函數的奇偶性與周期性1．函數的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數一般地，假如對于函數f(x)的定義域內隨意一個x，都有f

(－x)＝f(x)，那么函數f(x)就叫做偶函數關于y軸對稱奇函數一般地，假如對于函數f(x)的定義域內隨意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數f(x)就叫做奇函數關于原點對稱2.周期性(1)周期函數：對于函數y＝f(x)，假如存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數y＝f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期．(2)最小正周期：假如在周期函數f(x)的全部周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期．概念方法微思索1．假如函數f(x)是奇函數或偶函數，則f(x)的定義域關于原點對稱．2．已知函數f(x)滿意下列條件，你能否得到函數f(x)的周期？(1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)．(2)f(x＋a)＝eq\f(1,f

x)(a≠0)．(3)f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)．提示(1)T＝2|a|；(2)T＝2|a|；(3)T＝|a－b|.3．若f

(x)對于定義域中隨意x，均有f

(x)＝f

(2a－x)，或f

(a＋x)＝f

(a－x)，則函數f

(x)關于直線x＝a對稱．1．（2024·山東卷）若定義在的奇函數f(x)在單調遞減，且f(2)=0，則滿意的x的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為定義在上的奇函數在上單調遞減，且，所以在上也是單調遞減，且，，所以當時，，當時，，所以由可得：或或解得或，所以滿意的的取值范圍是，2.（2024·天津卷）已知函數．給出下列結論：①的最小正周期為；②是的最大值；③把函數的圖象上全部點向左平移個單位長度，可得到函數的圖象．其中全部正確結論的序號是A.① B.①③ C.②③ D.①②③【答案】B【解析】因為，所以周期，故①正確；，故②不正確；將函數的圖象上全部點向左平移個單位長度，得到的圖象，故③正確.3.（2024·江蘇卷）已知y=f(x)是奇函數，當x≥0時，，則f(-8)的值是____.【答案】-4【解析】，因為為奇函數，所以4．（2024·全國Ⅲ卷）設是定義域為R的偶函數，且在單調遞減，則（）A．（log3）＞（）＞（）B．（log3）＞（）＞（）C．（）＞（）＞（log3）D．（）＞（）＞（log3）【答案】C【解析】是定義域為的偶函數，．，又在(0，+∞)上單調遞減，∴，即.故選C．5．（2024·全國Ⅱ卷）設函數的定義域為R，滿意，且當時，．若對隨意，都有，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，．∵時，；∴時，，；∴時，，，如圖：當時，由解得，，若對隨意，都有，則.則m的取值范圍是.故選B.6．（2024·全國Ⅱ卷）已知是奇函數，且當時，.若，則__________．【答案】-3【解析】由題意知是奇函數，且當時，，又因為，，所以，兩邊取以為底數的對數，得，所以，即．7．（2024·北京卷）設函數（a為常數）．若f（x）為奇函數，則a=________；若f（x）是R上的增函數，則a的取值范圍是___________．【答案】【解析】首先由奇函數的定義得到關于a的恒等式，據此可得a的值，然后利用可得a的取值范圍.，若函數為奇函數，則即，即對隨意的恒成立，則，得.若函數是R上的增函數，則在R上恒成立，即在R上恒成立，又，則，即實數的取值范圍是.8．（2024·江蘇卷）設是定義在R上的兩個周期函數，的周期為4，的周期為2，且是奇函數.當時，，，其中k>0.若在區間(0，9]上，關于x的方程有8個不同的實數根，則k的取值范圍是▲.【答案】【解析】作出函數，的圖象，如圖：由圖可知，函數的圖象與的圖象僅有2個交點，即在區間(0，9]上，關于x的方程有2個不同的實數根，要使關于的方程有8個不同的實數根，則與的圖象有2個不同的交點，由到直線的距離為1，可得，解得，∵兩點連線的斜率，∴，綜上可知，滿意在(0,9]上有8個不同的實數根的k的取值范圍為.9．（2024·浙江卷）函數y=sin2x的圖象可能是A． B．