仿真模擬沖刺卷(四)

時間：120分鐘滿分：150分

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.：2024?云南曲靖一中高三月考]設(shè)集合/={—2,—1,0,1}"=3/＜1},則/口([㈤

=()

A.{—2,-1,1}B.{—2,0,1}C.{-2,—1}D.{-1,1}

2.已知復(fù)數(shù)zi=3+i和Z2=l+i,則幻22+包=()

Z2

A.3+4iB.4+3iC.3+6iD.6+3i

3.[2024,貴州貴陽一中高三月考]已知向量a=(1,2),b—(―1,3),旦(ma+n垃Lb,

則?=()

11

A.——B.^C.2D.—2

4.下列敘述中錯誤的是()

A.若夕V。為真命題，則夕A°為真命題

B.命題‘勺劉＞0,lnxo=xo—1”的否定是"Vx＞0,InxWx—1”

C.命題“若x=y,則sinx=siny”的逆否命題是真命題

D.已知照＞0,貝IJ“3劉＞人苞”是“金力0”的必要不充分條件

5.已知隨機(jī)變量bMl,/),且尸(*0)=尸(心⑷，貝Nf+a)。一的綻開式中的

常數(shù)項為()

A.25B.-25C.5D.-5

6.[2024?吉林長春外國語學(xué)校高三期中]在△/8C中，lg(sin/+sin0=21gsin8—

lg(sin^—sinJ),則△/%的形態(tài)為()

A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

7.[2024?四川內(nèi)江一模]函數(shù)1?(x)=的圖象如圖所示,則下列結(jié)論成立的是

^/x心+c):z

A.3>0,b>0,c<OB.叢0,b>0,c>OC.水0,Z?>0,c<0D.水0,Z?<0,c<0

8.［2024?陜西漢中高三月考］設(shè)數(shù)列｛naj的前〃項和為S,且劣=2”,則使得5X1000

成立的最大正整數(shù)〃的值為（）

A.5B.6C.7D.8

9.［2024?吉林長春一模］給出下列命題：

①若△/回的三條邊所在直線分別交平面a千P,Q,A三點，則RQ,A三點共線；

②若直線a,6是異面直線，直線6,c是異面直線，則直線a,c是異面直線；

③若三條直線a,b,c兩兩平行且分別交直線/于4B,。三點，則這四條直線共面；

④對于三條直線a,b,c,若a_Lc,6J_c,則a〃6.

其中全部真命題的序號是（）

A.①②B.①③C.③④D.②④

10.［2024,山西懷仁市第一中學(xué)高三期中］已知函數(shù)f（x）=asin（ox+。）+cos（ox

+0）（。>0,|。|〈B）的最小正周期為111其最小值為一2,且滿意f（x）=—■—A則

0=(

11.［2024?甘肅靖遠(yuǎn)高三開學(xué)考試］已知R,用分別是橢圓XG-V+^=l（a>/7>0）的左、

ab

右焦點，點R。是，上位于x軸上方的隨意兩點，且陽〃初.若|附|+|曲貝IC的

離心率的取值范圍是（）

°,2B.

12.［2024?青海西寧一模］若x=\是函數(shù)f｛x｝=a+1才4一為￡—a+2^+1（〃￡“）的極值

點，數(shù)列｛a｝滿意包=1,/=3,設(shè)6〃=log3a+i,記［x］表示不超過x的最大整數(shù).設(shè)S=

若不等式S2Z,對V〃￡N*恒成立，則實數(shù)力的最大值為（

A.2024B.2024C.1010D.1009

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.

［2024?西藏昌都市第一高級中學(xué)模擬］如圖所示，在邊長為Ji的正方形內(nèi)，四條曲線

均是y=sinx在xG［0,n］的圖象，若在正方形內(nèi)任取一點，則該點落在陰影部分的概率?

x~2y-\-120

14.［2024?云南曲靖一中模擬］若實數(shù)x,p滿意約束條件<x+2y+120,則z=&r+

x-1^0

41

by｛a>b>0）取最大值時,一+］的最小值為________.

4ab一

15.［2024?廣西崇左二模］設(shè)點尸是直線3x—4y+7=0上的動點，過點尸引圓（x—1產(chǎn)

+/=/（玲0）的切線用，PB（切點、為A,而，若NZ總的最大值為?，則該圓的半徑r等于

O

16.［2024?黑龍江大慶試驗中學(xué)高三月考］已知正方體抽。4夕G"的棱長為2,點￡

是棱”的中點，點F,G在平面AiBCB內(nèi)，若|即=乖,CEVBG,則|刀。|的最小值為.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必

考題，每個試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分.

