PAGE1試卷第=page22頁，共=sectionpages2222頁【贏在高考·黃金8卷】備戰2025年高考數學模擬卷（江蘇專用）黃金卷08（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．已知集合，集合中至少有2個元素，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為集合中至少有2個元素，所以，解得，故選：D2．現有隨機選出的20個數據，統計如下，則（

）7

24

39

54

61

66

73

82

82

8287

91

95

8

98

102

102

108

114

120A．該組數據的眾數為102 B．該組數據的80%分位數為102C．該組數據的中位數為87 D．該組數據的極差為112【答案】B【解析】v將數據按從小到大的順序排列：7，8，24，39，54，61，66，73，82，82，82，87，91，95，98，102，102，108，114，120，對于A，出現次數最多的是82，所以眾數是82，故A錯誤；對于B，極差為，故B錯誤；對于C，，第10個數和第11個數的平均數為中位數，即，故C錯誤；對于D，，第16個數和第17個數的平均數為80%分位數，即，故D正確.故選：D.3．若橢圓的離心率為，則該橢圓的焦距為（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【解析】若橢圓的焦點在軸，則離心率，得，此時焦距，若橢圓的焦點在軸，則離心率，得，此時焦距，所以該橢圓的焦距為或.故選：D4．在平行四邊形中，，．若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可得，所以，，所以，故選：D5．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，整理可得，所以.故選：A.6.我國元代瓷器元青花團菊花紋小盞如圖所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突.器身施白釉，以青花為裝飾，釉質潤澤，底足露胎，胎質致密.碗內口沿飾有一周回紋，內底心書有一文字，碗外壁繪有一周纏枝團菊紋，下筆流暢，紋飾灑脫.該元青花團菊花紋小盞口徑8.4厘米，底徑2.8厘米，高4厘米，它的形狀可近似看作圓臺，則其側面積約為（單位：平方厘米）（

）（附：）A． B． C． D．【答案】B【解析】設該圓臺的上底面?下底面的半徑分別為，由題意可知：，則圓臺的母線長，所以其側面積為.故選：B.7．古代數學家劉徽編撰的《重差》是中國最早的一部測量學著作，現據《重差》測量一個球體建筑物的高度，如圖，已知點A是球體建筑物與水平地面的接觸點（切點），地面上B，C兩點與點A在同一條直線上，且在點A的同側．若在B，C處分別測得球體建筑物的最大仰角為60°和20°，且，則該球體建筑物的高度約為（）（

）

A．58.60m B．56.74m C．50.76m D．49.25m【答案】C【解析】如圖，設球的半徑為，球心為，為與球的切線，則.，.

故選：C8．已知，都是定義在R上的函數，對任意x，y滿足，且，則下列說法正確的是（

）A． B．若，則C．函數的圖象關于直線對稱 D．【答案】D【解析】對于A，令，可得，得，令，，代入已知等式得，可得，結合得，所以，故A錯誤；對于D，因為，令，代入已知等式得，將，代入上式，得，所以函數為奇函數.令，，代入已知等式，得，因為，所以，又因為，所以，因為，所以，故D正確；對于B，分別令和，代入已知等式，得以下兩個等式：，，兩式相加易得，所以有，即，有，即，所以為周期函數，且周期為，因為，所以，所以，，所以，所以，故B錯誤；對于C，取，，滿足及，所以，又，所以函數的圖像不關于直線對稱，故C錯誤；故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知，.若隨機事件A，B相互獨立，則（）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】對B，，B正確；對A，，，A錯誤；對C，，，C正確；對D，，D正確.故選：BCD.10．函數的部分圖象如圖所示，則下列命題正確的是（

