題型一：定比點差法例1．已知橢圓C:+=1（a>b>0）的離心率為過右焦點F且斜率為k（k>0）的直線與C相交于與C相交于A，B兩點，若AF=3FB，求k例2．已知=1，過點P的直線交橢圓于A，B（可以重合求若λ=2，求μ的值.變式1．設F1，F2分別為橢圓+y2=1的左、右焦點，點A，B在橢圓上，若，求點A的坐標變式2．已知橢圓+y2=1，設過點P(2,2)的直線l與橢圓C交于A，B，點Q是線段AB上的點，且，求點Q的軌跡方程.題型二：齊次化例4．已知拋物線C:y2=4x，過點(4,0)的直線與拋物線C交于P，Q兩點，O為坐標原點．證明：2例5．如圖，橢圓E:+y2=1，經過點M(1,1)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點P，Q（均異于點A(0,1)，證明：直線AP與AQ的斜率之和為2.21，設直線l不經過點P2(0,1)且與C相交于A，B兩點．若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1，證明：直線l過定點.變式3．已知橢圓+y2=1，B(0,1)，P，Q為上的兩個不同的動點，kBPkBQ=，求證：直線PQ過定點.題型三：極點極線問題例72023·全國·高三專題練習）橢圓方程平面上有一點P(x0,y0)．定義直線方程是橢圓Γ在點P(x0,y0)處的極線．已知橢圓方程.(1)若P(1,y0)在橢圓C上，求橢圓C在點P處的極線方程；(2)若P(x0,y0)在橢圓C上，證明：橢圓C在點P處的極線就是過點P的切線；(3)若過點P(—4,0)分別作橢圓C的兩條切線和一條割線，切點為X，Y，割線交橢圓C于M，N兩點，過點M，N分別作橢圓C的兩條切線，且相交于點Q．證明：Q，X，Y三點共線.例82023·全國·高三專題練習）閱讀材料：（一）極點與極線的代數定義；已知圓錐曲線G：Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0，則稱點P(x0，y0)和直線l：Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0是圓錐曲線G的一對極點和極線.事實上，在圓錐曲線方程中，以x0x替換x2，以替換x(另一變量y也是如此)，即可得到點P(x0，y0)對應的極線方程.特別地，對于橢圓=1，與點P對應的極線方程為對于雙曲線=1，與點P(x0，y0)對應的極線方程為對于拋物線y2=2px，與點P(x0，y0)對應的極線方程為y0y=p(x0+x).即對于確定的圓錐曲線，每一對極點與極線是一一對應的關系.（二）極點與極線的基本性質、定理①當P在圓錐曲線G上時，其極線l是曲線G在點P處的切線；②當P在G外時，其極線l是曲線G從點P所引兩條切線的切點所確定的直線（即切點弦所在直線③當P在G內時，其極線l是曲線G過點P的割線兩端點處的切線交點的軌跡.結合閱讀材料回答下面的問題：(1)已知橢圓經過點P(4，0)，離心率是求橢圓C的方程并寫出與點P對應的極線方程；(2)已知Q是直線l：上的一個動點，過點Q向（1）中橢圓C引兩條切線，切點分別為M，N，是否存在定點T恒在直線MN上，若存在，當M--=T-時，求直線MN的方程；若不存在，請說明理由.例92023秋·北京·高三中關村中學校考開學考試）已知橢圓b＞0）過A，B（0，1）兩點.（1）求橢圓M的離心率；（2）設橢圓M的右頂點為C，點P在橢圓M上（P不與橢圓M的頂點重合直線AB與直線CP交于點Q，直線BP交x軸于點S，求證：直線SQ過定點.變式42023·全國·高三專題練習）若雙曲線x2—y2=9與橢圓共頂點，且它們的離心率之積為.（1）求橢圓C的標準方程；（2）若橢圓C的左、右頂點分別為A1，A2，直線l與橢圓C交于P、Q兩點，設直線A1P與A2Q的斜率分別為k1，k2，且k1—k2=0．試問，直線l是否過定點？若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由.變式52023·全國·高三專題練習）已知橢圓的離心率為且過點A，B分別為橢圓E的左，右頂點，P為直線x=3上的動點（不在x軸上PA與橢圓E的另一交點為C，PB與橢圓E的另一交點為D，記直線PA與PB的斜率分別為k1，k2.