C． D．【答案】D【解析】令，因為，所以為奇函數，解除選項A,B;因為時，，所以解除選項C，故選D．10．（2024·全國Ⅱ卷）已知是定義域為的奇函數，滿意．若，則A． B．0C．2 D．50【答案】C【解析】因為是定義域為的奇函數，且，所以,因此，因為，所以，因為，從而.故選C．11．（2024·江蘇卷）函數滿意，且在區間上，則的值為________．【答案】【解析】由得函數的周期為4，所以因此強化訓練強化訓練1．（2024?深圳模擬）設是定義在上以2為周期的偶函數，當，時，，則，時，的解析式為A． B． C． D．【答案】B【解析】①當，時，則，，因為當，時，，所以．又因為是周期為2的周期函數，所以．所以當，時，．②當，時，則，，因為當，時，，所以．又因為是周期為2的周期函數，所以．因為函數是定義在實數上的偶函數，所以．所以由①②可得當，時，．故選．2．（2024?東湖區校級一模）已知是定義在，上的偶函數，那么的值是A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意得：，，又，，．故選．3．（2024秋?上高縣校級月考）已知一個奇函數的定義域為，2，，，則A． B．1 C．0 D．2【答案】A【解析】因為一個奇函數的定義域為，2，，，依據奇函數的定義域關于原點對稱，所以與有一個等于1，一個等于，所以．故選．4．（2024?廣東學業考試）設是奇函數，且當時，，則當時，等于A． B． C． D．【答案】C【解析】當時，，代入函數在上的解析式，得，是奇函數，，故選．5．（2024?西湖區校級模擬）已知函數在上為奇函數，且當時，，則當時，的解析式是A． B． C． D．【答案】A【解析】任取則，時，，，①又函數在上為奇函數②由①②得時，故選．6．（2024秋?正定縣校級期中）已知函數是定義在上的奇函數，當時，，則當時，表達式是A． B． C． D．【答案】D【解析】設，則，當時，，，函數是定義在上的奇函數，，．故選．7．（2024?西湖區校級模擬）若函數為奇函數，則必有A． B． C． D．【答案】B【解析】函數為奇函數故選．8．（2024?射洪市校級一模）已知函數是奇函數，則函數的值域為A． B． C． D．【答案】A【解析】依據題意，函數是奇函數，則，即，解可得，則，變形可得，則有，解可得，即函數的值域為；故選．9．（2024?瀘州四模）已知函數，則下列關系不正確的是A．函數是奇函數 B．函數在上單調遞減 C．是函數的唯一零點 D．函數是周期函數【答案】D【解析】因為，則，故正確；，故在上單調遞減，正確；由在上單調遞減且可得為函數的唯一的零點，正確；由于為周期函數，但不是周期函數，故不是周期函數，故錯誤．故選．10．（2024?九龍坡區模擬）已知奇函數滿意：對一切，且，時，，則A．1 B． C．0 D．【答案】C【解析】依據題意，對隨意都有，則函數的圖象關于直線對稱，又由函數為奇函數，則函數的圖象關于原點對稱，則有，故，即函數為周期為4的周期函數，則，又由，時，，則，故選．11．（2024?南充模擬）已知定義在上的函數滿意：，且函數是偶函數，當，時，，則A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，且函數是偶函數，所以且，可得，，即，所以，，兩式相減可得，即函數的周期，因為當，時，，則故選．12．（2024?青羊區校級模擬）已知函數，若，則A．2 B．0 C． D．【答案】D【解析】依據題意，，則，則有，又由，則；故選．13．（2024?興慶區校級模擬）設是奇函數且滿意，當時，，則A． B． C． D．【答案】D【解析】是奇函數且滿意，可得，函數的周期為2．．故選．14．（2024春?紅崗區校級期末）定義在上的函數是奇函數，為偶函數，若（1），則A． B．0 C．2 D．3【答案】B【解析】為偶函數，，即關于對稱，是奇函數，，且，即，得，則函數的周期是8，則（3）（1），（4），（5）（1），則，故選．15．（2024春?荊門期末）已知一個奇函數的定義域為，2，，，則A． B．3 C．0 D．1【答案】A【解析】依據奇函數的定義域關于原點對稱可知，．故選．16．（2024春?河南期末）已知函數，則下列說法正確的是A．函數在上既是奇函數，也是增函數 B．函數在上既是奇函數，也是減函數 C．函數在上既是偶函數，也是增函數 D．函數在上既是偶函數，也是減函數【答案】A【解析】因為，所以，所以函數是奇函數，因為，且與均為增函數，所以在上是增函數．故選．17．（2024春?常德期末）已知是定義在上的奇函數，當時，，則A． B． C． D．【答案】D【解析】是定義在上的奇函數，且時，，．故選．18．（2024春?