17.（12分）［2024?內(nèi)蒙古赤峰高三月考］在①d=l,②a?+友=0,③￡=石這三個

條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中的空格處：

已知S是公差為d的等差數(shù)列｛2｝的前〃項和，方是公比為q的等比數(shù)列｛&｝的前〃項

和，,若④=1,￡=25,az=4是否存在正實數(shù)如使得對隨意的正自然數(shù)〃，不

等式加北|<12恒成立，若恒成立，求出正實數(shù)0的取值范圍；若不存在，說明理由.

18.（12分）［2024?山西太原三模］如圖，a,a分別是圓臺上下底面的圓心，46是下

底面圓的直徑，AB=2aa,點戶是下底面內(nèi)以/a為直徑的圓上的一個動點（點戶不在力。

上）.

⑴求證：平面相4,平面闋a；

(2)若aa=2,/⑸6=45°,求二面角力-9-6的余弦值.

19.(12分)[2024?江西新余二模]甲、乙兩隊進(jìn)行排球競賽，每場競賽采納“5局3勝

制”(即有一支球隊先勝3局即獲勝，競賽結(jié)束).競賽排名采納積分制，積分規(guī)則如下：競

賽中，以3：0或3：1取勝的球隊積3分，負(fù)隊積0分；以3：2取勝的球隊積2分，負(fù)隊

2

積1分，已知甲、乙兩隊競賽，甲每局獲勝的概率為、

(1)甲、乙兩隊競賽1場后，求甲隊的積分才的概率分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)甲、乙兩隊競賽2場后，求兩隊積分相等的概率.

20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點，動點G到月(一十，0),R電0)

兩點的距離之和為4.

(1)試推斷動點G的軌跡是什么曲線，并求其軌跡方程a

⑵已知直線1：y=#（x—斕）（1〉0）與圓尸：（x—/”+爐=|?交于從”兩點，與曲線C

交于只。兩點，其中族戶在第一象限.d為原點。到直線/的距離，是否存在實數(shù)“，使

得7=（1四|一|肺|）?/取得最大值，若存在，求出太不存在，說明理由.

21.（12分）［2024?陜西西安中學(xué)高三月考］已知函數(shù)f（x）=x（lnx—1）.

⑴設(shè)曲線尸f（x）在x=（處的切線為尸g（x）,求證：/WNKx）；

（2）若f（x）=a有兩個根知孫求證：1xLx/〈2a+e+，.

（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.假如多做，則按所做的

第一題計分.

22.［選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10分）

^=2\/3cosa

在平面直角坐標(biāo)系x分中，曲線G的參數(shù)方程為<>（。為參數(shù)且

^y=2yj3+2yl3sina

4￡［一萬JI，yJIj）,以坐標(biāo)原點。為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極

坐標(biāo)方程為P=4cos。.

（1）說明G是哪種曲線，并將G的方程化為極坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點A的極坐標(biāo)為（4十，5）,射線9=/（0〈/與G的交點為〃（異于極點），

與G的交點為M異于極點），若|朧=十|揚(yáng)求tan/的值.

23.［選修4—5：不等式選講］（10分）

［2024?河南高三開學(xué)考試］已知函數(shù)f（x）=2|x—11—x.

（1）求不等式f（x）〈2x—4的解集.

⑵已知函數(shù)4）的最小值為“且a,b,c都是正數(shù)，a+2"c=?，證明：

仿真模擬沖刺卷(四)

1.答案：A

解析：B={x\,則[R6={x|xW—1或,

所以zri([R6)={-2,-1,1).故選A.

2.答案：B

解析：由題意，

ziz2+—=z\z2+—]=(3+i)f1+i+77^]=(3+i)l+i+??x_rr

Z21Z2；I1+vL(l+i)(l—i)

(3+i)W(3+D(3+i)8+6i

=4+3i.故選B.

