集合及其表示方法第1課時學習目標1.借助生活和數學實例了解集合的含義,并理解集合中元素的三個特性.2.理解元素與集合的關系,駕馭特別數集的符號表示,培育數學抽象素養.3.理解集合相等的概念.自主預習1.集合(深刻理解集合的有關概念是我們正確運用集合學問的基礎)(1)集合與元素的概念集合與元素概念及數學符號表示.思索1:集合的元素特點有哪些?思索2:怎樣推斷兩個集合相等?(2)元素與集合的關系集合與元素之間的關系只能用“∈”或“?”表示,對一個確定的對象和一個給定的集合,這兩種關系有且只有一個成立.學問點關系概念記法讀法元素與集合的關系屬于a是集合A的元素不屬于a不是集合A的元素2.幾種常見的數集及表示符號(務必記憶數學符號,學會用數學語言去表達)名稱自然數集正整數集整數集有理數集實數集記法課堂探究一、情境問題在生活與學習中,我們常常要對事物進行分類.最典型的是圖書館中的書籍就是依據肯定規律分類擺放貯存的.在數學學問中,同樣也存在著很多分類,例如整數可以分為正整數、負整數和零,三角形可以分為直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形等.思索1:你能說出數學中其他的分類實例嗎?思索2:是否可以借助袋子、抽屜等來直觀地理解集合?思索3:方程x+1=x+2的全部解組成的集合是什么?思索4:①我們班全部的“追夢人”能否構成一個集合?②我們班身高不低于175cm的同學能否構成一個集合?③我們班的高個子同學能否構成一個集合?④不等式x-2>1的全部解能否構成一個集合?【小試牛刀】例1(1)(多選)下列每組對象,能構成集合的是()A.中國各地的漂亮鄉村B.直角坐標系中橫、縱坐標相等的點C.不小于3的自然數D.截止到2024年1月1日,參與“一帶一路”的國家(2)下列說法中,正確的有.(填序號)

①單詞book的全部字母組成的集合的元素共有4個;②集合M中有3個元素a,b,c,假如a,b,c是△ABC的三邊長,則△ABC不行能是等腰三角形;③將小于10的自然數按從小到大的依次排列和按從大到小的依次排列分別得到不同的兩個集合.跟蹤訓練(1)下列各組對象可以構成集合的是()A.數學必修第一冊課本中全部的難題B.小于8的全部素數C.直角坐標平面內第一象限的一些點D.全部小的正數(2)下列每組對象能否構成一個集合?①不超過20的非負數;②方程x2-9=0在實數范圍內的解;③某校2024年在校的全部矮個子同學;④3的近似值的全體.二、特別數集思索5:若a∈N,b∈N,則a+b,ab,a-b,ab是否屬于N呢思索6:若a∈Z,b∈Z,則a+b,ab,a-b,ab是否屬于Z呢思索7:若a∈Q,b∈Q,則a+b,ab,a-b,ab是否屬于Q呢拓展:①無限循環小數可以表示成分數嗎?舉例說明.②任何一個無限循環小數都是Q中的元素嗎?思索8:若a∈R,b∈R,則a+b,ab,a-b,ab是否屬于R呢【學以致用】例2(1)(多選)下列關系中正確的有()A.2∈Q B.-1?NC.π?R D.|-4|∈Z(2)下列說法中正確的有.

①集合N與集合N+是同一個集合;②集合N中的元素都是集合Z中的元素;③集合Q中的元素都是集合Z中的元素;④集合Q中的元素都是集合R中的元素.跟蹤訓練(多選)給出下列關系,其中不正確的有()A.12∈R B.|-3|?C.|-3|∈Q D.0?N例3已知集合A是由a-2,2a2+5a,12三個元素組成的,且-3∈A,求實數a.跟蹤訓練已知集合A含有兩個元素a-3和2a-1,若-3∈A,試求實數a的值.延長探究:若將“-3∈A”換成“a∈A”,求實數a的值.課堂練習1.(多選)下列給出的對象中,能組成集合的是()A.方程x2-4=0在實數范圍內的解B.不超過30的全部非負整數C.平面直角坐標系中第一象限內的點D.方程x2=-1的實數根2.下列結論不正確的是()A.|-1|∈N B.2?QC.0?Q D.π∈R3.若以集合A的四個元素a,b,c,d為邊長構成一個四邊形,則這個四邊形可能是()A.梯形 B.平行四邊形C.菱形 D.矩形4.一個小書架上有十個不同品種的書各3本,那么由這個書架上的書組成的集合中含有個元素.

5.已知集合A中的元素x滿意x≥2,若a?A,則實數a的取值范圍是.

