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文檔簡介

異面直線所成的角一.定義:直線a、b是異面直線，經過空間任意一點O,分別引直線a′∥a,b′∥b。我們把直線a′和b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a和b所成的角.說明：1．a和b所成的角的大小與空間點的選取無關.2．實質：把a和b平行移動使之相交,把抽象的空間位置用平面內具體的角來體現.3．范圍:(0°，]★求角的步驟：做（利用定義畫平行線，移到同一平面）證（簡單論證）3.求（解平面圖形，通常將角置于一個三角形中，利用平面幾何知識解決）求異面直線所成角的步驟有哪些？想一想正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為BB1的中點，如圖，畫出下面各題中指定的異面直線所成的角ABCDD1B1ABCDB1ABDB1PD1D1C例2、長方體ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2cm，

AD=1cm，求異面直線A1C1與BD1所成角的余弦值。解法二：方法歸納：補形法把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、長方體等，其目的在于易于發現兩條異面直線的關系。在A1C1E中，由余弦定理得A1C1與BD1所成角的余弦值為

如圖，補一個與原長方體全等的并與原長方體有公共面連結A1E，C1E，則

A1C1E為A1C1與BD1所成的角(或補角)，F1EFE1BDB1A1D1C1ACBC1的方體B1F，

在空間四邊形S-ABC中，SA⊥BC且SA=BC,E,F分別為SC、AB的中點，那么異面直線EF與SA所成的角等于（）CSABEFD(A)300(B)450(C)600(D)900練習1B

SABEFG2.在空間四邊形ABCD中,AD=BC=2,E、F分別是

AB、CD的中點.且EF=．求:異面直線AD和BC所成的角.

且PE//BC,PF//AD

解:設P為AC中點,連結EP、FP.則

∴PE與PF所成的銳角（其補角）就是異面直線BC與AD所成的角.在△PEF中,PE=PF=1,EF=即異面直線AD和BC成600角∴ABCDEFG定角一般方法有：（1）平移法（常用方法）（2）補形小結：1、求異面直線所成的角要認識到：空間的角可以用平面的角來定義，體現了立體幾何中的降維思想。2、求角的方法：解平面圖形（一般為三角形）用余弦定理求異面直線所成角時，要注意角的范圍：

（1）當cosθ＞0時，所成角為θ（2）當cosθ＜0時，所成角為π－θ（3）當cosθ=0時，所成角為3、當異面直線垂直時，還可應用線面垂直的有關知識解決。90o思考：已知正方體的棱長為a,M為AB的中點,N為BB1的中點，求A1M與C1N所成角的余弦值。解：如圖，取A1B1的中點E,連BE,有BE∥A1M取CC1的中點G,連BG.有BG∥C1N則∠EBG即為所求角。BG=BE=a,FC1=a由余弦定理，cos∠EBG=2/5取EB

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