(Ⅰ)求橢圓E的方程；(Ⅲ)證明：直線CD過一個定點，并求出此定點的坐標.題型四：蝴蝶問題例102003·全國·高考真題）如圖，橢圓的長軸A1A2與x軸平行，短軸B1B2在y軸上，中心為M(0,r)(b>r>0).(1)寫出橢圓的方程，求橢圓的焦點坐標及離心率；(2)直線y=k1x交橢圓于兩點C(x1,y1),D(x2,y2)(y2>0)；直線y=k2x交橢圓于兩點G(x3,y3)，(3)對于（2）中的中的在C，D，G，H，設CH交x軸于P點，GD交x軸于Q點，求證：|OP|=|OQ|（證明過程不考慮CH或GD垂直于x軸的情形）例112023·全國·高三專題練習）已知橢圓，四點（1）求橢圓C的方程；（2）蝴蝶定理：如圖1，AB為圓O的一條弦，M是AB的中點，過M作圓O的兩條弦CD，EF.若CF，ED分別與直線AB交于點P，Q，則MP=MQ.該結論可推廣到橢圓.如圖2所示，假定在橢圓C中，弦AB的中點M的坐標為且兩條弦CD，EF所在直線斜率存在，證明：MP=MQ.例122021·全國·高三專題練習蝴蝶定理）過圓AB弦的中點M，任意作兩弦CD和EF，CF與ED交弦AB于P、Q，求證：PM=QM.變式62023·全國·高三專題練習）蝴蝶定理因其美妙的構圖，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代數學名家蜂擁而證，正所謂花若芬芳蜂蝶自來.如圖，已知圓M的方程為x2+(y—b)2=r2，直線x=my與圓M交于C(x1,y1)，D(x2,y2)，直線x=ny與圓M交于E(x3,y3)，F(x4,y4).原點O在圓M內.求證：（2）設CF交x軸于點P，ED交x軸于點Q.求證：OP=OQ.變式72023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預測）已知橢圓的左、右頂點分別為點A，B，且AB=4，橢圓C離心率為1（1）求橢圓C的方程；（2）過橢圓C的右焦點，且斜率不為0的直線l交橢圓C于M，N兩點，直線AM，BN的交于點Q，求證：點Q在直線x=4上.變式82023·全國·高三專題練習）已知橢圓的左、右頂點分別為A，B，離心率為為橢圓上一點.（1）求橢圓C的標準方程；（2）如圖，過點C(0，1)且斜率大于1的直線l與橢圓交于M，N兩點，記直線AM的斜率為k1，直線BN的斜率為k2，若k1＝2k2，求直線l斜率的值.變式92021秋·廣東深圳·高二?？计谥校┮阎獧E圓的右焦點是F(2，0)，過點F的直線交橢圓C于A，B兩點，若線段AB中點Q的坐標為.(1)求橢圓C的方程；(2)已知P(0,—b)是橢圓C的下頂點，如果直線y=kx+1（k≠0）交橢圓C于不同的兩點M，N，且M，N都在以P為圓心的圓上，求k的值；過點D作一條非水平直線交橢圓C于R、S兩點，若A，B為橢圓的左右頂點，記直線AR、BS的斜率分別為k1、k2，則是否為定值，若是，求出該定值，若不是，請說明理由.變式102023·全國·高三專題練習）如圖，已知橢圓的離心率為，A，B分別是橢圓C的左、右頂點，右焦點F，BF=1，過F且斜率為k(k>0)的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，M在x軸上方.(1)求橢圓C的標準方程；(2)記△AFM，△BFN的面積分別為S1，S2，若，求k的值；(3)設線段MN的中點為D，直線OD與直線x=4相交于點E，記直線AM，BN，FE的斜率分別為k1，k2，k3，求k2.(k1k3)的值.變式112023秋·福建莆田·高二莆田華僑中學校考期末）已知點A在橢圓上，O為坐標原點，直線l：的斜率與直線OA的斜率乘積為—（1）求橢圓C的方程；（2）不經過點A的直線l：y=3x+t與橢圓C交于P，Q兩點，P關于原點的對稱點為R（與點A不重合直線AQ，AR與y軸分別交于兩點M，N，求證：AM=AN.變式122022·全國·高三專題練習）極線是高等幾何中的重要概念，它是圓錐曲線的一種基本特征.對于圓x22，與點(x0,y0)對應的極線方程為x0x+y0y