課后鞏固1.以下各組對象不能組成集合的是()A.中國古代四大獨創B.地球上的小河流C.方程x2-7=0的實數解D.周長為10cm的三角形2.若a是R中的元素,但不是Q中的元素,則a可以是()A.3.14 B.-5 C.37 D.3.(多選)下列說法中,不正確的是()A.集合N中最小的數為1B.若-a∈N,則a∈NC.若a∈N,b∈N,則a+b的最小值為2D.全部小的正數組成一個集合4.(多選)下列關系中正確的有()A.13∈R B.5∈C.-3?Z D.-3?N5.集合A中含有三個元素2,4,6,若a∈A,且6-a∈A,那么a為()A.2 B.2或4 C.4 D.06.(多選)已知x,y為非零實數,代數式x|x|+y|y|+xy|xy|A.-1∈M B.1∈M C.2∈M D.3∈M7.(多選)由a2,2-a,4組成一個集合A,且集合A中含有3個元素,則實數a的取值可以是()A.1 B.-2 C.-1 D.38.已知集合A是由0,m,m2-3m+2三個元素構成的集合,且2∈A,則實數m=.

9.由實數x,-x,|x|,x2,-3x3所組成的集合,最多含10.設A是由滿意不等式x<6的自然數組成的集合,若a∈A且3a∈A,求a的值.11.設x∈R,集合A中含有三個元素3,x,x2-2x.(1)求元素x應滿意的條件;(2)若-2∈A,求實數x的值.核心素養專練1.已知集合M有兩個元素x,2-x,若-1?M,則下列說法肯定錯誤的是.

①2∈M;②1∈M;③x≠3.2.設集合A中的元素均為實數,且滿意條件:若a∈A,則11-a∈A(a≠求證:(1)若2∈A,則A中必還有另外兩個元素;(2)集合A不行能是單元素集.參考答案自主預習略課堂探究思索:略例1(1)BCD(2)②跟蹤訓練(1)B(2)①對隨意一個實數能推斷出是不是“不超過20的非負數”,所以能構成集合;②能構成集合;③“矮個子”無明確的標準,對于某個人算不算矮個子無法客觀地推斷,因此不能構成一個集合;④“3的近似值”不明確精確到什么程度,因此很難推斷一個數如“2”是不是它的近似值,所以不能構成集合.規律方法推斷一組對象能否構成集合的關鍵在于看是否有明確的推斷標準,使給定的對象是“確定無疑”的還是“模棱兩可”的.假如是“確定無疑”的,就可以構成集合;假如是“模棱兩可”的,就不能構成集合.思索:略例2(1)BD(2)②④跟蹤訓練BCD例3解:由-3∈A,可得-3=a-2或-3=2a2+5a,∴a=-1或a=-32當a=-1時,a-2=-3,2a2+5a=-3,不符合集合中元素的互異性,故a=-1應舍去.當a=-32時,a-2=-72,2a2+5a=-3,符合集合中元素的互異性.∴a=-【總結歸納】利用集合中元素的互異性求參數的策略及留意點:(1)策略:依據集合中元素的確定性,可以解出字母的全部可能值,再依據集合中的元素的互異性對求得的參數值進行檢驗.(2)留意點:利用集合中元素的互異性解題時,要留意分類探討思想的應用.跟蹤訓練解:∵-3∈A,∴-3=a-3或-3=2a-1,若-3=a-3,則a=0,此時集合A中含有兩個元素-3,-1,符合題意;若-3=2a-1,則a=-1,此時集合A中含有兩個元素-4,-3,符合題意;綜上所述,a=0或a=-1.延長探究解:∵a∈A,∴a=a-3或a=2a-1,解得a=1,此時集合A中有兩個元素-2,1,符合題意.故所求a的值為1.課堂練習1.ABCD2.C3.A4.105.a<2課后鞏固1.B2.D3.ABCD4.AD5.B解析:若a=2,則6-2=4∈A;若a=4,則6-4=2∈A;若a=6,則6-6=0?A,故選B.6.AD解析:①當x,y均為正數時,代數式x|x|+y|y|+xy|xy|的值為3;②當x,y為一正一負時,代數式x|x|+y|y|+xy|xy|的值為-1;③當x,y均為負數時,代數式x|7.CD解析:由題意知a2≠4,2-a≠4,a2≠2-a,解得a≠±2,且a≠1,故選CD.8.3解析:由題意知,m=2或m2-3m+2=2,解得m=2或m=0或m=3.閱歷證,當m=0或m=2時,不滿意集合中元素的互異性,當m=3時,滿意題意,故m=3.9.2解析:由于|x|=±x,x2=|x|,-3x3=-x,并且x,-x,|x|之中至少有兩個相等,所以最多含10.解:∵a∈A且3a∈A,∴a<6,3a<6,解得a<2.又a11.解:(1)由集合元素的互異性可得x≠3,x2-2x≠x,且x2-2x≠3,解得x≠-1,x≠0,且x≠3.(2)若-2∈A,則x=-2或x2-2x=-2.由于方程x2-2x+2=0無實數解,所以x=-2.經檢驗,知x=-2時三個元素滿意互異性.故x=-2.核心素養專練1.②解析:依題意x≠-1,2-x≠-1,x≠2當x=2或2-x=2,即x=2或x=0時,M中的元素為0,2,故①可能正確;當x=1或2-x=1,即x=1時,M中兩元素為1,1,不滿意互異性,故②不正確,③明顯正確.2.證明:(1)若a∈A,則11-又因為2∈A,所以11-2=-1∈A.因為-1∈A,所以11因為12∈A,所以11-12=2∈A.所以A中另外兩個元素為(2)若A為單元素集,則a=11-a,即a2-a+1=0所以a≠11-a,所以集合A學習目標1.了解集合的含義,理解元素與集合的“屬于”關系;2.理解集合的元素特點,體會數學符號語言的抽象性、簡潔性和邏輯性.自主預習1.集合(1)元素與集合的概念①把一些能夠、對象匯合在一起,就說由這些對象組成一個集合(有時簡稱為集),組成集合的每個對象都是這個集合的元素.

