PAGEPAGE3課時作業21實際問題的函數建模時間：45分鐘——基礎鞏固類——一、選擇題1．據調查，某自行車存車處在某星期日的存車量為4000輛次，其中電動車存車費是每輛一次0.3元，自行車存車費是每輛一次0.2元．若自行車存車量為x輛次，存車總收入為y元，則y關于x的函數關系式是(D)A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4000)B．y＝0.1x＋1200(0≤x≤4000)C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4000)D．y＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)解析：因為自行車存車量為x輛次，所以電動車存車量為(4000－x)輛次，所以y＝0.2x＋0.3(4000－x)＝－0.1x＋1200，故選D.2．某人2024年1月1日到銀行存入a元，年利率為x，若按復利計算，則到2024年1月1日可取款(A)A．a(1＋x)5元 B．a(1＋x)4元C．[a＋(1＋x)5]元 D．a(1＋x5)元解析：2024年1月1日到銀行存入a元，到2024年1月1日本息共a(1＋x)元，作為本金轉入下一個周期，到2024年1月1日本息共a(1＋x)(1＋x)＝a(1＋x)2(元)，因此，到2024年1月1日可取款a(1＋x)5元，故選A.3．某企業生產總值的月平均增長率為P，則年平均增長率為(C)A．(1＋P)11 B．(1＋P)12C．(1＋P)12－1 D．(1＋P)11－1解析：設年平均增長率為x，∴1·(1＋x)＝1·(1＋P)12，∴x＝(1＋P)12－1，故選C.4．在我國大西北，某地區荒漠化土地面積每年平均比上年增長10.4%，專家預料經過x年可能增長到原來的y倍，則函數y＝f(x)的圖像大致為(D)解析：易知此函數模型為指數函數模型y＝(1＋10.4%)x，過(0,1)點，故選D.5．下列函數關系中，可以看作是指數型函數y＝kax(k∈R，a＞0且a≠1)模型的是(B)A．豎直向上放射的信號彈，從放射到落回地面，信號彈的高度與時間的關系(不計空氣阻力)B．我國人口年自然增長率為1%，這樣我國人口總數隨年份的改變關系C．假如某人ts內騎車行進了1km，那么此人騎車的平均速度v與時間t的函數關系D．信件的郵資與其重量間的函數關系解析：A：豎直向上放射的信號彈，從放射到落回地面，信號彈的高度與時間的關系，是二次函數關系；B：我國人口年自然增長率為1%，這樣我國人口總數隨年份的改變關系，是指數型函數關系；C：假如某人ts內騎車行進了1km，那么此人騎車的平均速度v與時間t的函數關系，是反比例函數關系；D：信件的郵資與其重量間的函數關系，是正比例函數關系．故選B.6．生產肯定數量商品的全部費用稱為生產成本，它可以表示為商品數量的函數，現知一企業生產某種商品的數量為x件時的成本函數為c(x)＝20＋2x＋eq\f(1,2)x2(萬元)，若售出一件商品收入是20萬元，那么該企業為獲得最大利潤，應生產這種商品的數量為(A)A．18件B．36件C．22件D．9件解析：y＝20x－c(x)＝20x－20－2x－eq\f(1,2)x2＝－eq\f(1,2)x2＋18x－20.∴x＝18時，y有最大值．7．春天來了，某池塘中的荷花枝繁葉茂．已知每一天荷葉覆蓋水面面積是前一天的2倍，且荷葉20天可以完全長滿池塘水面．當荷葉覆蓋水面面積一半時，荷葉已生長了(C)A．10天B．15天C．19天D．2天解析：荷葉覆蓋水面面積y與生長時間x的函數關系式為y＝2x.當x＝20時，長滿水面，所以生長19天時，布滿水面一半．8．某位股民購進某支股票，在接下來的交易時間內，他的這支股票先經驗了n次漲停(每次上漲10%)，又經驗了n次跌停(每次下跌10%)，則該股民這支股票的盈虧狀況(不考慮其他費用)為(B)A．略有盈利 B．略有虧損C．沒有盈利也沒有虧損 D．無法推斷盈虧狀況解析：設該股民購這支股票的價格為a，則經驗n次漲停后的價格為a(1＋10%)n＝a×1.1n，經驗n次跌停后的價格為a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故該股民這支股票略有虧損．二、填空題9．“好酒也怕巷子深”，很多聞名品牌是通過廣告宣揚進入消費者視線的．已知某品牌商品靠廣告銷售的收入R與廣告費A之間滿意關系R＝aeq\r(A)(a為常數)，廣告效應為D＝aeq\r(A)－A.那么精明的商人為了取得最大廣告效應，投入廣告費應為eq\f(1,4)a2.解析：令t＝eq\r(A)(t>0)，則A＝t2.∴D＝at－t2＝－(t－eq\f(1,2)a)2＋eq\f(1,4)a2.∴當t＝eq\f(1,2)a，即A＝eq\f(1,4)a2時，D取最大值．10．里氏震級M的計算公式為：M＝lgA－lgA0，其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是“標準地震”的振幅．假設在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1000，此時標準地震的振幅為0.001，則此次地震的震級為6級；9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的104倍．解析：由已知條件可知這次地震中A＝1000，A0＝0.001，代入到M＝lgA－lgA0中得M＝lg1000－lg0.001＝3－(－3)＝6.設9級地震的最大振幅為A1,5級地震的最大振幅為A2，則有9＝lgA1＋3,5＝lgA2＋3，故lgA1＝6，lgA2＝2，eq\f(A1,A2)＝eq\f(106,102)＝104.11．