高中

專題04函數的概念及其表示（考點清單）

目錄

一、思維導圖........................................................2

二、知識回歸........................................................2

三、典型例題講與練..................................................3

考點清單01定義域................................................3

【期末熱考題型1】求常規函數的定義域..........................3

【期末熱考題型2】求抽象函數、復合函數的定義域................4

考點清單02值域..................................................4

【期末熱考題型1】一次、二次、反比例函數的值域................4

【期末熱考題型21根式型值域..................................5

【期末熱考題型31分式型值域..................................5

考點清單03解析式................................................6

【期末熱考題型1】待定系數法..................................6

【期末熱考題型2】換元法......................................7

【期末熱考題型3】方程組（消去）法............................7

【期末熱考題型4】賦值法求抽象函數的解析式....................8

高中1

高中

一、思維導圖

二、知識回歸

知識回顧1:函數的定義

一般地，設/,8是非空的實數集，如果對于集合/中的任意一個數x,按照某種確

定的對應關系/,在集合8中都有唯一確定的數V和它對應，那么就稱-8為從集

合Z到集合8的一個函數(fimction),記作y=/(x),xeN.其中，x叫做自變量，尤的取

值范圍/叫做函數的定義域；與尤的值相對應的歹值叫做函數值，函數值的集合

{/(x)|xeN}叫做函數的值域.顯然，值域是集合8的子集.

函數的四個特征：

①非空性：A,8必須為非空數集(注意不僅非空，還要是數集)，定義域或值域為空集

的函數是不存在的.

②任意性：即定義域中的每一個元素都有函數值.

③單值性：每一個自變量有且僅有唯一的函數值與之對應(可以多對一，不能一對多).

高中2

高中

④方向性函數是一個從定義域到值域的對應關系，如果改變這個對應方向，那么新的對應

所確定

的關系就不一定是函數關系.

知識回顧2：數的三要素

(1)定義域：函數的定義域是自變量的取值范圍.

(2)對應關系對應關系/是函數的核心，它是對自變量x實施'對應操作"的'程序"或者'方

法”.

(3)值域與x的值相對應的V值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值

域(range).

知識回顧3：求函數解析式

(1)待定系數法：若已知函數的類型(如一次函數、二次函數，反比例等)，可用待定系

數法.

(2)換元法：主要用于解決已知/(g(x))這類復合函數的解析式，求函數/(x)的解析式

的問題，在使用換元法時特別注意，換元必換范圍.

(3)配湊法：由已知條件/(g(x))=/⑴，可將E(x)改寫成關于g(x)的表達式，

(4)方程組(消去)法：主要解決已知/(X)與/(—X)、/[￡(、/[一￡|……的方程，

求/(X)解析式。

三、典型例題講與練

■考點清單01定義域

【期末熱考題型1】求常規函數的定義域

【解題方法】使得函數有意義的范圍

2x

【典例1](2023上?江蘇蘇州?高一統考期中)函數/(x)=+x的定義域為()

A.(1,+℃)B.(-1,1)C.(-1,+ao)D.(-<?,-l)U(l,+oo)

【典例2](2023上?廣東廣州?高一廣州市第六十五中學校考期中)函數/(x)=：(：+?彳

的定義域為.

高中3

高中

1

【專訓11-1】（2016上?寧夏銀川?高三階段練習）函數/（》）=的定義域為

^/1-logjX

【專訓1-2]（2023上?北京朝陽?高一校考階段練習）函數y=斤的定義域是

函數/（丫）=，9的定義域為.