集合通常用英文大寫字母…表示,集合的元素通常用英文小寫字母…表示.

一般地,我們把任何元素的集合稱為空集,記作.

(2)元素與集合的關系①屬于:假如a是集合A的元素,就記作,讀作“aA”.

②不屬于:假如a不是集合A中的元素,就記作,讀作“aA”.

(3)集合中元素的特點①:集合的元素必需是確定的.

②互異性:對于一個給定的集合,集合中的元素肯定是的.

③:集合中的元素可以隨意排列,與次序無關.

(4)集合相等:給定兩個集合A和B,假如組成它們的元素,就稱這兩個集合相等,記作.

(5)集合的分類依據集合含有的元素個數分為兩類:①有限集:含有元素的集合(空集可以看成包含0個元素的集合,所以空集是有限集).

②:含有無限個元素的集合.

2.幾種常見的數集及表示符號名稱自然數集正整數集有理數集記法ZR課堂探究一集合概念的理解例1下列每組對象能否構成一個集合:(1)不超過20的非負數;(2)方程x2-9=0在實數范圍內的解;(3)某校2024年在校的全部矮個子同學;(4)3的近似值的全體.規律方法:訓練1(1)下列給出的對象中能構成集合的是()A.聞名物理家 B.很大的數C.聰慧的人 D.小于3的實數(2)下列各組對象可以構成集合的是()A.數學必修第一冊課本中全部的難題B.小于8的全部素數C.平面直角坐標系內第一象限的一些點D.全部小的正數二元素與集合的關系、集合的元素特點及應用例2(1)給出下列關系:①12∈R;②|-3|?N;③|-3|∈Q;④0?N.其中正確的個數為(A.1 B.2 C.3 D.4(2)已知集合A是由a-2,2a2+5a,12三個元素組成的,且-3∈A,求實數a.規律方法:訓練2(1)設集合M是由不小于23的數組成的集合,若a=11,則下列關系中正確的是()A.a∈M B.a?MC.a=M D.a≠M(2)已知集合A含有兩個元素a-3和2a-1,若-3是集合A中的元素,試求實數a的值.核心素養專練1.用符號“∈”或“?”填空.(1)-15Q;(2)0N(2)3Q; (4)π3R(5)sin45°Z; (6)cos30°Q.

2.下列條件所指對象能構成集合的是()A.與0特別接近的數B.我班喜愛唱歌的同學C.我校學生中的團員D.我班的高個子學生3.已知由數x,-x,|x|,x2,-3x3所組成的集合中元素的個數最多可以是A.2 B.3 C.4 D.54.已知2∈A且A中元素有1,x,x2+x,求實數x的值.5.設集合A中的元素x滿意6+3<x≤10.(1)A是有限集還是無限集?(2)53是不是A中的元素?參考答案自主預習略課堂探究例1解:(1)對隨意一個實數能推斷出是不是“不超過20的非負數”,所以能構成集合;(2)能構成集合;(3)“矮個子”無明確的標準,對于某個人算不算矮個子無法客觀地推斷,因此不能構成一個集合;(4)“3的近似值”沒有明確精確到什么程度,因此很難推斷一個數如“2”是不是它的近似值,所以不能構成集合.規律方法推斷一組對象能否構成集合的關鍵在于是否有明確的推斷標準,使給定的對象是“確定無疑”的還是“模棱兩可”的.假如是“確定無疑”的,就可以構成集合;假如是“模棱兩可”的,就不能構成集合.訓練1解析:(1)只有選項D有明確的標準,能構成一個集合.(2)A中“難題”的標準不確定,不能構成集合;B能構成集合;C中“一些點”無明確的標準,對于某個點是否在“一些點”中無法確定,因此“平面直角坐標系內第一象限的一些點”不能構成集合;D中沒有明確的標準,所以不能構成集合.答案:(1)D(2)B例2(1)解析:①正確;②③④不正確.答案:A(2)解:由-3∈A,