第一章導數及其應用本章內容1.1

變化率與導數1.2

導數的計算1.3

導數在研究函數中的應用1.4

生活中的優化問題舉例1.5

定積分的概念1.6

微積分基本定理1.7

定積分的簡單應用第一章小結1.3.1

函數的單調性與導數(第一課時)1.3.2

函數的極值與導數1.3.3

函數的最大(小)值與導數1.3.1

函數的單調性與導數(第二課時)1.3導數在研究函數中的應用1.3.1函數的單調性與導數(第一課時)返回目錄1.

函數的單調性與其導數有什么關系?2.

怎樣用導數求函數的單調區間?學習要點xyoabcl1l2y=f(x)問題1:

如圖,函數y

=

f(x)在區間(a,b)內,函數是增函數還是減函數?切線l1

的傾斜角是銳角還是鈍角?這時函數的導數是正還是負?在區間(b,c)內呢?在區間(a,b)內,任一點的切線的斜率都為正,即在(a,b)內,f

(x)>0,這一段函數是增函數.在區間(b,c)內,任一點的切線的斜率都為負,即在(b,c)內,f

(x)<0,這一段函數是減函數.xyoabcl1l2y=f(x)問題1:

如圖,函數y

=

f(x)在區間(a,b)內,函數是增函數還是減函數?切線l1

的傾斜角是銳角還是鈍角?這時函數的導數是正還是負?在區間(b,c)內呢?一般地,函數的單調性與其導數的正負有如下關系:

在某個區間(a,b)內,

如果f

(x)>0,

那么函數y=f

(x)在這個區間內單調遞增;如果f

(x)<0,那么函數y=f(x)在這個區域內單調遞減.

例1.

已知導函數f

(x)的下列信息:當1<x<4時,f(x)>0;當x>4,或x<1時,f(x)<0;當x=4,或x=1時,f(x)=0.試畫出函數f(x)圖象的大致形狀.解:在區間(1,4)內,f

(x)>0,則在這區間內函數是增函數;在區間(-∞,1)與(4,+∞)內,則在(-∞,1)及(4,+∞)f

(x)<0,兩區間內函數是減函數;當x=4,或x=1時,f(x)=0,曲線在這兩點的切線平行于x

軸,這兩點是曲線在那一段的頂點.xyo14例2.

判斷下列函數的單調性,并求出單調區間:

(1)

f(x)=x3+3x;

(2)

f(x)=x2-2x-3;

(3)

f(x)=sinx-x,x(0,p);

(4)

f(x)=2x3+3x2-24x+1.解:(1)f

(x)=3x2+3,解不等式3x2+3>0得x

R,即x(-∞,+∞),f(x)>0,∴函數在區間(-∞,+∞)上是增函數.xyo例2.

判斷下列函數的單調性,并求出單調區間:

(1)

f(x)=x3+3x;

(2)

f(x)=x2-2x-3;

(3)

f(x)=sinx-x,x(0,p);

(4)

f(x)=2x3+3x2-24x+1.解:(2)f

(x)=2x-2,解不等式2x-2>0得x>1,即x(-∞,1)時,f(x)<0,函數是減函數;x(1,+∞)時,f(x)>0,函數是增函數.xyo1例2.

判斷下列函數的單調性,并求出單調區間:

(1)

f(x)=x3+3x;

(2)

f(x)=x2-2x-3;

(3)

f(x)=sinx-x,x(0,p);

(4)

f(x)=2x3+3x2-24x+1.解:(3)f

(x)=cosx-1,解不等式cosx-1>0得x,即x(0,p)時,f(x)<0,函數是減函數.xyop例2.

判斷下列函數的單調性,并求出單調區間:

(1)

f(x)=x3+3x;

(2)

f(x)=x2-2x-3;

(3)

f(x)=sinx-x,x(0,p);

(4)

f(x)=2x3+3x2-24x+1.解:(4)f

(x)=6x2+6x-24,解不等式6x2+6x-24>0得函數是減函數.函數是增函數;即x(-∞,),或時,f(x)>0,時,f(x)<0,xyo練習:(課本26頁)第1、4題.練習:(課本26頁)1.

