主講：貴州師大數計學院陳云坤《高等數學》——物理類專用第七章多元函數微分學二、方向導數第二節偏導數的應用三、二元函數的泰勒展示四、二元函數的極值一、幾何應用復習:平面曲線的切線與法線已知平面光滑曲線切線方程法線方程若平面光滑曲線方程為故在點切線方程法線方程在點有有因（1）.曲線方程為參數方程的情況切線方程此處要求也是法平面的法向量,切線的方向向量:稱為曲線的切向量.如個別為0,則理解為分子為0.不全為0,因此得法平面方程

說明:若引進向量函數,則

為r(t)的矢端曲線,處的導向量就是該點的切向量.例1.求圓柱螺旋線對應點處的切線方程和法平面方程.切線方程法平面方程即即解:

由于對應的切向量為在,故（2）.曲線為一般式的情況光滑曲線當曲線上一點,且有時,可表示為處的切向量為則在點切線方程法平面方程有或也可表為法平面方程例2.

求曲線在點M(1,–2,1)處的切線方程與法平面方程.切線方程解法1令則即切向量法平面方程即解法2.方程組兩邊對x求導,得曲線在點M(1,–2,1)處有:切向量解得切線方程即法平面方程即點M(1,–2,1)處的切向量2、曲面的切平面與法線

設有光滑曲面通過其上定點對應點M,切線方程為不全為0.則

在且點M的切向量為任意引一條光滑曲線下面證明:此平面稱為

在該點的切平面.

上過點M的任何曲線在該點的切線都在同一平面上.*證:在上,得令由于曲線

的任意性,表明這些切線都在以為法向量的平面上,從而切平面存在.曲面

在點M的法向量法線方程切平面方程曲面時,則在點故當函數法線方程令特別,當光滑曲面

的方程為顯式

在點有連續偏導數時,切平面方程法向量用將法向量的方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向分別記為則向上,例3.

求球面在點(1,2,3)處的切平面及法線方程.解:所以球面在點(1,2,3)處有:切平面方程即法線方程法向量令例4.確定正數

使曲面在點解:二曲面在M點的法向量分別為二曲面在點M相切,故又點M在球面上,于是有相切.與球面,因此有思考與練習1.如果平面與橢球面相切,提示:設切點為則(二法向量平行)(切點在平面上)(切點在橢球面上)2.求曲線在點(1,1,1)的切線解:點(1,1,1)處兩曲面的法向量為因此切線的方向向量為由此得切線:法平面:即與法平面.證明曲面上任一點處的切平面都通過原點.提示:在曲面上任意取一點則通過此3.設f(u)可微,證明原點坐標滿足上述方程.點的切平面為1.

證明曲面與定直線平行,證:曲面上任一點的法向量取定直線的方向向量為則(定向量)故結論成立.的所有切平面恒備用題二、方向導數定義:若函數則稱為函數在點P處沿方向l

的方向導數.在點處沿方向l

(方向角為)存在下列極限:記作定理:則函數在該點沿任意方向

l

的方向導數存在,證明:由函數且有在點P可微,得故對于二元函數為,)的方向導數為向角特別:?當l與x軸同向?當l與x軸反向例1.求函數

在點P(1,1,1)沿向量3)的方向導數.解:向量l的方向余弦為例2.

求函數在點P(2,3)沿曲線朝x增大方向的方向導數.解:將已知曲線用參數方程表示為它在點P的切向量為例3.設是曲面在點P(1,1,1)處指向外側的法向量,解:

方向余弦為而同理得方向的方向導數.在點P處沿求函數思考與練習1、設函數求函數在點M(1,1,1)處沿曲線在該點切線方向的方向導數;曲線在點解答提示:函數沿l的方向導數M(1,1,1)處切線的方向向量指向B(3,－2,2)方向的方向導數是

.在點A(1,0,1)處沿點A2.函數提示:則(96考研)三、二元函數的泰勒公式一元函數的泰勒公式:推廣多元函數泰勒公式記號(設下面涉及的偏導數連續):

一般地,

表示表示定理1.的某一鄰域內有直到n+1階連續偏導數,為此鄰域內任一點,則有其中①②①稱為f在點(x0,y0)的n階泰勒公式,②稱為其拉格朗日型余項.證:令則利用多元復合函數求導法則可得:一般地,由的麥克勞林公式,得將前述導數公式代入即得二元函數泰勒公式.說明:(1)余項估計式.因f的各n+1階偏導數連續,在某閉鄰域其絕對值必有上界

M,則有(2)當n=0時,得二元函數的拉格朗日中值公式:(3)若函數在區域D上的兩個一階偏導數恒為零,由中值公式可知在該區域上例1.求函數解:的三階泰勒公式.因此,其中四、二元函數的極值定義:若函數則稱函數在該點取得極大值(極小值).極大值和極小值統稱為極值,使函數取得極值的點稱為極值點.的某鄰域內有1、極值的定義例如:在點(0,0)有極小值;在點(0,0)有極大值;在點(0,0)無極值.說明:

使偏導數都為0的點稱為駐點.例如,定理1(必要條件)函數偏導數,證:據一元函數極值的必要條件可知定理結論成立.取得極值,取得極值取得極值但駐點不一定是極值點.有駐點(0,0),但在該點不取極值.且在該點取得極值,則有存在故時,具有極值定理2

(充分條件)的某鄰域內具有一階和二階連續偏導數,且令則:1)當A<0時取極大值;A>0時取極小值.2)當3)當時,沒有極值.時,不能確定,需另行討論.若函數*證:由二元函數的泰勒公式,并注意則有所以其中

