yf5；

又用=1,%_LAC,：.PC=\[6；

*?AC加A/30

??在RiAB4C中，cosZ.PCA=-----=—j==-------；

PC屈6

：.PC與平面ABCD所成角的余弦值為季

6

變式6：如圖所示，在三棱錐尸一4BC中，AA3C是等邊三角形，。是4c的中點,

PA=PC,二面角尸一AC-8的大小為60'.

(1)求證：平面P8￡)_L平面尸AC；

(2)求49與平面R4C所成角的正弦值.

BD±AC

解析：(1)PD1AC，=ACJ.面mo

PBcBD=B

又ACu面上4C,所以面E4CJ■面?由)

即平面平面PAC

(2)方法一：

NPDA就是的平面角，得ZPBD=60

作〃O_LPD于O,連結40,則AC上BO,又ACcPD=D

：.5OJ_nffR!C,，NA4O就是直線AB與平面R4C所成的角

令AB=Za,BD=6a,BO=-BD=-a

22

3

.?BO2a3

??sinXBAO=-----=-----=—

AB2a4

變式7：如圖所示，棱柱ABC-ABG中，四邊形44出出是菱形，四邊形8CG用是矩

形，AB1BC.CB=1,^=ZZA1AB=60\

（1）求證：平面C418_L平面：

（2）求點G到平面ACS的距離；

（3）求直線AC與平面BCGBI所成角的正切值.

【答案】（1）證明過程詳見試題解析；（2）點q到平面4cB的距離為石；（3）直線AC

與平面BCG4所成角的正切值為它.

2

【解析】

試題分析:（1）先證明C8_L面A.ABB,,又C8u面AAB4,???平面08_L平面與；

（2）先求出匕上年8,即可知點4到面的距離，而點G，片到面的距離相等,

所以點G到平面ACB的距離為有；⑶先找出CA在面RCB耳的射影CE,NCEA1為

直線4。與平面BCCE所成線面角，放在Rt/^CE中即可求出直線A。與平面BCCM

所成角的正切值為手

CBLAB

。8_1.面443片

試題解析：(1)/CB1BB.>=>面CA]B_L面A]ABB14分

CBu面CAjb

,;B、CJ/BC

（2）解：4G0面ABC“ngq//面ABC,所以點G，片到面4cB的距離相等，6

BCu面4田。

分

設點到面的距離相等，則

BI14Ic8VDa|~_/1A|VCOfi=3-5ABC.t/

VNAA8=60。，???AA|A8為正三角形，.?.43=2,5%“二g?2?l=1,..=\d7

分

又^Bf-AfCB=匕_4用8=8

???亨邛，??.d=3,點G到平面ACB的距離為行9

分

(3)解：過4作垂足為E10

分

ffiA1ABB11面BB￡C'

面A]ABBm面BB￡C=BB]=

1111J=AE_L而GCBB112

AE上BB]

4酒(3面44881

分

???CE為CA在面GC8片的射影，ZCEA,為直線A。與平面BCC4所成線面角，13

分

在RfA4.CE中，tanZ/11cE==W=半,

所以直線Ac與平面BCG四所成角的正切值為二二.

2

題型三錐體體積

常用技巧：選擇合適的底面

例3：如圖所示，在三棱錐P-A8C中，PA=PB=AB=2,BC=3,Z4BC=90°,

平面平面ABC,D,E分別為AB,AC中點.

(1)求證：D￡//平面PDC；

(2)求證：ABLPEx

(3)求三棱錐P—BEC的體積.

解析：(i)?.?。，E分別為AB,AC的中點，.?.OE//3C,

又OEa平面PBC,BCu平面PBC,DE//平面PBC.

(2)連接「。，

,:DEUBC,又ZABC=90。，

又PA=PB,。為A8中點，.?.PDJ_AB,

.?.48_1平面尸短后，??.?，依.

