第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年新疆烏魯木齊四十一中高二（上）期末數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知空間三點A(3,2,0)，B(6,1,?2)，C(5,?1,1)，則以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的面積為(

)A.72 B.7 C.732.已知正方體ABCD?A1B1C1D1中，O1，O分別為上底面A1A.BO1 B.AA1 C.3.已知A(2,1,3)，B(1,3,4)，C(4,?1,3)，則AB在AC方向上的投影向量的坐標為(

)A.(2,?2,0) B.(32,?32,0)4.已知直線l：ax?2by+c+ab=0(a,b,c>0)與圓O：x2+yA.1 B.12 C.13 5.由直線y=x+1上的點向圓(x?3)2+(y+2)2A.17 B.32 C.6.已知圓M：(x?1)2+(y?2)2=2與圓N：A.15 B.17 C.21 D.237.已知焦點在y軸上的橢圓C：x24+y2mA.32 B.55 C.8.已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，P為C上一點，A(2,1)，當△PAF的周長最小時，△PAF的面積為(

)A.78 B.1 C.74 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.如圖，在棱長為1的正四面體P?ABC中，O為底面ABC的重心，G，F分別為線段PO，PC上的點(不含端點)，D，E分別為PA，PB延長線上的點，PD=xPA，PE=yPB，PF=zPC，DF交AC于M，EF交BC于NA.若x=y，則MN//平面PAB

B.PO=12PA+13PB+16PC

C.若z=12且平面DEF過點O，則x+y的最小值為4

D.若G10.若一個以(2,?4)為圓心，4為半徑的圓，則下列結論正確的是(

)A.直線x=0與圓相切

B.圓關于直線y=?2x對稱

C.對?a∈R，直線ax?y?2a?1=0與圓都相交

D.P(x,y)為圓上任意一點，則(x+1)11.已知點P(0,?2)，Q(0,2)，動點M(x,y)與P，Q兩點連線的斜率分別為k1，k2且k1k2=λ(λA.若λ<0，則動點M(x,y)一定在橢圓上

B.若λ>0，則動點M(x,y)一定在雙曲線上，且雙曲線的焦點在y軸

C.若λ=?4，則x+y的取值范圍是[?5,5]

D.若λ=?1，O為坐標原點，且直線x+y+t=0三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若a=(1,λ,2)，b=(2,?1,2)，c=(1,4,4)，且a，b，c共面，則λ=13.設m∈R，若三個不同的點A(2,0)、B(m,2)、C(2m?2,2?m)都在直線l上，則m的值為______．14.將雙曲線C：x2?y2b2=1(b>0)經過平移和旋轉后，得到的新雙曲線C′是以O(0,0)為一個焦點，且C′過點四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

如圖，已知等腰梯形ABCD，AB=4，CD=6，AD=5，E，F分別為AB，CD的中點，沿線段EF將四邊形AEFD翻折到四邊形EFNM的位置，點P為線段NC上一點，且滿足NP=23NC．

(1)證明：BP//平面EFM；

(2)設二面角M?EF?B的平面角為θ(0<θ<π)，在四邊形AEFD翻折過程中，是否存在θ，使得MF16.(本小題12分)

在三棱柱ABC?A1B1C1中，已知底面正三角形邊長為2，三棱柱的高為3．

(1)建立適當的直角坐標系，標出所有點的坐標；

(2)設AA1中點為點E，BC中點為點F，求出EC17.(本小題12分)

若集合A表示由滿足一定條件的全體直線組成的集合，定義：若集合A中的每一條直線都是某圓上一點處的切線，且該圓上每一點處的切線都是A中的一條直線，則稱該圓為集合A的包絡圓．

(1)若圓E：x2+y2=4是集合A={(x,y)|ax+by=2}的包絡圓．

(i)求a，b滿足的關系式；

(ii)若3a+4b+t=0，求t的取值范圍；

(2)若集合A={(x,y)|xcosθ+(y+6)sinθ+62=0,θ∈R}的包絡圓為C，P是C上任意一點，判斷y軸上是否存在定點M，N18.(本小題12分)

已知△ABC的周長為定值，O(0,0)、A(?3,0)、B(3,0)，∠C的最大值為2π3．

(1)求動點C的軌跡E的方程；

(2)D為E的左頂點，過點(1,0)且不與坐標軸垂直的直線與E交于M、N兩點，線段MN的中點為P，記直線OP的斜率為k，△DMN19.(本小題12分)

橢圓的光學性質在物理學中有主要應用：如圖1，在橢圓C1：x24+y2=1上有一點P(x0,y0)，F1、F2分別為其左、右焦點，過P作直線l與C1切于P，則直線PF1、PF2與l的夾角大小相等．