判斷下列函數的單調性,并求出單調區間:

(1)

f(x)=x2-2x+4;(2)

f(x)=ex-x;

(3)

f(x)=3x-x3;(4)

f(x)=x3-x2-x.解:(1)f

(x)=2x-2,解2x-2>0得x>1,∴函數在(-∞,1)上是減函數,即x>1時,f

(x)>0,x<1時,f

(x)<0.在(1,+∞)上是增函數.練習:(課本26頁)1.

判斷下列函數的單調性,并求出單調區間:

(1)

f(x)=x2-2x+4;(2)

f(x)=ex-x;

(3)

f(x)=3x-x3;(4)

f(x)=x3-x2-x.解:(2)f

(x)=ex-1,解ex-1>0得x>0,∴函數在(-∞,0)上是減函數,即x>0時,f

(x)>0,x<0時,f

(x)<0.在(0,+∞)上是增函數.練習:(課本26頁)1.

判斷下列函數的單調性,并求出單調區間:

(1)

f(x)=x2-2x+4;(2)

f(x)=ex-x;

(3)

f(x)=3x-x3;(4)

f(x)=x3-x2-x.解:(3)f

(x)=3-3x2,解3-3x2>0得-1<x<1,∴函數在(-∞,-1)或(1,+∞)上是減函數,即-1<x<1時,f

(x)>0,x<-1或x>1時,f

(x)<0.在(-1,1)上是增函數.練習:(課本26頁)1.

判斷下列函數的單調性,并求出單調區間:

(1)

f(x)=x2-2x+4;(2)

f(x)=ex-x;

(3)

f(x)=3x-x3;(4)

f(x)=x3-x2-x.解:(4)f

(x)=3x2-2x-1,解3x2-2x-1>0得或

x>1,即或x>1時,f

(x)>0,時,f

(x)<0.∴函數在(-∞,

)或(1,+∞)上是增函數,在(

1)上是減函數.4.

證明函數f(x)=2x3-6x2+7在(0,2)內是減函數.證明:f

(x)=6x2-12x,解不等式

6x2-12x<0得0<x<2,即x

(0,2)時,f

(x)<0,∴

f(x)

在(0,2)內是減函數.【課時小結】1.

單調性與導數函數的單調性與其導數的正負有關:

在某個區間(a,b)內,

如果f

(x)>0,

那么函數y=f

(x)在這個區間內單調遞增;如果f

(x)<0,那么函數y=f(x)在這個區域內單調遞減.

【課時小結】2.

用導數求函數的單調區間(1)求函數的導函數f(x);(2)解不等式f(x)>0,(3)解不等式f(x)<0,其解集是增函數區間;其解集是減函數區間.若定義域內沒有常函數區間時,只需解一個不等式即可,在定義域全集內f(x)>0的解集是增函數區間,其補集是減函數區間.習題1.3A組第1、2題.習題1.3A組1.

判斷下列函數的單調性,并求出單調區間:

(1)

f(x)=-2x+1;(2)

f(x)=x+cosx,

(3)

f(x)=-2x-4;(4)

f(x)=2x3+4x.解:(1)f

(x)=-2∴函數在(-∞,+∞)上是減函數.即x

R,f

(x)<0,<0,習題3.3A組1.

判斷下列函數的單調性,并求出單調區間:

(1)

f(x)=-2x+1;(2)

f(x)=x+cosx,

(3)

f(x)=-2x-4;(4)

f(x)=2x3+4x.解:(2)f

(x)=1-sinx∴f

(x)>0,則函數在上是增函數.習題3.3A組1.

判斷下列函數的單調性,并求出單調區間:

(1)

f(x)=-2x+1;(2)

f(x)=x+cosx,

(3)

f(x)=-2x-4;(4)

f(x)=2x3+4x.解:(3)f

(x)=-2<0,∴函數在(-∞,+∞)上是減函數.即x

R,f

(x)<0,習題3.3A組1.