(3),??平面平面ABC,PD.LAB,

ECTBCXXXXX

??.ARR%-8=；/=；；；23G=W

.?.PD_L平面ABC,.?.22322.

變式1：如圖所示,三棱柱48。—ABC中,AB=AC=A4j=BG=2,N44G=60。,平

面ABC】J,平面AAGC，AC；與AC相交于點O.

B

(1)求證：BDA.A}C；

(2)若七在棱BQ上，且滿足Z)E〃面ABC,求三棱錐E—ACG的體積

解析：(1)已知側面A4GC是菱形，。是AC1的中點，-：BA=BC^ABDIAC,

???平面ABC；_L平面A41c0,且8￡>u平面ABC1，平面ABQfl平面相￡。=A￡,

ABOJ■平面A41CIC,BD1A。.

(2)TOE〃面ABC,OEu面ABC［，［SiABCiABC=AB,：,DEIIAB

???點。為AG的中點，，點E為BQ的中點，

AA,=AC=AC1=2,NAA1G=60°,:.AC1=2>,:AB—BC1=2,

???為正三角形，BD=6

???點E到面ACC,的距離=；,點8到面ACC,的距離=；BD=^,

SMCC=-AC^AC^sin60°=-^2^2^—=y/3

AMVVj2?,2

7T

變式2：如圖所示，在平行四邊形ABC。中，AB=i,BC=2,NCB4=—，ABEF為

3

直角梯形，BE//AF,NBAF，,BE=2,AF=3,平面A3CD_L平面A3EF.

2

D

(1)求證：AC_L平面AB防；

(2)求三棱錐。—AE產的體積.

jr

解析：(1)證明：在AABC中，AB=1,NCSA=一，BC=2,

3

所以AC?=BA2+BC2-2BAxBCcosZCBA=3,

所以402+84?=8。2,所以ABJLAC,

又因為平面ABCD1平面ABEF,平面ABSD平面ABEF=AB,

4Cu平面ABC。，所以AC_L平面AB斯.

(2)解：如圖所示，連結CP.

CD//AB,

'CO〃平面AB￡/L

???點D到平面ABEF的距離等于點C到平面ABEF的距離，并且AC=百.

??^D-AEF=^C-AEF

=gx(gx3xl)xG

=6

~2

變式3：如圖所示，在四棱錐P-ABC。中，。。_1平面ABC。，底面ABC。是菱形,

ZBAD=60,AB=2,PD=瓜,。為AC與8。的交點，E為棱PB上一點.

(I)證明：平面E4C_L平面尸83；

(II)若PD〃平面E4C,求三棱錐P—E4力的體積.

解析：(I)證明：???f￡>_!_平面ABC。，ACu平面ABCD,

???AC_LPZ).???四邊形A3CD是菱形，/.AC.LBD,

又?：PDp\BD=D,4。_1_平面28。.

而ACu平面E4C,???平面E4C_L平面依￡>.

(II)解：???P。//平面EAC,平面E4CPI平面=

???PD//OE,

???。是3。中點，???E是尸8中點.

取4。中點H,連結34，???四邊形A8CO是菱形，/84。=60:

：?BHtAD,又BH上PD,4。口產方=。，；?8。_L平面尸AO,BH=—AB=43.

2

??/_岡)=VE_PAD=；VR_PAD=9gxS"AI)XBH逐乂6=與

變式4：如圖所示，在三棱錐S—A3C中，S4_L底面ABC,ZABC=90°,且￡4=AB,

點M是S3的中點，AN上SC且交SC于點、N.

(1)求證：SCJL平面AMN；

(2)當人b=3C=l時，求三棱錐A/S4N的體積.