(1)求證：l的方程為：xx04+yy0=1；

(2)如圖2：在(1)的基礎上，雙曲線C2的離心率為6

參考答案1.C

2.A

3.D

4.C

5.A

6.D

7.B

8.A

9.ACD

10.BCD

11.BCD

12.1

13.?2

14.(3615.(1)證明：取NF的靠近點F的三等分點Q，連接EQ，PQ，

因為NP=23NC，即點P是CN的靠近點C的三等分點，

所以PQ//CF，PQ=23CF=2，

而BE/?/CF，BE=2，

所以PQ//BE，PQ=BE，即四邊形PBEQ是平行四邊形，

所以BP//EQ，

又BP?平面EFM，EQ?平面EFM，

所以BP/?/平面EFM．

(2)解：在等腰梯形ABCD中，因為E，F分別為AB，CD的中點，

所以EF⊥CD，EF=AD2?(DF?AE)2=5?(3?2)2=2，

翻折后，EF⊥CF，EF⊥NF，

所以∠NFC就是二面角M?EF?B的平面角，即∠NFC=θ(0<θ<π)，

又CF∩NF=F，CF、NF?平面CFN，所以EF⊥平面CFN，

以F為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，

則F(0,0,0)，C(0,3,0)，B(0,2,2)，E(0,0,2)，

因為NF=3，ME=2，所以N(3sinθ,3cosθ,0)，M?(2sinθ,2cosθ,2)，

設P(x,y,0)，

因為CP=13CN，所以(x,y?3,0)=13(3sinθ,3cosθ?3,0)，

解得x=sinθ，y=cosθ+2，即P(sinθ,cosθ+2,0)，

所以FM=(2sinθ,2cosθ,2)，EB=(0,2,0)，EP=(sinθ,cosθ+2,?2)，

設平面EBP的法向量為n=(a,b,c)，則n?EB=2b=0n?EP=asinθ+b(cosθ+2)?2c=0，

取a=2，則16.解：(1)以BC的中點O為原點，以1為單位長度，建立空間直角坐標系，如下圖，由題意知，|AO|=3，

則A(3,0,0)，B(0,1,0)，C(0,?1,0)，A1(3,0,3)，B1(0,1,3)，C1(0,?1,3)；

(2)設AA1中點為點E，BC中點為點F17.解：(1)(i)因為圓E：x2+y2=4是集合A={(x,y)|ax+by=2}的包絡圓，

所以圓心E(0,0)到直線ax+by?2=0的距離為2，整理得：

即|0?0?2|a2+b2=2，化簡得a2+b2=1，

即a，b滿足的關系式為a2+b2=1；

(ii)由a2+b2=1及3a+4b+t=0，

可得圓x2+y2=1與直線3x+4y+t=0有公共點，

所以|t|32+42≤1，解得?5≤t≤5，

所以t的取值范圍是[?5,5]；

(2)設C(m,n)，由題意可知點C到直線xcosθ+(y+6)sinθ+62=0的距離為與θ無關的定值，

即d=|mcosθ+(n+6)sinθ+62|sin2θ+cos2θ，為與θ無關的定值，

所以m=0，n+6=0，故C(0,?6)，此時d=62，18.解：(1)設|AC|=m，|BC|=n，

易知|AC|+|BC|=2a，

即m+n=2a，且|AB|=23，

此時2a>23，

解則a>3，

由余弦定理得cosC=m2+n2?|AB|22mn=(m+n)2?2mn?122mn=2a2?6mn?1

≥2a2?6(m+n2)2?1=2a2?6a2?1=a2?6a2，

當且僅當m=n=a時，等號成立，

因為余弦函數y=cosx在[0,π]上為減函數，且C∈(0,π)，

所以當C取最大值時，cosC取最小值，

所以cos2π3=a2?6a2=?12，

解得a=2，

此時|AC|+|BC|=4>|AB|=23，

則曲線E是除去長軸端點的橢圓，且其長軸長為4，焦距為23，

所以b=a2?c2=4?3=1，

則動點C的軌跡E的方程為x24+y2=1(x≠±2)；

(2)易知D(?2,0)，

設直線MN的方程為x=my+1，m≠0，M(x1,y1)、N(x2,y2)，

聯立x=my+1x2+4y219.證明：(1)當切線斜率存在時，

設直線y=kx+m與C1相切于點(x0,y0)，

聯立y=kx+mx24+y2=1，消去y并整理得(4k2+1)x2+8kmx+4(m2?1)=0，

此時Δ=(8km)2?16(m2?1)(4k2+1)=0，