判斷下列函數的單調性,并求出單調區間:

(1)

f(x)=-2x+1;(2)

f(x)=x+cosx,

(3)

f(x)=-2x-4;(4)

f(x)=2x3+4x.解:(4)f

(x)=6x2+4>0,∴函數在(-∞,+∞)上是增函數.即x

R,f

(x)>0,2.

判斷下列函數的單調性,并求出單調區間:

(1)

f(x)=x2+2x-4;(2)

f(x)=2x2-3x+3;

(3)

f(x)=3x+x3;(4)

f(x)=x3+x2-x.解:(1)f

(x)=2x+2,解2x+2>0得x>-1,∴函數在(-∞,-1)上是減函數,即x>

-1時,f

(x)>0,x<-1時,f

(x)<0.在(-1,+∞)上是增函數.2.

判斷下列函數的單調性,并求出單調區間:

(1)

f(x)=x2+2x-4;(2)

f(x)=2x2-3x+3;

(3)

f(x)=3x+x3;(4)

f(x)=x3+x2-x.解:(2)f

(x)=4x-3,解4x-3>0得即x>

時,f

(x)>0,x<

時,f

(x)<0.∴函數在(-∞,

)上是減函數,在(

,+∞)上是增函數.2.

判斷下列函數的單調性,并求出單調區間:

(1)

f(x)=x2+2x-4;(2)

f(x)=2x2-3x+3;

(3)

f(x)=3x+x3;(4)

f(x)=x3+x2-x.解:(3)f

(x)=3+3x2>0,∴函數在(-∞,+∞)上是增函數.即x

R,f

(x)>0,2.

判斷下列函數的單調性,并求出單調區間:

(1)

f(x)=x2+2x-4;(2)

f(x)=2x2-3x+3;

(3)

f(x)=3x+x3;(4)

f(x)=x3+x2-x.解:(4)f

(x)=3x2+2x-1,解3x2+2x-1>0得x<-1,或即x>1或時,f

(x)>0,時,f

(x)<0.∴函數在(-∞,-1)或(+∞)上是增函數,在(-1,

)上是減函數.1.3.1函數的單調性與導數(第二課時)返回目錄1.

如何從函數增加的快慢分析圖象的形狀?2.

如何從導數值的大小分析函數圖象的形狀?學習要點增函數復習:減函數圖象傾斜:切線斜率:導數正負:左低右高左高右低k>0k<0y>0y<0

例3.

如圖,水以恒速(即單位時間內注入水的體積相同)注入下面四種底面積相同的容器中,請分別找出與各容器對應的水的高度h

與時間t

的函數關系圖象.(1)(2)(3)(4)thothothotho(A)(B)(C)(D)勻速增高增高加速增高減速先減速后加速thothothotho勻速增高增高加速增高減速先減速后加速函數勻速增加,圖象成直線.函數增加速度加快,圖象逐漸變陡峭.函數增加速度減慢,圖象逐漸變平緩.結論:一般地,如果一個函數在某一范圍內導數的絕對值較大,那么函數在這個范圍內變化得快,這時,函數的圖象就比較“陡峭”(向上或向下);反之,函數圖象就“平緩”一些.xyoy=f(x)函數y=f(x)中,各處切線先是逐漸變陡,后又漸變平緩,函數的導數先增后減.先逐漸增大,后又減小.隨著x

的增大,圖象先平緩,后陡峭,再平緩.即斜率變化率也是先增大,后減小.如圖,結論:一般地,如果一個函數在某一范圍內導數的絕對值較大,那么函數在這個范圍內變化得快,這時,函數的圖象就比較“陡峭”(向上或向下);反之,函數圖象就“平緩”一些.函數y=g(x)中,各處切線先是逐漸變平緩,后又逐漸變陡峭,函數的導數先減后增.即斜率先大,后小,再大.隨著x

