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文檔簡介
求遞推數列通項公式的常用方法歸納
目錄
一、概述.....................
二、等差數列通項公式和前n項和公式....
1、等差數列通項公式的推導過程.....
2、等差數列前n項和公式的推導過程......
三、一般的遞推數列通項公式的常用方法—-
1、公式法.......................
2、歸納猜想法...................
3、累加法...................
4、累乘法..................
5、構造新函數法(待定系數法)....
6、倒數變換法...................
7、特征根法.................
8、不動點法.................
9、換元法.................
10、取對數法.................
11、周期法
一、概述
在高中數學課程內容中,數列作為離散函數的典型代表之一,不僅在高中數學中具有
重要位置,而且,在現實生活中有著非常廣泛的作用,同時,數列的教學也是培養觀察、分
析、歸納、猜想、邏輯推理以及運用數學知識提出問題、分析問題和解決問題的必不可少的
重要途徑。
數列這一章蘊含著多種數學思想及方法,如函數思想、方程思想,而且在基本概念、
公式的教學本身也包含著豐富的數學方法,掌握這些思想方法不僅可以增進對數列概念、公
式的理解,而且運用數學思想方法解決問題的過程,往往能誘發知識的遷移,使學生產生舉
一反三、融會貫通的解決多數列問題。在這一章主要用到了以下幾中數學方法:
1、不完全歸納法不完全歸納法不但可以培養學生的數學直觀,而且可以幫助學生有效的
解決問題,在等差數列以及等比數列通項公式推導的過程就用到了不完全歸納法。
2、倒敘相加法等差數列前n項和公式的推導過程中,就根據等差數列的特點,很好的應
用了倒敘相加法,而且在這一章的很多問題都直接或間接地用到了這種方法。
3、錯位相減法錯位相減法是另一類數列求和的方法,它主要應用于求和的項之間通過一
定的變形可以相互轉化,并且是多個數求和的問題。等比數列的前n項和公式的推導就用
到了這種思想方法。
4、函數的思想方法數列本身就是一個特殊的函數,而且是離散的函數,因此在解題過程
中,尤其在遇到等差數列與等比數列這兩類特殊的數列時,可以將它們看成一個函數,進而
運用函數的性質和特點來解決問題。
5、方程的思想方法數列這一章炒及了多個關于首項、末項、項數、公差、公比、第n項
和前n項和這些量的數學公式,而公式本身就是一個等式,因此,在求這些數學量的過程
中,可將它們看成相應的已知量和未知數,通過公式建立關于求未知量的方程,可以使解題
變得清晰、明了,而且簡化了解題過程八
二、等差數列通項公式和前n項和公式
第一節:等差數列前n項和的推導過程
1、等差數列通項公式:
(1)可以從等差數列特點及定義來引入。
定義:應2時,有an—a(n—l)=d,則:
a2=al+d
a3=a2+d=al+2d
a4=a34-d=al+3d
a5=a4+d=al+4<1
猜測并寫出an=?
(2)采取累加
a2—a1=d
a3—a2=d
a4—a3=d
an—a(n—1)=d
累加后,有:
an—a1=(n—1)d,即:
an=a1+(n—1)d。
2、等差數列前n項和:
方法一:高斯算法(即首尾相加法)
1+2+3+???+50+51+???+98+99+100=?