【期末熱考題型2】求抽象函數、復合函數的定義域

【解題方法】對應關系作用下的整體取值范圍相同

【典例1】（2022上?江西南昌?高一校考期中）已知函數/（x）的定義域為（。,2）,則函數

g（x）=/f-3）的定義域為（）

A/X-4

A.（3,+s）B.{2,4}C.（4,5）D.{-2,3}

【典例2】（2023上?廣東惠州?高一校考階段練習）若函數/（2x-l）的定義域為11,1],則函

數y=半口的定義域為______.

yJX—1

【專訓1-1]（2023下?遼寧?高二校聯考階段練習）若函數/（2x-l）的定義域為[-3』，則

的定義域為（）

7x一\

A.傅B.[1，|]C-（14]

【專訓1-2]（2023上?天津北辰?高一天津市第四十七中學校考期中）設函數

I考點清單02值域

【期末熱考題型11一次、二次、反比例函數的值域

【解題方法】分離常數法

【典例1】（2023上?貴州黔東南?高一凱里一中校考階段練習）函數/（%）=噎的值域是

（）

A.（一8,1）B.（1,+8）C.（-00,-2）u（-2,+00）D.（—8,l）U（l,+8）

高中4

高中

【典例2】（2023上?北京?高一校考期中）函數y=/+2x-8,xe[-2,l]的值域為.

【專訓1-1]（2023上?北京?高一北京市十一學校校考期中）函數了=上的值域為（）

x+3

B「jC.[o,1]D.（0,1

【專訓1-2]（2023上?廣西南寧?高一南寧市第一中學校考階段練習）函數

y=x2-2x+3（0<x<3）的值域為.

【期末熱考題型2】根式型值域

【解題方法】換元法

【典例11（2023上?黑龍江哈爾濱?高一哈爾濱三中期中）函數/（X）=，3+2X-X2的值域為

（）

A.[0,4]B.（-8,2]C.[2,+⑹D.[0,2]

【典例2】（2023?全國?高三專題練習）求函數”1+:同二（0《尤<20）的值域為_______.

o2

【專訓1-1]（2023上?江蘇鎮江?高一江蘇省揚中高級中學校考階段練習）函數

/（X）=x-j2x+3的值域為.

【專訓1-2】（2023?高一課時練習）求下列函數的值域：

（1）y=x+Jl-2x；

（2）y=slx-3+j5-x；

【期末熱考題型3】分式型值域

【解題方法】分離常數法，換元法，A判別法

【典例1]（2023上?浙江寧波?高一余姚中學校考階段練習）函數〃x）=2x：+3x+8在xeR

x+x+4

上的值域是.

【典例2】（2022上?遼寧?高一遼寧實驗中學校考階段練習）已知函數/（町=5三卜>1）,

則函數的值域是.

【專訓1-1]（2023上?天津紅橋?高一天津市第五中學校考期中）已知函數/（無）=上一，

高中5

高中

則函數的值域為.

【專訓1-2](2021上?浙江杭州?高一校聯考期中)函數的值域是.

考點清單03解析式

【期末熱考題型D待定系數法

【解題方法】設出函數解析式，對比系數求解

【典例1】(2023上?河南南陽?高一河南省內鄉縣高級中學校考階段練習)已已知/(x)是一

次函數，且_/V(x))=16x-25,求〃x)=.

【典例2】(2022上?江蘇南京?高一江蘇省江浦高級中學校聯考期中)己知二次函數,⑺滿

足/(x+l)—-x+2,M/(0)=0.

(1)求/(X)的解析式；

(2)解關于x的不等式/(x)>(加+2)x-m.

【專訓1-1](2022?全國?高一專題練習)設/(x)是一次函數，且/[〃x)]=4x+3,求

的解析式.

【專訓1-2](2021上?高一課前預習)(1)己知/(x)是一次函數，M/(/(X))=4X-1,求

/(x)；

(2)已知/(x)是二次函數，且滿足/(0)=lJ(x+D-/(x)=2x,求〃x).

高中6

高中

【期末熱考題型2】換元法

【解題方法】換元法

【典例1】(2023上?浙江?高一校聯考期中)已知函數/(4-2)=X-44+5,則/(x)的解

析式為()

A.f(x)=x2+l(x>0)B.f(x)=x2+l(x>-2)

C./(x)=x2(x>0)D./(x)=x2(x>-2)

【典例2】(2023上?湖北?高一洪湖市第一中學校聯考期中)已知函數無)滿足

=則函數/(x)值域為_____.