的增大,圖象先陡峭,后平緩,再陡峭.變化率也是先減小,后增大.xyoy=g(x)如圖,結論:一般地,如果一個函數在某一范圍內導數的絕對值較大,那么函數在這個范圍內變化得快,這時,函數的圖象就比較“陡峭”(向上或向下);反之,函數圖象就“平緩”一些.函數y=h(x)中,各處切線也是先平緩,后陡峭,函數的導數為負,且絕對值逐漸增大.逐漸增大,且增加的速度越來越快.當x<0時,隨著x

的增大,圖象先平緩,后陡峭.x

接近0時,變化率減小的速度很快.如圖,xyoy=h(x)即斜率的絕對值同理可分析x>0的情況.

練習(補充).

如圖,|OA|=2,|OB|=1,∠AOB=30,以A為圓心,AB為半徑作圓弧BDC與線段OA的延長線交于點C.甲乙兩質點同時從點O出發,甲先以速率1沿線段OB行至點B,再以速率3沿圓弧BDC行至點C后停止;乙以速率2沿線段OA行至點A后停止.設t

時刻甲、乙所到達的兩點連線與它們經過的路徑所圍成圖形的面積為S(t)(S(0)=0),則函數y=S(t)的圖象大致是()OABCDOty(A)Oty(B)Oty(D)Oty(C)分析:甲,乙從0開始到1秒時,面積增加的速度在增加,導數是增函數,函數圖象應逐漸變陡.所以排除B,D.第1秒結束后,乙在A點不動,甲沿BDC勻速運動,面積勻速增加,即增加的速度不變,導數是一個定值,函數圖象沒有平緩變化,是一條直線.所以應選A.【課時小結】導數與函數增速及函數圖象如果一個函數在某一范圍內導數的絕對值較大,那么函數在這個范圍內變化得快,這時,函數的圖象就比較“陡峭”(向上或向下);反之,函數圖象就“平緩”一些.練習:(課本26頁)第2、3題.習題1.3B組第1題.

2.

函數y=f(x)的圖象如圖所示,試畫出導數f

(x)圖象的大致形狀.xyoy=f(x)abc解:0<x<a

時,圖象的切線平行x

軸,斜率為0,則導數為0.a<x<b

時,圖象切線的斜率為負,且逐漸減小,則導數小于0,且是減函數,接近x=b,導數趨x>b

時,圖象的切線平于x

軸,則導數為0.向負無窮大.f

(x)練習:(課本26頁)3.

討論二次函數f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的單調區間.解:f

(x)=2ax+b,解不等式2ax+b>0,(1)當a>0時,解得即時,f

(x)>0,函數是增函數;時,f

(x)<0,函數是減函數.(2)當a<0時,解得即時,f

(x)>0,函數是增函數;時,f

(x)<0,函數是減函數.xyoB組

利用函數的單調性,證明下列不等式,并通過函數的圖象直觀驗證:(1)sinx<x,x

(0,p);(2)

x-x2>0,x

(0,1);

(3)ex>1+x,x≠0;(4)lnx<x<ex,x>0.證明:(1)設f(x)=sinx-x,x(0,p).則

f

(x)=cosx-1<0,∴

f(x)=sinx-x,在

(0,p)上是減函數.∵x>0,∴

f(x)<f(0)=sin0-0=0,即sinx-x<

0,得sinx<x.xyop1y=xy=sinxB組

利用函數的單調性,證明下列不等式,并通過函數的圖象直觀驗證:(1)sinx<x,x

(0,p);(2)

x-x2>0,x

(0,1);

(3)ex>1+x,x≠0;(4)lnx<x<ex,x>0.證明:(2)設f(x)=x-x2,x(0,1).則

f

(x)=1-2x,解1-2x>0得即當時,f(x)是增函數,時,f(x)是減函數.當時,f(x)>f(0),

x-x2>0-0=0;當時,f(x)>f(1),

x-x2>1-1=0;B組

利用函數的單調性,證明下列不等式,并通過函數的圖象直觀驗證:(1)sinx<x,x

(0,p);(2)

x-x2>0,x

(0,1);