1+100=101,2+99=101,-,50+51=101,所以原式二50x(1+101)=5050
則利用高斯算法,容易進行類比,過程如下:
+a2++.........+。〃一2++cif
其中a〃
ax+an=+n-\=+a_2=……
若加+〃=夕+q,貝"a,”+a〃=aaq
這里用到了等差數列的性質:
問題是一共有多少個%+an,學生自然想到對n取奇偶進行討論。
(1)當n為偶數時:
s“+…+%+%+…+,
22+
??S,,=5(4+a〃)
(2)當n為奇數時:
s“=6+?工+???+《
2
分析到這里發現〃也“落單”了,似乎遇到了阻礙,此時鼓勵學生不能放棄,在
2
老師的適當引導下,不難發現,的角標與(囚+。〃)角標的關系
V
H—1
Scn=丁(q+/)+%+1
2F
f4+1+4+i
〃一1/、VV
(67,4-61,,)+-
乙乙
n/、
=3(%+%)
cn,、
從而得到,無論n取奇數還是偶數,Sn=-(a,+an)
總結:(1)類比高斯算法將首尾分組進行“配對”,發現需要對n取奇偶進行討論,思路自
然,容易掌握。
(2)不少資料對n取奇數時的處理辦法是,當討論進行不下去時轉向尋求其它解決辦法,
進而引出倒序相加求和法。
方法二:對n的奇偶進行討論芍點麻煩,能否回避對n的討論呢?接下來給出實際問題:
伐木工人是如何快速計算堆放在木場的木頭根數呢?由此引入倒序相加求和法。
s〃=4+。2+…+%+。〃
!!!I
Sn=an+an-\+…+%+4
兩式相加得:2S〃=〃(q+%)
5(4+a〃)
總結:(1)數學學習需要最優化的學習,因此引導學生去尋求更有效的解決辦法,讓學生在
解決問題的同時也體會到同一個問題有不同的解決辦法,而我們需要的是具備高效率的方
法。
(2)倒序相加求和法是重要的數學思想,方法比公式本身更為重要,為以后數列求和的學
習做好了鋪墊。
(3)在過程中體會數學的對稱美。
三、一般的遞推數列通項公式的常用方法
一、公式法
例I、已知無窮數列{。“}的前〃項和為S“,并且4+S〃=1(〃£M),求{a〃}的通項公
式?
【解析】:[Sn=\-an,ei^=Sn+i-Sn=an-an.if又4=;,
??/=3?
反思:利用相關數列{%}與電}的關系:4=,M=S“—SJ(TIN2)與提設條件,建
立遞推關系,是本題求解的關鍵.
二、歸納猜想法:由數列前幾項用不完全歸納猜測出數列的通項公式,再利用數學歸納法證
明其正確性,這種方法叫歸納法.
例2、已知數列{〃”}中,4=1,an=2an_i+\(n>2)t求數列{%}的通項公式.
【解析】:=1,afl=2art_,+1(T?>2),a2=2a}+\=3,a3=2a2+1=7???
猜測q=2"-1(〃€N"),再用數學歸納法證明.(略)
反思:用歸納法求遞推數列,首先要熟悉一般數列的通項公式,再就是一定要用數學歸納法
證明其正確性.
三、累加法:利用/=%+(。2-6)+…(勺—/_1)求通項公式的方法稱為累加法。累加
法是求型如外川=%+/(〃)的遞推數列通項公式的基本方法(/(〃)可求前〃項和).
例3、已知無窮數列{七}的的通項公式是。“二(;),若數列{〃}滿足a=1,
/iy
4+1-4=-(〃21),求數列低}的通項公式.
(1Y?
【解析】:伉=1也+i-4=-521),.二以=々+血一4)+…("一a-1)=1+彳+...+
I2,2
反思:用累加法求通項公式的關鍵是將遞推公式變形為=4+/(〃)。
四、累乘法:利用恒等式凡="生幺…4(/工0,〃22)求通項公式的方法稱為累乘法,
G\a2an-\
累乘法是求型如:。向=g5)〃”的遞推數列通項公式的基本方法(數列g(〃)可求前〃項
積)。
例4、已知4=1M=〃(%+1—%)(〃£N"),求數列{an}通項公式.
n+,
[解析):Van=—。”),/.=----,又有an=a]――.??――(anw0,〃22)二
an〃6a2%
23n
1X—x-x---x—=當〃=1時q=1,滿足a〃=〃,a”=幾.
反思:用累乘法求通項公式的關鍵是將遞推公式變形為=g(〃)a“.
五、構造新數列(待定系數法):格遞推公式4+1=夕4+d(q,d為常數,夕工0,dwO)
通過(an+i+x)=q(an+x)與原遞推公式恒等變成all+i+—°—=虱&的方法叫構
q-\q-\
造新數列,也即是待定系數法。
例5、已知數列{q}中,q=1,4=2々”_1+1(〃22),求{4}的通項公式.
【解析】:利用(4+工)=2(4.1+幻,求得。”+1=2(。”_]+1),「.{4+1}是首項為
4+1=2,公比為2的等比數列,即a.+1=2”,an=2"-1
反思:構造新數列的實質是通過+%)=4(4+幻來構造一個我們所熟知的等差或等比
數列.