\xJ2x+1

【專訓1-1](2023上?江蘇鎮江?高一江蘇省揚中高級中學校考階段練習)解答下面兩題

(1)已知/(4+1)=/+2,求/(x)的函數解析式；

【專訓1-2](2023?全國?高三對口高考)(1)已知/(x+LLv+A，求/(x)；

XJX

(2)已知—I-1j=Igx,求/(x)；

【期末熱考題型3】方程組(消去)法

【解題方法】聯立方程組消元

【典例1】(2023上?四川達州?高一校考期中)(1)已知一次函數/(x)滿足條件

/(x+l)+/M=2x,求函數的解析式；

【典例2】(2023上?山東泰安?高一泰安一中校考期中)已知函數>=/(x)滿足:

/(x)+2/^—=l4x+-j=(x>0).

⑴求函數>=/(x)的解析式：

高中7

高中

【專訓1-1](2023上?寧夏銀川?高一校考期中)分別求滿足下列條件的/(x)的解析式:

⑴己知2/(x)-〃2-x)=/+2x,求函數的解析式；

【專訓1-2](2023上?吉林通化?高一梅河口市第五中學校考階段練習)(1)已知

f(x)+2f(-x)=x2-x,求函數/(x)的解析式.

【期末熱考題型4】賦值法求抽象函數的解析式

【解題方法】賦值法

【典例1】(多選)(2023上?浙江?高一校聯考期中)己知函數/(幻定義域為R,且

/(%)=%3/^(xe(-<%>,0)o(0,+oo)),f(x)+f(y)+xy=f(x+y),則下列說法正確的是

()

A./(0)=0B./(3)=3

C.f(x)-f(-x)=xD.=

【典例2】(2023上?廣東佛山?高一校考階段練習)已知定義在R上的函數/(x)滿足Vx,

yeR,/(2中+3)=/(x)"(y)-3/(y)-6x+9,/(0)=3,不等式〃x)>x的解集

為.

【專訓1-1](2023下?河南商丘?高二統考階段練習)已知函數/(x)滿足：

Vx,”RJ(x+M=/(x)/(y)；當x>0時，/(X)<1.則滿足這兩個條件的一個函數

為.

【專訓1-2](2023?江蘇?高一假期作業)設/(x)是R上的函數，/(0)=1,并且對于任意

的實數”都有〃尤+，=/(力+y(2尤+1),求〃x).

高中8

高中

專題04函數的概念及其表示（考點清單）

目錄

一、思維導圖........................................................1

二、知識回歸........................................................2

三、典型例題講與練..................................................3

考點清單01定義域................................................3

【期末熱考題型1】求常規函數的定義域..........................3

【期末熱考題型2】求抽象函數、復合函數的定義域................4

考點清單02值域..................................................6

【期末熱考題型1】一次、二次、反比例函數的值域................6

【期末熱考題型21根式型值域..................................7

【期末熱考題型31分式型值域..................................9

考點清單03解析式...............................................11

【期末熱考題型1】待定系數法.................................11

【期末熱考題型2】換元法.....................................13

【期末熱考題型3］方程組（消去）法...........................14

【期末熱考題型4］賦值法求抽象函數的解析式...................15

高中9

高中

一、思維導圖

二、知識回歸

知識回顧1:函數的定義

一般地，設/,8是非空的實數集，如果對于集合/中的任意一個數x,按照某種確

定的對應關系/,在集合8中都有唯一確定的數V和它對應，那么就稱-8為從集

合Z到集合8的一個函數(fimction),記作y=/(x),xeN.其中，x叫做自變量，尤的取

值范圍/叫做函數的定義域；與尤的值相對應的歹值叫做函數值，函數值的集合

{/(x)|xeN}叫做函數的值域.顯然，值域是集合8的子集.

函數的四個特征：

①非空性：A,8必須為非空數集(注意不僅非空，還要是數集)，定義域或值域為空集

的函數是不存在的.

②任意性：即定義域中的每一個元素都有函數值.

③單值性：每一個自變量有且僅有唯一的函數值與之對應(可以多對一，不能一對多).