(3)ex>1+x,x≠0;(4)lnx<x<ex,x>0.證明:(2)設f(x)=x-x2,x(0,1).則

f

(x)=1-2x,解1-2x>0得即當時,f(x)是增函數,時,f(x)是減函數.當時,f(x)>f(0),

x-x2>0-0=0;當時,f(x)>f(1),

x-x2>1-1=0;且綜上所述得x

(0,1),x-x2>0.xyo1B組

利用函數的單調性,證明下列不等式,并通過函數的圖象直觀驗證:(1)sinx<x,x

(0,p);(2)

x-x2>0,x

(0,1);

(3)ex>1+x,x≠0;(4)lnx<x<ex,x>0.證明:(3)設f(x)=ex-1-x,x≠0.則

f

(x)=ex-1解不等式ex-1>0得x>0.即x>0時,f(x)是增函數,得f(x)>f(0),

ex-1-x>

e0-1-0=0;x<0時,f(x)是減函數,也得f(x)>f(0),

ex-1-x>

0.∴

ex>1+x.xyo1y=1+xy=ex-1B組

利用函數的單調性,證明下列不等式,并通過函數的圖象直觀驗證:(1)sinx<x,x

(0,p);(2)

x-x2>0,x

(0,1);

(3)ex>1+x,x≠0;(4)lnx<x<ex,x>0.證明:(4)設f(x)=lnx-x,x>0.當0<x<1時,f(x)>0,f(x)是增函數,則f(x)<f(1)則

f

(x)=

-1,=ln1-1=-1<0,即lnx-x<0,

lnx<x;當x>1時,f(x)<0,f(x)是減函數,也得f(x)<f(1),當x=1時,ln1<1成立.

lnx<x;綜上所述,x>0時,lnx<x成立.B組

利用函數的單調性,證明下列不等式,并通過函數的圖象直觀驗證:(1)sinx<x,x

(0,p);(2)

x-x2>0,x

(0,1);

(3)ex>1+x,x≠0;(4)lnx<x<ex,x>0.證明:(4)又設g(x)=x-ex,x>0.當x>0時,g(x)<0,g(x)是減函數,∴

g(x)<g(0)則

g

(x)=1-ex,=0-e0=-1<0,即x-ex<0,

x<ex.∴當x>0時,lnx<x<ex.xyo1y=xy=ex1y=lnx1.3.2函數的極值與導數返回目錄

1.

什么叫函數的極大值和極小值?其圖象各是什么特點?2.

怎樣求函數的極大值和極小值?學習要點

問題1:

已知函數y

=

f(x)的圖象如圖,哪些點處的函數值大于附近的函數值?哪些點處的函數值小于附近的函數值?猜測這些點處的導數等于多少?這些點左右的導數各有什么特點?xyoabcde左正右負左正右負左正右負左負右正左負右正x=a,c,e處的函數值大于各自附近的函數值.x=b,d處的函數值小于各自附近的函數值.這些點處的導數等于0.上頂點處,左右導數的特點是:(如圖)下頂點處,左右導數的特點是:(如圖)

問題1:

已知函數y

=

f(x)的圖象如圖,哪些點處的函數值大于附近的函數值?哪些點處的函數值小于附近的函數值?猜測這些點處的導數等于多少?這些點左右的導數各有什么特點?xyoabcde一般地,設函數y=f(x)在x=x0及其附近有定義,如果f(x0)的值比x0附近所有各點的函數值都大,我們就說f(x0)是函數y=f(x)的一個極大值;如果f(x0)的值比x0附近所有各點的函數值都小,我們就說f(x0)是函數y=f(x)的一個極小值.極大值與極小值統稱極值.左正右負左正右負左正右負左負右正左負右正極值點處的導數

.極大值左邊的導數

,右邊的導數

.極小值左邊的導數

,右邊的導數

.xyoabcde左正右負左正右負左正右負左負右正左負右正等于0大于0小于0小于0大于0問題:

怎樣求函數的極值例4.