2

3.答案：D

解析：因為a=(1,2),b=(—1,3),所以wa+nb={m—n,2〃+3A),又因為(ma

+〃6)Lb,所以(ma+nb)?b=—(m—n)+3(2?+3z?)=0,化簡得'=-2.故選D.

n

4.答案：A

解析：對于A,若0Vg為真命題，則0,。中至少一個為真命題，當(dāng)p,q中只有一個

為真命題時，為假命題，A不正確；

對于B,命題“三劉>0,lnx°=x。一1”是特稱命題，其否定為“Vx>0,InxWx—1"，B

正確；

對于C,命題“若x=y,則sinx=siny”是真命題，則其逆否命題是真命題，C正確；

對于D,當(dāng)劉>0時，函數(shù)y=xxo在(0,+8)上單調(diào)遞增，若a>6〉0,貝!]axo>6xo,

反之，若axo>6xo,當(dāng)司=2時，a,6可以都為負(fù)數(shù)，即a>6>0不肯定成立，

所以“ax撿bx：是“a〉6>0”的必要不充分條件，D正確.故選A.

5.答案：B

解析：由隨機(jī)變量—％(1,且尸(*0)=Pda),貝|a=2,

則(x+2)

由(x—O'的綻開式的通項公式為：方+1=C；；f=(—1)'《xA”,0WrW6,rGN,

令6—2r=-2,解得_r=4,令6—2r=0,解得_r=3,

所以(/+2)Q—?6的綻開式中的常數(shù)項為：c：—2C；=—25.故選B.

6.答案：B

解析：因lg(sin/+sinC)=21gsin8—1g(sinf—sin/),則有l(wèi)g(sir?。一sir?/)

lgsin2A

即有sin2^—sin2^^sin2A于是得si^^sin^+sin2^,

在中'由正弦定理sin/=sin8=sin/導(dǎo):c=a+t),

所以△板是直角三角形.故選B.

7.答案：C

b

解析：函數(shù)在戶處無意義，由圖象看戶在y軸右側(cè)，所以一c>0,c<0,y(0)=—>0,

/.A>0,由f(x)=0,ax+b—0,即x=-即函數(shù)的零點x=—'〉0,a<0,

aa

：.a<0,b>0,c<0.故選C.

8.答案：B

解析：由題意，得naa=n?2",

S,=1X21+2X22+3X23H---卜/X2"①,則

2S,=1X22+2X23+3X24H----H(〃-1)X2°+nX2n+1?,

①一②，得一￡=21+22+2,H---F2"-〃X2"i=2"+i—〃X20+i-2,

所以S=〃X2"+i—2"+】+2=(〃-1)X2/,+1+2,

當(dāng)〃=6時，S=642,

當(dāng)〃=7時，S=1538,

所以要使5X1000成立的最大正整數(shù)為/7=6.故選B.

9.答案：B

解析：對于①中，若△/歐的三條邊所在直線分別交平面a千P,Q,R三點，

可得RQ,Ru。且RQ,Au平面所以只Q,7?三點必在兩平面的交線上，

所以P,Q,"三點共線，所以①正確；

對于②中，若直線a,6是異面直線，直線6,c是異面直線，則直線a,c可能相交,

平行或異面，所以②錯誤;

對于③中，若三條直線a,b,c兩兩平行且分別交直線，于4B,。三點，由公理3

可得這四條直線共面，所以③正確；

對于④中，例如：若a,b,c是過長方體一頂點的三條棱，則滿意若a_Lc,6J_c,此

時a與6相交，所以④錯誤.

其中全部真命題的序號是①③.故選B.

10.答案：D

解析：由協(xié)助角公式可得：f(x)=asin(ox+。)+cos(ox+。)=yja+lsin

(ox+0+￡).因為T=3T=m,0〉0,所以0=2.又f(x)最小值為一2,所以a=

3I

士木

又tan￡=：=±羋，所以￡=±2.因為f(x)=-A所以f(x)關(guān)于￡了，0)

對稱，所以/[F)=2sin[5+。+￡)=2cos(。+￡)=0.因為|。|〈;，所以。+￡=

JIJI

土5，。=土亍故選口.

11.答案：C

解析：由點戶，。是，上位于X軸上方的隨意兩點，

延長陽交橢圓另一交點為4

由陽〃在再結(jié)合橢圓的對稱性，

易知I魴I=Ia川，

所以I陽|+|納|=|陽|十|凡4]=|科

由橢圓過焦點的弦通徑最短，

所以當(dāng)|勿垂直x軸時，|加最短，

2/)2

所以6W|序上產(chǎn)?，

a

所以a6W2/A

解得0<8或乎.故選C.