高中10

高中

④方向性函數是一個從定義域到值域的對應關系，如果改變這個對應方向，那么新的對應

所確定

的關系就不一定是函數關系.

知識回顧2：數的三要素

(1)定義域：函數的定義域是自變量的取值范圍.

(2)對應關系對應關系/是函數的核心，它是對自變量x實施'對應操作"的'程序"或者'方

法”.

(3)值域與x的值相對應的V值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值

域(range).

知識回顧3：求函數解析式

(1)待定系數法：若已知函數的類型(如一次函數、二次函數，反比例等)，可用待定系

數法.

(2)換元法：主要用于解決已知/(g(x))這類復合函數的解析式，求函數/(x)的解析式

的問題，在使用換元法時特別注意，換元必換范圍.

(3)配湊法：由已知條件/(g(x))=/⑴，可將E(x)改寫成關于g(x)的表達式，

(4)方程組(消去)法：主要解決已知/(X)與/(—X)、/[￡(、/[一￡|……的方程，

求/(X)解析式。

三、典型例題講與練

■考點清單01定義域

【期末熱考題型1】求常規函數的定義域

【解題方法】使得函數有意義的范圍

2r

【典例1】(2023上?江蘇蘇州?高一統考期中)函數/(%)=4_1JiU的定義域為()

A.(l,+oo)B.(-1,1)C.(-l,+oo)D.(-oo,-l)u(l,+oo)

【答案】A

2x

【詳解】因為/(%)=[*]a+X

高中11

高中

x-1>0

所以…‘解得X"

故選：A

【典例2】（2023上?廣東廣州?高一廣州市第六十五中學校考期中）函數

的定義域為.

【答案】（—4,—l）u（—1,1）

f_2_3x+4>0

【詳解】由題意知，\x，解得且"-1,

故函數=J（：+?4的定義域為（-4,-1）。（-1,1）.

故答案為：（-4,-l）u（-l,l）.

【專訓1-1]（2016上?寧夏銀川?高三階段練習）函數/⑺=：二且-的定義域為.

【答案】（。，2）

【詳解】因為"X）=7TW==,

71-log2x

f1-log.x>0

所以n,

[x>0

[log2x<l

即A

[x〉0

解得0<x<2,

所以函數的定義域為（0,2）,

故答案為：（0,2）

【專訓1-2]（2023上?北京朝陽?高一校考階段練習）函數y=Vn?口I的定義域是一；

函數/（力=史｝的定義域為.

【答案】｛1｝（-?）,0）0（0,2]

I-----,-----fl—x>0

【詳解】由萬知-八，得x=i,故定義域為｛1｝；

lx—12U

由=~^知〈.、八，得x<0或0<x42,

故定義域為（-叫。）口（0,2]

故答案為：｛1｝；（fO）u（O,2]

高中12

高中

【期末熱考題型2】求抽象函數、復合函數的定義域

【解題方法】對應關系作用下的整體取值范圍相同

【典例1】（2022上?江西南昌?高一校考期中）已知函數/（x）的定義域為（0,2）,則函數

g（x）=/f-3）的定義域為（）

yJx-4

A.（3,+s）B.{2,4}C.（4,5）D.{-2,3}

【答案】C

【詳解】因為函數的定義域為（。,2）,所以/（x-3）滿足。<x-3<2,即3<x<5,

,、f（x-3）[3<x<5

又函數gx=，/有意義,得/°，解得4<x<5,

Vx-4[x-4>0

所以函數8口）=半￥的定義域為（4,5）.

sJx-4

故選：C

【典例2】（2023上?廣東惠州?高一校考階段練習）若函數/（2x-l）的定義域為11,1],則函

數了=步二！的定義域為______.

\JX—1

【答案】（1,2]

【詳解】解：因為/（2x-l）的定義域為-1,1],

BPxe[-l,l],所以2x-le[-3,l],

即函數/（x）的定義域為[-3,1],

—1）1―3<x—1W1

所以y=的定義域為不等式組的解集，

yjx-l[X-1>O

解此不等式組得：1<X42,

所以函數夕=半二1的定義域為（1,2].