求函數f(x)

=

x3-4x+4的極值.解:①求導數:②解導數的不等式y

≥0:=x2-4.

x≤-2或x≥2.

x

=±2

是極值點.xy

=(x+2)(x-2)(-∞,-2)(-2,2)(2,+∞)+-+-22∴當x

=-2時,函數有極大值f(-2)=當x

=2時,函數有極小值f(2)=x2-4≥0,③列表確定極值:注意:導數為0的點不一定是極值點.如:f(x)=x3,f

(x)=3x2=0,

x=0,如圖,x=0不是y=x3

的極值點.xyoy=x3極值點的導數為0,此點左右的導數必須異號.一般地,求函數y=f(x)的極值的方法是:

解方程f

(x)=0.當f

(x0)=0時:

(1)如果x0

附近的左側f

(x)>0,右側f

(x)<0,那么f(x0)是極大值;(2)如果x0

附近的左側f

(x)<0,右側f

(x)>0,那么f(x0)是極小值.練習:(課本29頁)第1、2題.

1.

如圖是導函數y=f

(x)的圖象,試找出函數y=f(x)的極值點,并指出哪些是極大值點,哪些是極小值點.xyoax1bx2x3x4x5x6y=f

(x)解:導函數為0的點是x2,x4,x6.點x2

的左導數正,右導數負,則f(x)是左增右減,所以f(x2)是極大值.點x4

的左導數負,右導數正,則f(x)是左減右增,所以f(x4)是極小值.點x6

的左導數正,右導數也正,則f(x)在x6

左右都是增函數,所以x6

不是極值點.···y=f(x)的大致圖象如圖:xyoax1bx2x3x4x5x6y=f(x)x1,x3,x5

處最陡,x6處最平但不是極值點.2.

求下列函數的極值:(1)

f(x)

=6x2-x-2;

(2)

f(x)=x3-27x;(3)

f(x)=6+12x-x3;(4)

f(x)

=3x-x3.解:(1)f

(x)=12x-1,由12x-1>0得則xf

(x)-+∴當時,函數取得極小值2.

求下列函數的極值:(1)

f(x)

=6x2-x-2;

(2)

f(x)=x3-27x;(3)

f(x)=6+12x-x3;(4)

f(x)

=3x-x3.解:(2)f

(x)=3x2-27,由3x2-27>0得則xf

(x)-+∴當x=-3時,函數取得極大值f(-3)=54.x<-3或x>3.x<-3x>3-3<x<3-33+當x=3時,函數取得極小值f(3)=-54.2.

求下列函數的極值:(1)

f(x)

=6x2-x-2;

(2)

f(x)=x3-27x;(3)

f(x)=6+12x-x3;(4)

f(x)

=3x-x3.解:(3)f

(x)=12-3x2,由12-3x2>0得則xf

(x)+-∴當x=-2時,函數取得極小值f(-2)=-10.-2<x<2.x<-2x>2-2<x<2-22-當x=2時,函數取得極大值f(2)=22.2.

求下列函數的極值:(1)

f(x)

=6x2-x-2;

(2)

f(x)=x3-27x;(3)

f(x)=6+12x-x3;(4)

f(x)

=3x-x3.解:(4)f

(x)=3-3x2,由3-3x2>0得則xf

(x)+-∴當x=-1時,函數取得極小值f(-1)=-2.-1<x<1.x<-1x>1-1<x<1-11-當x=1時,函數取得極大值f(1)=2.【課時小結】1.

函數的極值

y=f(x)在x=x0及其附近有定義,如果f(x0)大于附近的f(x),則f(x0)是函數的一個極大值;如果f(x0)小于附近的f(x),則f(x0)是函數的一個極小值.xyoabcde極大值極大值極大值極小值極小值【課時小結】2.