12.答案：C

解析：由題意得：f'(x)=4^+1/—3anx—an+2,

??3=1是F(x)的極值點，:?F(1)=4a+i-3a—劣+2=0,

??&?+2-a〃+i=3(5/J+I-a),又功—&=3-1=2,

J數(shù)歹！］｛a+1—a｝是以2為首項，3為公比的等比數(shù)列，???2+1—a=2?3”T,

又為一4―I=2?3"一:4—1—4—2=2?3"-:???,33—^2=2x31,々―2=2X3°,

_1—3__

/.a,—di=2義(3°+3]+…+3"2)=2X~■~=3n1—1,?,?a=3":

n1—3

?〃.1111

??bn=logs^+l=logs3=77,?~7=7IX——I9

bnbn+in(77+1I)n1

2024,2024,.2024<1,11,,11、2024〃

?------\-~T7-=2024X1--H------1--------377=j,

bxbzbibibnbn+i\223nn~r\)刀+1

2024/72024

.??S==2024

X+1n+1

112

_-2024

什2=

2024^+121010,***(S?)min1010.

方對V/WM恒成立，???方<(S)min=1010,則實數(shù)方的最大值為1010.故選C.

ji2—8

13.答案：一干一

解析：因為四條曲線均是尸sinx在x￡[0,兀]的圖象,

所以空白部分的面積為S=4「s力2X&=4(—cosx)|o"=4(—cos+cosO)=8,

J0

又正方形區(qū)域的面積為S=

所以陰影部分的面積為S—Si=7—8,

JI2—8

因此在正方形內(nèi)任取一點，則該點落在陰影部分的概率p=h

9

14.答案：-

解析：由約束條件可得可行域如圖陰影部分所示:

當(dāng)z=ax+by(a〉b>0)時,直線y=—京+(在y軸截距最大,

???a>b>0,■瞽-1,則由圖形可知：當(dāng)y=-米+2過A時，在y軸截距最大,

X—2y+l=0/曰x=l

由T得:,即A(1,1),Zmax=a+b=4,

X=1y=l

411i<<4_,r1(,4b,a>1(94ba

???二+；7=T二+總(a+b)=7|5+—+d^j5+2小當(dāng)且僅當(dāng)&=『即a

ab41ab4141

8419

=2b=§時取等號)一??尹薩最小值為

15.答案：1

解析：設(shè)圓的圓心為C(1,0),

因為點P是直線3x—4y+7=0上的動點，

所以當(dāng)點P到點C的距離最小時，/APB取得最大值，此時CP與直線3x—4y+7=0垂

直，

JIJI

因為NAPB為彳，所以NAPC=不,

3-0+7

點C到直線的距離為d==2

92+42

在放AAPC中，r=|AC|=gd=l.

16.答案:平-1

解析：如圖，取AD的中點0,連接E0,FO,

貝1|E0_L平面ABCiDi,由|EF|=m，OE=2,

可得0F=l,則F在以0為圓心，以1為半徑的圓上，

取CD中點K,連接BK,在正方形ABCD中，

由E為AD的中點，K為CD的中點，

可得CELBK,取CD的中點H,連接KH,BiH,

由BB/KH,BBi=KH,得四邊形BBFK為平行四邊形，則BK〃BiH,得G在線段BF上.

過。作OGLBiH,交半圓弧于F,則|FG|為要求的最小值.

由已知可得設(shè)|OG|=h,

1113

2-2-2-2-

可得h=羋，|FG|的最小值為羋一1.

0U

一ARIL「5(ai+as)5X2as廣一…_

17.解析：因為S5=O=2=5@3=25,所以03=5,

ai+@3

所以SL2—所以b=a=3.

222

可得：d=02—ai=3—1=2,

若選①，

因為q?d=l,所以q=J=］可得bi=b=3X2=6,

d2q

6

所以Tn=-

若m|T」〈12,可得mX120一打12,12n

可得m(z-='Zn7-1

1z—1

i—

2n

當(dāng)n=l時，1+不二最大為2,所以1〈1+忌彳W2,

所以mWl,又m>0,所以m的取值范圍為（0,1］；

若選②，

因為a2+b3=0,

所以b3=—a2=—3,所以q=￡=O=—l,所以加=包===—3,

b23q—1

所以當(dāng)n為偶數(shù)時，1=0,則m〉0；

當(dāng)n為奇數(shù)時，Tn=-3,由m|Tn|<12得m<4

綜上得m的取值范圍為（0,4）；

若選③，

由S2=T2得bi=ai+a2—b2=l+3—3=1,

b土…l-3n3n1

所以q=r2=3,所以Tn=^~

bi1一3z2

由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，無最大值，

所以不存在正數(shù)m,使得m|T0|〈12.