(1)證明：?.?S4J_底面A8C,「.⑶。，夕1,又易知3C_LAB,

.?.8。_1平面點3,「.8。_1曲，

又???S4=AB,"是防的中點，「.AMJLSB,

.?.4加_1平面53。，.?./^_15。，

又已知AN1SC,

:.SC_L平面AMN；

(2)?.?SC_L平面AMN,「.SN，平面4MN,

而&4=AB=3C=1,/.AC=V2,SC=6

又?;ANA.SC,;.AN=^~,

3

又?.?AM_L平面SBC,.?.AM_LA7V,

而AM二也，:.MN=—

26

c_1V2娓

22612

??^S-AMN~TS.MN，SN——,

336

'M-SA1^^S-AMN~石?

題型4二面角

常用技巧：1、定義法；2、垂線法；3、垂面法

例4：四棱錐A—BCD石中，底面BCDE為矩形，側面A5C_L底面8COE,BC=2,

CD=立,AB=AC.

（1）證明：AD1CE；

（2）設CE與平面ABE所成的角為45、求二面角C-AO-E的余弦值的大小.

解析：（1）取8C中點尸，連接DF交CE于點0.

VAB=AC,AAF±BC,

又平面ABC1平面BCDE，工AF_1_平面BCDE,

???AFLCE.

tanNCED=tan4FDC=—,

2

；?/OED+NODE=90,AZDOE=90,BPCE1DF,

???。后_1平面4）/，/.CE±AD.

（2）在面4co內過C點作A。的垂線，垂直為G.

CGIAD,CE1AD,二AD_L面CEG,，EG_LAO,

則NCGE即為所求二面角的平面角.

AC?CD2y/3V6I帚屈

CG=------=---,￡/G=---,EU—7DmE-DU=------,

AD333

?/7CG2+GE2-CE2Vio

CE=>j6,則nlcosNCGE=---------------------=--------.

ICG?GE10

變式1：如圖所示，三棱柱ABC-ABG的底面是邊長為2的正三角形，且側棱垂直于底

面，側棱長是小，。是4C的中點。

(1)求證：8c〃平面ABZ)；

(2)求二面角4—B。一A的大小；

(3)求直線與平面ABQ所成的角的正弦值.

解析：解法一:

(1)設AB1與A》相交于點P,連接PD,則P為AB1中點1分

???￡>為AC中點，.?.尸力〃B|C,3分

又,.,POu平面A|B。，B|C〃平面A》。4分

(2)???正三棱住ABC-A|B|G，AA]J_底面4BC,又?.?8Q_LAC,/.A【D_L8。,

ZA,DA就是二面角A-BD-A的平面角6分

.-1AAi~

vAA.=V3>AD=—AC=\?tanNA〕DA=—-—=J3

2AD

/.ZA,DA=-,即二面角4—BD—A的大小是工8分

33

(3)由(2)作AM_LA]D,M為垂足9分

vBD1AC,平面A]ACC]1平面4BC,平面A】ACC】C平面ABC二AC

.?.8￡>_L平面A]ACC|,?.?4聞<=平面人|人81,.,.8。_1_4知

乂人2八5。=0,「.4知_1,平面從]。8,10分

連接M尸，則NAPM就是直線AB與平面A》/)所成的角11分

vAA.=V3,AD=\,.?.在寵必AA|O中，ZA.DA=—,

3

Fiifny/3

AM=1xsin60'=—，AP=—AB.=—，.AM2V27

乙乙乙APV77

二.直線AB.與平面A.BD所成的角的正弦值為‘V2113分

7

變式2：如圖所示，在四棱錐尸—ABC。中，底面A5C。是ND48=600且邊長為。的菱

形，側面PAO是等邊三角形，且平面PAO_L底面A3CZ).

(1)若G為AO的中點，求證：3G_L平面PAO；

(2)求證：ADLPB：

(3)求二面角A—8C—P的大小.