導數與極值xyoabcde左正右負左正右負左正右負左負右正左負右正極值點處的導數

.等于0極大值左邊的導數

,右邊的導數

.大于0小于0極小值左邊的導數

,右邊的導數

.小于0大于0【課時小結】3.

用導數求函數的極值(1)求導數f

(x).(2)解導數不等式f

(x)≥0.(3)確定極值點和極值:如果函數連續,在f

(x)≥0的左端點處取得極小值,右端點處取得極大值.xyoabf

(x)≥0習題1.3A組第3、4、5題.習題1.3A組

3.

已知汽車在筆直的公路上行駛:

(1)

如果函數y=f(t)表示時刻t時汽車與起點的距離,請標出汽車速度等于0的點.

(2)

如果函數y=f(t)表示時刻t

時汽車的速度,那么(1)中標出點的意義是什么?tyoy=f(t)解:(1)速度為0,即導數為0,這些點即為函數的極值點x1,x2,x3,x4,x5,x6.x1x2x3x4x5x6(2)如果是速度的極值點,則速度函數的導數為0,即加速度為0.所以這些點表示該時刻的加速度為0.

4.

如圖是導函數y=f

(x)的圖象,在標記的點中,在哪一點處

(1)

導數y=f

(x)有極大值?

(2)

導數y=f

(x)有極小值?

(3)

函數y=f(x)有極大值?

(4)

函數y=f(x)有極小值?xyox1x2x3x4x5y=f

(x)解:(1)x=x2

時,導數有極大值f

(x2).(2)x=x1

及x=x4

時,導數有極小值f

(x1)和f(x4).(3)x=x3

時,函數有極大值f(x3).(4)x=x5

時,函數有極小值f(x5).5.

求下列函數的極值:(1)

f(x)

=6x2+x+2;

(2)

f(x)

=x3-12x;

(3)

f(x)=6-12x+x3;(4)

f(x)

=48x-x3.

解:(1)f

(x)=12x+1,由12x+1>0得則xf

(x)-+∴當時,函數取得極小值5.

求下列函數的極值:(1)

f(x)

=6x2+x+2;

(2)

f(x)

=x3-12x;

(3)

f(x)=6-12x+x3;(4)

f(x)

=48x-x3.

解:(2)f

(x)=3x2-12,由3x2-12>0得則xf

(x)-+∴當x=-2時,函數取得極大值f(-2)=16.x<-2或x>2.x<-2x>2-2<x<2-22+當x=2時,函數取得極小值f(2)=-16.5.

求下列函數的極值:(1)

f(x)

=6x2+x+2;

(2)

f(x)

=x3-12x;

(3)

f(x)=6-12x+x3;(4)

f(x)

=48x-x3.

解:(3)f

(x)=-12+3x2,由-12+3x2>0得則xf

(x)-+∴當x=-2時,函數取得極大值f(-2)=22.x<-2或x>2.x<-2x>2-2<x<2-22+當x=2時,函數取得極小值f(2)=-10.5.

求下列函數的極值:(1)

f(x)

=6x2+x+2;

(2)

f(x)

=x3-12x;

(3)

f(x)=6-12x+x3;(4)

f(x)

=48x-x3.

解:(4)f

(x)=48-3x2,由48-3x2>0得則xf

(x)+-∴當x=-4時,函數取得極小值f(-4)=-128.-4<x<4.x<-4x>4-4<x<4-44-當x=4時,函數取得極大值f(4)=128.1.3.3函數的最大(小)值與導數返回目錄1.

什么叫函數的最大值和最小值?2.

怎樣求函數的最大值和最小值?學習要點

問題1.

如圖,函數y

=

f(x)在區間[a,b]

上有多少個極大值,多少個極小值?在這個區間最大的值是多少?最小的值呢?在閉區間[a,b]

上,

函數在x1,x3,x5

處取得極大值,在x2,x4

處取得極xyoabx1x2x3x4x5y=f(x)小值.在閉區間[a,b]上最大值只有一個f(x3),最小值也只有一個f(x4).