六、倒數變換:將遞推數列勺+i-*1(。大。,“#o),取倒數變成「-一--L+』的形
4+d43C%C
式的方法叫倒數變換。然后就轉變為第五種情況,此時將數列J']看成一個新的數列,即
lan]
再利用“構造新數列”的方法求解。
例6、已知數列{(}5wN*)中,4=1,。向=/丁,求數列{4}的通項公式.
【解析】:將。向取倒數得:—=2+—-——-=2,/.是以J_=i
2%+1an+lanan+}an[an]a}
為首項,公差為2的等差數列.-1=1+2(〃-1),,凡二」一.
凡2〃-1
反思:倒數變換有兩個要點需要注意:一是取倒數.二是一定要注意新數列的首項,公差或公比
變化了。
七、特征根法:形如遞推公式為a〃+2=pa〃+i+qa”(其中p,q均為常數)。
對于由遞推公式an+2=pan+}+qan,有q=a,2=〃給出的數列{%},方程
x2-px-q=0,叫做數列{4}的特征方程。
若再,它是特征方程的兩個根,
當芭W%2時,數列{〃”}的通項為勺=+取丁,其中A,B由卬=。,對=方決定
(即把6,生,當,々和〃=1,2,代入&=Ar;i+Br;i,得到關于A、B的方程組);
當芭=々時,數列{*}的通項為%=(A+其中A,B由q=。,電=〃決定(即
把。],。2,陽,12和〃=1,2,代入%=(A+胡)匯",得到關于A、B的方程組)。
例7:數列{〃〃}滿足3%.2一5〃”+i+24=0(〃>0,WGN),ai=a,a2=b,求an
【解析】:由題可知數列的特征方程是:3X2-5X+2=0O
*.a?=Avf1+Bxf1=A+B-(-)n-,o又由%=〃,〃2=b,于是
a=A+B
'故a“=3Z?—2a+3(a-b)(2尸
2=>
b=A+-BB=3(a-b)"3
3
反思:本題解題的關鍵是先求出特征方程的根。再由初始值確定出A,B的用已知量a,b
表示的值,從而可得數列{aj的通項公式。
八、不動點法
若A,B工0且ADBCW0,解"='"+D,設。為其兩根
Cx+D
I、若a#B、數列{4〃―“}是等比數列;
an-P
II、若,=/?,數列{—!—}是等差數列。
a?-a
7an-2
例8、已知數列{an}滿足an+1=cn,4,ai=2,求數列}的通項公
2an+J
式。
7x—23x-1
【解析】:令x=3m'得2x2—4x+2=°,則g是函數f(x)=R
的不動點。
._7an-2_5an-5
因為an+]-1———1———T
2an+32an+3
35
12a「+32an+32八3、12
-------=-——=--------=-(1+——)=+一,
a
n+!"15an-55an-15an-1an-1--5
11
[1112
所以數列{*}是以.=匚1=1為首項’以尹公差的等差數列,則
—^―-=1+(n-1)]2n+8
T5故%=2n+3°
3x-1/X-2
反思:本題解題的關犍是先求出函數f(x)=:——G的不動點,即方程x=的
4x4-72x+3
11,2f11
根x=i,進而可推出二7二二?十三,從而可知數列?}為等差
an+lan-1?an-1
數列,再求出數列{a1J的通項公式,最后求出數列{@n}的通項公式.
九、換元法即是將一復雜的整體用一個新的符號來表示,從而使遞推數列看起來更簡
單,更易找到解決的方法。
例9、己知數列{an}滿足@n+i=—+4an+Jl+24a1]),a】=1,
16
求數列{an}的通項公式。
【解析】:令bn=Jl+24an,則an=2(b:—D
l2
故2n+l=-(bn+l—1)
代入an+]=i(1+4an+Jl+24ad)得
1o
19119
—(b^-l)=—[l+4-(b^-l)+bn]
即4b3=0+3產
因為bn=JI+24an之o,故bn+1=Jl+24a?i>0
13
則2bn+i=bn+3,即bn+]=-bn+5,
可化為bn+1-3=~(bn-3),
._______________1
所以{bn_3}是以b1_3=Jl+24a]_3=Jl+24?l_3=2為首項,以5
為公比的等比數列,因此bn—3=2-(3
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