故答案為：（1,2]

【專訓1-1]（2023下?遼寧?高二校聯考階段練習）若函數/（2x-l）的定義域為[-3』，則

y=）（14x）的定義域為（）

yX—\

A.傅B.1,;。[IO

【答案】D

高中13

高中

【詳解】由題意可知-34x41,所以-7V2X-1V1,要使函數目=："：一"口有意義,則

Vx—1

J-7<3-4x<l,

[x-1>0,解得

故選：D

【專訓1-2]（2023上?天津北辰?高一天津市第四十七中學校考期中）設函數

X10

f(x)=Jx-2,則/的定義域為.

x

【答案】[4,5]

【詳解】函數/（x）=&與的定義域滿足：x-2>0,故xe[2,+s）,

->2

2

，?22,解得44x45,故定義域為[4,5].

的定義域滿足:

xw0

故答案為：[4,可

I考點清單02值域

【期末熱考題型D一次、二次、反比例函數的值域

【解題方法】分離常數法

【典例1】（2023上?貴州黔東南?高一凱里一中校考階段練習）函數=f的值域是

A.(-oo,l)B.(1,+8)C.(-00,-2)u(-2,+00)D.(-8,l)U(l,+8)

【答案】D

x+2—22

【詳解】〃同=信------------=1----------

x+2x+1

22

???——。0,.\1---------

x+1X+1

Y

從而可知函數/（尤）=——的值域為（7,1）D（1,+8）.

x+2

故選：D.

【典例2】（2023上?北京?高一校考期中）函數y=/+2x-8,xe[-2,l]的值域為.

高中14

高中

【答案】[-9,-5]

【詳解】二次函數y=/+2x-8的開口向上，對稱軸為x=-l,

所以當x=-l時，了取得最小值為(-1)2+2X(-1)_8=-9,

當x=l時，了取得最大值為F+2xl-8=-5,

所以函數的值域為卜9,-5].

故答案為：[-9,-5]

【專訓1-1](2023上?北京?高一北京市十一學校校考期中)函數了==二的值域為()

x+3

A.[一得B.C.[o,1]D.

【答案】D

【詳解】因為V+3N3,

所以0〈三二二，

X+33

故函數丁=丁二的值域為(0'，

X+3I3_

故選：D.

【專訓1-2】(2023上?廣西南寧?高一南寧市第一中學校考階段練習)函數

J；=X2-2X+3(0<X<3)的值域為.

【答案】[2,6]

【詳解】由函數了=/-2尤+3=(無-1>+2,

根據二次函數的性質，當x=l時，得到幾m=2；當x=3時，得到了2=6,

所以函數k/-2x+3在[0,3]的值域為[2,6].

故答案為：[2,6].

【期末熱考題型2]根式型值域

【解題方法】換元法

【典例11(2023上?黑龍江哈爾濱?高一哈爾濱三中期中)函數/(X)=,3+2X-X2的值域為

()

A.[0,4]B.(-8,2]C.[2,+0>)D.[0,2]

【答案】D

【詳解】解：令/=—x~+2x+3=—(x—+4,

當x=1時，*x=4,又t20,

高中15

高中

所以fe[O,4],gpZ=-x2+2x+3=-{x-1)2+4e[0,4]

所以〃x)=V3+2x-x2e[0,2],

故選：D.

【典例2】(2023?全國?高三專題練習)求函數%!屈％(04xV20)的值域為_______.

82

【答案】[75,3]

【詳解】令1=停20-x(0J/V2⑹,貝鼠=20",

二y=型」+L=」(/_4/20)=」”2)2+3

8288

容易看出，該函數轉化為一個開口向下的二次函數，對稱軸為/=2,

?1-0<f<2V5,所以該函數在f=2時取到最大值3,當y2否時，函數取得最小值班，

所以函數歹=：+:而二(04x420)值域為ye[6,31

故答案為：[括,3]

【專訓1-1](2023上?江蘇鎮江?高一江蘇省揚中高級中學校考階段練習)函數

f(x)=x-j2x+3的值域為.