問題1.

如圖,函數y

=

f(x)在區間[a,b]

上有多少個極大值,多少個極小值?在這個區間最大的值是多少?最小的值呢?xyoabx1y=g(x)又如圖,在y=g(x)中,在閉區間[a,b]上有極小值g(x1),而無極大值.但有最小值g(x1),最大值g(b),一般地,如果在區間[a,b]上函數y=f(x)的圖象是一條連續不斷的曲線,那么它必有最大值和最小值.將此區間上所有極值連同端點的函數值進行比較,其中最大的一個就是最大值,最小的一個就是最小值.例5.

求函數f(x)

=

x3-4x+4在[0,3]上的最大值與最小值.解:解x2-4=0得x=±2.f

(x)=x2-4,在區間[0,3]上有=1.∴函數在[0,3]上的最大值是4,最小值是一般地,求函數y=f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下:(1)

求函數y=f(x)在(a,b)內的極值;

(2)

將函數y=f(x)的各極值與端點處的函數值f(a),f(b)比較,其中最大的一個是最大值,最小的一個是最小值.練習:(課本31頁)共一個大題.練習:(課本31頁)參照第1.3.2節的練習,求下列函數在給定區間上的最大值與最小值:(1)

f(x)=6x2-x-2,x

[0,2];(2)

f(x)=x3-27x,x

[-4,4];(3)

f(x)=6+12x-x3,

x

[3];(4)

f(x)=3x-x3,

x

[2,3].解:(1)f

(x)=12x-1,由

12x-1=0得f(0)=60-0-2=-2.f(2)=622-2-2=20.∴函數在[0,2]上的最大值是20,最小值是練習:(課本31頁)參照第1.3.2節的練習,求下列函數在給定區間上的最大值與最小值:(1)

f(x)=6x2-x-2,x

[0,2];(2)

f(x)=x3-27x,x

[-4,4];(3)

f(x)=6+12x-x3,

x

[3];(4)

f(x)=3x-x3,

x

[2,3].解:(2)f

(x)=3x2-27,由

3x2-27=0得x=±3,f(-3)=(-3)3-27(-3)=54.f(3)=33-273=-54.∴函數在[-4,4]上的最大值是54,最小值是-54.f(-4)=44.f(4)=-44.練習:(課本31頁)參照第1.3.2節的練習,求下列函數在給定區間上的最大值與最小值:(1)

f(x)=6x2-x-2,x

[0,2];(2)

f(x)=x3-27x,x

[-4,4];(3)

f(x)=6+12x-x3,

x

[3];(4)

f(x)=3x-x3,

x

[2,3].解:(3)f

(x)=12-3x2,由

12-3x2=0得x=±2,f(2)=6+122-23=22.∴函數在[

,3]上的最大值是22,最小值是f(3)=15.練習:(課本31頁)參照第1.3.2節的練習,求下列函數在給定區間上的最大值與最小值:(1)

f(x)=6x2-x-2,x

[0,2];(2)

f(x)=x3-27x,x

[-4,4];(3)

f(x)=6+12x-x3,

x

[3];(4)

f(x)=3x-x3,

x

[2,3].解:(4)f

(x)=3-3x2,由

3-3x2=0得x=±1f(2)=3

2-23=-2.∴函數在[1,2]上的最大值是-2,最小值是-18.

[2,3],f(3)=3

3-33=-18.【課時小結】1.

函數的最大值與最小值一般地,如果在區間[a,b]上函數y=f(x)的圖象是一條連續不斷的曲線,那么它必有最大值和最小值.將區間[a,b]上所有極值連同端點的函數值進行比較,其中最大的一個就是最大值,最小的一個就是最小值.【課時小結】2.

求最值的方法一般地,求函數y=f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下:(1)

求函數y=f(x)在(a,b)內的極值;

(2)

將函數y=f(x)的各極值與端點處的函數值f(a)