18.解析：（1）由題意，0r0?分別是圓臺上下底面的圓心，可得0G，底面。2,

因為APu底面所以APLOQz,

又由點P是下底面內(nèi)以A0?為直徑的圓上的一個動點，可得AP±O2P,

又因為OQzClO2P=。2,且0@,OzPu平面P0Q2,所以AP_L平面PO1O2,

因為APc平面APOi,所以平面APOi_L平面P0i02.

(2)以在為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

因為0@=2,則AB=20Qz=4,/PAB=45°,

可得A(0,-2,0),B(0,2,0),0i(0,0,2),P(1,-1,0),

所以靠=(1,1,0),AOi=(0,2,2),

設(shè)平面APOi的法向量為zh=(xi,yi,zi),

?4P:=01Xi+J7i0

貝H，即|,令71=1,可得X1=—1,z2=-1,所以A1=(—1,1,

m?妝=012yi+2zi=0

-1),

又由9=(-1,1,2),面=(-1,3,0),

設(shè)平面即01的法向量為Z?2=（義2,如Z2）,

Ih,P0l=0]―上2+刑+20=0

則〈一，即1]，令理=1,可得X2=3,Z2=l,所以〃2=(3,1,

?PB=0〔一至+3刃=°

1),

_Z71?〃2_____________3_

所以COS<Z7i,加

一|〃1|?\n2\~y/3Xy[n~11

因為二面角4陽-6為鈍角，所以二面角4加一夕的余弦值為迤

11,

19.解析：（1）隨機(jī)變量才的全部可能取值為0,1,2,3,

2211

3-*?-9-

3-

所以X的分布列為

0123

181616

P

9818127

LLtI皿M4+rr、口/八1.8,16.16184

所以數(shù)學(xué)期望￡（J）=OX-+1X—+2X—+3X—=—

yoioiz（oi

（2）記“甲、乙競賽兩場后，兩隊積分相等”為事務(wù)4

設(shè)第7場甲、乙兩隊積分分別為％,匕，則％=3—匕，7=1,2,

因兩隊積分相等，所以％+%=%+%,即％+不=（3—%）+（3—%）,則X+4=3,

所以尸（/）=?（%=0）產(chǎn)（龍=3）+?（方=1）尸（龍=2）+尸（/=2）?（龍=1）+

、、1168161681611120

0（%=3）戶（%=0）=§X歷十五義五十五義五+而X§=訴.

20.解析：（1）由題意知，|仍|+|葩|=4,又4〉2斕，所以，動點G的軌跡是橢圓.

由橢圓的定義可知，c=小,a=2,又因為廿一方=/所以5=1,

故G的軌跡方程了+/=1.

（2）由題設(shè)可知，M、"一個在橢圓外，一個在橢圓內(nèi)；P、0一個在0K內(nèi)，一個在。月

外，在直線，上的四點滿意：|闈一|妙|=（IWl+l/^l）-（|MP\+|NP\）=|PQ\-|MN\

=闋一1,

c2

y+y=1,r

由14消去y得：（1+4A?）/一8噂A2X+12A?—4=0,/>0恒成立.

、尸k（x一事）

設(shè)戶（xi,為），Q'X”姓），由韋達(dá)定理，

/日,8小必12^-4

何為+拓=1+4廬^=7+^

PQ\=yj（[+后~[（X1+&）2-=而+]?

所以I闈—I胡=I閹-1=4A4I，0到，距離d=器1],

2

，一,29A29A9

T=（M-）x?）=（"）J"=面+5后+1=11

當(dāng)且僅當(dāng)4左=下1，即"=土A乎/9時等號成立.

驗證可知k=土、學(xué)2滿意題意.

???A>0,：.k=

2°

21.解析：證明：(1)由于/(x)=lnx,則/(，)=—1,

又《)=一|,所以F(x)在處的切線方程為y+；=—(x—3，

即Y=g(x)=—x--,

e

令力(x)=_f(x)—g(x)=x(Injr—1)+x+~,則//(x)=lnx+l,

e

于是當(dāng)x￡(0,J時，H(x)<0；

當(dāng)王￡^,十8)時，h'(x)>0,

所以為(x)在(0,3上單調(diào)遞減，在+8)上單調(diào)遞增，

故h(x)2彳3=0,即f(x)2g(x).

(2)不妨設(shè)直線尸