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PAGE1-課時分層作業(yè)(五)空間圖形的公理4及等角定理(建議用時:40分鐘)一、選擇題1.若直線a∥b,b∩c=A,則a與c的位置關(guān)系是()A.異面 B.相交C.平行 D.異面或相交D[a與c不行能平行,若a∥c,又因?yàn)閍∥b,所以b∥c,這與b∩c=A沖突,而a與c異面、相交都有可能.]2.已知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°,則∠PQR等于()A.30° B.30°或150°C.150° D.以上結(jié)論都不對B[∠ABC的兩邊與∠PQR的兩邊分別平行,但方向不能確定是否相同,∴∠PQR=30°或150°.]3.如圖所示,在長方體木塊AC1中,E,F(xiàn)分別是B1O和C1O的中點(diǎn),則長方體的各棱中與EF平行的有()A.3條 B.4條C.5條 D.6條B[由于E、F分別是B1O、C1O的中點(diǎn),故EF∥B1C1,因?yàn)楹屠釨1C1平行的棱還有3條:AD、BC、A1D4.若空間三條直線a,b,c滿意a⊥b,b⊥c,則直線a與c()A.肯定平行B.肯定相交C.肯定是異面直線D.平行、相交或異面都有可能D[當(dāng)a,b,c共面時,a∥c;當(dāng)a,b,c不共面時,a與c可能異面也可能相交.]5.一條直線與兩條異面直線中的一條平行,則它和另一條的位置關(guān)系是()A.平行或異面 B.相交或異面C.異面 D.相交B[假設(shè)a與b是異面直線,而c∥a,則c明顯與b不平行(否則c∥b,則有a∥b,沖突).c與b可能相交或異面.]二、填空題6.若AB∥A′B′,AC∥A′C′,則下列結(jié)論:①∠BAC=∠B′A′C′;②∠ABC+∠A′B′C′=180°;③∠ACB=∠A′C′B′或∠ACB+∠A′C′B′=180°.肯定成立的是________.③[∵AB∥A′B′,AC∥A′C′,∴∠ACB=∠A′C′B′或∠ACB+∠A′C′B′=180°.]7.在空間四邊形ABCD中,如圖所示,eq\f(AE,AB)=eq\f(AH,AD),eq\f(CF,CB)=eq\f(CG,CD),則EH與FG的位置關(guān)系是________.平行[如圖,連接BD,在△ABD中,eq\f(AE,AB)=eq\f(AH,AD),則EH∥BD,同理可得FG∥BD.∴EH∥FG.]8.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥AB,底面ABCD是平行四邊形,則PA與CD所成的角是______.90°[∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD,∴∠PAB是異面直線PA與CD所成的角.又∵PA⊥AB,∴∠PAB=90°.]三、解答題9.如圖所示,正方體AC1中,E,F(xiàn)分別是A1B1,B1C1的中點(diǎn),求異面直線DB1與EF[解]如圖所示,連接A1C1,B1D1,并設(shè)它們相交于點(diǎn)O,取DD1的中點(diǎn)G,連接OG,A1G,C1則OG∥B1D,EF∥A1C1∴∠GOA1為異面直線DB1與EF所成的角或其補(bǔ)角.∵GA1=GC1,O為A1C1∴GO⊥A1C1∴異面直線DB1與EF所成的角為90°.10.長方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為棱AA1,CC1(1)求證:D1E∥BF;(2)求證:∠B1BF=∠A1ED1.[證明](1)取BB1的中點(diǎn)M,連接EM,C1M在矩形ABB1A1中,易得EM綊A1B1∵A1B1綊C1D1,∴EM綊C1D1,∴四邊形EMC1D1為平行四邊形,∴D1E∥C1M在矩形BCC1B1中,易得MB綊C1F∴BF∥C1M,∴D1E∥BF(2)∵ED1∥BF,BB1∥EA1,又∠B1BF與∠A1ED1的對應(yīng)邊方向相同,∴∠B1BF=∠A1ED1.1.如圖是一個正方體的平面綻開圖,則在正方體中,AB與CD的位置關(guān)系為()A.相交 B.平行C.異面而且垂直 D.異面但不垂直D[將綻開圖還原為正方體,如圖所示,故AB與CD為不垂直的異面直線.]2.如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是棱AB,BB1的中點(diǎn),則直線EF和BC1所成的角是()A.45°B.60°C.90°D.120°B[連接AB1,易知AB1∥EF,連接B1C,B1C與BC1交于點(diǎn)G,取AC的中點(diǎn)H,連接GH,則GH∥AB1∥EF.設(shè)AB=BC=AA1=a,連接HB,在△GHB中,易知GH=HB=GB=eq\f(\r(2),2)a,故所求的兩直線所成的角即為∠HGB=60°.]3.如圖,點(diǎn)P,Q,R,S分別在正方體的四條棱上,且是所在棱的中點(diǎn),則直線PQ與RS是平行直線的圖是________(填序號).①②[結(jié)合公理4可知,①②均是平行直線,④中RS和PQ相交,只有③是異面直線.]4.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1(1)AA1與C1D1所成的角的度數(shù)為________;(2)AA1與B1C(1)90°(2)45°[(1)∵AA1∥DD1,∴∠DD1C1∵∠DD1C1∴AA1與C1D1所成的角為90°.(2)∵AA1∥BB1,∴∠BB1C∵∠BB1C∴AA1與B1C5.如圖所示,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,BC=eq\r(2),DA⊥AC,DA⊥AB,若DA=1,且E為DA的中點(diǎn),求異面直線BE與CD所成角的余弦值.[解]取AC的中點(diǎn)F,連接EF,BF,在△ACD中,E,F(xiàn)分別是AD,AC的中點(diǎn),∴EF∥CD,∴∠BEF即為所求的異面直線BE與CD所成的角(或其補(bǔ)角).在Rt△ABC中,BC=eq\r(2),AB=AC,∴AB=AC=1,在Rt△EAB中,AB=1,AE=eq\f(1,2)AD=eq\f(1,2),∴BE=eq\f(\r(5),2).在Rt△AEF中,AF=eq\f(1,2)AC=eq\f(1,2),AE=eq\f(1,2),∴EF=eq\f(\r(2),2).在Rt△ABF中,AB=1,AF=eq\f(1,2),∴BF=eq\f(
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