,

,

是當h→0,k→0時的無窮小量,于是(1)當AC－B2＞0時,必有A≠0,且A與C同號,可見,從而△z＞0,因此從而△z＜0,(2)當AC－B2＜0時,若A,C不全為零,無妨設A≠0,則時,有異號;同號.可見△z在(x0,y0)鄰近有正有負,++－若A＝C

＝0,則必有B≠0,不妨設B＞0,此時可見△z在(x0,y0)鄰近有正有負,(3)當AC－B2＝0時,若A≠0,則若A＝0,則B＝0,為零或非零此時因此不能斷定(x0,y0)是否為極值點.例1.求函數解:

第一步求駐點.得駐點:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判別.在點(1,0)處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導數在點(3,0)處不是極值;在點(3,2)處為極大值.在點(1,2)處不是極值;例2.討論函數及是否取得極值.解:顯然(0,0)都是它們的駐點,在(0,0)點鄰域內的取值,因此z(0,0)不是極值.因此為極小值.正負0在點(0,0)并且在(0,0)都有可能為2、最值應用問題函數f在閉域上連續函數f在閉域上可達到最值最值可疑點駐點邊界上的最值點特別,

當區域內部最值存在,且只有一個極值點P時,為極小值為最小值(大)(大)依據例3.解:設水箱長,寬分別為x,ym

,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點某廠要用鐵板做一個體積為2根據實際問題可知最小值在定義域內應存在,的有蓋長方體水箱問當長、寬、高各取怎樣的尺寸時,才能使用料最省?因此可斷定此唯一駐點就是最小值點.即當長、寬均為高為時,水箱所用材料最省.例4.有一寬為24cm的長方形鐵板,把它折起來做成解:設折起來的邊長為xcm,則斷面面積x24一個斷面為等腰梯形的水槽,傾角為

,積最大.為問怎樣折法才能使斷面面令解得:由題意知,最大值在定義域D內達到,而在域D內只有一個駐點,故此點即為所求.3、條件極值極值問題無條件極值:條件極值:條件極值的求法:方法1代入法.求一元函數的無條件極值問題對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如,轉化方法2拉格朗日乘數法.如方法1所述,則問題等價于一元函數可確定隱函數的極值問題,極值點必滿足設記例如,故故有引入輔助函數輔助函數F

稱為拉格朗日(Lagrange)函數.利用拉格極值點必滿足則極值點滿足:朗日函數求極值的方法稱為拉格朗日乘數法.推廣拉格朗日乘數法可推廣到多個自變量和多個約束條件的情形.設解方程組可得到條件極值的可疑點.例如,求函數下的極值.在條件例5.要設計一個容量為則問題為求x,y,令解方程組解:設x,y,z分別表示長、寬、高,下水箱表面積最小.z使在條件水箱長、寬、高等于多少時所用材料最省？的長方體開口水箱,試問得唯一駐點由題意可知合理的設計是存在的,長、寬為高的2倍時，所用材料最省.因此,當高為思考:1)當水箱封閉時,長、寬、高的尺寸如何?提示:利用對稱性可知,2)當開口水箱底部的造價為側面的二倍時,欲使造價最省,應如何設拉格朗日函數?長、寬、高尺寸如何?提示:長、寬、高尺寸相等.已知平面上兩定點A(1,3),B(4,2),試在橢圓圓周上求一點C,使△ABC面積S△最大.解答提示:設C點坐標為(x,y),思考與練習則設拉格朗日函數解方程組得駐點對應面積而比較可知,點C與E重合時,三角形面積最大.備用題

1.求半徑為R

的圓的內接三角形中面積最大者.解:設內接三角形各邊所對的圓心角為x,y,z,則它們所對應的三個三角形面積分別為設拉氏函數解方程組,得故圓內接正三角形面積最大,最大面積為為邊的面積最大的四邊形,試列出其目標函數和約束條件?提示:目標函數:約束條件:答案:即四邊形內接于圓時面積最大.2.求平面上以問題的提出:已知一組實驗數據求它們的近似函數關系y＝f(x).需要解決兩個問題:1.確定近似函數的類型根據數據點的分布規律根據問題的實際背景2.確定近似函數的標準實驗數據有誤差,不能要求4、最小二乘法偏差有正有負,值都較小且便于計算,可由偏差平方和最小為使所有偏差的絕對來確定近似函數f(x).最小二乘法原理:設有一列實驗數據分布在某條曲線上,通過偏差平方和最小求該曲線的方法稱為最小二乘法,找出的函數關系稱為經驗公式.,它們大體特別,當數據點分布近似一條直線時,問題為確定a,b令滿足:使得解此線性方程組即得a,b稱為法方程組例1.為了測定刀具的磨損速度,每隔1小時測一次刀具的厚度,得實驗數據如下:找出一個能使上述數據大體適合的經驗公式.解:通過在坐標紙上描點可看出它們大致在一條直線上,列表計算:故可設經驗公式為27.026.826.526.326.125.725.324.80123456701234567得法方程組解得故所求經驗公式為0027.0074924.8137.628140208.5717.0為衡量上述經驗公式的優劣,計算各點偏差如下:稱為均方誤差,對本題均方誤差它在一定程度上反映了經驗函數的好壞.偏差平方和為27.026.826.526.326.125.725.324.80123456727.12526.51825.91125.30326.82126.21425.60725.000－0.125－0.0180.189－0.003－0.0210.0860.093－0.200稱為均方誤差,對本題均方誤差它在一定程度上反映了經驗函數的好壞.偏差平方和為27.026.826.526.326.125.725.324.80123456727.12526.51825.91125.30326.82126.21425.60725.000－0.125－0.0180.189－0.003－0.0210.0860.093－0.200例2.

在研究某單分子化學反應速度時,得到下列數據:57.641.931.022.716.612.28.96.53691215182124123