【答案】[-2,+8)

【詳解】設信工5=/,皚0,則X=：戶

所以〉=丁-―占(1)一_22_2,/=]等號成立

所以函數/(x)=x-j2x+3的值域為[-2,+8).

故答案為：[-2,+勾.

【專訓1-2](2023?高一課時練習)求下列函數的值域：

(1)y=x+Jl-2x；

(2)y=Jx-3+yj5-x；

【答案】(1)(-叱1]；(2)[V2,2].

【詳解】(1)函數)=x+vnw,定義域為，叫；，

;____1/2

令，=\/l-2x>0,則x=------，

2

[—產產11

所以V-Ft=——+Z+—=——(^―I)2+1/>0,

對稱軸方程為f=1,

高中16

高中

所以f=l時，函數〉皿xM-g+l+gnl，

故值域為(--I]；

\x-3>0

(2)由題意得｛,解得3Kx?5,

[5-x>0

貝U/=2+2#：-3)(5-x)=2+2^-(x-4)2+1,3<x<5,

由一(x-4『+1e[0,1]可得2^-(X-4)2+1e[0,2],

:.2<y2<4,

由y的非負性知，V2<y<2,

故函數的值域為[加,2]

【期末熱考題型3】分式型值域

【解題方法】分離常數法，換元法，A判別法

2x2+3x+8

【典例1](2023上?浙江寧波?高一余姚中學校考階段練習)函數/(x)=在xeR

+x+4

上的值域是—

【答案】

)

【詳解】函數〃X)=2X：+3X+82(x?+x+4+x

=2+---------

x+x+4+x+4x+x+4

當％=0時，/(%)=2；

當"0時，/w=2+-TT

XH----F1

X

根據對勾函數的性質可知:

40<_______<—―11

當x>0時，x+->4,則)「一5,所以

x----1-15

x

4__<_______v0S

當x<0時，x+-<-4,則3-,4、，所以Tt/(x)?2,

xxH----h13

x

綜上所述，函數y(x)=2x：+3x+8在xeR上的值域是R,當.

X+X+435

故答案為：］

高中17

高中

y-I

【典例2】（2022上?遼寧?高一遼寧實驗中學校考階段練習）已知函數/（町=合；卜>1），

則函數的值域是.

【答案】（0,3-2亞］

1

/(x)=——-------

【詳解】因為'"(X-1)2+3(X-1)+2

因為x>l,所以xT>0,貝U有++

(1)V(尤一1)

7

當且僅當X-l=-即x=l+及時取等號,

/（%）=-------5—-----<J-=3-272

所以（x—l）+J^+32行+3，

因為X>1,所以y（x）>0,則函數的值域為（0,3-2@,

故答案為：（0,3-2收］.

【專訓1-1］（2023上?天津紅橋?高一天津市第五中學校考期中）已知函數/（x）=33,

則函數的值域為.

【答案】（-8,-3）U（-3,+動

2-3x

【詳解】/（x）=定義域為（-8」）U（1,+⑹,

x—1

2-3x_-3(x-l)-l

〃x)=

x-1x-1…Jr

因為x—IwO,所以---。0,即一3-----w—3,

x-1x-1

所以/（X）=上一的值域為（-叫-3）u（-3,+8）.

X—1

故答案為：（-8,-3）U（-3,+8）.

【專訓1-2］（2021上?浙江杭州?高一校聯考期中）函數=；1；：；的值域是.

【答案】1,1

【詳解】解：“X）二”

\Z>0

因為工2-x+2=

4

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所以函數〃X)的定義域為xeR

令y-+l,整理得方程：(”1*+(1一小+2尸1=0

x—%+2

當>=1時，方程無解；

當y力1時，A=(l-j)2-4x(j-l)(2y-l)>0

不等式整理得：7/_10了+3<0

解得：

所以函數/(x)=『+1的值域為

x—x+2_/7

故答案為：力)

I考點清單03解析式

【期末熱考題型D待定系數法

【解題方法】設出函數解析式，對比系數求解

【典例1】(2023上?河南南陽?高一河南省內鄉縣高級中學校考階段練習)已已知/(x)是一

次函數，且"/'(x))=16x-25,求〃x)=.