濟寧期末）定義在上的偶函數，記，，，則A． B． C． D．【答案】B【解析】是偶函數，關于軸對稱，則，即，則當時，為增函數，，，，則，則，即，即，故選．19．（2024春?泉州期末）已知奇函數滿意，當時，，則A． B．0 C．1 D．2【答案】A【解析】，，即的周期為4，且是奇函數，時，，（1）．故選．20．（2024春?寧波期末）若函數，的定義域均為，且都不恒為零，則A．若為偶函數，則為偶函數 B．若為周期函數，則為周期函數 C．若，均為單調遞減函數，則為單調遞減函數 D．若，均為奇函數，則為奇函數【答案】D【解析】依據題意，依次分析選項：對于，若為偶函數，則可能為奇函數，而為偶函數，如，，錯誤；對于，若為周期函數，可能為周期函數，如．，錯誤；對于，當，，均為單調遞減函數，而，不是減函數，錯誤；對于，若，均為奇函數，對于，有，為奇函數，正確；故選．21．（2024?包頭二模）已知函數，則A．在單調遞增 B．在單調遞減 C．的圖象關于直線對稱 D．的圖象關于點對稱【答案】C【解析】依據題意，函數，有，解可得，即函數的定義域為；，設，則，在區間上，為增函數，為增函數，故在上為增函數，在區間上，為減函數，為增函數，故在上為減函數，故錯誤；函數，其定義域為，，故函數的圖象關于直線對稱，正確，錯誤；故選．22．（2024?4月份模擬）若函數的圖象關于軸對稱，則常數A． B．1 C．1或 D．0【答案】A【解析】可知函數為偶函數，則（1），即，解得，將代入解析式驗證，符合題意．故選．23．（2024?白山模擬）已知函數，且滿意，則（6）A．29 B．11 C．3 D．5【答案】B【解析】因為，所以的圖象關于對稱，所以時，，，（6），故選．24．（2024?桃城區校級模擬）下列函數中，其圖象與函數的圖象關于直線對稱的是A． B． C． D．【答案】B【解析】設為所求函數圖象上的隨意一點，它關于直線對稱的點是．由題意知點在函數的圖象上，則．即．故選．25．（2024?西湖區校級模擬）的圖象下列敘述正確的是A．關于原點對稱 B．關于軸對稱 C．關于軸對稱 D．沒有對稱性【答案】C【解析】，，為偶函數，其圖象關于軸對稱故選．26．（2024?馬鞍山三模）已知函數是定義域為的偶函數，在上單調遞減，則不等式（1）的解集是A．，， B． C．，， D．【答案】C【解析】依據題意，函數是定義域為的偶函數，則的圖象關于直線對稱，又由在上單調遞減，則在，上單調遞增，若（1），則有，即或，即或，即不等式的解集為，，；故選．27．（2024?龍鳳區校級模擬）下列函數中，既是偶函數又在上單調遞增的是A． B． C． D．【答案】A【解析】，，為偶函數，當時，在上單調遞增，故正確；為奇函數，不符合題意；為偶函數，在上單調遞減，不符合題意；為非奇非偶函數，不符合題意．故選．28．（2024?讓胡路區校級三模）設是定義在上的奇函數，且在區間，上單調遞增，則A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知，函數在定義域上單調遞增，由可得，故選．29．（2024?運城模擬）偶函數對于隨意實數，都有成立，并且當時，，則A． B． C． D．【答案】C【解析】對隨意實數都有，由于為偶函數，所以．所以．所以函數是以4為周期的周期函數．所以．故選．30．（2024?鄭州三模）天干地支紀年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥天干地支紀年法是按依次以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年為“甲子”，其次年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，，以此類推，排列到“癸酉”后，天于回到“甲”重新起先，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新起先，即“丙子”，以此類推已知1949年為“己丑”年，那么到中華人民共和國成立70年時為A．丙酉年 B．戊申年 C．己申年 D．己亥年【答案】D【解析】天干是以10為構成的等差數列，地支是以12為公差的等差數列，從1949年到2029年經過70年，且1949年為“己丑”年，以1949年的天干和地支分別為首項，則，則2024的天干為己，余10，則2024的地支為亥，故選．31．（2024?遼陽二模）“干支紀年法”是我國歷法的一種傳統紀年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被稱為“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．