）A．B．C．關于對稱D．將函數的圖象向右平移個單位長度得到函數【答案】AC【解析】由圖象可知，，解得，，又，所以，即，結合，可知，得的表達式為，故A正確，B錯誤，對于C，由于，即的圖象關于對稱，故C正確；對于D，函數的圖象向右平移個單位長度可以得到函數，故D錯誤．故選：AC．11．已知拋物線經過點，其焦點為，過點的直線與拋物線交于點，，設直線，的斜率分別為，，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】因為拋物線經過點，所以，解得，故A正確；所以拋物線方程為，則焦點，設直線，則，消去整理得，則，所以，，則，，所以，故B正確；所以，，所以，故C錯誤；，故D正確；故選：ABD第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．記復數的共軛復數為，寫出一個滿足的復數：．【答案】（答案不唯一，滿足對即可）【解析】令，則，故．13．若二項式的展開式的第3項與第9項的二項式系數相等，則展開式的常數項是.（用數字作答）【答案】【解析】展開式中第3項與第9項的二項式系數相等，即，所以，因此展開式的通項為，當，即時，對應項為常數項，即.14．古希臘著名數學家阿波羅尼斯發現：若動點M與兩個定點A，B的距離之比為常數（，），則點M的軌跡是圓.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知，M是平面內一動點，且，則點M的軌跡方程為.若點Р在圓上，則的最小值是.【答案】【解析】設，則，整理得（或）.設，則，故.令，則=..四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。15．（本小題滿分13分）某地5家超市春節期間的廣告支出x（萬元）與銷售額y（萬元）的數據如下：超市ABCDE廣告支出x24568銷售額y3040606070(1)從A，B，C，D，E這5家超市中隨機抽取3家，記銷售額不少于60萬元的超市個數為X，求隨機變量X的分布列及期望；(2)利用最小二乘法求y關于x的線性回歸方程，并預測廣告支出為10萬元時的銷售額．附：線性回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，．【解】（1）從A，B，C，D，E這5家超市中隨機抽取3家，記銷售額不少于60萬元的超市有C，D，E這3家超市，則隨機變量的可能取值為1，2，3………1分，，，………4分的分布列為：123………5分數學期望．………7分（2），，………9分，………11分．關于的線性回歸方程為；………12分在中，取，得．預測廣告費支出10萬元時的銷售額為87萬元．………13分16．（本小題滿分15分）如圖，在圓臺中，分別為上、下底面直徑，且，，為異于的一條母線．(1)若為的中點，證明：平面；(2)若，求二面角的正弦值．【解】（1）如圖，連接．因為在圓臺中，上、下底面直徑分別為，且，所以為圓臺母線且交于一點P，所以四點共面.………1分在圓臺中，平面平面，由平面平面，平面平面，得.………………2分又，所以，所以，即為中點．在中，又M為的中點，所以．………4分因為平面，平面，所以平面；………5分（2）以為坐標原點，分別為軸，過O且垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．因為，所以．則．………7分因為，所以．所以，所以．………8分設平面的法向量為，所以，所以，令，則，所以，………10分又，設平面的法向量為，所以，所以，令，則，所以，………12分所以．………13分設二面角的大小為，則，所以．所以二面角的正弦值為.………15分.17．（本小題滿分15分）已知函數.(1)當時，證明：；(2)若在區間上有且只有一個極值點，求實數的取值范圍.【解】（1）因為函數的定義域為，當時，.要證，只需證：當時，.………2分令，則，………3分則在單調遞增，所以，即.……5分（2），………6分令，則.………7分所以在單調遞增，，………8分①時，，.則在為增函數，在上無極值點，矛盾.………10分②當時，.由（1）知，，，則，則使.………12分當時，，，則在上單調遞減；當時，，，則在上單調遞增.………14分因此，在區間上恰有一個極值點，所以的取值范圍為.………15分18．（本小題滿分17分）已知點為圓上任意一點，，線段的垂直平分線交直線于點，設點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)若過點的直線與曲線的兩條漸近線交于，兩點，且為線段ST的中點.（i）證明：直線與曲線有且僅有一個交點；（ii）求證：是定值.【解】（1）圓的圓心為，半徑，因為線段的垂直平分線交直線于點，則，………1分，∴點的軌跡為以、為焦點的雙曲線，………3分設雙曲線方程為，則，，所以，

所以點的軌跡方程為

………5分

（2）（i）設，，，若，則，即直線的方程為顯然滿足直線與曲線有且僅有一個交點；………6分若，顯然，由題可知，則，，因為雙曲線的漸近線方程為，不妨令，，所以，，，即，即，∴直線的方程為，即，………8分又∵點在上，，則，即直線的方程為，………9分將方程聯立，得，，由，可知方程有且僅有一個解，∴與有且僅有一個交點；………11分

（ii）由（i）聯立，可得，………13分同理可得，………15分，所以是定值.………17分19．（本小題滿分17分）已知是各項均為正整數的無窮遞增數列，對于，定義集合，設為集合中的元素個數，若時，規定.(1)若，寫出及的值；(2)若數列是等差數列，求數列的通項公式；(3)設集合，求證：且.【解】（1）因為，所以，則，所以，，