證明：(1)為等邊三角形且G為AO的中點,

?.BG1AD

又平面PAD1平面ABCD,

..8G_L平面R4O

<2)24。是等邊三角形且G為AD的中點，

AD1PG且AD1BG,

又PGcBG=G,

A￡)_L平面PBG,P8u平面P3G,

..ADA.PB

(3)由AD_L依，AD//BC,

BC.LPB

又BG上AD,AD//BC,

..BGA.BC

.??NP8G為二面角4一8C—0的平面角

在RfAPBG中,PG=BG,:./PBG=45°

變式3：如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA±底面ABCD,

ABYAD,ACA.CD,NA8C=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點

(1)證明CD_LAE；

(2)證明PDJ_平面ABE；

(3)求二面角A—PD—C的正弦值的大小

AD

C

B

(I)證明：在四棱錐P—ABC。中，因R4_L底面ABC。，CQu平面A8CQ,故

PA1CD9：AC±CD,E4C|AC=A,??.Cr>_L平面尸AC

而Afu平面PAC，CD±AE

(2)證明：由%二AB=8C，ZABC=60°,可得AC=P4

YE是尸。的中點，???AE_LPC

由(1)知，AE±CD,旦PCn8=C，所以AEJ_平面PC。

而PDu平面尸8，???4石_1.尸。

???Q4_L底面A8CDP。在底面A8C。內的射影是A￡>,AB±ADf：.ABLPD

又???48口4石=4,綜上得PD_L平面A5E1

(3)解法一：過點A作AM_LP0，垂足為M,連結EM則(2)知，AE_L平面PCO,

AM在平面PCD內的射影是EM,則HW_LPD

因此NAME是二面角A—尸。一。的平面角

由已知，得NC4O=30°設AC=。，

可得PA=a,A￡>=2石PD=^^~a,AE=^-a

332

在RtZXAOP中，9：AM±PD，：.AM*PD=PA-AD

PA^AD2幣

則AM=3------a

PD7

3

在RtZ\AEM中，sinAME=—=—

AM4

解法二：由題設尸4_L底面A8CD,PAu平面尸骨力，則平面BAD_L平面ACD,交線

為AD

過點C作C/_LA。，垂足為尸，故CbJ■平面尸40過點尸作垂足為M，

連結CM,故CM_LPQ因此NCMP是二面角A—PD—C的平面角

由已知，可得NC4O=30°,設AC=a,

可得PA=a,A￡)=2"a,PD=^^~a,CF=—a,FD=^-a

3326

FMFD

△皿)一?.—=一

PAPD

FD*PAy/1

于是,-----a

PD14

CFQi-

在RtZ^CW"中，tanCMF=—=-^=-=V7

FMx/7

——a

14

變式4：如圖所示，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC,

ZBAC=ZACD=900,NE4C=60。，AB=AC=AE.

（I）點尸是直線BC中點，證明。尸〃平面E46；

（II）求平面EB。與平面A8C所成的銳二面角的余弦值.

解析：（I）證明：取A8的中點尸連結OP、PF、EF,則

FP//AC,FP=-AC,取AC的中點M,連結EM、EC,

2

???4后=4。且/五4。=60。，，/\￡4。是正三角形，???胡/_14。.

???四邊形EMCZ）為矩形，???EO=MC=LAC.4分

2

又,：EDI/AC,

:.ED//FP且ED=FP,四邊形硒吆）是平行四邊形.

:?DP//EF,而所u平面EM,DPZ平面EA5,〃平面EA5.6分

（H）（法1）過B作AC的平行線/,過C作/的垂線交/于G,連結OG,

?:EDHAC,：,EDHl,

/是平面旗。與平面ABC所成二面角的棱.8分

???平面E4C_L平面ABC,OCJ.AC,???OC_L平面ABC,

又???/匚平面48。，「.。。_1/,???/_1平面￡>6。，???/_1￡>(7,

???/OGC是所求二面角的平面角.10分

設勿，則。7)=缶，GC=2af

???GD=ylGC2+CD2=41a，

cos0=cosZ.DGC=.12分