為了預防流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒．已知藥物釋放過程中，室內每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)成正比．藥物釋放完畢后，y與t的函數關系式為y＝(eq\f(1,16))t－a(a為常數)，如圖所示，依據圖中供應的信息，回答下列問題：(1)從藥物釋放起先，每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)之間的函數關系式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10t，0≤t≤\f(1,10)，,\f(1,16)t－\f(1,10)，t>\f(1,10)))；(2)據測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學生方可進教室，那么從藥物釋放起先，至少須要經過0.6小時，學生才能回到教室．解析：(1)因為藥物釋放過程中，室內每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)成正比，則設函數為y＝kt(k>0)，將點(0.1,1)代入y＝kt，可得k＝10，所以y＝10t；又因為藥物釋放完畢后，y與t的函數關系式為y＝(eq\f(1,16))t－a，將點(0.1,1)代入y＝(eq\f(1,16))t－a，得a＝0.1，三、解答題12．某醫療探討所開發一種新藥，假如成人按規定的計量服用，據監測：服藥后每毫升血液中含藥量y(μg)與時間t(h)之間近似滿意如圖所示的曲線．(1)寫出服藥后y與t之間的函數關系式；(2)據測定：每毫升血液中含藥量不少于4μg時治療疾病有效，假如某病人一天中第一次服藥為上午7：00，問一天中怎樣支配服藥時間(共4次)效果最佳？解：(1)依題意得y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6t，0≤t≤1，,－\f(2,3)t＋\f(20,3)，1<t≤10.))(2)設其次次服藥時在第一次服藥后t1小時，則－eq\f(2,3)t1＋eq\f(20,3)＝4，解得t1＝4，因而其次次服藥應在11：00.設第三次服藥在第一次服藥后t2小時，則此時血液中含藥量應為前兩次服藥后的含藥量的和，即有－eq\f(2,3)t2＋eq\f(20,3)－eq\f(2,3)(t2－4)＋eq\f(20,3)＝4，解得t2＝9，故第三次服藥應在16：00.設第四次服藥在第一次服藥后t3小時(t3>10)，則此時第一次服進的藥已汲取完，血液中含藥量應為其次、第三次的和－eq\f(2,3)(t3－4)＋eq\f(20,3)－eq\f(2,3)(t3－9)＋eq\f(20,3)＝4，解得t3＝13.5，故第四次服藥應在20：30.13．某化工廠生產一種溶液，按市場要求，雜質含量不能超過1‰，若初時含雜質2%，每過濾一次可使雜質含量削減eq\f(1,3)，問至少應過濾幾次才能使產品達到市場要求？(已知：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)解：解法1：∵每次過濾雜質含量降為原來的eq\f(2,3)，過濾n次后雜質含量為eq\f(2,100)·(eq\f(2,3))n.依題意，得eq\f(2,100)·(eq\f(2,3))n≤eq\f(1,1000)，即(eq\f(2,3))n≤eq\f(1,20)，∵(eq\f(2,3))7＝eq\f(128,2187)>eq\f(1,20)，(eq\f(2,3))8＝eq\f(256,6561)<eq\f(1,20)，∴由題意知至少應過濾8次才能使產品達到市場要求．解法2：接解法1：(eq\f(2,3))n≤eq\f(1,20)，則n(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，即n≥eq\f(1＋lg2,lg3－lg2)≈7.4，又n∈N＋，∴n≥8，即至少應過濾8次才能使產品達到市場要求．——實力提升類——14．已知14C的半衰期為5730年(是指經過5730年后，14C的殘余量占原始量的一半)．設14C的原始量為a，經過x年后的殘余量為b，殘余量b與原始量a的關系如下：b＝ae－kx，其中x表示經過的時間，k為一個常數．現測得湖南長沙馬王堆漢墓女尸出土時14C的殘余量約占原始量的76.7%.請你推斷一下馬王堆漢墓的大致年頭為距今2_292年．(已知log20.767≈－0.4)解析：由題意可知，ae－5730k＝eq\f(1,2)a，解得k＝eq\f(ln2,5730).現測得湖南長沙馬王堆漢墓女尸出土時14C的殘余量約占原始量的76.7%，所以76.7%＝eeq\s\up15(－eq\f(ln2,5730))x，得ln0.767＝－eq\f(ln2,5730)x，則x＝－5730×eq\f(ln0.767,ln2)＝－5730×log20.767≈2292.15．某工廠生產商品A，每件售價80元，每年產銷80萬件，工廠為了開發新產品，經過市場調查，確定提出商品A的銷售金額的p%作為新產品開發費(即每銷售100元提出p元)，并將商品A的年產銷量削減了10p萬件．(1)若工廠提出的新產品開發費不少于96萬元，求p的取值范圍；(2)若工廠僅考慮每年提出最高的開發費，求此時p的值．解：由題意知，當開發費是商品A的銷售金額的p%時，銷售量為(80－10p)萬件，