地支又與十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬”依次對應，“天干”以“甲”字起先，“地支”以“子”字起先，兩者按干支依次相配，組成了干支紀年法，其相配依次為甲子、乙丑、丙寅癸酉；甲戌、乙亥、丙子癸未；甲申、乙酉、丙戌癸巳；，共得到60個組合，稱六十甲子，周而復始，無窮無盡年是“干支紀年法”中的庚子年，那么2086年誕生的孩子屬相為A．猴 B．馬 C．羊 D．雞【答案】B【解析】六十甲子，周而復始，無窮無盡，即周期是60，2086年與2026年一樣，2024年是庚子年，2024年是辛丑年，2024年是壬寅年，2024年是癸卯年，2024年是甲辰年，2025年是乙巳年，2026年是丙午年，則2086年誕生的孩子屬相為馬．故選．32．（2024?泰安一模）已知定義在上的函數的周期為4，當，時，，則A． B． C． D．【答案】A【解析】因為函數的周期為4，當，時，，；；；故選．33．（2024?湖北模擬）中國歷法推想遵循以測為輔、以算為主的原則．例如《周髀算經》和《易經》里對二十四節氣的晷guǐ影長的記錄中，冬至和夏至的晷影長是實測得到的，其它節氣的晷影長則是依據等差數列的規律計算得出的．下表為《周髀算經》對二十四節氣晷影長的記錄，其中寸表示115寸分寸分）．節氣冬至小寒（大雪）大寒（小雪）立春（立冬）雨水（霜降）驚蟄（寒露）春分（秋分）清明（白露）谷雨（處暑）立夏（立秋）小滿（大暑）芒種（小暑）夏至晷影長（寸）13575.516.0已知《易經》中記錄某年的冬至晷影長為130.0寸，夏至晷影長為14.8寸，依據上述規律那么《易經》中所記錄的春分的晷影長應為A．91.6寸 B．82.0寸 C．81.4寸 D．72.4寸【答案】D【解析】由題意，晷影長則是依據等差數列的規律計算得出的，冬至晷影長為130.0寸，設為，夏至晷影長為14.8寸，則為，春分的晷影長為；；即春分的晷影長為72.4．故選．34．（2024?碑林區校級模擬）已知符號函數，偶函數滿意，當，時，，則A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意，由，可知函數是以2為周期的周期函數．當，時，，是偶函數，當，時，．函數圖象如下：依據圖可得，，故，選項不正確；很明顯，當，時，，，選項正確；，故選項不正確；當時，（2），，故選項不正確故選．35．（2024?渭南二模）已知函數滿意和，且當，時，，則關于的方程在，上解的個數是A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【解析】由題意可得，函數為偶函數，且是周期為2的周期函數．方程在，上解的個數，即函數的圖象與函數的圖象在，上的交點個數，再依據當，時，，畫出函數在，上的圖象，數形結合可得，函數的圖象與函數的圖象在，內存在兩個交點，故函數的圖象與函數的圖象在，上的交點個數為5，故選．36．（2024秋?大理市校級期末）函數，若（5），則__________．【答案】【解析】令則為一個奇函數又（5），（5），，故答案為：．37．（2024?西湖區校級模擬）為奇函數，當時，則當時，__________．【答案】【解析】為奇函數，時，，當時，，，即時，，故答案為：．38．（2024?綿陽模擬）偶函數的圖象關于點對稱，（4），則（2）__________．【答案】【解析】偶函數的圖象關于點對稱，可得，由（4），即有（4），即有（4）（2），則（2），故答案為：．39．（2024秋?馬山縣期中）已知是定義在上的偶函數，并滿意，當時，則等于__________．【答案】【解析】，即函數的周期為4是定義在上的偶函數，則有故答案為：．40．（2024秋?太湖縣校級期中）定義在上的偶函數滿意：對隨意的，，，有．則（3），，（1）的大小依次是__________．【答案】（1）（3）【解析】是偶函數（2）又隨意的，，，有，在，上是減函數，又，（1）（2）（3），故答案為：（1）（3）．41．（2024?一模擬）函數為偶函數，則實數的值為__________．【答案】【解析】依據偶函數的定義可得，對定義域得隨意都成立，即對定義域內得隨意的都成立，整理可得，，，故答案為：．42．（2024?惠州模擬）已知定義在上的函數滿意條件，且函數是奇函數，給出以下四個命題：①函數是周期函數；②函數的圖象關于點，對稱；③函數是偶函數；④函數在上是單調函數．在上述四個命題中，正確命題的序號是__________（寫出全部正確命題的序號）【答案】①②③【解析】對于①：函數是周期函數且其周期為3．①對對于②：是奇函數其圖象關于原點對稱又函數的圖象是