【答案】4x-5或-敘+千25

【詳解】設/(》)=履+貼=0),

則f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=16x-25,

.,2=16

"\kb+b=-25,

25

.?./(x)=4x-5ng/(x)=-4x+y.

故答案為：4x-5或-4x+1.

【典例2】(2022上?江蘇南京?高一江蘇省江浦高級中學校聯考期中)己知二次函數/(x)滿

足/(x+l)-/(x-l)=4x+2,且40)=0.

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(1)求/(x)的解析式；

(2)解關于x的不等式/(x)>(m+2)x-m.

【答案】⑴/(x)=/+x

(2)答案見解析

【詳解】(1)設/(x)=ax?+6x+c,

由/(。)=0,得c=0=>/(x)=ax2+bx

又/(x+l)-/(x-l)=4x+2

=a(x+1)2+b(x+l)-[a(x-1)2+b(x-1)]

[4Q=4[a=l

=4ax+2b=4x+2,則。，解得[1，

[2b=2[b=i.

所以/W=x2+x.

(2)由已知，x2+x>(m+2)x-mBPx2-(m+l)x+m>0,

即(x-ni)(x-1)>0,

①當機=1時，原不等式即為：(x-1)2>0,解得xwl；

②當加<1時，解得X<加或X>1；

③當/77>1時，角率得X<1或加

綜上，當初=1時，不等式的解集為：(fl)5L+8),

當加<1時，不等式的解集為：(-8,MU0,+s),

當/77〉1時，不等式的解集為：(-oo,l)U(m,+co).

【專訓1-1](2022?全國?高一專題練習)設〃x)是一次函數，且/[〃x)]=4x+3,求〃x)

的解析式.

【答案】〃x)=2x+l或〃x)=-2x-3

【詳解】設〃x)="+6(aw0),貝U

f(x)]=af{^x^+b=a^ax+b^+b=a2x+ab+b=4x+3,

(a2=4[a—2fa=—2

所以八八r解得八?或八v

[ab+b^3[6=1[b=-3

所以函數〃x)的解析式為〃x)=2x+l或〃x)=-2x-3.

【專訓1-2](2021上，高一課前預習)(1)已知/(x)是一次函數，且“/'(1))=4x-l,求

/?；

(2)已知/(x)是二次函數，且滿足"0)=lJ(x+l)-/(x)=2x,求>x).

【答案】(1)〃x)=2xT或/(x)=-2x+l；(2)/(x)=x2-x+l.

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【詳解】(1)設/(、)="+b(qwO),

則f(/(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b

因為/(/(x))=4x-l,所以a'+qb+b=4x—l

a=2

=4解得Li或[a=—2

所以

ab+b=-1b=——[b=l

13

所以/(元)=2x-g或/(x)=-2x+l

(2)設/(x)=ax2+bx+c(aw0)

由〃0)=l,得c=l

由/(x+l)—/(x)=2x

得a(x+1)2+b(x+1)+1-ax2-bx-l=2x

整理，W2ax+a+b=2x

[2a=2[a=1

所以入八所以入1

[a+b=0也=一1

所以/W=x2-x+l

【期末熱考題型2】換元法

【解題方法】換元法

【典例1】(2023上?浙江?高一校聯考期中)已知函數f(4-2)=x-44+5,則/(x)的解

析式為()

A./(x)=x2+l(x>0)B.f(x)=x2+l(x>-2)

C.f(x)=x2(x>0)D.f(x)=x2(x>-2)

【答案】B

【詳解】令￡=石一22-2,則x=(f+2)2,

所以〃。=?+2)2-4(/+2)+5=〃+1,

綜上，/(X)=X2+1(X>-2).

故選：B

【典例2】(2023上?湖北?高一洪湖市第一中學校聯考期中)己知函數/(x)滿足

則函數/(X)值域為____.

Vx)2x+1

【答案】(o,￡|

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